Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Стюарт Иэн

Глава 6. Кривые и координаты

 

 

Геометрия – это алгебра – это геометрия

Мы привычно делим математику на такие самостоятельные области, как арифметика, алгебра, геометрия и т. д., но это скорее дань извечному стремлению человечества всё разложить по полкам. Ведь в математике нет строгих и непреодолимых границ между вроде бы независимыми областями, и проблема, на первый взгляд касающаяся одной сферы, может быть решена методами, изобретенными в другой. Многие великие прорывы в науке совершались именно благодаря неожиданно открытой связи между казавшимися независимыми темами.

 

ФермА

Греческие математики проследили такие связи между теоремой Пифагора и иррациональными числами, а Архимед использовал механические аналогии и методы для определения объема шара. Истинное значение и важность таких взаимно плодотворных пересечений стали очевидны в короткий период на десять лет раньше и позже 1630 г. За этот короткий отрезок истории два выдающихся математика успели открыть важную связь между алгеброй и геометрией. Фактически они показали, что каждую из этих областей можно преобразовать в другую с помощью координат. Вся геометрия Евклида и его последователей может быть сведена к алгебраическим вычислениям. А вся алгебра может быть интерпретирована в терминах геометрии: кривых и поверхностях.

Кажется, что такие связи могут сделать одну из областей излишней. В самом деле, если всю геометрию можно заменить алгеброй, зачем она нужна? Однако каждая область имеет свою специфическую точку зрения, подчас гораздо более проницательную и плодотворную. Иногда ученому лучше мыслить геометрически, а иногда – алгебраически, чтобы решить задачу.

Первым ученым, создавшим систему координат, был Пьер де Ферма. Он прежде всего известен благодаря своей теории чисел, но также изучал другие вопросы математики, включая вероятность, геометрию и приложение к оптике. Примерно в 1620 г. Ферма, пытаясь понять геометрию кривых линий, начал по сохранившимся до его времени крупицам сведений восстанавливать утраченный труд, названный когда-то Аполлонием «Плоские места». Закончив это, Ферма продолжил собственные изыскания, описанные им в 1629 г., но изданные только через 50 лет в книге «Введение к теории плоских и пространственных мест». Здесь он подробно рассмотрел преимущества преобразования геометрических понятий в алгебраические термины.

Свойства фокусов эллипса

Геометрическое место точек (ГМТ) определяет геометрическую фигуру как множество точек на плоскости или в пространстве, обладающих некоторым свойством. Например, мы можем искать ГМТ, сумма расстояний от которых до двух заданных точек есть величина постоянная. Это эллипс с двумя фокусами. Это свойство эллипса было известно еще древним грекам.

Подход Ферма к координатам

Ферма же обратил внимание на принцип: если условия, налагаемые на точку, можно выразить в виде одного уравнения с двумя неизвестными, соответствующее ГМТ будет кривой – или прямой линией, которую мы будем рассматривать как определенный тип кривой во избежание ненужных расхождений.

Он иллюстрировал этот принцип схемой, на которой две неизвестных величины A и E представлены как расстояния в двух разных направлениях.

Затем он составил несколько отдельных уравнений, связующих А и Е, и объяснил, какие кривые они представляют. Например, если А2 = 1 + Е2, то ГМТ является гиперболой.

Ферма ввел косоугольную систему координат на плоскости (косвенно подразумевая, что этот угол не обязательно должен быть прямым). Переменные А и Е – две координаты, которые мы называем x и y, для любой точки относительно данных осей. Итак, принцип Ферма убедительно утверждает, что любое уравнение с двумя переменными представляет кривую, и его примеры показывают нам, какое уравнение представляет какую кривую из перечня основных кривых, составленного греками.

 

Декарт

Современное представление о системе координат сложилось в трудах Декарта. В повседневной жизни мы сталкиваемся с двумерными и трехмерными пространствами, и нам нужна вся сила воображения, чтобы представить себе что-то более сложное. Наша зрительная система отображает внешний мир как двумерную картинку для каждого глаза – подобно той, что мы видим на экране телевизора. Мелкие различия в изображениях от каждого глаза наш мозг комбинирует и интерпретирует в ощущение глубины изображения, и мы получаем возможность воспринимать окружающий мир как трехмерное пространство.

Ключом к представлению о многомерных пространствах является идея системы координат, представленная Декартом в виде приложения «Геометрия» к его труду «Рассуждение о методе». Его идея состояла в том, что геометрия на плоскости может быть представлена в алгебраических выражениях. Его подход аналогичен методу Ферма. Выберите точку на плоскости и назовите ее начальной. Проведите две оси – линии, проходящие через начальную точку и пересекающиеся под прямым углом. Обозначьте одну ось как x, другую – y. Тогда любая точка P плоскости будет определяться парой расстояний (x, y), которые говорят нам о том, как далеко находится эта точка от начала, если измерять соответствующие перпендикуляры от точки P до осей x и y. Например, на карте x может обозначать расстояние к востоку от начальной точки (с отрицательными числами, представляющими направление на запад), а y – расстояние к северу от исходной точки (с отрицательными показателями, представляющими направление на юг).

РЕНЕ ДЕКАРТ 1596–1650

Декарт начал изучать математику в 1618 г., став учеником голландского ученого Исаака Бекмана. Он покинул Голландию и путешествовал по Европе, пока в 1619 г. не вступил в баварскую армию. Он продолжал путешествовать с 1620 по 1628 г., побывал в Богемии, Венгрии, Германии, Голландии, Франции и Италии. В Париже в 1622 г. он познакомился с Мареном Мерсенном и с тех пор регулярно переписывался с ним, что позволяло ему постоянно быть в курсе последних достижений ведущих научных школ.

В 1628 г. Декарт осел в Голландии и начал свой первый труд «Мир» (Le Monde), в частности «Трактат о свете», описывавший свойства света. Когда Декарту стало известно о домашнем аресте Галилео Галилея, он испугался и задержал публикацию книги. Только после его смерти работа была издана в усеченном виде. Он продолжил развивать свои идеи о логическом мышлении в большом труде, изданном в 1637 г., «Рассуждение о методе…». У книги было три приложения: «Диоптрика», «Метеоры» и «Геометрия».

Самая его амбициозная книга, «Первоначала философии», увидела свет в 1644 г. Она делилась на четыре части: «Об основах человеческого познания», «О началах материальных вещей», «О видимом мире» и «О земле». Это была попытка подвести единый математический фундамент под всеобъемлющую физическую Вселенную, преобразуя все естественные составляющие в механические объекты.

В 1649 г. Декарт отправился в Швецию, чтобы занять место наставника при королеве Кристине. Королева оказалась ранней пташкой, а Декарт не имел привычки подниматься раньше 11 часов. Необходимость вести уроки математики в пять утра, да еще в холодном сыром климате, подорвала здоровье Декарта. Через несколько месяцев он скончался от пневмонии.

Координаты работают и в трехмерном пространстве, но здесь двух значений уже недостаточно для локализации точки. А вот три достаточно. Кроме направления восток – запад или север – юг нам необходима еще и точка выше или ниже начальной. Обычно для расстояний выше нее мы используем положительное число, ниже – отрицательное. Координаты в пространстве обозначаются (x, y, z).

Поэтому плоскость называют двумерной, а пространство трехмерным. Число измерений зависит от того, сколько чисел нам необходимо для описания данной точки.

В трехмерном пространстве отдельное уравнение, содержащее x, y и z, обычно определяет поверхность. Например, x2 + y2 + z2 = 1 утверждает, что точка (x, y, z) всегда расположена на расстоянии в одну единицу от начальной точки. Это позволяет предположить, что она лежит на единичной сфере с центром в начальной точке.

Обратите внимание, что слово «мера» применяется здесь не в буквальном значении. Мы не пытаемся найти количество измерений пространства через что-то, называемое мерой, чтобы затем подсчитать ее. Мы определяем, сколько чисел необходимо, чтобы определить положение в пространстве, – это и будет размерностью.

КООРДИНАТЫ В СОВРЕМЕННОМ ВИДЕ

Нам легче будет понять, как развивалась координатная геометрия, если познакомимся с тем, как работает современная система. Существует несколько вариантов, но все они основаны на том, что для начала на плоскость наносят две линии под названием оси . Точка их пересечения, общая точка, – начальная точка . Как правило, соблюдается такое условие: одна ось – горизонтальная, другая – вертикальная.

Вдоль каждой оси наносятся целые числа: положительные в одном направлении и отрицательные в другом. Соответственно, горизонтальная ось называется x , а вертикальная y . Символы x и y используются для представления точек с помощью соответствующих осей – это расстояния от начальной точки. Обычная точка на плоскости, на расстоянии x по горизонтальной оси и y по вертикальной, обозначается парой чисел ( x, y ). Эти числа и есть координаты точки.

Любое уравнение, содержащее x и y , накладывает ограничения на возможные точки. Например, если оно выглядит как x 2 + y 2 = 1, точка ( x, y ) должна находиться на расстоянии 1 от начальной, согласно теореме Пифагора. Такие точки образуют окружность. Мы скажем, что x 2 + y 2 = 1 – уравнение для этой окружности. Любое уравнение соответствует какой-то кривой на плоскости, а любая кривая соответствует уравнению.

 

Декартова система координат

Декартовы координаты алгебраически тесно связаны с коническими сечениями – кривыми в геометрии, которые древние греки строили как сечения двойного конуса. Алгебраически получается, что конические сечения являются следующим видом простейших кривых линий после прямых. Прямая линия описывается уравнением

ax + by + c = 0

с константами a, b и c. Коническое сечение описывается квадратным уравнением

ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0

с константами a, b, c, d, e, f. Декарт отмечал этот факт, но не смог его доказать. Но он разобрал случай, основанный на теореме, которая приписывалась Паппу и давала характеристики коническим сечениям. Он сумел доказать, что там результат описывается квадратным уравнением.

Он пошел дальше и обратился к уравнениям более высокого порядка, описывая более сложные кривые, чем те, с которыми имела дело классическая греческая геометрия. Типичным примером можно считать декартов лист, задаваемый уравнением:

x 3 + y 3  – 3 axy = 0,

которое описывает петлю с двумя концами, уходящими в бесконечность.

Пожалуй, главный вклад концепции координат проявляется именно в этом: Декарт смог уйти от греческого взгляда на кривые как на объекты, построенные с помощью особых геометрических приспособлений, и увидел в них визуальное представление любой алгебраической формулы. Как заметил в 1707 г. Исаак Ньютон, «современный подход, но намного более глубокий [чем у греков], позволяет любую линию в геометрии выразить в виде уравнения».

Более поздние ученые изобрели множество вариантов декартовой системы координат. В письме от 1643 г. Ферма рассматривает идеи Декарта и развивает их для трехмерного пространства. Он упоминает такие поверхности, как эллипсоид и параболоид, описываемые квадратными уравнениями с тремя переменными x, y, z. Важным вкладом было введение Якобом Бернулли полярных координат в 1691 г. Чтобы определять точки на плоскости, он использовал угол θ и расстояние r вместо пары осей. Теперь эти координаты стали обозначать как (r, θ).

Декартов лист

И снова уравнения соответствуют определенным кривым. Но теперь простые уравнения могут описать кривые, которые были чрезвычайно сложными в декартовых координатах. Например, r = θ описывает спираль, ту самую, что уже известна нам как архимедова.

Полярные координаты

 

Функции

Важнейшее применение координат в математике – метод графического представления функций.

Функция – не число, но отношение между элементами, когда изменение в одном влечет перемены в другом. Оно часто выражается в формуле, которая приписывает каждому числу, x (возможно, с предварительными ограничениями), другое число, f(x).

Например, функция квадратного корня определяется правилом f(x) = √х, т. е. извлечением квадратного корня из данного числа. Это отношение требует, чтобы x было положительным. Квадратная функция определяется уравнением f(x) = x2, на этот раз нет ограничения для х.

Архимедова спираль

Мы можем геометрически изобразить функцию, определяя координату y по заданному уравнению для x: y = f(x). Это уравнение задает отношение между двумя координатами и таким образом определяет форму кривой. Такая кривая называется графиком функции f.

КТО ИЗ БЕРНУЛЛИ ЭТО СДЕЛАЛ?

На развитие математики заметно повлияло швейцарское семейство Бернулли. На протяжении четырех поколений из него выходили выдающиеся математики, поражавшие своим талантом. Часто называемые математической мафией, Бернулли обычно начинали свою карьеру в качестве слуг закона, медицины или церкви, но рано или поздно возвращались к главному призванию – математике, на профессиональном или любительском уровне.

Якоб I (1654–1705)

Изобрел полярные координаты, формулу для радиуса кривизны плоской кривой. Изучил специальные кривые, такие как цепная линия и лемниската. Вывел доказательство, что изохрона (кривая, по которой тяжелая точка опускается за равные промежутки времени на равные вертикальные отрезки) является перевернутой циклоидой. Изучал изопериметрические фигуры, имеющие кратчайшую длину при различных условиях; позже это привело к развитию вариационного исчисления. Один из первых исследователей теории вероятностей и автор первой книги на эту тему, «Искусство предположений» («Ars conjectandi»). Якоб завещал выгравировать на своей могиле логарифмическую спираль и надпись на латыни: «Eadem mutata resurgo» («Измененная, я вновь воскресаю»).

Иоганн I (1667–1748)

Ввел новые способы счисления и распространил их в Европе. Маркиз де Лопиталь опубликовал труды Иоганна в своем первом учебнике по исчислению (точное название «Анализ бесконечно малых»). Правило Лопиталя для нахождения пределов, раскрывающих неопределенности вида 0/0, – заслуга Иоганна. Написал труды по оптике (отражение и рефракция), об ортогональных траекториях семейства кривых, длинах кривых и нахождении площадей с помощью интегрального исчисления, по аналитической тригонометрии и экспоненциальным функциям. Вычислил брахистохрону (кривую скорейшего спуска) и длину циклоиды.

Николай I (1687–1759)

Занял кафедру Галилея в Падуе. Написал труды по геометрии и дифференциальным уравнениям. Позже преподавал логику и право. Одаренный, но не слишком продуктивный математик. Вел переписку с Лейбницем, Эйлером и другими выдающимися учеными: его главное наследие – около 560 писем. Сформулировал Санкт-Петербургский парадокс в теории вероятностей.

Критиковал использование Эйлером расходящихся рядов. Способствовал посмертной публикации труда Якоба Бернулли «Искусство предположений». Поддерживал Лейбница в его противостоянии с Ньютоном.

Николай II (1695–1726)

Был приглашен преподавать в академии Санкт-Петербурга и утонул восемь месяцев спустя. Дискутировал с Даниилом по поводу Санкт-Петербургского парадокса.

Даниил (1700–1782)

Самый известный из трех сыновей Иоганна. Работал с теорией вероятностей, астрономией, физикой и гидродинамикой. Его труд «Гидродинамика» 1738 г. содержит описание закона Бернулли – связи между давлением и скоростью. Исследовал морские приливы, кинетическую теорию газов и колебание струн. Пионер в исследовании дифференциальных уравнений с частными производными.

Иоганн II (1710–1790)

Младший из трех сыновей Иоганна. Изучал право, но стал профессором математики в Базеле. Работал над математической теорией света и тепла.

Иоганн III (1744–1807)

Как и его отец, изучал право, но в итоге обратился к математике. В 19 лет был приглашен в Берлинскую академию наук. Автор трудов по астрономии, теории вероятностей и периодическим десятичным дробям.

Якоб II (1759–1789)

Автор важных работ по теории упругости, гидростатике и баллистике.

График функции f(x) = x2 оказывается параболой. График функции квадратного корня f(x) = √x образует половину параболы, которая «лежит на боку». Чем сложнее функция, тем сложнее описывающее ее уравнение. График функции синуса с уравнением y = sin x – волнообразная кривая.

График функции f

 

Геометрия координат сегодня

Координаты – одна из тех простых идей, которые заметно изменили нашу жизнь. Мы используем их повсеместно, как правило, не отдавая себе в этом отчета. По сути, все графики в компьютере используют внутреннюю систему координат, а геометрия, демонстрируемая на экране, задана алгеброй. Даже такая простая операция, как поворот фотографии на несколько градусов, чтобы выровнять линию горизонта, основана на геометрии координат.

Графики квадратичной функции и функции квадратного корня

Еще более важное послание от геометрии координат связано с перекрестными связями в математике. Концепция, чья физическая реализация выглядит совершенно иной, может оказаться просто иным аспектом одного и того же объекта. Первое впечатление порой обманчиво. Математика оказалась настолько эффективной во многом потому, что стала способом взглянуть на привычные явления с точки зрения их восприимчивости к новым идеям, переходящим из одной области науки в другую. Математика незаменима для обмена технологиями. И именно перекрестные связи, впервые открытые еще 4000 лет назад, сделали математику таким всеобъемлющим, уникальным предметом.

График функции синус

ЧТО КООРДИНАТЫ ДАЛИ ИМ

Геометрия координат может применяться на поверхностях более сложных, чем плоскость, например на сфере. Нам хорошо знакома такая система координат на ней, как долгота и широта. Вся картография, а также использование карт в навигации могут рассматриваться как практическое приложение геометрии координат.

Для капитанов главной проблемой навигации было определение широты и долготы, на которых оказался их корабль. С широтой обстояло немного проще: угол подъема солнца над горизонтом зависит от нее и может быть подсчитан. С 1730 г. стандартным инструментом для определения широты был секстант (в наши дни практически вытесненный из обихода системой GPS). Его изобрел Ньютон, но не опубликовал свое открытие. И его самостоятельно заново открыли двое: английский математик Джон Хэдли и американский изобретатель Томас Годфри. До той поры мореходы пользовались только астролябией, которая восходит к арабскому Средневековью.

Долгота и широта в качестве координат

Долгота – более коварная координата. Но проблему в итоге удалось решить при помощи высокоточных часов, выставленных на местное время в начале плавания. Время восхода и захода солнца, а также движение луны и звезд, зависящие от долготы, позволяли определить ее путем сравнения местного времени и того, что показывают часы. История изобретения Джоном Харрисоном хронометра, решившего проблему, изложена в известной книге Давы Собел «Долгота».

ЧТО КООРДИНАТЫ ДАЮТ НАМ

Мы по-прежнему используем координаты на картах, но еще одним примером активного применения стали графики колебаний цен на рынке ценных бумаг, где все изменения изображаются в виде кривой. Здесь по оси х отложено время, а по оси у  – цена. Трудно перечислить все виды финансовых и научных данных, отображаемых таким способом.

Данные рынка ценных бумаг, представленные в системе координат