В 1913 г. Эмми Нётер, весьма известная женщина-математик, читала в Вене курс лекций и заехала к Францу Мертенсу – математику, работавшему во многих областях, но известному в основном по вкладу в теорию чисел. Позже один из внуков Мертенса записал свои воспоминания об этом визите:

Несмотря на женский пол, она казалась мне похожей на католического священника из какого-нибудь деревенского прихода – одетая в черный, почти до щиколоток плащ неопределенного вида, в мужской шляпе на коротко стриженных волосах… и с сумкой через плечо, как у железнодорожных кондукторов времен империи, она представляла из себя довольно странную фигуру.

Два года спустя эта «невзрачная личность» совершила одно из величайших открытий в математической физике: обнаружила фундаментальную связь между симметрией и законами сохранения. Начиная с этого момента симметрии в законах природы определена центральная роль в физике. Сегодня именно на них построена «стандартная модель» элементарных частиц в квантовой теории, которую практически невозможно описать, не прибегая к симметрии.

Нётер была ведущей фигурой в развитии абстрактной алгебры, в которой вычисления со множеством различных типов чисел и формул организованы в терминах алгебраических законов, которым эти системы подчиняются. Возможно, именно «странная фигура», запомнившаяся внуку Мертенса, более чем кто-либо другой из математиков ответственна за переход, который отмечает собой границу между неоклассическим периодом XIX в. и начала XX в., когда особый упор делался на специальные структуры и формулы, и современным периодом, начавшимся около 1920 г. и продолжающимся до сих пор, с его упором на общность, абстрактность и концептуальную мысль. Именно ею вдохновлялось позднейшее Бурбакистское движение, родившееся в результате совместных усилий группы молодых, в основном французских, математиков, намеревавшихся обобщить математику и придать ей точность. Возможно, слишком обобщить, по крайней мере с точки зрения некоторых, но так уж сложилось.

* * *

Эмми Нётер родилась в еврейской семье в аварском городке Эрланген. Ее отец Макс был видным математиком и работал в области алгебраической геометрии и теории алгебраических функций. Он был очень талантлив, но, в отличие от великих математиков своей эпохи, ограничивался узкой специализацией. Семья была довольно состоятельной, поскольку владела процветающей компанией по оптовой продаже скобяных товаров. Воспитание в такой атмосфере, несомненно, сильно повлияло на отношение Эмми к жизни и к математике. Первоначально она планировала стать учительницей и даже получила необходимую квалификацию, чтобы преподавать французский и английский языки. Но – и, возможно, это не так уж удивительно – она была заражена бациллой математики и пошла учиться в Университет Эрлангена, где преподавал ее отец.

Двумя годами ранее университетский сенат объявил, что совместное обучение мужчин и женщин «разрушило бы академический порядок», и среди 986 студентов университета присутствовало всего две девушки. Эмми разрешили посещать занятия, но не принимать в них полноценного участия, к тому же она должна была получать у каждого профессора индивидуальное разрешение на посещение его лекций. Однако в 1904 г. порядок изменился, и женщины получили право учиться в университете на равных с мужчинами. Нётер в том же 1904 г., перебравшись в родные пенаты Гаусса – Гёттингенский университет, начала готовить докторскую диссертацию по теории инвариантов под руководством знаменитого Гордана. Вычисления, приведенные в ее диссертации, были необычайно сложными и увенчивались списком из 331 «коварианта» для форм четвертой степени с тремя переменными. Сам Гордан, обычно неутомимый, за 40 лет до этого спасовал перед таким громадным объемом вычислений. Методы Нётер были довольно традиционными, она почти или даже совсем не использовала предложенных Гильбертом новшеств. В 1907 г. Нётер получила степень доктора философии summa cum laude.

Будь Нётер мужчиной, она естественным образом перешла бы в этот момент на следующую ступень академической карьеры – получила постоянный академический пост. Но путь хабилитации женщинам был закрыт, и Нётер пришлось на протяжении семи лет работать в Эрлангене бесплатно. При этом она помогала отцу, ставшему к тому времени инвалидом, и продолжала собственные исследования. Значительное влияние, привлекшее внимание Нётер к более абстрактным методам, оказала серия дискуссий с Эрнстом Фишером, который обсуждал с ней новые методы Гильберта и посоветовал пользоваться ими. Нётер последовала совету – с впечатляющим успехом, – и последствия этого заметны во всей ее дальнейшей карьере.

Математика в то время все же начинала открываться для женщин, и Нётер приняли в несколько крупных математических обществ, что стало поводом для визита в Вену – и воспоминаний внука Мертенса. В Эрлангене она руководила двумя аспирантами, хотя формально руководителем их подготовки значился ее отец. Затем Гильберт и Клейн пригласили ее в Гёттинген, давно ставший признанным мировым центром математических исследований. Шел 1915 г., и Гильберт, впечатленный теорией относительности Эйнштейна, все больше внимания уделял математической физике. Теория относительности зиждется на математических инвариантах, хотя и в более аналитическом контексте, чем те алгебраические инварианты, которые прежде изучали Гордан, Гильберт и Нётер. Речь идет о дифференциальных инвариантах, включающих в себя и те, что успели к тому моменту стать фундаментальными физическими понятиями, такие как кривизна пространства.

Гильберту нужен был специалист по инвариантам, и Нётер идеально подходила под его требования. За короткое время она решила две ключевые задачи. Во-первых, нашла метод нахождения всех дифференциальных ковариант для векторных и тензорных полей на Римановом многообразии – по существу, выяснила, какие еще величины ведут себя как Риманов тензор кривизны. Выяснить это было необходимо, поскольку Эйнштейнов подход к физике основывался на принципе «относительности», по которому законы, выраженные в любой системе отсчета, движущейся с постоянной скоростью, должны быть одинаковы для любого наблюдателя. Следовательно, законы эти должны быть инвариантны относительно группы преобразований, определяемых движущимися системами отсчета. Естественной группой симметрии для специальной теории относительности является группа Лоренца, определяемая преобразованиями, в которых пространство и время смешиваются, зато скорость света остается постоянной, придавая теории относительности ее неповторимый аромат. Нётер доказала, что каждое «инфинитезимальное преобразование» из группы Лоренца порождает соответствующую теорему о сохранении.

* * *

Мы можем оценить идеи Нётер в более знакомом контексте Ньютоновой механики, где они также применимы и позволяют многое понять. Классическая механика может похвастать несколькими законами сохранения, самым известным из которых является закон сохранения энергии. Механическая система – это любое множество тел, которые движутся с течением времени в соответствии с Ньютоновыми законами движения. В таких системах существует понятие энергии, которое принимает несколько различных форм: кинетическая энергия, связанная с движением; потенциальная энергия, возникающая в результате взаимодействия с гравитационным полем; энергия упругости, содержащаяся, к примеру, в сжатой пружине, и другие. Закон сохранения энергии гласит, что при отсутствии трения в системе, как бы она ни двигалась (если движение происходит в соответствии с законами движения Ньютона), полная энергия остается неизменной – сохраняется. Если трение присутствует, то кинетическая энергия переходит в энергию другого вида – в тепло, и опять же полная энергия сохраняется. Тепло – это в действительности кинетическая энергия колеблющихся молекул вещества, но в математической физике оно моделируется иначе, через энергию твердых тел, стержней и пружин, так что ее интерпретация отличается от интерпретации остальных упомянутых типов энергии. Среди других законов сохранения в классической механике – закон сохранения импульса (масса, умноженная на скорость) и момента импульса (мера вращения, формальное определение которой нам здесь не нужно).

Благодаря Галуа (глава 12) и его последователям понятие симметрии удалось отождествить с инвариантностью относительно групп преобразований – наборов операций, которые могут производиться над некоторой математической структурой, оставляя эту структуру практически неизменной. Уравнение обладает симметрией, если некоторое такое преобразование, приложенное к одному из решений этого уравнения, всегда выдает другое его решение. Законы физики, выраженные в виде математических уравнений, обладают множеством симметрий. Ньютоновы законы движения, к примеру, обладают симметриями Евклидовой группы, в которую входят все жесткие перемещения пространства. Кроме того, они симметричны относительно переноса времени – измерения времени от другого начального момента, а в некоторых случаях и относительно отражения времени – изменения направления течения времени на обратное.

Результатом озарения Нётер стало выявление связи между некоторыми типами симметрии и законами сохранения. Она доказала, что каждая непрерывная симметрия – то есть принадлежащая к семейству симметрий, соответствующих непрерывно меняющимся действительным числам, – порождает какую-нибудь сохраняемую величину.

Позвольте мне расшифровать сказанное, поскольку в таком виде все это выглядит довольно загадочно. Некоторые типы симметрии естественным образом присутствуют в составе непрерывных семейств. Вращение плоскости, к примеру, соответствует углу поворота, который может быть равен любому действительному числу. Вместе эти повороты образуют группу, элементы которой соответствуют действительным числам. Стоит отметить еще один технический момент: действительные числа, которые отличаются друг от друга на полный круг (360° или 2π радиан), определяют один и тот же поворот. Все эти «однопараметрические группы» похожи либо на действительные числа, либо на углы. Перенос пространства в заданном направлении, который можно получить посредством жесткого сдвига на любое расстояние в нужном направлении, тоже представляет собой непрерывную симметрию. Другие симметрии могут быть изолированными и не входить в подобное семейство. Пример – зеркальное отражение. Невозможно выполнить половину или, скажем, десятую часть отражения, следовательно, отражение не является частью какой бы то ни было однопараметрической группы жестких перемещений. Инфинитезимальные преобразования, которые исследовала Нётер в своей докторской диссертации, – еще один способ рассмотрения однопараметрических групп. В их основе лежит концепция группы Ли и связанная с ней алгебра Ли, названные в честь норвежского математика Софуса Ли.

В Ньютоновой механике сохраняемой величиной, соответствующей однопараметрической группе временно́го сдвига, оказывается энергия. Этот факт выявляет замечательную связь между энергией и временем, которая проявляется также в принципе неопределенности в квантовой механике, что позволяет квантовой системе заимствовать энергию (которая при этом временно не сохраняется), при условии что она вернет эту энергию обратно, прежде чем природа заметит непорядок (стоит подождать долю секунды – и энергия вновь сохраняется). Сохраняемой величиной, соответствующей однопараметрической группе пространственных переносов, оказывается импульс в соответствующем направлении, а группе вращений – момент импульса. Короче говоря, все фундаментальные сохраняемые величины Ньютоновой механики исходят из непрерывных симметрий Ньютоновых законов движения – однопараметрических подгрупп Евклидовой группы. Этот же принцип выполняется для теории относительности и, до некоторой степени, для квантовой механики.

Неплохо для математика – женщины, которую считали не способной читать лекции и которая лишь недавно начала работать над этой задачей.

На основании успехов Нётер Гильберт и Клейн попытались убедить университет изменить свое отношение к женщинам-преподавателям. В игру вступили как академическая политика, так и прочно въевшийся мужской шовинизм; в общем, профессура факультета философии была категорически против. Если женщина может пройти хабилитацию и брать деньги за лекции, что помешает ей стать профессором и членом университетского сената? Боже сохрани! Первая мировая война была в полном разгаре, и это давало им дополнительный аргумент: «Что подумают наши солдаты, когда вернутся в университет и обнаружат, что им предлагается учиться у женщины?»

Ответ Гильберта был резок и язвителен: «Господа, я не понимаю, почему пол кандидата может быть аргументом против ее принятия на должность приват-доцента. В конце концов, сенат – не баня». Но даже это не сдвинуло философов с занятых позиций ни на миллиметр. Гильберт, как всегда изобретательный и дерзкий, все же нашел решение. В уведомлении на зимний семестр 1916–1917 гг. читаем:

Семинар математической физики

Профессор Гильберт, ассистирует д-р Э. Нётер

По понедельникам с 4 до 6, бесплатно.

Четыре года Нётер читала лекции под именем Гильберта, пока университет наконец не сдался. Хабилитация была одобрена в 1919 г., что позволило ей получить должность приват-доцента. Вплоть до 1933 г. Нётер оставалась ведущим сотрудником факультета.

Мы можем представить себе способности Нётер как лектора на основании фокуса, который однажды предприняли ее отчаявшиеся студенты. Обычно к ней на лекции являлось 5–10 студентов, но однажды она с удивлением застала в аудитории не меньше сотни молодых людей. «Должно быть, вы ошиблись аудиторией», – предположила она, но молодые люди настаивали, что пришли послушать именно ее. Пришлось ей читать лекцию в таком необычно большом собрании.

Когда Нётер закончила, один из постоянных слушателей ее лекций передал ей записку. «Гости поняли лекцию так же хорошо, как любой из постоянных посетителей».

Проблема с ее лекциями заключалась в том, что, в отличие от большинства математиков, Нётер обладала формульным мышлением. Для нее символы и были понятиями. Чтобы понимать ее лекции, нужно было мыслить так же. А это трудно.

Несмотря на это, именно Нётер с ее упором на формальные структуры суждено было проложить путь к значительной части современной математики. Иногда что-то приходится делать стиснув зубы.

* * *

Благополучно пройдя хабилитацию, Нётер быстро сменила поле деятельности и начала с того, чем закончил Дедекинд, когда заменил туманное понятие идеального числа, введенное Кюммером, на концептуально более простое, но и более абстрактное понятие идеала. Контекст для такого подхода сам по себе был абстрактным: теория колец – алгебраических систем, в которых сложение, вычитание и умножение определены и удовлетворяют обычным правилам, за возможным исключением коммутативного закона умножения xy = yx. Кольца образуют целые и действительные числа, а также полиномы от одной или нескольких переменных.

Мы можем получить некоторое представление об этих системах на примере обычных целых чисел. Традиционный способ думать о простых числах и делимости состоит в том, чтобы работать с конкретными целыми числами, такими как 2, или 3, или 6. Мы видим, что 6 = 2 × 3, так что 6 – не простое число; с другой стороны, для 2 или 3 такое разложение на меньшие числа невозможно, так что эти числа – простые. Но, как понял еще Дедекинд, существует и другой способ в этом убедиться. Рассмотрим множества, образованные всеми числами, кратными 6, 2 и 3, которые я обозначу следующим образом:

[6] = {…, –12, –6, 0, 6, 12, 18, 24,…};

[2] = {…, –4, –2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24,…};

[3] = {…, –6, –3, 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,…}.

Фигурные скобки здесь обозначают множества, и мы разрешаем отрицательные кратные числа. Обратите внимание: каждый элемент [6]Архимед. Сочинения. – М.: Физматлит, 1962.
Архимед. Сочинения. – М.: Физматлит, 1962.
является элементом [2]Архимед. Сочинения. – М.: Физматлит, 1962.
. Это очевидно: любое число, кратное 6, автоматически кратно и 2, поскольку 6 кратно 2. Аналогично каждый элемент [6]Архимед. Сочинения. – М.: Физматлит, 1962.
Архимед. Сочинения. – М.: Физматлит, 1962.
является также элементом [3]Архимед. Сочинения. – М.: Физматлит, 1962.
. Иными словами, делители заданного числа (в данном случае 6) можно найти, если проверить, какие множества такого рода содержат все кратные 6.

С другой стороны, некоторые числа, содержащиеся в [3]Архимед. Сочинения. – М.: Физматлит, 1962.
, не входят в [2]Архимед. Сочинения. – М.: Физматлит, 1962.
и наоборот. Следовательно, 2 не делится на 3, а 3 не делится на 2.

В общем, если немного повозиться с этим, всю теорию простых чисел и делимости можно переформулировать в терминах множеств чисел, кратных данному. Эти множества и есть примеры идеалов, которые определяются двумя основными свойствами: сумма и разность чисел в идеале тоже входит в этот идеал, и произведение любого числа в идеале на любое число кольца тоже входит в идеал.

Нётер переформулировала Гильбертовы теоремы об инвариантах в терминах идеалов, а затем обобщила его результаты в совершенно новом направлении. Теорема Гильберта о конечном базисе для инвариантов сводится к доказательству того, что соответствующий идеал является конечно порожденным, то есть он состоит из всех сочетаний конечного числа многочленов (базиса). Нётер заново интерпретировала этот аргумент как утверждение о том, что любая цепочка возрастающих идеалов должна прекратиться после конечного числа шагов. То есть каждый идеал в кольце многочленов является конечно порожденным. Она опубликовала эту идею в 1921 г. в масштабной статье «Теория идеалов в кольцах». Эта статья дала толчок развитию общей теории коммутативных колец. Нётер стала настоящим экспертом по извлечению важных теорем из условия обрыва цепей, а кольцо, удовлетворяющее этому «условию обрыва возрастающей цепи», называют Нётеровым. Такой концептуальный подход к инвариантам был совершенно не похож на бесконечные расчеты в ее диссертации, которые она теперь пренебрежительно называла Formelgestrüpp – формульными джунглями.

Сегодня каждый студент-математик осваивает абстрактный аксиоматический подход к алгебре в процессе обучения. Важнейшим здесь является понятие группы, лишенное уже каких бы то ни было ассоциаций с перестановками или решениями алгебраических уравнений. В самом деле, абстрактная группа вовсе не обязана даже состоять из преобразований. Она определяется как произвольная система элементов, которые можно перемножать, получая при этом другой элемент этой же системы, в соответствии с коротким списком простых условий: это ассоциативный закон, существование в группе «единичного элемента», при умножении которого на любой другой элемент получается тот же элемент, и существование для каждого элемента системы «обратного» элемента, который при перемножении с данным дает единичный элемент. То есть существует элемент, который ничего не делает, каждому элементу соответствует другой элемент, который обращает вспять все, что делает первый, и если вы перемножаете три элемента подряд, то не имеет значения, какую пару вы перемножаете первой.

Чуть более сложные структуры вводят в действие полный спектр арифметических операций. Я уже упоминал кольцо. Существует также поле, в котором помимо всего прочего возможно деление. Строгое развитие такого абстрактного взгляда представляет сложности, и к нему приложили руку многие видные математики. Часто неясно, кто и что сделал первым. К тому моменту, когда разобрались со строгими определениями, большинство математиков уже довольно четко понимали, что происходит. Но, если разобраться, всем этим подходом мы обязаны Нётер, которая всегда подчеркивала необходимость аксиоматического подхода ко всем математическим структурам.

В 1924 г. в ее круг вошел голландский математик Бартель Ван дер Варден, который стал главным распространителем ее подхода, кратко изложенного в его книге «Современная алгебра» 1931 г. К 1932 г., когда Нётер выступила на пленарном заседании Международного конгресса математиков, ее алгебраические достижения были признаны во всем мире. Она была спокойна, скромна и великодушна. Позже в некрологе Ван дер Варден так подвел итог ее деятельности:

Максиму, которой Эмми Нётер всегда руководствовалась в своей работе, можно было бы сформулировать так: любые отношения между числами, функциями и операциями становятся прозрачными, широко применимыми и полностью продуктивными только после того, как их изолируют от конкретных объектов и сформулируют как корректные общие понятия.

* * *

Нётер думала не только об алгебре. Она привнесла свое видение и в топологию. Для ранних топологов топологический инвариант представлял собой комбинаторный объект, такой как множество независимых циклов – замкнутых петель с определенными свойствами. Пуанкаре, введя понятие «гомотопия», начал процесс добавления туда дополнительной структуры. Когда Нётер выяснила, чем занимаются топологи, она сразу же обратила внимание на то, что они упустили из виду фундаментальную абстрактную алгебраическую структуру. Циклы – это не просто такие штуки, которые можно пересчитать: если подойти к вопросу аккуратно, их можно превратить в группу. Комбинаторная топология стала алгебраической топологией. Точка зрения Нётер немедленно приобрела сторонников, наиболее активными среди которых были Хайнц Хопф и Павел Александров. Аналогичные идеи независимо посетили Леопольда Виториса и Вальтера Майера в Австрии в 1926–1928 гг., в результате чего они определили гомологическую группу – базовый инвариант топологического пространства. Алгебра приняла эстафету у комбинаторики, вскрыв куда более богатую структуру, чем те, что могли бы использовать топологи.

В 1929 г. Нётер посетила МГУ, где она работала с Александровым и преподавала абстрактную алгебру и алгебраическую геометрию. Хотя она никогда и не проявляла политической активности, частным образом высказывалась в поддержку русской революции, поскольку та открывала огромные возможности в физике и математике. Это не слишком нравилось властям, и, когда студенты пожаловались на присутствие рядом еврейки, симпатизирующей марксистам, Нётер попросту выставили из университетской квартиры.

В 1933 г., когда нацисты уволили из университета всех преподавателей-евреев, Нётер поначалу попыталась устроиться в Москве, но потом воспользовалась помощью фонда Рокфеллера и переехала в США в Брин-Морский университет. Кроме того, она читала лекции в Институте высших исследований в Принстоне, но жаловалась, что даже в Америке чувствует себя некомфортно в «мужском университете, где ничто женское не принимается».

Несмотря на это, ей нравилось в Америке, но прожила она там недолго. Нётер умерла в 1935 г. от осложнений после онкологической операции. Альберт Эйнштейн написал в письме в The New York Times:

По мнению самых компетентных из ныне здравствующих математиков, фрейлейн Нётер была самым значительным творческим математическим гением из всех тех, что появились с начала высшего образования для женщин и до сего дня. В царстве алгебры, где на протяжении столетий работали самые даровитые математики, она открыла методы, оказавшиеся невероятно важными для развития нового сегодняшнего поколения математиков.

И не только: она вступила в борьбу с мужчинами на их собственном поле – и выиграла.