Из-за потрясений, вызванных Второй мировой войной, вступительные экзамены в два известнейших образовательных учреждения Парижа – Высшую нормальную школу и Политехническую школу – были отложены на полгода. Экзамены продолжались месяц и были чрезвычайно сложными, но молодой Бенуа Мандельброт справился с ними. Один из преподавателей вскоре обнаружил, что из всех кандидатов лишь один сумел ответить на особенно сложный математический вопрос. Он сразу предположил, что это был Мандельброт, и, спросив у него, убедился в своей правоте. Преподаватель признался, что ему самому задача оказалась не по зубам из-за «поистине ужасного тройного интеграла», на котором был основан расчет.

Мандельброт рассмеялся. «Это очень просто». Он объяснил, что на самом деле тот интеграл представлял собой слегка замаскированный объем шара. Если воспользоваться подходящей системой отсчета, все очевидно. А формулу для объема шара знают все. Вот и вся задача. Стоит понять, в чем фокус… Мандельброт, очевидно, был прав. Шокированный преподаватель ушел, бормоча себе под нос: «Ну конечно же, все очевидно». Почему он сам этого не заметил?

Потому что мыслил символьно, а не геометрически.

Мандельброт был прирожденным геометром и обладал мощной зрительной интуицией. После трудного детства (как еврей в оккупированной Франции он подвергался постоянной опасности быть арестованным нацистами и имел все шансы закончить жизнь в лагере смерти) Мандельброт сделал необычную, но весьма и весьма творческую математическую карьеру, основную часть которой он работал научным сотрудником лаборатории IBM им. Томаса Уотсона в Йорктаун-Хайтс (штат Нью-Йорк). Там он написал серию статей на самые разные темы, от частотности слов в языках до уровней паводков на реках. Затем, в приступе вдохновения, объединил массу этих разнообразных и забавных исследований в единую геометрическую концепцию – концепцию фрактала.

Традиционные в математике фигуры, такие как шар, конус или цилиндр, имеют очень простую форму. Чем ближе вы их разглядываете, тем более гладкими и плоскими они кажутся. Общий вид исчезает, а то, что остается, больше всего похоже на абсолютно однообразную равнину. Фракталы выглядят иначе, они имеют детальную структуру на любом масштабе увеличения. Он бесконечно извилист. «Облака не шары, – писал Мандельброт, – горы не конусы, береговая линия не состоит из окружностей, а кора не гладкая, да и молния движется не по прямой». Фракталы отражают те аспекты реальности, которые остаются за рамками традиционных структур математической физики. Их появление привело к фундаментальным изменениям в том, как ученые моделируют реальный мир, с конкретными приложениями в физике, астрономии, биологии, геологии, лингвистике, глобальных финансах и многих других областях. Кроме того, у фракталов имеются глубокие чисто математические особенности и прочные связи с хаотической динамикой.

Фракталы – одна из нескольких областей математики, которые, не будучи совсем уж новыми, начали бурно развиваться во второй половине XX в. и изменили взаимоотношения между математикой и ее приложениями, предложив новые методы и подходы. Корни фрактальной геометрии восходят к поиску логической строгости в математическом анализе; поиск этот привел около 1900 г. к открытию разнообразных «патологических кривых», основным назначением которых было показать, что наивные интуитивные аргументы могут быть обманчивыми. К примеру, Гильберт определил кривую, которая проходит через все без исключения точки внутри квадрата – проходит не просто вблизи от них, но строго через каждую точку. Эта кривая называется заполняющей, по очевидным причинам, и предупреждает нас об осторожности при работе с понятием измерения. Непрерывное преобразование способно увеличить размерность пространства, в данном случае с 1 до 2. Другие примеры – «снежинка» Хельге фон Коха, которая имеет бесконечную длину, но при этом ограничивает собой конечную площадь, и ковер Вацлава Серпинского – кривая, пересекающая саму себя в каждой точке.

Однако эти ранние работы остались почти незамеченными за пределами специальных сообществ и рассматривались в основном как диковинки. Чтобы некоторая предметная область «родилась», кто-то должен собрать отдельные кусочки вместе, осознать их фундаментальное единство, сформулировать требуемые понятия с достаточным обобщением – а затем выйти и «продать» свои идеи миру. У Мандельброта, которого ни в коем случае нельзя назвать математиком в традиционном смысле, хватило проницательности и упорства сделать именно это.

* * *

Бенуа родился в литовской семье ученых-евреев в Варшаве в период между двумя мировыми войнами. Его мать Белла (урожденная Лурье) была стоматологом. Отец Карл Мандельброт, не имевший формального образования, шил и продавал одежду, но в основном родственники с его стороны семьи на протяжении нескольких поколений были учеными, так что Бенуа воспитывался в академической традиции. У Карла был младший брат Шолем, позже ставший видным математиком. Мать, потерявшая в результате эпидемии одного ребенка, несколько лет не отдавала Бенуа в школу, чтобы уберечь от инфекции. Его учил дома дядя Лотерман, но учителем он был неважным. Бенуа научился играть в шахматы, он слушал много классической музыки и всевозможных историй, но больше почти ничем не занимался. Он не выучил ни алфавит, ни таблицу умножения. При этом, однако, развил в себе способность к визуальному мышлению. И в шахматах его ходы диктовались скорее рисунком игры – расположением фигур на доске, нежели какой-то стратегией. Бенуа обожал географические карты – это пристрастие он унаследовал, вероятно, от отца, заядлого коллекционера карт. Картами были увешаны все стены в его доме. Кроме того, он читал все, что только попадало ему в руки.

В 1936 г. Мандельброты покинули Польшу и стали экономическими и политическими эмигрантами. Мать больше не могла работать в медицине, бизнес отца рухнул. Семья переехала в Париж, где жила сестра отца. Позже Мандельброт расплатился с ними: он спас им жизнь и помог справиться с депрессией.

Шолем Мандельброт тем временем продвигался все выше в математическом мире, и, когда Бенуа было пять лет, его дядя стал профессором Университета Клермон-Феррана. Еще через восемь лет он занял должность профессора математики в Коллеж-де-Франс в Париже. Впечатленный его успехом, Мандельброт и сам начал подумывать о карьере математика, хотя его отец неодобрительно относился к столь непрактичному занятию в качестве профессии.

Когда Мандельброт был подростком, дядя Шолем взялся за его образование. Бенуа поступил в парижский лицей Ролан. Но оккупированная Франция представляла собой не слишком удачное место (и время) жительства для еврея, и детство Бенуа было отмечено бедностью и постоянной угрозой насилия и смерти. В 1940 г. семья вновь бежала, на этот раз в крохотный городок Тюль на юге Франции, где у его дяди был загородный дом. Затем нацисты оккупировали и южную Францию, и следующие полтора года Мандельброт провел в бегах. Он описывал этот период своей жизни следующим невыразительным образом:

Несколько месяцев я провел в Перигее учеником слесаря-инструментальщика на железной дороге. Для позднейшей мирной жизни этот опыт оказался полезнее, чем период работы конюхом в то же военное время, но я внешне не походил ни на ученика слесаря, ни на конюха да и разговаривал иначе и однажды едва избежал казни или высылки. Со временем друзья устроили так, что меня приняли в лицей дю Пар в Лионе. Хотя в значительной части мира царил хаос, в лицее дела выглядели почти нормально: класс готовился к наводящему ужас экзамену, принятому в элитных французских университетах и известному как Grandes Écoles. Несколько следующих месяцев в Лионе относятся к важнейшим периодам моей жизни. Абсолютная нищета и глубокий страх перед немецким властителем города (позже мы выяснили, что звали его Клаус Барби) заставляли меня большую часть времени проводить за письменным столом [29] .

Барби был гауптштурмфюрером СС, вызывавших ужас, и членом небезызвестного гестапо (тайной полиции). Его прозвали «лионским мясником» за то, что он лично пытал французских пленных. После войны Барби бежал в Боливию, но в 1983 г. был выдан во Францию и посажен в тюрьму за преступления против человечности.

В 1944 г. в Лионе Мандельброт, изучая математику, обнаружил, что обладает высококлассной зрительной интуицией. Когда преподаватель ставил перед студентами какую-нибудь сложную задачу в символьной форме – к примеру, давал уравнение, – Мандельброт сразу же преобразовывал его в геометрическую форму, которая помогала найти более простое решение. Его приняли в Высшую нормальную школу в Париже, где он должен был изучать математику. Однако принятый там математический стиль был очень близок тому, чем занималась школа Бурбаки, – этот абстрактный и обобщенный стиль был сосредоточен на теоретической математике. Его дядя придерживался аналогичной математической философии и даже входил поначалу в группу Бурбаки – до того как она начала систематический пересмотр математики по строгим абстрактным канонам. Такой формальный стиль математического мышления, без картинок и конкретных приложений, не привлекал Мандельброта. После нескольких дней в Нормальной школе он решил, что попал не туда, и ушел. Вместо этого он поступил в более практически ориентированную Политехническую школу (вступительные экзамены туда он уже сдал, параллельно с экзаменами в Нормальную школу). Здесь у него было гораздо больше свободы для изучения различных дисциплин.

Дядя продолжал подталкивать Бенуа к более абстрактной математике; он предложил ему выбрать для диссертации на докторскую степень тему, связанную с опубликованной в 1917 г. работой Гастона Жюлиа по комплексным функциям. Это предложение Бенуа не понравилось. Позже, принимая премию Вольфа, Мандельброт писал:

Обожаемые моим дядей ряды Тейлора и Фурье появились несколько столетий назад в контексте физики, но в XX в. превратились в область, которую ее приверженцы описывали как «тонкий» или «строгий» математический анализ. В теоремах моего дяди одни допущения могли занимать несколько страниц. Различия, которые ему нравились, были настолько неуловимыми, что никакое условие не могло быть одновременно необходимым и достаточным. Длинные родословные рассматриваемых вопросов, служившие для него источником гордости, меня отталкивали в молодости [30] .

Однажды Мандельброт, все еще искавший тему, попросил у Шолема что-нибудь, что можно почитать в метро. Дядя вспомнил какую-то статью, только что выброшенную в мусорную корзинку, и выудил ее оттуда, сказав: «Это безумие, но ты любишь безумные штучки». Статья представляла собой обзор книги лингвиста Георга Ципфа о некотором статистическом свойстве, общем для всех языков. Никто, кажется, не понимал, о чем она, но Мандельброт мгновенно решил, что должен объяснить это свойство, которое сегодня называется законом Ципфа. И кое-что ему действительно удалось сделать, как мы скоро увидим.

С 1945 по 1947 г. Мандельброт учился под руководством Поля Леви и Гастона Жюлиа в Политехнической школе, а затем поехал в Калифорнийский технологический институт и получил магистерскую степень по аэронавтике. После этого он вернулся во Францию и в 1952 г. получил докторскую степень. Кроме того, Мандельброт работал в Национальном центре научных исследований. Он провел год в Институте высших исследований в Принстоне (штат Нью-Джерси) под эгидой Джона фон Неймана. В 1955 г. Мандельброт женился на Альетте Каган и переехал в Женеву. После нескольких посещений США в 1958 г. Мандельброты переехали туда на постоянное жительство, и Бенуа стал работать исследователем в IBM в Йорктаун-Хайтс. Он работал в этой компании 35 лет, став сначала членом, а потом и почетным членом IBM. Мандельброт получил множество наград, включая орден Почетного легиона (1989 г.), премию Вольфа (1993 г.) и премию Японии (2003 г.). Среди его книг – «Фракталы: Форма, случай и измерение» (Fractals: Form, Chance, and Dimension, 1977) и «Фрактальная геометрия природы» (The Fractal Geometry of Nature, 1982).

Бенуа Мандельброт умер от рака в 2010 г.

* * *

Работа над законом Ципфа стала образцом для всей дальнейшей деятельности Мандельброта, которая долгое время казалась серией никак на первый взгляд не связанных между собой исследований странных статистических закономерностей; казалось, он порхал, как бабочка, перелетая с одного фантастического цветка на другой. И только когда он попал в IBM, все это начало сливаться воедино и обретать смысл.

Закон Ципфа привел его к простой, но полезной (и недооцененной) идее в статистике – идее степенной зависимости. В американском английском тремя самыми употребляемыми словами являются:

the  – на него приходится 7 % от общего числа слов;

of  – 3,5 % от общего числа;

and  – 2,8 % от общего числа.

Закон Ципфа гласит, что частота употребления n-го слова (в ряду, упорядоченном по частоте употребления) равна частоте первого слова в этом ряду, деленной на n. Здесь 7/2 = 3,5 и 7/3 = 2,3. Последнее значение ниже наблюдаемого, но это нестрогий закон, он всего лишь позволяет количественно оценить общую тенденцию. Здесь частота n-го слова в рейтинге пропорциональна 1/n, что можно записать как n–1. Другие примеры демонстрируют аналогичные закономерности, но со степенью, не равной –1. К примеру, в 1913 г. Феликс Ауэрбах заметил, что распределение городов по размеру следует аналогичному закону, но со степенью n–1,07. В общем случае, если n-я в рейтинге величина встречается с частотой, пропорциональной n c , для некоторой постоянной c, то мы говорим о законе c-й степени.

Классическая статистика обращает мало внимания на распределения, подчиняющиеся степенному закону, и сосредоточивается в основном на нормальном распределении (знаменитой колоколовидной кривой); причин тому немало, и некоторые из них вполне резонны. Но природа зачастую пользуется не нормальным, а степенным распределением. Законы вроде закона Ципфа применимы к населению городов, числу зрителей у тех или иных наборов телепрограмм и даже к заработкам людей. Причины этого до сих пор не до конца ясны, но Мандельброт в своей диссертации сделал первые шаги к пониманию, а Вэньтянь Ли предложил статистическое объяснение: в языке, где каждая буква алфавита (плюс пробел для разделения слов) встречается в тексте с одинаковой частотой, распределение слов по частоте встречаемости подчиняется некоторому приближению к закону Ципфа. Витольд Белевич доказал, что этот принцип выполняется для множества различных статистических распределений. Собственное объяснение Ципфа состояло в том, что языки развиваются со временем так, чтобы обеспечить оптимальное понимание при минимальных усилиях (говорения и слушания), и степень –1 появляется именно поэтому.

Мандельброт публиковал статьи о распределении богатства, фондовом рынке, термодинамике, психолингвистике, длине береговых линий, турбулентности жидкости, популяционной демографии, структуре Вселенной, площади островов, статистике речных сетей, фильтровании, полимерах, броуновском движении, геофизике, случайном звуке и по другим разрозненным темам. Все это выглядело немного бессвязным. Но в 1975 г. все соединилось в одной вспышке озарения: в основе почти всех его работ лежала одна общая тема. И тема эта была геометрической.

Геометрия природных процессов не часто следует стандартным математическим моделям, в ней редко встречаются шары, конусы, цилиндры и другие гладкие поверхности. Горы изобилуют трещинами, уступами и имеют неправильную форму. Облака пушисты, в них есть вспучивания и волокнистые структуры. Деревья последовательно ветвятся, переходя от ствола к сучьям и веткам. Ветви кустов часто выглядят как множество маленьких веточек, связанных вместе противолежащими парами. Сажа под микроскопом выглядит как множество крохотных частиц с промежутками между ними. Они очень далеки от гладкой округлости шара. Природа избегает прямых линий и не слишком увлекается положениями из Евклида и текстов по математическому анализу. Мандельброт пустил в обращение название для подобных структур: фракталы. Он энергично и с большим энтузиазмом продвигал использование фракталов в науке, при моделировании многих нерегулярных природных структур.

Ключевое слово здесь «моделирование». Возможно, Земля представляется нам примерно шарообразной – эллипсоидной, если вы хотите более точного описания, – и такое представление немало помогло физикам и астрономам разобраться в таких вещах, как приливы и наклонение земной оси, но математические объекты – это лишь модели, а не сама реальность. Они отражают некоторые черты природного мира в идеализированном виде – достаточно простом, чтобы человеческий мозг способен был его анализировать. Но поверхность Земли далека от идеала: карта – не реальная местность и не должна ею быть. Карту Австралии можно сложить и положить в карман, откуда при необходимости всегда можно извлечь, но с самой Австралией невозможно проделать подобный трюк. Карта должна быть гораздо компактней территории, которую она изображает, но при этом давать об этой территории полезную информацию. Математическая сфера всегда идеально гладкая, сколько ее ни увеличивай, но реальность на атомном уровне рассыпается на квантовые частицы. Однако это не относится к гравитационному полю планеты, поэтому в данном контексте это можно и нужно игнорировать. Воду можно с успехом моделировать как бесконечно делимую среду, хотя настоящая вода становится дискретной, когда вы переходите на молекулярный уровень.

То же с фракталами. Математический фрактал не просто случайная фигура. Он имеет детальную структуру на всех масштабах увеличения. Часто – одинаковую структуру на всех масштабах. Такие формы называют самоподобными. Во фрактальной модели куста каждая ветвь состоит из меньших ветвей, которые, в свою очередь, состоят из еще более мелких ветвей, и этот процесс не имеет конца. В настоящих кустах он останавливается в лучшем случае через четыре-пять шагов. Тем не менее фрактал, как модель, лучше, чем, скажем, треугольник. Точно так же, как эллипсоид в качестве модели Земли может быть лучше, чем шар.

Мандельброт прекрасно сознавал, какую видную роль в предыстории фракталов сыграли польские математики и тот весьма абстрактный подход к анализу, геометрии и топологии, развиваемый и продвигаемый небольшим кружком математиков, многие из которых регулярно встречались в Шотландском кафе во Львове. В этот кружок входили основатель функционального анализа Стефан Банах и Станислав Улам, принимавший активное участие в Манхэттенском проекте создания атомной бомбы и предложивший, собственно, основную идею водородной бомбы. Их единомышленником являлся и Вацлав Серпинский из Варшавского университета, придумавший фигуру, которая была «одновременно канторианской и жорданианской и каждая точка которой была точкой ветвления». То есть непрерывную кривую, которая пересекает саму себя в каждой точке.

Позже Мандельброт в шутку назвал эту фигуру прокладкой из-за сходства с дырчатой прокладкой, которая устанавливается в автомобиле между головкой блока цилиндров и двигателем. Вспомним, что ковер Серпинского – представитель небольшой группы примеров, возникших в начале XX в. и известных как патологические кривые, хотя в природе, да и в математике они вовсе не патологичны – просто математикам того времени казались очень уж странными. Структуры, подобные ковру Серпинского, можно обнаружить на раковинах морских моллюсков. Так или иначе эту фигуру можно построить при помощи пошаговой процедуры на основе равностороннего треугольника. Для этого следует разделить его на четыре конгруэнтных равносторонних треугольника вполовину меньшего размера. Затем центральный треугольник – перевернутый – следует вырезать. После этого повторяем весь процесс в отношении каждого из трех оставшихся треугольников, и так до бесконечности. Ковер – это то, что получится, когда мы вырежем все перевернутые треугольники, но не их границы.

В настоящее время они считаются ранними фракталами. Мандельброт вдохновлялся ими:

Мой дядя уехал во Францию в возрасте лет примерно двадцати, этим беглецом двигала идея не политическая и не экономическая, а чисто интеллектуальная. Его отталкивала «польская математика», которую тогда Вацлав Серпинский (1882–1969) строил как воинствующе абстрактную область. По глубокой иронии, чьим работам суждено было стать для меня изобильными охотничьими угодьями, когда много позже я искал инструменты для построения фрактальной геометрии? Серпинского! Убегая от идеологии [Серпинского], мой дядя присоединился к наследникам Пуанкаре, правившим в Париже в 1920-е гг. Мои родители были не идеологическими, но экономическими и политическими беженцами; то, что они поехали к моему дяде в Париж, спасло всем нам жизнь. Я никогда не встречался с Серпинским, но его (невольное) влияние на мою семью невозможно ни с чем сравнить [32] .

Немногие математики-теоретики, которые интересовались такими понятиями, обнаружили, что степень шероховатости фрактала можно охарактеризовать числом; они назвали это число «размерностью» фрактала, поскольку оно согласуется с обычной размерностью для стандартных геометрических фигур вроде прямой, заполненного квадрата или куба, размерности которых составляют 1, 2 и 3 соответственно. Однако размерность фрактала не обязательно должна выражаться целым числом, так что интерпретация размерности как «числа независимых направлений» уже неприменима. Теперь важно, как фигура ведет себя при увеличении.

Если сделать отрезок прямой вдвое больше, его длина увеличится в 2 раза. Удвоение квадрата увеличит его площадь в 4 раза, а удвоение куба увеличит его объем в 8 раз. Эти числа – 21, 22 и 23, то есть 2 в степени, соответствующей размерности фигуры. Если «ковер» увеличить вдвое, его можно разделить на три копии оригинала. Так что 2 в степени, равной размерности фигуры, должно равняться 3. Следовательно, размерность составляет ln 3/ln 2, то есть приблизительно 1,585. Более общее определение, не ограниченное самоподобными фракталами, называется размерностью Хаусдорфа – Бесиковича, а более практичный вариант – размерностью Минковского (рассчитывается путем подсчета клеток на чертеже). Размерность фрактала полезна в приложениях и представляет собой один из способов проверить фрактальную модель экспериментально. Таким образом, к примеру, удалось показать, что облака хорошо моделируются фракталами, причем размерность фотоизображения (с проекцией на плоскость проще работать, на ней проще проводить измерения) составляет примерно 1,35.

* * *

Вот еще пример иронии судьбы, который прекрасно иллюстрирует опасность поспешных и категоричных оценок в математике. В 1980 г. Мандельброт, занимаясь поисками новых приложений фрактальной геометрии, вновь взглянул на статью Жюлиа 1917 г. – ту самую, которую в свое время рекомендовал ему дядя и которую он отверг как слишком абстрактную. В ней Жюлиа и еще один математик, Пьер Фату, анализировали странное поведение комплексных функций в итерационном процессе. То есть берем некоторое число, применяем к нему функцию, получаем следующее число, применяем к нему функцию, получаем третье число и так далее, до бесконечности. Авторы сосредоточились на простейшем нетривиальном случае квадратных функций вида f(z) = z2 + c для комплексной постоянной c. Поведение данной схемы зависит от c сложным образом. Жюлиа и Фату доказали несколько глубоких и трудных теорем о данном конкретном итерационном процессе, но все в символьном виде. Мандельброт же заинтересовался тем, как выглядит эта функция графически.

Расчеты оказались слишком длинными и сложными, чтобы проводить их вручную, вероятно, именно поэтому Жюлиа и Фату в свое время не исследовали геометрию процесса. Но теперь компьютеры уже начинали обретать реальную мощь, к тому же Мандельброт работал не где-нибудь, а в IBM. Так что он написал соответствующую программу для компьютера и распечатал картинку. Она получилась грязной (у принтера заканчивались чернила) и грубой, но принесла удивительное открытие. Сложная динамика Жюлиа и Фату управляется одним-единственным геометрическим объектом, и этот объект – или, точнее, его граница – является фракталом. Размерность границы равна 2, так что этот фрактал «почти заполняющий». Мы сегодня называем его множеством Мандельброта – это название предложил Адриан Дуади. Как всегда, выяснилось, что открывали его (или проходили совсем рядом) не раз; в частности, Роберт Брукс и Питер Мателски нарисовали это же множество в 1978 г. Множество Мандельброта дает сложный и красивый компьютерный рисунок и одновременно является объектом интенсивных математических исследований, принесших их авторам по крайней мере две Филдсовские медали.

Так что та самая абстрактная статья, посвященная теоретической математике, которую Мандельброт первоначально отверг, содержала, как оказалось, идею, ставшую центральной для теории фракталов – а ведь Мандельброт увлекся этой темой именно потому, что она была далека от абстракции и тесно связана с природой. Математика едина, в ней все переплетено, а абстрактное и конкретное тесно связано тонкими нитями логики. Ни одна из этих философий не может взять верх, а крупнейшие прорывы часто являются результатом использования того и другого одновременно.