Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Стюарт Иэн

Глава 17. Форма логики

 

 

Подведение под математику непоколебимого фундамента

Наблюдая за непрерывным ростом науки, некоторые из математиков начали удивляться: где же надежный фундамент, поддерживающий вес этих знаний? Ряд серьезных научных кризисов – особенно дискуссия об основных понятиях исчисления и треволнения вокруг рядов Фурье – показали, что во избежание логических ловушек всякая математическая концепция должна иметь аккуратное и четкое определение. Иначе возведенная над нею башня выводов и заключений может легко рухнуть под ударом логических противоречий из-за неопределенности или двусмысленности.

Сперва такие тревоги касались лишь самых сложных и изощренных идей, таких как ряды Фурье. Но математический мир постепенно понял, что под подозрением может оказаться любая основная идея. И главной среди них была идея числа. Ужасная правда заключалась в том, что математики, положившие столько усилий на глубочайшие исследования свойств чисел, не потрудились ни разу задаться вопросом, что же такое число. И когда дело дошло до логичного определения, они не смогли его сформулировать.

 

Дедекинд

В 1858 г., читая лекции по исчислению, Дедекинд задался вопросом о самой основе своей темы. Его интересовал не вопрос использования пределов, а сама система действительных чисел. Он опубликовал свои идеи в 1872 г. в труде «Непрерывность и иррациональные числа», указав, что вроде бы явные качества действительных чисел никогда не были доказаны сколько-нибудь строгим образом. В пример он привел уравнение √2√3 = √6. Явно оно вытекает из возведения в квадрат обеих сторон равенства. Вот только умножение для иррациональных чисел никогда не было определено. В 1888 г. в своей книге «Что такое числа и для чего они служат?» ученый отметил ряд серьезных пробелов в логическом обосновании системы действительных чисел. Собственно говоря, никто даже не доказал, что такие числа существуют.

Он также предложил свой способ заполнить пробелы, прибегнув к приему, известному нам как дедекиндовы сечения. Нужно было начать с признанной системы чисел, рациональных, и распространить ее, чтобы получить более широкую систему действительных чисел. Он сперва определил свойства, отличающие действительные числа, нашел способ описать их в ключе рациональных чисел и затем совершил обратную процедуру, интерпретируя эти особенности рациональных чисел как определения для действительных. Этот прием обратного конструирования новых концепций из старых с тех пор применяется часто.

Предположим на миг, что действительные числа существуют. Имеют ли они отношение к рациональным? Некоторые действительные числа – не рациональные, очевидный пример – √2. Теперь, хотя оно и не дробь, его можно приблизить сколь угодно близко к рациональному числу. Оно занимает особое место где-то в плотном ряду всех возможных рациональных чисел. Но как мы определим его положение?

Дедекинд понимал, что √2 четко разделяет последовательность рациональных чисел на две части: те, что меньше его, и те, что больше. Отчасти это разделение – или сечение – определяет √2 в рамках рациональных чисел. Единственная загвоздка в том, что мы прибегаем к √2 с целью определить две части разреза. Но есть способ это преодолеть. Рациональные числа больше √2 определенно положительные, и их квадрат больше 2. Рациональные числе меньше √2 – все остальные. Эти два множества рациональных чисел теперь определены без явного использования √2, но точно указывают его положение на прямой действительных чисел.

Дедекинд показал: если предположить, что действительные числа существуют, то сечение, удовлетворяющее этим двум частям, может быть связано с любым действительным числом в последовательности R из всех рациональных чисел, больших этого числа, и последовательности L из всех рациональных чисел, меньше этого числа или равных ему. (Последнее условие необходимо для связи сечения с любым рациональным числом. Мы ведь не хотим от них отказываться.) Здесь L и R могут восприниматься как левая и правая части на привычном изображении прямой действительных чисел.

Два множества, L и R, подчиняются нескольким довольно строгим условиям. Во-первых, каждое рациональное число принадлежит только одному из них. Во-вторых, каждое число во множестве R больше, чем любое число во множестве L. Наконец, существует техническое ограничение, связанное с рациональными числами как таковыми: L может иметь или не иметь самое большое число, а R никогда не имеет самого малого. Назовем любую пару подмножеств рациональных чисел с такими свойствами сечением.

В обратном конструировании не нужно предполагать существование действительных чисел. Вместо этого мы можем использовать сечения для определения действительных чисел, так что фактически такое число является сечением. Обычно мы не рассматриваем действительные числа именно так, но Дедекинд понял, что при желании это возможно. Главная задача – определить, как складывать и умножать сечения, чтобы действовала арифметика действительных чисел. Оказалось, это просто. Чтобы сложить два сечения (L1, R1) и (L2, R2), положим, что L1 + L2 будет множеством всех чисел, получаемым добавлением чисел из L1 к числам из L2, и так же определим R1 + R2. Тогда суммой двух сечений будет сечение (L1 + L2, R1 + R2). Умножение выполняется так же, хотя здесь есть небольшое различие между положительными и отрицательными числами.

Наконец, нам надо убедиться, что арифметика сечений обладает всеми свойствами, ожидаемыми от действительных чисел. К ним относятся стандартные законы алгебры, которые аналогичны свойствам рациональных чисел. Главное свойство, отличающее действительные числа от рациональных, заключается в том, что предел бесконечной последовательности сечений существует (при применении определенной техники). Также существует сечение, соответствующее любому бесконечному расширению десятичных дробей. Это тоже несложно.

Исходя из того, что всё перечисленное возможно, посмотрим, как Дедекинд смог доказать, что √2√3 = √6. Мы уже видели, что √2 соотносится с сечением (L1, R1), где R1 состоит из всех положительных рациональных чисел с квадратами больше 2. А √3 соотносится с сечением (L2, R2), где R2 состоит из всех положительных рациональных чисел с квадратами больше 3. Легко доказать, что произведением этих сечений будет (L3, R3), где R3 состоит из всех положительных рациональных чисел, квадраты которых больше 6. Но это и есть сечение, которое соответствует √6. Готово!

Красота подхода Дедекинда в том, что он упрощает все вопросы, относящиеся к действительным числам, до соответствующих вопросов рациональных чисел, точнее, пары множеств рациональных чисел. Так мы получаем определение для действительных чисел только в рамках рациональных чисел и операций, относящихся к ним. К тому же действительные числа существуют (в математическом смысле), если существуют рациональные.

А вот небольшая плата за эту простоту: теперь действительное число определяется как пара множеств рациональных чисел – не совсем привычное для нас описание. Если это звучит слишком странно, вспомните, что обычное представление действительного числа – десятичная дробь, состоящая из бесконечной последовательности цифр от 0 до 9.

Концептуально это как минимум так же сложно, как сечение Дедекинда. И правда, непросто представить сумму или произведение двух бесконечных десятичных дробей, ведь обычные арифметические методы сложения или умножения десятичных дробей начинаются с их правого конца. А когда десятичная дробь бесконечна, она не имеет правого конца.

 

Аксиомы целых чисел

Книга Дедекинда была очень хороша для тренировки базовых навыков, но общие вопросы определения терминов в ней опущены. Она всего лишь сместила фокус с действительных чисел на рациональные. Но откуда нам знать, что рациональные числа существуют? Если мы предположим, что существуют целые числа, это просто: определим рациональное число p/q как пару целых чисел (p, q) и составим формулы для сумм и произведений. Если целые числа существуют, то существуют и их пары.

Но откуда нам знать, что существуют целые числа? Кроме знаков + и –, целые числа – обычные натуральные числа (включая 0). А учесть знаки не составит труда. Иными словами, целые числа существуют, если существуют натуральные.

Но мы так и не пришли к концу. Мы так хорошо знакомы с натуральными числами, что нам и не приходит в голову поинтересоваться, существуют ли на самом деле знакомые нам 0, 1, 2, 3 и т. д.? И если да, то что это такое?

В 1889 г. Джузеппе Пеано обошел вопрос существования, воспользовавшись подходом Евклида. В своей книге Евклид вместо спора о существовании точек, линий, треугольников и прочих фигур привел список аксиом – описание свойств, очевидных без сомнений. Ему было не важно, существуют ли точки и прочие элементы. Вот гораздо более интересный вопрос: если они существуют, какие свойства вытекают из этого? Итак, Пеано составил свой список аксиом для натуральных чисел. Вот основные из них.

• Число 0 существует.

• Каждое число n имеет следующее за ним s(n), которое мы принимаем как n + 1.

• Если P(n) – свойство, такое, что P(0) верно, и каждый раз, когда P(n) верно, то и P(s(n)) тоже верно, тогда P(n) верно для любого n (принцип математической индукции).

Затем он определил числа 1, 2 и т. д. с точки зрения этих аксиом, в частности получив:

1 = s(0),

2 = s(s(0))

и т. д. И еще он определил базовые арифметические действия и доказал, что они подчиняются обычным законам. В его системе 2 + 2 = 4 – доказуемая теорема, которая констатирует, что s(s(0)) + s(s(0)) = s(s(s(s(0)))).

Огромное преимущество такого аксиоматичного подхода в том, что он точно определяет то, что мы должны доказать, если хотим как-то показать, что натуральные числа существуют. Нам лишь надо сконструировать некую систему, удовлетворяющую всем аксиомам Пеано.

Здесь более глубоким вопросом становится значение самого существования для математики. В реальном мире существующим считается объект, который мы можем наблюдать или, если это не удается, сделать вывод о его существовании благодаря тому, что мы можем наблюдать. Например, мы знаем о существовании силы притяжения, поскольку можем наблюдать ее эффекты, хотя и не ее саму.

В реальном мире мы можем обоснованно заявлять о существовании двух кошек, двух велосипедов или двух ломтей хлеба. Но с числом два всё не так просто. Это не предмет, а идея. В реальном мире мы никогда не встретим число два. Ближе всего к этому можно считать символ «2», написанный, или напечатанный на бумаге, или высветившийся на экране компьютера. Но никто не думает, что символ – то же, что представляемый им предмет. Слово «кот», написанное черным по белому, не кот. Точно так же символ «2» не число два.

Значение слова «число» оказалось неожиданно трудной концептуальной и философской проблемой. Положение усугубляется тем, что все мы превосходно разбираемся в том, как использовать числа. Мы знаем, как они себя ведут, но не знаем, что они собой представляют.

 

Множества и классы

В 1880-х гг. Готлоб Фреге попытался решить эту концептуальную проблему, конструируя натуральные числа из еще более простых объектов – множеств, или, как он сам назвал их, классов. Его отправной точкой была стандартная ассоциация чисел со счетом. Согласно Фреге, два является свойством этих множеств, и только их, и его можно взаимно однозначно сопоставить со стандартным множеством {a, b} с несовпадающими элементами a и b. Тогда:

{один кот, другой кот}

{один велосипед, другой велосипед}

{один ломоть, другой ломоть}

могут соответствовать {a, b}, а значит, все они определены – что бы это ни значило – одинаковым числом.

К несчастью, использование списка стандартных множеств в качестве чисел, скорее всего, породит вопросы: слишком легко спутать символ с тем, что он представляет. Но как еще описать свойство этих множеств, которое можно взаимно однозначно сопоставить со стандартным множеством? Что есть это свойство? Фреге посетила превосходная идея. Есть четко определенное множество, связанное с любым свойством, буквально состоящее из всего обладающего этим свойством. Свойство «простой» ассоциируется со множеством всех простых чисел; свойство «равнобедренный» – со множеством всех равнобедренных треугольников и т. д.

Фреге предположил, что число два есть множество, включающее в себя все множества, которые можно взаимно однозначно сопоставить со стандартным множеством {a, b}. В более общем виде число является множеством всех множеств, которые можно сопоставить с любым заданным множеством. Так, например, число три – множество: {… {a, b, c}, {один кот, другой кот, еще один кот}, {X, Y, Z}, …}, хотя, пожалуй, лучше использовать математические объекты вместо котов или букв.

Исходя из этого Фреге открыл, что может подвести под всю арифметику целых чисел логическую основу. Вся она упрощается до явных свойств множеств. Всё это он изложил в своем труде «Основы арифметики: логически-математическое исследование о понятии числа» в 1884 г. Но, к его великому разочарованию, Георг Кантор, ведущий специалист в области математической логики, отмел эту книгу как бесполезную. В 1893 г. Фреге, не утративший решимости, опубликовал первый том другой книги, «Основные законы арифметики», в которой представил интуитивно правдоподобную систему аксиом арифметики. Пеано просмотрел ее, а все остальные проигнорировали. Через десять лет Фреге наконец-то подготовил к печати второй том, но к тому моменту сам успел обнаружить большой недостаток в своих аксиомах. Другие тоже заметили его недочеты. Том еще не вышел из-под пресса, а уже разразился скандал. Фреге получил письмо от известного философа и математика Бертрана Рассела. Говорилось там примерно следующее: «Дорогой Готлоб, представьте себе множество всех множеств, которые не являются элементом самих себя. Искренне Ваш, Бертран».

Как безупречный логик, Фреге тут же понял намек Рассела – тем более что уже был готов к неприятностям. В целом его подход подразумевал, хотя и без доказательств, что любое описываемое свойство определяет значимое множество, состоящее из объектов, что обладают упомянутым свойством. Но здесь подразумевалось именно свойство, а не элемент множества как таковой, который явно не соответствовал множеству.

ПАРАДОКС РАССЕЛА

Менее формальный вариант парадокса, предложенного Расселом, – брадобрей, который бреет всякого, кто не бреется сам. Кто же тогда бреет его самого? Если он бреется сам, то определенно его бреет сельский брадобрей – т. е. он сам! Если он не бреется сам, его должен брить брадобрей, т. е. опять-таки он сам.

Если не прибегать ко всяким трюкам – например, брадобрей женского пола, – единственный возможный вывод таков: этого брадобрея не существует. Рассел переформулировал этот парадокс в рамках множеств. Допустим, множество X состоит из всех множеств, которые не являются элементом самих себя. Будет ли тогда X элементом самого себя или нет? Если нет, то по определению оно принадлежит X  – самому себе. Если да и оно элемент себя, то, подобно всем элементам X , оно не должно являться элементом самого себя. Но на этот раз выхода нет: женские множества пока не стали частью математических построений.

Мрачный Фреге был вынужден выпустить приложение к своему грандиозному опусу, в котором обсуждал возражения Рассела. Он нашел кратковременное решение: исключить из царства множеств те из них, которые являются элементами самих себя. Но даже ему самому это предложение не показалось достойным.

Рассел же попытался заполнить пробел Фреге в построении натуральных чисел с помощью множеств. Его идея состояла в ограничении того типа свойств, которые могут быть использованы для определения множества. Конечно, ему нужно было найти доказательство, что этот ограниченный тип свойств не приведет к парадоксу. В сотрудничестве с Альфредом Нортом Уайтхедом он пришел к сложной и искусственной теории типов, казавшейся достаточно объективной по крайней мере им самим. Они изложили свой подход в увесистом трехтомнике «Принципы математики», выпущенном в 1910–1913 гг. Определение числа два попало в конец первого тома, а теорема 1 + 1 = 2 доказана на с. 86 второго тома. Но и «Принципам математики» не суждено было положить конец фундаментальным спорам. Теория типов сама по себе была спорной. Математики желали получить что-то более простое и изящное.

 

Кантор

Эти исследования фундаментальной роли счета как основы для чисел привели к одному из самых нашумевших открытий в математической науке – теории Кантора о трансфинитных числах – разных размерах бесконечности.

Бесконечность, в самых разных ипостасях, неизбежна в математике. Здесь нет самого большого натурального числа – потому что с добавлением единицы мы всегда получаем число еще большее, – а значит, существует бесконечно много натуральных чисел. Геометрия Евклида работает на бесконечной плоскости, и он доказал, что существует бесконечное множество простых чисел. В преддверии исчисления несколько человек, в том числе и Архимед, сочли полезным рассмотреть площадь и объем как сумму бесконечно многих и бесконечно тонких слоев. Когда исчисление изобрели, картина была примерно такой же: применялись эвристические методы для вычисления площадей и объемов, даже если имеющиеся доказательства говорили об ином.

Эти проявления бесконечности можно перефразировать в конечных терминах, чтобы избежать философских споров. Например, вместо того чтобы говорить «натуральных чисел бесконечно много», мы можем сказать «не существует самого большого натурального числа». Второе утверждение логически эквивалентно первому, при этом в нем нет явного упоминания бесконечности. По сути здесь бесконечность рассматривается как процесс, который можно продолжить без всяких конкретных ограничений, но фактически не завершенный. Такую бесконечность философы называют потенциальной. В противовес этому явное использование бесконечности как математического объекта само по себе оказывается актуальной бесконечностью.

Предшественники Кантора обратили внимание на то, что актуальные бесконечности обладают парадоксальными чертами. В 1632 г. Галилей написал свой «Диалог о двух системах мира», в котором два персонажа, проницательный Сальвиати и смышленый мирянин Сагредо, обсуждают причину приливов с геоцентрической и гелиоцентрической точек зрения. По требованию церкви все упоминания о приливах были вычеркнуты, и книга превратилась в гипотетическое словесное упражнение, содержащее мощные доводы в пользу гелиоцентрической теории Коперника. Персонажи между делом обсуждали и некоторые парадоксы, связанные с бесконечностью. Сагредо вопрошал: «Может ли быть чисел больше, чем квадратов?» – и указывал, что, коль большинство целых чисел не являются полными квадратами, ответ должен быть «да». Сальвиати отвечал, что всякое число можно однозначно сопоставить с его квадратом:

Таким образом число целых чисел должно быть таким же, как и число квадратов, и, значит, ответ «нет».

Кантор преодолел эти препятствия, указав, что в диалоге персонажей слово «больше» используется с двумя разными смыслами. Сагредо указывает, что множество всех квадратов является собственным подмножеством множества всех целых чисел. Позиция Сальвиати не столь однозначна: он возражает, что существует однозначное соответствие между множеством квадратов и множеством всех целых чисел. Это два разных утверждения, и оба могут быть верны – без каких-либо выводов.

Так Кантор пришел к изобретению арифметики бесконечности, которая объясняла предыдущие парадоксы и в то же время предлагала новые. Эта работа стала частью более обширной программы, теории множеств, Mengenlehre (от нем. Menge – множество или скопление). Кантор стал размышлять о множествах из-за некоторых сложных вопросов Фурье-анализа, так что его идеи уходят корнями в широко признанные математические теории. Однако полученные им ответы оказались столь странными, что многие из математиков того времени предпочти их проигнорировать. В то же время другие ученые сразу оценили их важность, особенно Давид Гильберт, утверждавший, что «никто не сможет изгнать нас из рая, созданного Кантором».

 

Размер множества

Отправной точкой для Кантора стала наивная концепция множества как совокупности объектов, или его элементов. Один из способов описать множество – перечисление его членов с использованием фигурных скобок. Например, множество всех натуральных чисел от 1 до 6 будет описано так:

{1, 2, 3, 4, 5, 6}.

В другом варианте множество может быть описано с помощью правила для его элементов:

{ n : 1 ≤ n ≤ 6, где n  – натуральное число}.

Множества, определенные выше, идентичны. Первое обозначение ограничено конечным множеством, второе не имеет такого ограничения. Таким образом, множества

{ n: n  – натуральное число}

и

{ n: n  – полный квадрат}

точно указаны и оба бесконечны.

Самое простое, что вы можете сделать со множеством, – пересчитать его элементы. Насколько оно велико? Множество {1, 2, 3, 4, 5, 6} имеет шесть элементов. То же относится к множеству {1, 4, 9, 16, 25, 36}, состоящему из соответствующих квадратов. Мы говорим, что мощность множества равна 6, и называем 6 кардинальным числом. (Есть и другая концепция: ординальное (порядковое) число, связанное с построением чисел по порядку, и поэтому прилагательное «кардинальное» здесь не лишнее.) Множество всех натуральных чисел невозможно пересчитать таким образом, но Кантор отметил, что вы можете установить между множеством всех натуральных чисел и множеством всех квадратов взаимно однозначное соответствие, используя ту же схему, что и Галилей. Тогда каждое натуральное число n окажется в паре со своим квадратом n2.

Кантор определил, что два множества равномощные (не его термин), если между ними есть взаимно однозначное соответствие. Если множества конечны, это свойство эквивалентно одинаковому количеству элементов. Но если они бесконечны, то нет смысла говорить о количестве элементов, а идея равномощности обретает очень важный смысл. Но Кантор пошел дальше. Он предложил систему трансфинитных чисел, или бесконечных кардинальных чисел, которые дали возможность определять, сколько элементов содержится в бесконечном множестве. Более того, два множества равномощны тогда и только тогда, когда они имеют равное количество элементов – равные кардинальные числа.

Начальной точкой стал новый вид чисел, который Кантор обозначил символом א0. Это буква алеф из иврита с нижним индексом 0, или алеф-ноль. Это число по определению является кардинальным для множества всех натуральных чисел. Но, настаивая на том, что равномощные множества также имеют одно и то же кардинальное число, Кантор затем рассудил, что всякое множество, для которого может быть установлено взаимно однозначное соответствие со множеством натуральных чисел, также должно иметь мощность א0. Например, множество всех квадратов имеет мощность א0. То же относится ко множеству всех четных чисел:

и множеству всех нечетных:

Одно из следствий этого определения таково: меньшее множество может иметь мощность, равную мощности большего множества. Но здесь в определении Кантора не было логических противоречий, он решил считать эту особенность естественным следствием своей идеи и не прогадал. Главное – не считать, что бесконечные кардинальные числа могут вести себя точно так же, как и конечные. Да и с какой стати? Ведь они не конечны!

Как вы думаете, количество целых чисел (и положительных, и отрицательных) больше количества натуральных? Будет ли их вдвое больше? Нет, потому что мы можем сопоставить эти два множества вот так:

Арифметика бесконечных кардинальных чисел тоже довольно странная. Например, мы только что увидели, что множества четных и нечетных натуральных чисел имеют кардинальное число א0. Поскольку у них нет одинаковых элементов, кардинальное число их объединения – множества, полученного в результате их совмещения, – должно быть א0 + א0. Номы знаем, что представляет собой такое объединение: это натуральные числа с кардинальным числом א0. Видимо, придется заключить:

א 0 + א 0 = א 0.

Так мы и поступим. Но и здесь нет противоречий: мы не можем поделить א0, чтобы получить 1 + 1 = 1, потому что א0 не является натуральным числом. Такое деление невозможно, поскольку не имеет смысла. Действительно, это равенство показывает, что деление на א0 не имеет смысла. И снова мы принимаем это как плату за прогресс.

Всё это очень хорошо, однако кому-то может показаться, что א0 не более чем новый забавный символ для старой доброй бесконечности и по сути ничего нового здесь не сказано. Разве это не тот случай, когда все бесконечные множества имеют кардинальное число א0? Разве все бесконечности не равны?

Один из кандидатов на бесконечное кардинальное число, большее, чем א0, – точнее, на бесконечное множество, для которого невозможно установить взаимно однозначное соответствие с множеством целых чисел, – это множество всех рациональных чисел, обычно обозначаемое Q. В конце концов, есть бесконечно много рациональных чисел в промежутке между двумя любыми последовательными целыми числами, и здесь уже не работает та хитрость, которая помогала нам с целыми числами.

Однако в 1873 г. Кантор доказал, что Q также имеет кардинальное число א0. Взаимно однозначное соответствие основательно перемешивает числа, но никто и не говорил, что они должны располагаться согласно порядковым номерам. Кажется, всё выглядит замечательно: всякое бесконечное множество имеет кардинальное число א0.

В том же году Кантор совершил важный прорыв. Он доказал, что последовательность всех действительных чисел не имеет кардинального числа א0. Неожиданную теорему об этом он опубликовал в 1874 г. Так что даже в неординарном понимании Кантора существует больше действительных чисел, чем целых. Одна бесконечность может быть больше другой.

Насколько велика мощность действительных чисел? Кантор надеялся, что это будет א1, следующее наибольшее кардинальное число после א0. Но он не смог этого доказать и потому обозначил новое кардинальное число С, от первой буквы слова «континуум». Ожидаемое уравнение С = א1 было названо континуум-гипотезой. Математики сумели вывести соотношение между С и א0 только в 1960 г., когда Пол Коэн доказал, что ответ зависит от аксиом, которые вы выбираете для теории множеств. С одним разумным набором аксиом два кардинальных числа равны. Но с набором других, не менее обоснованных, аксиом они будут разными.

Обоснованность равенства С = א1 зависит от выбранных аксиом, но связанное с ним равенство от этого не зависит. Это равенство С = 2א0. Для любого кардинального числа A мы можем определить 2A как кардинальное число множества (мощностью А) всех его подмножеств. И мы можем очень легко доказать, что 2A всегда больше A. Это значит, что не только некоторые бесконечности больше, чем другие, но и нет бесконечно большого кардинального числа.

 

Противоречия

Однако величайшей целью фундаментальной математики было все-таки не доказательство существования математических идей. Гораздо важнее было доказать, что математика логически последовательна. Ведь всем сегодня понятно: можно выстроить некоторую четкую последовательность безупречно правильных логических шагов, приводящую к абсурдному выводу. Может, вы соберетесь доказать, что 2 + 2 = 5 или 1 = 0, например. Или что 6 – простое число, или что π = 3.

Ведь может показаться, что одно незначительное противоречие будет иметь ограниченные последствия. В быту люди вообще спокойно воспринимают такие противоречия, заявляя в один момент, что глобальное потепление уничтожает планету, а в другой – что авиакомпании-лоукостеры – гениальное изобретение. Но для математики последствия не могут быть ограниченными, и вы не избежите логических противоречий, просто закрыв на них глаза. В математике, как только что-то доказано, вы можете использовать это для других доказательств. Доказательство того, что 0 = 1, повлечет еще больше неприятностей. Например, утверждение, будто все числа равны. Если x – любое число, то сначала умножим обе части равенства 0 = 1 на х. Тогда 0 = x. И если y – любое другое число, то 0 = y. Значит, x = y.

Хуже того, стандартный метод доказательства от противного означает, что может быть доказано что угодно, если доказано, что 0 = 1. Чтобы доказать Великую теорему Ферма, мы рассуждаем так.

Предположим, что Великая теорема Ферма неверна.

Тогда 0 = 1.

Противоречие.

Значит, теорема Ферма верна.

Если бы было верно неудовлетворительное равенство [0 = 1], этот метод доказал бы, что Великая теорема Ферма неверна.

Предположим, что Великая теорема Ферма неверна.

Тогда 0 = 1.

Противоречия нет.

Значит, теорема Ферма неверна.

Коль скоро всё правда – и при этом ложь, о чем вообще может идти речь? Вся математика превращается в пустую и глупую игру.

ДАВИД ГИЛЬБЕРТ 1862–1943

Давид Гильберт окончил в 1885 г. университет в Кенигсберге, защитив сразу свою диссертацию по теории инвариантов. Он работал в университете, пока не стал профессором в Гёттингене в 1895 г. Но он продолжал развивать теорию инвариантов, доказав свою теорему о базисе в 1888 г. Его методы отличались от принятых в то время способов исследования абстрактным подходом, и один из ведущих ученых того времени, Пауль Гордан, вообще счел его труды неудовлетворительными. Перед публикацией в авторитетном математическом журнале Mathematische Annalen Гильберт переработал свою статью, после чего Клейн назвал ее «самой важной работой по общей алгебре из всего, что когда-либо публиковал этот журнал».

В 1893 г. Гильберт начал писать более всеобъемлющую монографию по теории чисел под названием «Отчет о числах». Хотя изначально целью было обобщение уже накопленных сведений, ученый включил в статью много собственных открытий, ставших позже основой для того, что сейчас нам известно как теория полей классов.

К 1899 г. он снова поменял направление исследований и занялся аксиоматическим обоснованием геометрии Евклида. В 1923 г. на Втором международном конгрессе математиков в Париже он представил список из 23 главных нерешенных проблем. Этот список, известный как проблемы Гильберта, оказал решающее влияние на главные направления математики в последующие годы.

Примерно в 1909 г. его работа по интегральным уравнениям привела к открытию гильбертовых пространств , сейчас составляющих основу квантовой механики. Также в статье от 1915 г. он подошел вплотную к открытию уравнений Эйнштейна для общей теории относительности. Он добавил в доказательство примечание о том, что его статья согласуется с уравнениями Эйнштейна. Из-за этого сложилось ошибочное убеждение о том, что Гильберт якобы предвосхитил открытие Эйнштейна.

В 1930 г. Гильберт ушел в отставку и получил титул почетного гражданина Кенигсберга. Его речь на церемонии заканчивалась словами: «Мы должны знать. Мы будем знать» – кратким выражением его веры в математику и решимости справиться с любыми проблемами.

 

Гильберт

Следующий важный шаг был сделан Давидом Гильбертом, пожалуй, самым великим математиком своего времени. Он имел привычку заниматься одной областью математики примерно десять лет, полируя решения основных задач, а затем переходить в другую. По убеждению Гильберта, рано или поздно удастся доказать, что математика никогда не может привести к логическому противоречию. Также он осознал, что в этом проекте не будет пользы от физического восприятия. Если математика противоречива, то должно быть возможно доказать, что 0 = 1, и тогда физическая интерпретация уравнения будет: 0 коров = 1 корова, т. е. коровы могут растворяться в воздухе, как дым. Это непохоже на правду. Но нет никакой гарантии, что математика натуральных чисел обязана отвечать физике коров, или, по крайней мере, нельзя себе представить, что коровы способны внезапно исчезнуть (это может произойти в квантовой механике, но с крайне малой вероятностью). В конечной Вселенной числу коров есть предел, но нет предела в математике количеству целых чисел. Значит, наша интуиция может оказаться обманчивой, и ее следует игнорировать.

Гильберт пришел к такой точке зрения в своей работе над аксиоматическим обоснованием евклидовой геометрии. Он обнаружил в системе аксиом Евклида логические недостатки и понял, что Евклид был введен в заблуждение своим зрением. Поскольку он воспринимал линию как длинный тонкий предмет, окружность как круг и точку как крапинку, он безоговорочно признавал за этими предметами определенные свойства, не придавая им форму аксиом. После нескольких попыток Гильберт сумел составить список из 21 аксиомы и обсудил их роль в евклидовой геометрии в 1889 г. в своем труде «Основания геометрии».

Гильберт также настаивал, что логический вывод должен быть обоснованным независимо от особенностей его интерпретации. Всё, что удовлетворяет какой-то интерпретации аксиом, но не удовлетворяет другой, чревато логическими ошибками. И именно этот подход к аксиоматике, а не частные исследования геометрии стал в итоге самым весомым вкладом Гильберта в основания математики. Его точка зрения повлияла на саму суть математики, делая ее намного проще – и респектабельнее – при изобретении новых концепций путем составления для них списка аксиом. Большинство абстрактных исследований в математике начала ХХ в. исходит как раз из позиции Гильберта.

Часто говорят, что Гильберт отстаивал утверждение, будто математика – отвлеченная игра в символы, но это преувеличение. Гильберт считал, что если вы хотите подвести под свою идею надежную логическую основу, следует рассуждать о ней так, как если бы она была отвлеченной игрой в символы. Всё остальное не имеет отношения к логической структуре. Но ни один человек, достаточно серьезно относящийся к математическим открытиям Гильберта и имеющий представление о его беззаветной преданности науке, не сказал бы, что этот ученый считал, будто дело его жизни – это отвлеченная игра.

ЧТО ЛОГИКА ДАЛА ИМ

Чарльз Лютвидж Доджсон, более известный как Льюис Кэрролл, использовал свои формулировки для раздела математической логики, известного нам как логика высказываний , чтобы составлять и решать логические загадки. Типичный пример такой формулировки он приводит в своем труде «Символическая логика» от 1896 г.

• Никто из тех, кто действительно ценит Бетховена, не станет шуметь во время исполнения «Лунной сонаты».

• Морские свинки безнадежно невежественны в музыке.

• Те, кто безнадежно невежествен в музыке, не станут соблюдать тишину во время исполнения «Лунной сонаты».

Вывод таков: ни одна морская свинка не ценит Бетховена. Такая форма логического построения называется силлогизмом и уходит корнями в классические труды древних греков.

Преуспев в геометрии, Гильберт обратил взор на гораздо более амбициозный проект: подвести под всю математику непоколебимый логический фундамент. Для этого он внимательно изучал труды современных ему логиков и составил подробную программу для того, чтобы раз и навсегда привести в порядок основания математики. В дополнение к доказательству того, что математика свободна от противоречий, он полагал, что нерешаемых проблем не существует в принципе и любое математическое утверждение может быть или доказано, или опровергнуто. Успех на первых порах убедил Гильберта в том, что он на верном пути и приблизился к своей основной цели.

 

Гёдель

Но нашелся всё же логик, которого так и не убедили доводы Гильберта в пользу того, что математика логически последовательна. Его звали Курт Гёдель, и его беспокойство по поводу программы Гильберта навсегда изменило наше отношение к математической истине.

До Гёделя математика просто считалась верной – и это был высший пример истины, потому что истина утверждения 2 + 2 = 4 была чем-то из сферы чистой мысли, независимой от физического мира. Математические истины не могут быть опровергнуты дальнейшими экспериментами. В этом смысле они превосходят физические истины вроде ньютоновского закона о силе гравитационного притяжения, обратно пропорциональной квадрату расстояния, опровергнутого наблюдениями за движением в перигелии Меркурия, которые подтверждают новую теорию гравитации, предложенную Эйнштейном.

Благодаря Гёделю математическая истина стала восприниматься как иллюзия. Существуют лишь математические доказательства. Их внутренняя логика может быть безупречной, но при этом они существуют в более широком контексте фундаментальной математики, где нет гарантий, что игра в целом вообще имеет смысл. Гёдель не просто предположил это, – он это доказал. По сути, два его достижения в совокупности разрушили до основания аккуратную, оптимистичную программу Гильберта.

Гёдель доказал, что если математика логически последовательна, то доказать это невозможно. И не потому, что он сам не смог найти доказательство, а потому, что доказательства не существует. И если вдруг, паче чаяния, вам удастся доказать, что математика последовательна, следом тут же придет доказательство тому, что это не так. Он также доказал, что ряд математических утверждений не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты. И вновь не потому, что он лично не смог этого добиться, но потому, что это невозможно. Утверждения такого рода называются неразрешимыми.

Он доказал эти утверждения изначально в рамках признанных логических математических формулировок, принятых Расселом и Уайтхедом в их «Принципах математики». Поначалу Гильберт надеялся, что есть выход: надо просто найти более прочный фундамент. Но когда логики ознакомились с работой Гёделя, то очень быстро поняли, что те же идеи сработают для любой логической формулировки в математике, достаточно строгой, чтобы ясно выразить основные понятия арифметики.

КУРТ ГЁДЕЛЬ 1906–1978

В 1923 г., когда Гёдель поступил в университет в Вене, он еще не мог выбрать, изучать ли ему математику или физику. На его решение повлияли лекции парализованного Филиппа Фуртвенглера (брата известного дирижера и композитора Вильгельма). Сам Гёдель с детства был слаб здоровьем, и воля Фуртвенглера, сумевшего преодолеть физическую немощь, произвела на него большое впечатление. На семинарах под руководством Морица Шлика Гёдель начал изучать «Введение в математическую философию» Рассела, и тогда ему стало окончательно ясно, что его будущее связано с математической логикой.

Его докторская диссертация от 1930 г. доказывала, что одна ограниченная логическая система – исчисление высказываний первого порядка – является полной. Всякая истинная теорема может быть доказана и всякая ложная – опровергнута. Больше всего он известен благодаря доказательству гёделевых теорем о неполноте. В 1931 г. Гёдель опубликовал свою судьбоносную статью «О принципиально неразрешимых положениях в системе Principia Mathematica и родственных ей системах». В ней он доказывал, что ни одна система аксиом не будет логически полной для безупречной формализации математики. В 1931 г. он вступил в дискуссию о своей работе с логиком Эрнстом Цермело, но встреча ученых прошла неудачно, возможно потому, что Цермело успел прийти к таким же открытиям, только не смог их опубликовать.

В 1936 г. Шлик погиб от руки студента-нациста, и у Гёделя случился нервный срыв (уже второй). Оправившись от болезни, Гёдель выступил с несколькими лекциями в Принстоне. В 1938 г. он вопреки желанию матери женился на Адели Поркерт и вернулся в Принстон после включения Австрии в состав Германии. После начала Второй мировой войны Гёдель из опасений быть призванным на службу в немецкую армию эмигрировал в США, пробираясь через Россию и Японию. В 1940 г. он получил второй плодотворный результат, доказав, что отрицание континуум-гипотезы Кантора недоказуемо в стандартной аксиоматике теории множеств.

Он получил гражданство США в 1948 г. и провел остаток жизни в Принстоне. С годами он всё больше опасался за свое здоровье, пока не убедил себя в том, что кто-то пытается его отравить. Он отказался от пищи и скончался в больнице. До самого конца он любил вести философские диспуты со своими посетителями.

Любопытным следствием открытий Гёделя стал вывод, что всякая аксиоматическая система в математике должна быть неполна и вы никогда не сможете написать конечный список аксиом, который однозначно определит все истинные и ложные теоремы. Исключения не было: программа Гильберта не работала. Поговаривают, что сам Гильберт пришел в ярость, впервые услышав о работе Гёделя. Однако гневаться скорее стоило на себя, ведь основная идея в работе Гёделя была безупречна. (Техническое воплощение этой идеи оказалось очень сложным, но Гильберт всегда отлично справлялся с такими трудностями.) Скорее всего, Гильберт понял, что он должен был предвидеть появление теорем Гёделя.

Рассел свел на нет значение книги Фреге своим логическим парадоксом о сельском брадобрее, который бреет всякого, кто не бреется сам: множество всех множеств, не являющееся элементом самого себя. Гёдель свел на нет значение программы Гильберта другим логическим парадоксом – человека, который сказал: это утверждение ложно. По сути, это неразрешимое утверждение Гёделя – на котором строится всё остальное – теорема T, которая утверждает: «Эта теорема не может быть доказана».

Если всякая теорема не может быть ни доказана, ни опровергнута, то утверждение Гёделя T противоречиво в обоих случаях. Предположим, Т можно доказать. Тогда Т утверждает, что Т не может быть доказано, – противоречие! А если Т можно опровергнуть, то утверждение Т ложно, и будет ошибкой утверждать, что Т не может быть доказано. Получается, Т можно доказать, – снова противоречие. Следовательно, предположение о том, что всякую теорему можно доказать или опровергнуть, говорит нам, что Т может быть доказано тогда и только тогда, когда оно не может быть доказано.

 

К чему же мы пришли?

Теоремы Гёделя изменили наш взгляд на логические основания математики. Они заставили предположить, что кажущиеся нам сейчас неразрешимыми проблемы могут вообще не иметь решения: ни подтверждающего их, ни опровергающего, а вечно пребывать в чистилище неразрешимости. И такими предстают перед нами очень многие интересные проблемы. Однако эффект от работ Гёделя на практике так и не вышел далеко за пределы фундаментальной математики, в лоне которой и появился на свет. Математики продолжают искать доказательства для гипотез Пуанкаре и Римана, не жалея времени на открытие новых доводов за и против. Они отдают себе отчет в том, что проблема может оказаться неразрешимой, и даже могут заняться поисками доказательств этой неразрешимости, если найдут исходную точку. Однако большинство из известных нам неразрешимых проблем манят ученых именно неразрешимостью, и вряд ли кому-то удастся ее доказать.

ЧТО ЛОГИКА ДАЕТ НАМ

Важнейший вариант гёделевых теорем о неполноте был открыт Аланом Тьюрингом. Их анализ очертил путь для создания первых компьютеров. В своей работе On Computable Numbers, with an application to the Entscheidungsproblem («О вычислимых числах, приложение к проблеме разрешения»), опубликованной в 1936 г., Тьюринг предложил формализацию алгоритмических вычислений – следующую заранее написанному алгоритму – в рамках так называемой машины Тьюринга. Это математическая идеализация устройства, которое пишет символы 0 и 1 на движущейся ленте, подчиняясь конкретным правилам. Он доказал, что проблема остановки машины Тьюринга – выполнится ли окончательное вычисление для данного ввода данных – неразрешима . А значит, нет такого алгоритма, который бы предсказал, остановится ли вычисление или нет.

Тьюринг доказал свой результат, предположив, что проблема остановки разрешима, и построив алгоритм, который останавливается тогда и только тогда, когда не останавливается. Вот и противоречие. Его результат показывает, что существуют ограничения для вычислимости. Некоторые философы расширили эти идеи для определения пределов рационального мышления, и было выдвинуто предположение, что сознание не может функционировать алгоритмически. Однако их аргументы пока не так уж и убедительны. Они показали, что наивно полагать, будто мозг работает как современный компьютер, хотя это не значит, что компьютер не может имитировать работу мозга.

По мере того как на основе предшествующих теорий математики постоянно строили всё новые конструкции, одна сложнее другой, сверхструктура математики начала раскалываться из-за нераспознанных предположений, которые на поверку оказались ложными. Для предотвращения коллапса требовалась серьезная работа по укреплению фундамента.

Последующие работы углубились в истинную природу чисел, двигаясь вспять от комплексных чисел к действительным, рациональным и, наконец, натуральным. Но и там процесс не закончился. Сами числовые системы подверглись пересмотру с точки зрения еще более простых составляющих – множеств.

Теория множеств принесла немало преимуществ, включая разумную, хотя и неортодоксальную систему бесконечных чисел. Она также открыла несколько фундаментальных парадоксов, связанных с понятием множества. Их решение не стало, как надеялся Гильберт, полным обоснованием аксиоматической математики и доказательством ее логической последовательности. Но оно доказало, что математика по природе своей имеет ограничения и некоторые задачи вообще не имеют решения. В результате нам пришлось кардинально изменить свое отношение к понятиям математической истины и определенности. И это прекрасно: лучше жить в осознании пределов наших возможностей, чем в обманчивом раю.