Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Стюарт Иэн

Глава 20. Хаос и сложность

 

 

Упорядоченный беспорядок

К середине XX в. математика вступила в фазу стремительного роста благодаря ее активному применению на практике и появлению новых мощных методов. Достоверная история современной математики займет не меньше места, чем перечисление всех ее предшествовавших достижений. Остается выбрать лишь самые выразительные примеры, чтобы показать, что математики по-прежнему отличаются оригинальностью и творческим мышлением. Одной из таких тем, привлекавших пристальное внимание широкой публики в 1970–1980-х гг., является теория хаоса (так называют СМИ нелинейную динамику). Другая тема – сложные системы, требующие менее ортодоксального образа мышления и рождающие не только новые разделы математики, но и новые области науки.

 

Хаос

Вплоть до 1960-х гг. у слова «хаос» было лишь одного значение – бесформенный беспорядок. Но с того времени открытия в фундаментальных науках и математике наделили его вторым, более отвлеченным значением: сочетание аспектов беспорядка с аспектами формы. Ньютоновские «Начала» упростили систему мира до дифференциальных уравнений, и это был детерминизм Нового времени. Подразумевалось, что если известно исходное состояние системы, ее будущее определено однозначно и навсегда. С точки зрения Ньютона, Вселенная работала как часы, приведенные в движение рукой творца и с тех пор идущие по одному неизбежному пути. Такой подход не оставлял пространства для свободы воли, и в нем могла крыться одна из причин ранних убеждений, что наука – нечто холодное и даже бесчеловечное. Но эта же точка зрения хорошо послужила человечеству, дав нам радио, телевидение, радары, мобильные телефоны, воздушные перевозки, спутники связи, искусственные волокна, пластмассы и компьютеры.

Рост научного детерминизма сопровождался смутной, но глубоко укоренившейся верой в сохранение сложности. Привычное убеждение, что простые причины должны рождать простые эффекты, предполагает, что у сложных эффектов наверняка есть не менее сложные причины. Из-за этого убеждения при взгляде на сложный объект или систему в нашем мире мы сразу начинаем гадать, откуда взялась такая сложность. В чем причины, например, сложности жизни в целом, если исходить из того, что она появилась на мертвой планете? Мы очень редко догадываемся, что сложность может появиться сама по себе, но именно это показывают нам новейшие математические методы.

 

Единая формула?

Детерминированность законов физики следует из простого математического факта: для любого дифференциального уравнения с заданными начальными условиями существует не более одного решения. В романе Дугласа Адамса «Автостопом по галактике» суперкомпьютер Думатель на протяжении пяти миллионов ведет вычисления ради ответа на великий вопрос жизни, Вселенной и всего сущего и с триумфом получает ответ: 42. Этот эпизод – пародия на знаменитое утверждение, в котором Лаплас выразил математическую точку зрения на детерминизм.

Разум, который для какого-то данного момента знал бы все силы, действующие в природе, и относительное расположение ее составных частей, если бы он, кроме того, был достаточно обширен, чтобы подвергнуть эти данные анализу, объял бы в единой формуле движения самых огромных тел во Вселенной и самого легкого атома; для него не было бы ничего неясного, и будущее, как и прошлое, было бы у него перед глазами.

И тут же он одной фразой обрушивает читателей с небес на землю:

Человеческий разум способен представить лишь бледную тень этого совершенного замысла, наблюдаемого в астрономии.

Ирония в том, что именно изучение небесной механики, всегда считавшейся самой детерминированной областью физики, и положило конец жесткому детерминизму Лапласа. В 1886 г. король Швеции Оскар II (правивший также в Норвегии) объявил награду за решение задачи устойчивости Солнечной системы. Будет ли наш клочок великого часового механизма Вселенной тикать вечно, либо какой-то планете суждено рухнуть на Солнце или вовсе убежать в межзвездное пространство? Любопытно, что физические законы сохранения энергии и импульса не отрицали возможности обоих вариантов, но можно ли было пролить свет на более детальное описание Солнечной системы?

Пуанкаре был твердо намерен получить эту премию, и для начала он решил упростить задачу, рассмотрев движения трех небесных тел. Уравнения для трех тел были не намного сложнее, чем для двух, и почти не отличались по форме. Однако разминка с тремя телами оказалась на поверку крепким орешком и привела к весьма тревожному открытию. Решения таких уравнений оказались совершенно не похожи на решения для двух тел. Они были настолько сложными, что для них не удавалось записать математические формулы. Более того, Пуанкаре достаточно хорошо разбирался в геометрии – а именно в топологии – этих решений, чтобы доказать без тени сомнений, что движения, представленные в этих решениях, могут время от времени становиться беспорядочными и нерегулярными. «Можно только поражаться, – писал он, – сложностью этого рисунка, который я даже не дерзаю попытаться изобразить. Ничто не может сильнее убедить нас в величайшей сложности проблемы трех тел». Сейчас эта сложность считается классическим примером хаоса.

ПРОСЧЕТ ПУАНКАРЕ

Джун Барроу-Грин, изучавшая архивы Института Миттаг-Леффлера в Стокгольме, недавно раскопала скрытую до поры довольно неприятную историю. В работе Пуанкаре, получившей когда-то королевскую премию, содержалась серьезная ошибка. Вопреки всеобщему мнению, ученый был далек от открытия хаоса, напротив, заявлял, будто доказал, что такового не существует. В оригинале его работы есть доказательство того, что все движения в задаче о трех телах регулярны и предсказуемы.

Уже получив премию, Пуанкаре запоздало обнаружил свою ошибку и тут же понял, что она полностью дискредитирует его доказательство. Но удостоенная награды статья уже была опубликована в одном из номеров институтского журнала. Номер успели изъять, и Пуанкаре за свой счет перепечатал его – уже с описанием гомоклинических петель, которые мы сейчас называем хаосом. Это обошлось ему в значительно б о льшую сумму, чем премия. Удалось отозвать практически все экземпляры ошибочной версии работы, но одна ускользнула из его сетей и сохранилась в архиве института.

Его работа получила премию короля Оскара II, хотя в ней и не было окончательного решения проблемы. Примерно 60 годами позже она стала важнейшим толчком для изменения наших взглядов на Вселенную и ее связь с математикой.

В 1926–1927 гг. голландский инженер Балтазар ван дер Пол сконструировал электронную схему для создания математической модели сердца и обнаружил, что в определенных условиях возникающие колебания становятся не периодическими, как полагается сердцу, а нерегулярными. Его работа получила солидное математическое обоснование во время Второй мировой войны в исследовании Джона Литлвуда и Мэри Картрайт, посвященной радарам. Но прошло еще 40 лет, прежде чем стало ясно истинное значение этих открытий.

 

Нелинейная динамика

В начале 1960-х гг. американский математик Стивен Смэйл открыл новую эру в теории динамических систем, собравшись разработать полную классификацию типичных образцов поведения электронных схем. Изначально ожидая получить в ответе некие комбинации периодических движений, он очень быстро понял, что здесь возможно гораздо более сложное поведение. В частности, он развил открытое Пуанкаре сложное движение в ограниченной задаче трех тел, создав упрощенную геометрию для описания системы, получившей название подковы Смэйла. Он доказал, что система подковы, хоть и детерминированная, обладает некоторыми случайными чертами поведения. Другие примеры подобных явлений были открыты представителями американской и советской школ теоретических динамических систем. Самый значительный вклад внесли Александр Шарковский и Владимир Арнольд, благодаря чему появилась общая теория. Термин «хаос» предложили Джеймс Йорк и Тьен-Йен Ли в 1975 г. в краткой статье, упростившей один из результатов советской школы – теорему Шарковского (1964) с описанием любопытной закономерности в периодических решениях дискретной динамической системы – той, где время движется отдельными шагами, а не непрерывно.

Тем временем описания хаотичных систем то и дело появлялись в научной литературе – и снова были сильно недооценены научным сообществом. Самое известное из них дал в 1963 г. метеоролог Эдвард Лоренц. Он создал модель атмосферной конвекции, аппроксимировав очень сложные уравнения для этого явления с помощью более простых с тремя переменными. Решая их численно на компьютере, он открыл, что решение колебалось нерегулярным, почти случайным образом. Он также открыл, что если те же самые уравнения решались с использованием исходных значений переменных, отличавшихся друг от друга незначительно, разница в решениях увеличивалась, пока они не становились абсолютно разными. Его описание для этого явления в последующих лекциях открыло очень популярную в настоящее время тему – эффект бабочки, когда взмаха крыльев бабочки оказалось достаточно, чтобы через месяц из-за него разразился ураган на другой стороне планеты.

Аттрактор Лоренца

Этот жутковатый сценарий вполне возможен, хотя и с малой вероятностью. Предположим, вы могли бы повлиять на погоду дважды: один раз с бабочкой и второй – без нее. Тогда вы действительно получите значительные различия, и вполне возможно, что в первом случае это будет ураган, а во втором обойдется без него. Понятно, что этот эффект был получен при компьютерном моделировании уравнений, обычно используемых для предсказаний погоды, где он способен создать большие проблемы. Но было бы ошибкой считать, что бабочка и есть причина урагана. В реальном мире погоду формирует не одна бабочка, а статистические особенности триллионов бабочек – не считая иных неуловимых факторов. И только все вместе они определяют, когда и где зародится очередной ураган и куда он двинется.

Используя методы топологии, Смэйл, Арнольд и их коллеги доказали, что странные решения, смущавшие Пуанкаре, оказываются неизбежным следствием странных аттракторов в уравнениях. Странный аттрактор – запутанное движение, к которому система неизбежно приходит. Его можно наглядно представить в виде очертаний в пространстве состояний (которое отражает изменение состояний системы), образованном переменными, которые описывают систему. Аттрактор Лоренца, описывающий уравнения Лоренца, немного похож на маску Одинокого рейнджера, только каждая из ее кажущихся поверхностей имеет бесконечно много слоев.

Сама структура аттракторов объясняет любопытную особенность хаотичных систем: они предсказуемы в кратком периоде (в отличие, например, от бросков костей), но непредсказуемы в длительном. Почему невозможно несколько краткосрочных предсказаний объединить вместе для создания долгосрочного? Потому что точность, с которой мы можем описать хаотичную систему, размывается со временем, и чем дальше, тем быстрее, и возникает такой горизонт для предсказаний, за который мы не в состоянии заглянуть. Тем не менее система остается на том же странном аттракторе – хотя ее траектория вдоль аттрактора существенно меняется.

Это изменяет наш взгляд на эффект бабочки. Насекомые могут только подталкивать погоду по одному и тому же странному аттрактору, и это всегда вполне правдоподобная погода. Она лишь слегка отличается от того, что могло бы быть без бабочек.

Давид Рюэль и Флорис Такенс очень быстро нашли потенциальное применение странным аттракторам в физике: обескураживающая проблема турбулентных течений. Стандартные уравнения потока жидкости, известные как уравнения Навье – Стокса, являются дифференциальными в частных производных и как таковые детерминированы. Обычный тип потока жидкости, с ламинарным (струйчатым) течением, – гладкий и постоянный, точно такой, как вы могли бы ожидать от детерминированной теории.

МЭРИ ЛЮСИ КАРТРАЙТ 1900–1998

Когда Мэри Картрайт в 1923 г. закончила Оксфордский университет, она стала пятой женщиной, получившей здесь диплом математика. Недолго поработав преподавателем, она защитила докторскую диссертацию в Кембридже. Хотя официально ее руководителем считался Годфри Харди, на самом деле она работала с Эдвардом Титчмаршем, поскольку Харди в то время был занят в Принстоне. Темой ее диссертации был комплексный анализ. В 1934 г. она была назначена младшим преподавателем в Кембридже и в 1936 г. стала руководителем научного направления в Гиртон-колледже.

В 1938 г. в сотрудничестве с Джоном Литлвудом она выполняла заказ Департамента научных и промышленных исследований по дифференциальным уравнениям, необходимым для работы радаров. Ученые открыли, что решения этих уравнений чрезвычайно сложны; это были первые предвестники такого явления, как хаос. Благодаря этой работе Картрайт в 1947 г. стала первой женщиной, избранной членом Королевского общества. В 1948 г. она получила пост главы Гиртона и с 1959 по 1968 г. читала лекции в Кембридже. Она была удостоена многих наград, а в 1969 г. стала дамой-командором ордена Британской империи.

А вот другой тип потока, турбулентный, вовсе не такой ровный: он нерегулярный и едва ли не случайный. Предыдущие теории описывали турбулентный поток либо как особенно сложную комбинацию из слагаемых, каждое из которых очень простое и регулярное само по себе, либо как искаженные турбулентным режимом уравнения Навье – Стокса. Однако Рюэль и Такенс выдвинули третью теорию. Они предположили, что турбулентность есть физическое проявление странного аттрактора.

Поначалу эта теория вызвала изрядный скептицизм, но сейчас мы уже знаем, что она верна по сути, хотя некоторые ее детали вызывают вопросы. Последовали другие успешные ее применения, и слово «хаос» стало признанным названием для такого поведения.

 

Теоретические монстры

Пора обратить внимание на вторую тему этой главы. В 1870–1930 гг. многие математики независимо друг от друга увлеклись изобретением невозможных форм с единственной целью доказать ограниченность классического анализа.

На самых ранних порах развития исчисления математики пришли к выводу, что всякая непрерывная изменяющаяся величина почти везде должна иметь вполне определенный темп изменения. Например, предмет, непрерывно движущийся в пространстве, имеет четко определенную скорость, за исключением относительно редких моментов, когда она резко меняется. Однако в 1872 г. Карл Вейерштрасс доказал, что это давнишнее утверждение неверно. Предмет может двигаться непрерывно, но так нерегулярно, что его скорость будет резко меняться в любой момент. Это значит, что на самом деле он не имеет разумной скорости вообще.

Стадии построения кривой Гильберта, заполняющей пространство, и треугольник Серпинского

Следующим вкладом в этот странный набор аномалий стали кривые, заполняющие всю область пространства (одну открыл Пеано в 1890 г., другую Гильберт в 1891-м), кривая, пересекающая саму себя в каждой точке (открыта Вацлавом Серпинским в 1915 г.), и кривая бесконечной длины, заключенная в конечной области. Последний пример геометрической странности, открытый в 1906 г. Хельге фон Кохом, получил название кривой-снежинки, и вот как ее можно получить. Нужно взять равносторонний треугольник и добавить к нему треугольные выступы ровно посередине каждой стороны (так, чтобы их основание занимало треть длины стороны), при этом убирая основание каждого выступа, чтобы в итоге получилась шестиконечная звезда. Затем добавить меньшие выступы в середине каждой из 12 сторон и так далее до бесконечности. Из-за шестикратной симметрии в результате получится форма безупречной снежинки. Правда, в природе снежинки растут по иным правилам, но это уже другая история.

Снежинка Коха

Математический мейнстрим тут же провозгласил эти курьезы «патологиями» из «собрания монстров», но с годами число таких возмутительных «курьезов» только росло и уже не могло игнорироваться научным сообществом: точка зрения одиночек дала свои плоды. Логика, скрытая в анализе, так тонка, что очень велика опасность соскользнуть к ошибочным выводам: подобного рода монстры предупреждают нас о том, что что-то не так. Итак, к началу века математики уже успели смириться с собранием этих странных изобретений. Они относились к этому исключительно как к чистой теории, которая не имеет каких-либо практических приложений. Тот же Гильберт в 1900-х гг. мог отзываться обо всей математике как о рае, не опасаясь шквала критики.

Только в 1960-х, вопреки всем ожиданиям, галерея теоретических монстров начала применяться в прикладной науке. Бенуа Мандельброт открыл, что эти нелепые кривые – первые ключи к ожидающей открытия теории самоподобных множеств в природе. Он дал им название «фракталы». До этого ученым вполне хватало традиционных геометрических форм вроде прямоугольников и сфер, но Мандельброт настаивал, что такой подход слишком ограничен. Окружающий мир насыщен сложными и нерегулярными структурами: береговыми линиями, горами, облаками, деревьями, ледниками, речными системами, океанскими волнами, кратерами вулканов, цветной капустой, о которых традиционная геометрия ничего сказать не может. Необходима новая геометрия природы.

Сейчас ученые приняли фракталы как вполне естественный способ мышления, как и их предшественники в конце XIX в., признав нелепые формы, изобретенные их коллегами. Вторая часть статьи «Атмосферная диффузия на дистанционном графе ближайших соседей» Льюиса Фрая Ричардсона от 1926 г., посвященная исследованиям атмосферы, вышла под заголовком «Есть ли скорость у ветра?». Сейчас это кажется вполне резонным вопросом. Движения слоев атмосферы турбулентны, турбулентность – фрактал, а фракталы могут вести себя как монструозная функция Вейерштрасса: двигаться непрерывно, но не иметь определенной скорости. Мандельброт находил примеры фракталов как в многочисленных областях науки, так и за ее пределами: форма дерева, ветвящаяся дельта реки, колебания цен на рынке.

 

Хаос повсюду!

Странные аттракторы математиков, рассматриваемые с точки зрения геометрии, на поверку оказались фракталами, и два направления научной мысли сплелись в новую отрасль, известную нам как теория хаоса.

Хаос можно найти практически в любой области науки. Джек Уиздом и Жак Ласкар открыли, что динамика Солнечной системы хаотична. Нам известны все уравнения, массы и скорости, необходимые для предсказания всех движений в вечности, но есть горизонт предсказаний примерно в 10 млн лет из-за хаоса в динамике. Если вам захочется узнать, по какую сторону от Солнца окажется Плутон через 10 млн лет, – лучше и не мечтайте. Те же астрономы доказали, что лунные приливы стабилизируют Землю от воздействий, которые иначе привели бы к хаотичному движению с моментальными сменами климата от жарких периодов к ледниковым и обратно. Так теория хаоса показывает, что без Луны Земля превратилась бы в весьма неприятное место для жизни.

Хаос возникает почти в любой математической модели биологических популяций, и последние эксперименты (где жуков разводят в контролируемых условиях) доказывают, что он отражает реальные законы существования популяций. Экосистемы в природе не достигают сбалансированного состояния сами по себе: они мечутся вдоль странных аттракторов, как правило кажущихся очень знакомыми на первый взгляд, но всегда разных. Наша неспособность разобраться в этих тончайших механизмах регуляции экосистем – одна из причин того, что мы истощили мировые запасы рыбы.

 

Cложность

От хаоса самое время перейти к сложности. Большинство проблем, с которыми пришлось столкнуться современной науке, поражают своей необычайной сложностью. Чтобы управлять жизнью кораллового рифа, леса или запасами рыбы в океане, необходимо понимать нюансы экосистемы, в которой вроде бы безобидные изменения могут вызвать неожиданные проблемы. Реальный мир настолько сложен и так неохотно поддается измерению, что традиционные способы моделирования тут практически неприменимы, а проверить их еще труднее. В ответ на этот вызов всё больше ученых убеждается в том, что для описания реального мира нам необходимы фундаментальные изменения в том, как мы моделируем наш мир.

В начале 1980-х гг. Джордж Кован, бывший глава исследовательского центра в Лос-Аламосе, решил, что один из способов двигаться вперед лежит в области развития теорий нелинейной динамики. Здесь незначительные факторы могут породить мощные эффекты, жесткие правила – привести к анархии, привычные предметы – обрести невероятные свойства. Иными словами, здесь есть всё, что характерно для реального мира. Но достаточно ли этих сходств для того, чтобы добиться истинного понимания законов природы?

ЧТО НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ДАЛА ИМ

Пока нелинейная динамика не стала главной темой в научном моделировании, ей отводилась в основном теоретическая роль. Самой известной работой стало исследование Пуанкаре для задачи трех тел в небесной механике. Оно предсказало существование чрезвычайно сложных орбит, однако не помогло понять, как они выглядят. Главной целью работы было доказать, что у простых уравнений может не быть простых решений – что сложность не закладывается изначально, а может иметь простой источник.

Современные компьютеры могут вычислить сложные орбиты для задачи трех тел

Кован высказал идею о целесообразности создания нового научно-исследовательского института для междисциплинарных исследований и развития нелинейной динамики. Его поддержал Марри Гелл-Ман, нобелевский лауреат по физике элементарных частиц. В 1984 г. они создали объединение, позже названное Институтом Рио-Гранде. Сейчас он известен как Институт Санта-Фе, международный центр по изучению сложных систем. Теория сложности уже стала источником новейших математических методов и подходов с использованием компьютеров для создания цифровых моделей природы. Благодаря машинам ученые анализируют эти модели и открывают потрясающие свойства сложных систем. И они используют нелинейную динамику и другие области математики, чтобы понять, что выдают им компьютеры.

 

Клеточный автомат

В одном из видов новых математических моделей, известном как клеточный автомат, такие объекты, как деревья, птицы или белки, воплощаются в виде маленьких разноцветных ячеек. Они взаимодействуют с соседними ячейками в математической компьютерной игре. Но их простота обманчива: такие игры занимают передовой край современной науки.

Клеточный автомат получил признание в 1950-х гг., когда Джон фон Нейман старался понять способность живых организмов к самовоспроизведению. Станислав Улам предложил воспользоваться системой, открытой пионером компьютеростроения Конрадом Цузе еще в 1940-х. Представьте вселенную, состоящую из огромной решетки квадратов, названных ячейками, вроде гигантской шахматной доски. В любой момент любой квадрат может существовать в определенном состоянии. На этой доске-вселенной действуют все законы природы, описывающие, как именно должно меняться состояние каждой ячейки в следующий миг. Изменения состояния удобно представлять разными цветами. Тогда правила можно выразить так: если ячейка красная, а рядом с нею две синих, она должна стать желтой. Любая система такого рода называется клеточным автоматом: клеточным из-за строения, автоматом из-за слепого подчинения предписанным правилам.

Чтобы смоделировать фундаментальные особенности живых существ, фон Нейман создал конфигурацию ячеек, способных воспроизводиться – создавать копии себя. Потребовалось 200 тыс. ячеек и 29 разных цветов для алгоритмического описания всей системы. Она может слепо копироваться и использоваться в качестве шаблона для новых конфигураций того же типа. Фон Нейман не публиковал свою работу до 1966 г.: к этому времени Крик и Уотсон уже успели открыть структуру ДНК, и стало ясно, как на самом деле жизнь воспроизводит этот цикл репликации. Клеточный автомат пребывал в забвении еще 30 лет.

Клеточный автомат

Однако к 1980-м гг. стал расти интерес к системам, состоящим из большого количества простых частей, которые, взаимодействуя, способны производить сложное целое. Традиционно считалось, что математическая модель системы будет тем лучше, чем больше исходных данных удастся в нее включить. Но такой высокодетализированный подход оказался бесполезным для очень сложных систем. Предположим, например, что вы хотите смоделировать рост популяции кроликов. Вам нет нужды включать в модель ни длину кроличьей шерсти, ни длину ушей, ни особенности их иммунитета. Вам необходимо лишь несколько основных фактов о каждом животном: возраст, пол, беременная самка или нет. Только так вы сможете ориентировать ресурсы своего компьютера на то, что действительно важно.

И для такого рода систем клеточный автомат оказался чрезвычайно эффективным. Он позволяет игнорировать бесполезные детали, касающиеся отдельных компонентов, и вместо этого фокусироваться только на том, как они взаимодействуют. Это оказался прекрасный способ выяснить, какие факторы действительно важны, и приоткрыть завесу тайны над тем, почему сложные системы делают то, что они делают.

 

Геология и биология

Сложной системой, бросающей вызов традиционной технике моделирования, является процесс формирования речных бассейнов и устья реки. Питер Барроу использовал клеточный автомат, чтобы объяснить, почему эти природные объекты выглядят именно так, как выглядят. Автоматы моделируют взаимодействие между водой, берегами и донными отложениями. Результат объясняет, как разная скорость эрозии почвы влияет на форму русла и как реки вымывают почву, – крайне важные вопросы для речной инженерии и управления. Высказанные здесь идеи также заинтересовали нефтедобывающие компании, поскольку нефть и газ часто обнаруживают в геологических пластах, некогда бывших донными отложениями.

Другой отличный пример приложения клеточного автомата дает нам биология. Ганс Мейнхардт использовал его для моделирования образования узоров на шкуре животных, от раковин моллюсков до зебр. Ключевым фактором оказывается концентрация определенных химических веществ. Взаимодействия – реакции внутри отдельной клетки и диффузия между соседними клетками. Два вида взаимодействия в сочетании создают правила для последующего формирования узора. Результаты показали те закономерности активации и подавления, которые включают и выключают ответственные за синтез пигментов гены во время развития каждого организма.

Стюарт Кауфман применил множество методов теории сложности для проникновения в другую загадку биологии – формирование индивидуального организма. Рост организма неизбежно включает множество законов развития, и это не может быть простым переводом в органическую форму информации, зашифрованной в ДНК. Самым перспективным направлением стало описание развития как сложной нелинейной динамической системы.

Клеточные автоматы сейчас стали признанным методом исследования, с ними связывают даже надежду на открытие новой теории происхождения жизни. Изобретенный фон Нейманом автомат самовоспроизведения чрезвычайно необычен, тщательно продуман для копирования одной очень сложной начальной конфигурации. Типичное ли это поведение для самовоспроизводящегося автомата, или мы можем увидеть, как самовоспроизведение начнется без обязательной и весьма специфической начальной конфигурации? В 1993 г. Чуи-Хсиен Чу и Джеймс Реггиа изобрели клеточный автомат с 29 состояниями, для которого случайно выбранное исходное состояние, или зародышевый бульон, породило самовоспроизводящиеся структуры более чем в 98 % случаев. В таком автомате самовоспроизводящиеся объекты становятся виртуальной сущностью.

Сложные системы поддерживают точку зрения, согласно которой на безжизненной планете с достаточно сложным химическим составом есть вероятность спонтанного зарождения жизни, способной самостоятельно организоваться в более сложные и изощренные формы. Остается лишь понять, какие правила необходимы для спонтанного появления самовоспроизводящихся конфигураций в нашей Вселенной, – иными словами, какие физические законы сделали этот первый судьбоносный шаг к появлению жизни не просто возможным, а неизбежным.

ЧТО НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ДАЕТ НАМ

На первый взгляд может показаться, что хаос не имеет практического приложения из-за своей нерегулярности, непредсказуемости и высокой чувствительности к самым незначительным воздействиям. Но из-за того, что в основе хаоса лежат детерминированные законы, он оказывается очень даже полезным именно в силу этих обстоятельств.

Одно из важнейших его приложений – управление хаосом. В 1950-е математик Джон фон Нейман предположил, что нестабильность погоды в один прекрасный день может стать ее преимуществом, поскольку есть вероятность, что значительный желаемый эффект может быть достигнут несравнимо ничтожными воздействиями. В 1979 г. Эдвард Бельбруно понял, что такой эффект может быть использован в астронавтике, чтобы космическое судно смогло преодолеть невообразимо большое расстояние с минимальным расходом горючего. Однако полученные таким образом орбиты потребовали бы слишком длительного путешествия – два года от Земли до Луны, например, и НАСА тут же потеряло интерес к новой идее.

Спутник «Генезис», НАСА

В 1990 г. Япония запустила небольшой лунный спутник «Хагоромо», отделившийся от большего спутника «Хитэн», который остался на земной орбите. К сожалению, радиопередатчик на «Хагоромо» испортился, и «Хитэн» фактически стал ненужным. Японцы стремились хотя бы частично спасти миссию своих кораблей, но у «Хитэна» оставалось всего 10 % топлива, необходимого для достижения Луны по стандартной орбите. Один из инженеров вспомнил об идее Бельбруно и попросил его помочь. За десять месяцев «Хитэн» добрался до Луны и вернулся, собирая по пути частицы космической пыли, сохранив половину имевшегося топлива. Со времен этого первого успеха технология использовалась неоднократно, особенно при запуске спутника «Генезис», получившего пробы солнечного ветра, а также миссии ЕКА (Европейского космического агентства) «Смарт-1».

Как мы видим, методы нелинейной динамики стали применяться не только на Земле, но и в космосе. В 1990 г. Селсо Гребоджи, Эдвард Отт и Джеймс Йорк опубликовали фундаментальную работу по теории использования эффекта бабочки в управлении хаотичными системами. Метод применили для синхронизации целого ряда лазеров; для контроля нарушений сердечного ритма (здесь открылась возможность создания разумного кардиостимулятора); для управления электрической активностью мозга (для предотвращения эпилептических припадков); а также для более гладкого движения в турбулентном потоке (со временем это позволит существенно экономить топливо для самолетов).

 

Как была создана математика

История математики – длинная и причудливая. Первопроходцы в этой науке то совершали гениальные прорывы, то устремлялись по ложным тропам, забредая в тупики, из которых подчас не могли выбраться веками. Но такова судьба любых людей, пытающихся освоить неизведанное. Если бы дальнейший путь был прост и ясен, его мог бы преодолеть любой желающий. Зато в итоге за четыре тысячелетия сложилась та изысканная сложнейшая наука, которую мы называем математикой. Она возникла в сугубо практических целях, и в ней периоды неудержимой активности и роста сменялись временами застоя. Даже центры ее развития перемещались по планете в соответствии со всплесками и провалами развития человеческой культуры. В какие-то периоды ее развитие отвечало практическим запросам отдельной культуры, иногда она выбирала направление самостоятельно, и ее адепты становились в глазах общества просто чудаками, увлеченными игрой разума. И тем удивительнее было каждый раз, когда эти игры окупались в нашем мире, стимулировали развитие новых технологий и нового мировоззрения.

Математика никогда не стояла на месте. Новые приложения требовали новой математики, и она всегда отвечала на этот вызов. В частности, биология требовала от математики новых способов моделирования и взаимопонимания. Да и внутреннее развитие математики было бы невозможно без новых идей и теорий. Многие важные теоремы до сих пор не доказаны, однако математики не перестают работать над ними.

На протяжении всей своей долгой истории математика неизменно черпала вдохновение из двух источников: окружающего нас реального мира и мира человеческого воображения. Какой из них важнее? Никакой. Для нас имеет значение только их сочетание. Исторический подход убеждает нас в том, что математика черпала и мощь, и красоту равным образом из обоих источников. Времена древних греков часто воспеваются историками как Золотой век, когда логика, математика и философия были поставлены на службу человеку. Однако преимущества, полученные благодаря древним грекам, со временем стали лишь небольшой частицей истории. Математика еще никогда не была столь активна, столь многолика и необходима, как в нашем обществе.

Добро пожаловать в Золотой век математики!