«В ранней молодости я предавался с таким увлечением всякого рода телесным упражнениям, что со мной считались даже самые злостные задиры… В тех городах, где мне приходилось жить, я всегда ходил в ночное время, вопреки запрещениям властей, вооруженный. Днем я выходил в башмаках со свинцовой подошвой весом около восьми фунтов, а ночью закрывал лицо черным шерстяным плащом и обувался в войлочные башмаки. Бывало, много дней подряд я с раннего утра и до вечера занимался военными упражнениями, после чего, весь еще обливаясь потом, играл на музыкальных инструментах и часто всю ночь до самого рассвета бродил по улицам».

Такова была жизнь в Италии эпохи Возрождения около 1520 г. – по крайней мере, такой она была для Джироламо Кардано, описавшего свой образ жизни и многое другое в откровенной автобиографии «О моей жизни». Кардано – энциклопедист, особенно талантливый в области математики и медицины, – наслаждался (если можно так сказать) жизнью, достойной мыльных опер и бульварных газет. Он промотал фамильное состояние, пристрастился к азартным играм, разорился и угодил в богадельню. Заподозрив партнера в шулерстве, он полоснул того по лицу ножом. Он был обвинен в ереси и заключен в тюрьму; его сын был казнен за отравление жены. А еще Кардано вернул речь онемевшему епископу Сент-Эндрюсу, за что получил вознаграждение в 1400 золотых крон. Вернувшись в Италию с триумфом, он был принят в Коллегию врачей, которая прежде не один десяток лет отчаянно пыталась не допустить его в свои ряды.

И что самое важное, он был великолепным математиком и написал один из лучших учебников всех времен – «Великое искусство» (Ars Magna) с подзаголовком «Правила алгебры». В Ars Magna алгебра вступила в эпоху зрелости, обретя сразу и символьное выражение, и логику изложения. Кардано можно рассматривать как еще одного кандидата на титул «отца алгебры». Но в полном соответствии с характером этот статус он приобрел не без шулерства и скандала.

* * *

Кардано был незаконнорожденным. Его отец Фацио – стряпчий с мощным математическим талантом и бешеным темпераментом – жил в Павии и дружил с Леонардо да Винчи. Он всегда ходил в необычном лиловом плаще и черной ермолке; к 55 годам Фацио потерял все зубы. Мать Джироламо Кьяра (урожденная Микерия) – молодая вдова с тремя детьми – вышла замуж за его отца намного позже. Она была толстой, темпераментом не уступала Фацио и обижалась по малейшему поводу. Кроме того, была глубоко религиозна и весьма умна. Когда она была беременна Джироламо, в Милане появилась чума, поэтому Кьяра уехала в деревню, тогда как трое ее старших детей остались в городе и умерли от чумы. Ожидаемое рождение Кардано также не вызывало радости: «Как мне рассказывали, после нескольких не увенчавшихся успехом попыток применить некоторые абортивные средства я родился 24 сентября 1500 г.».

Фацио, хотя и состоял стряпчим по роду занятий, был достаточно сведущ в математике, чтобы консультировать да Винчи в вопросах геометрии; кроме того, он преподавал геометрию в Университете Павии и в Школе Пьятти в Милане. Свои навыки в математике и астрологии он передал незаконнорожденному сыну: «В раннем детстве, когда мне было около девяти лет, мой отец обучал меня дома началам арифметики и некоторым тайным знаниям, неизвестно откуда почерпнутым им. Вскоре после того он начал учить меня и арабской астрологии… По наступлении двенадцатилетнего возраста он же заставил меня изучать первые шесть книг Евклида…»

Джироламо был болезненным ребенком, и планы отца ввести его в семейное юридическое дело потерпели неудачу. Он поступил на медицинский факультет Университета Павии и блестяще его окончил; несмотря на то что резкость его натуры многих оскорбляла, Джироламо был избран ректором университета с перевесом в один голос. Успех ударил ему в голову. Именно в этот период он бродил ночами по городским улицам, вооруженный шпагой и музыкальными инструментами, и предавался азартным играм. Математическое понимание шансов на выигрыш давало ему заметное преимущество, и около 1564 г. Джироламо написал одну из первых книг о вероятностях, «Книгу об азартных играх», опубликованную только в 1663 г. Помогало и умение играть в шахматы – на деньги. Но, пустившись в разгул, он потерял и свою удачу, и наследство.

Тем не менее Джироламо упрямо гнул свою линию. Обладая теперь медицинским дипломом, он попытался вступить в Миланскую коллегию врачей – верный путь к выгодной профессии и благополучной жизни. На этот раз привычка откровенно высказывать свое мнение подвела его, и Кардано отказали в приеме, поэтому он стал врачом в деревне под Миланом. Средств, которые приносило это место, едва хватало на жизнь, и Джироламо женился на дочери капитана местной милиции Лючии Бандарини. Вновь отвергнутый колледжем, он вернулся к привычным занятиям – и опять промотал состояние. После того как Джироламо продал все свои пожитки, включая и драгоценности Лючии, оба они оказались в богадельне. «Я разорился! Я погиб!» – писал Джироламо. У них с Лючией родился ребенок, имевший от рождения несколько небольших дефектов, но не считавшийся по тем временам ущербным. К этому времени Фацио уже умер, и Джироламо был назначен его преемником; дела наконец-то пошли в гору. В 1539 г. даже Колледж врачей перестал противиться его вступлению. Кроме того, он придумал для себя новый способ заработка, опубликовав несколько математических книг. Одна из этих книг навсегда обеспечила ему место в рядах первопроходцев математики.

* * *

Большинство областей математики появились на свет в результате сложных и путаных исторических процессов, в которых невозможно обнаружить никакого определенного направления, – именно потому, что направление как таковое возникает тогда, когда фрагментарные идеи начинают связываться в единую логическую цепочку. Джунгли расширяются по мере того, как вы их исследуете. Не многие черты алгебры берут начало от древних греков, у которых не было эффективной нотации, то есть системы записи, даже для натуральных чисел. Придумав сокращенную форму записи для неизвестных величин, Диофант дал протоалгебре мощный толчок, но сам он был сосредоточен исключительно на решении уравнений в натуральных числах, что вело скорее к развитию теории чисел. Греческие и персидские геометры решали задачи, которые мы сегодня считаем алгебраическими, чисто геометрическими средствами. Аль-Хорезми формализовал алгебраические процессы, но не догадался ввести символьные обозначения.

Задолго до всего вышеописанного вавилоняне уже открыли первый по-настоящему важный метод алгебры – метод решения квадратных уравнений. Вопросы такого рода, как мы понимаем сегодня, открывают дорогу алгебре в той форме, какую она приобрела к XIX в., – а это основная часть того, что изучается в школьной математике. А именно определение значения (или короткого списка возможных значений) неизвестной величины из некоторого численного отношения между этой величиной и ее степенями – квадратом, кубом и т. д. То есть решение полиномиального уравнения.

Если максимальная степень неизвестного в уравнении равна двум, уравнение называется квадратным. Писцы-математики Древнего Вавилона знали, как решать подобные примеры, и учили этому школьников. В качестве доказательства у нас имеются глиняные таблички с загадочными клиновидными буквами. Самое сложное здесь – извлечь квадратный корень из нужной величины.

Сегодня, задним числом, следующий шаг представляется очевидным: кубические уравнения, в которых наряду с квадратом неизвестной величины и с ней самой фигурирует также ее куб. Одна вавилонская табличка вроде бы намекает на особый метод решения кубических уравнений, но это все, что мы знаем об открытиях вавилонян в данной области. Греческие и персидские геометрические методы с этим справлялись; самое подробное рассмотрение такой задачи принадлежит Омару Хайяму, знаменитому больше своими стихами, особенно четверостишиями рубаи. Чисто алгебраическое решение представлялось недостижимым.

Все изменилось в бурные дни Итальянского возрождения.

Около 1515 г. профессор из Болоньи Сципион дель Ферро открыл метод решения некоторых типов кубических уравнений. Классификация уравнений по типам возникла потому, что отрицательные числа тогда еще не признавались, так что уравнения должны были иметь с обеих сторон только положительные слагаемые. Дель Ферро оставил для своего зятя Аннибала дель Наве кое-какие записи, из которых явствует, что он умел решать уравнения вида «куб плюс неизвестное равно числу». По всей видимости, он умел решать и два других типа, которые вместе с первым по существу перекрывают после некоторой предварительной подготовки все возможные варианты. В его методе решения задействовались как квадратные, так и кубические корни.

Наряду с дель Наве метод решения для уравнений вышеупомянутого типа был известен ученику дель Ферро – Антонио Фиору. Независимо от других решение для этого же случая нашел и Никколо Фонтана (больше известный по политически некорректному нынче прозвищу Тарталья – Заика). У Фиора, который намеревался начать собственное дело как преподаватель математики, возникла прекрасная идея: вызвать Тарталью на публичное состязание, где каждый должен будет решать математические задачи, предложенные соперником. Подобные интеллектуальные сражения были обычны в то время. Но прекрасная задумка вышла Фиору боком: Тарталья, испугавшись слухов о том, что решены уже три типа уравнений и Фиору известны методы их решения, напряг все силы и нашел решения как раз к назначенной дате состязания. Обнаружив по ходу дела, что Фиор умеет решать только один тип уравнений, Тарталья начал предлагать ему только те задачи, которые тот не умел решать, и в результате разбил соперника наголову.

Колоритная новость о разгроме разлетелась быстро и достигла ушей Кардано, который прилежно собирал материалы для своей книги Ars Magna. Он тогда отслеживал любые интересные новости о математике, которые могли бы улучшить будущую книгу, и сразу же понял, что наткнулся на золотую жилу. Более ранняя работа дель Ферро к тому моменту была уже почти забыта, так что Кардано навестил Тарталью, умоляя поделиться с ним секретом кубических уравнений. Тарталья не устоял перед его напором. По легенде, он взял с Кардано клятву хранить его решение в тайне, но, строго говоря, это представляется маловероятным, ведь Кардано собирался написать книгу по алгебре. Во всяком случае, когда книга вышла, в ней было и решение кубических уравнений, принадлежавшее Тарталье. Со ссылкой на его авторство, но это было слабым утешением для того, кого обошли в гонке. Разгневанный Тарталья ответил обидчику сочинением «Различные вопросы и изобретения» (Quesiti et invenzioni diverse), в которое включил все свои переговоры с Кардано. Он утверждал, что в 1539 г. Кардано торжественно поклялся «никогда не публиковать» его открытия. Теперь же клятва была нарушена.

Как легко можно предположить, подлинная история была, вероятно, куда более запутанной. Некоторое время спустя Лодовико Феррари, ставший позже учеником Кардано, заявил, что присутствовал на той памятной встрече и Кардано не давал согласия хранить метод Тартальи в секрете. С другой стороны, Феррари вряд ли можно считать беспристрастным наблюдателем. В ответ на заявление Тартальи о нарушенной клятве он выпустил так называемый cartello – вызов к Тарталье, приглашавший того к дебатам на любую избранную им тему. В августе 1548 г. в церкви, где должен был состояться диспут, собралась большая толпа зрителей. Сомневаюсь, что всех привлекла туда математика; сомневаюсь даже, что многие из зрителей в ней сколько-нибудь разбирались. Большинство привлекла туда жажда старого доброго зрелища, а то и скандала. Хотя никаких сведений о результате состязания до нас не дошло, Феррари вскоре был предложен пост наставника при сыне императора. Напротив, Тарталья никогда не говорил о своей победе; мало того, он потерял работу в Брешии и долго еще жаловался и ныл по поводу результата поединка. Так что мы можем сделать обоснованное предположение.

Ирония ситуации заключается в том, что весь этот спор не имел в общем-то никакого смысла. В ходе подготовки Ars Magna Кардано и Феррари видели болонские бумаги дель Ферро, содержавшие полученное им ранее решение кубических уравнений. Именно это решение, утверждали они, и является подлинным источником метода. Работу Тартальи Кардано упомянул только для того, чтобы объяснить, откуда он узнал о трудах дель Ферро. Вот и все.

Возможно, и так. Но тогда зачем Кардано умолял Тарталью раскрыть ему секрет решения, если уже знал его из более раннего источника? Может, и не умолял. В этом смысле у нас есть только слово самого Тартальи. С другой стороны, что-то же сдерживало Кардано некоторое время, поскольку само по себе решение кубических уравнений ему не было нужно. Феррари под руководством Кардано удалось пройти в этом вопросе на шаг дальше и решить уравнение четвертой степени (содержащее четвертую степень неизвестного, а также более низкие его степени). Но – и это принципиально – его решение работало через сведение всего к соответствующему кубическому уравнению. Так что Кардано не мог открыть миру метод решения уравнений четвертой степени, не рассказав заодно, как решать кубические уравнения.

Возможно, все обстояло именно так, как утверждали Кардано и Феррари. Победа Тартальи над Фиором привлекла внимание Кардано к кубическим уравнениям и дала понять, что решение таких уравнений существует. Затем активные поиски привели его к рукописи дель Ферро, в которой он нашел метод, нужный ему для книги. Вдохновленный открытием, Феррари одолел уравнения четвертой степени. Кардано поместил все это в свою книгу. Феррари, как его ученик, едва ли мог жаловаться на то, что его результаты были туда включены; судя по всему, он даже гордился этим. Из уважения к Тарталье Кардано сослался на него в книге и отдал ему должное за независимое открытие метода и привлечение к нему его, Кардано, внимания.

Книга «Великое искусство» важна еще по одной причине. Кардано применил свои алгебраические методы для нахождения двух чисел, сумма которых равна 10, а произведение 40, и получил ответ: Поскольку квадратные корни из отрицательных чисел не извлекаются, он заявил, что этот результат «столь же изящен, сколь бесполезен». Формула для кубических уравнений тоже может давать подобные промежуточные результаты, когда все три решения действительны, и в 1572 г. Рафаэль Бомбелли заметил, что если не обращать внимания на то, что могут означать подобные выражения, и просто просчитать все по формуле, то можно получить верные действительные решения. Со временем это направление мысли привело к созданию системы комплексных чисел, в которой –1 имеет квадратный корень. Без такого расширения системы действительных чисел сегодняшние математика, физика и инженерное дело были бы невозможны.

* * *

В 1540-е гг. Кардано вернулся к медицинской практике. Затем (как я уже говорил, его жизнь сплошная мыльная опера и бульварные газеты) разразилась трагедия. Его старший сын Джамбатиста в свое время тайно женился на Брандонии ди Серони – никчемной и бесстыдной, по мнению Кардано-старшего, женщине. Она публично заявляла, что вышла за Джамбатисту только по расчету и что не он отец ее троих детей. Он отравил жену и сразу же сознался в этом. Судья заявил, что единственный способ для Джамбатисты избежать смертной казни – это договориться с семейством ди Серони о материальной компенсации. Кардано-старший попытался это сделать, но запрошенная сумма оказалась настолько огромной, что он не смог заплатить; по приговору суда его сына пытали, затем отрубили ему левую руку и обезглавили.

Кардано – тертый калач, многое повидавший, – вынужден был переехать в другой город; он стал профессором медицины в Болонье. Из-за своего высокомерия Кардано рассорился с коллегами-медиками, и они попытались добиться его удаления из университета. Его младший сын Альдо стал игроком, залез в огромные долги, а затем проник в дом отца и украл у него деньги и драгоценности. Кардано счел себя обязанным сообщить о краже властям, в результате чего Альдо был изгнан из Болоньи. Тем не менее Кардано оставался оптимистом и писал, что, несмотря на эти трагические события, ему «досталось так много милостей, что, выпади они на долю другого человека, тот счел бы себя счастливым». Но у судьбы для Кардано были припасены уже новые катастрофы, и причиной их стали его занятия астрологией. В 1570 г. он составил гороскоп Иисуса Христа. Кроме того, он написал книгу, в которой хвалил Нерона, организовывавшего гонения на первых христиан. Такая комбинация привела к обвинению в ереси, что неудивительно. Кардано был заключен в тюрьму, затем освобожден, но при этом ему было запрещено занимать какой бы то ни было академический пост.

Он отправился в Рим, где, к своему немалому удивлению, встретил теплый прием. Папа Григорий XIII, судя по всему, даровал ему прощение – и пенсию. Кардано был принят в Римскую коллегию врачей и написал – хотя и не опубликовал – автобиографию. В конце концов она была напечатана более чем через 60 лет после его смерти. Согласно легенде, он умер от собственной руки, поскольку предсказал дату своей смерти и профессиональная гордость требовала, чтобы предсказание сбылось.