Я наконец понял: б

о

льшую часть жизни я боролся за то, чтобы сломать привычное представление, застрявшее в групповом менталитете моих сограждан. Сущность этого представления можно сформулировать в виде уравнения: математика = школа. При упоминании о математике перед глазами большинства людей сразу же всплывает образ школы. Не так давно реакцией при упоминании математики с вероятностью 99 % слышалось заявление, произносимое с забавной смесью обиды и дерзкой гордости: «В школе я никогда не отличался отличной успеваемостью по этому предмету». Но к 1995 году можно было прийти на вечеринку и объявить, что вы математик, — скорее всего, это вызвало бы длительное обсуждение фракталов, теории хаоса и Института Санта-Фе

[1]

. К концу 1990-х годов самой привлекательной темой была теорема Ферма. (Если вы понятия не имеете, о чем идет речь и кто это такой, вам обязательно надо купить эту книгу.) Но даже в 2000 году большинство людей все еще связывало математику со школой и

больше ни с чем.

«Школа» — это вполне приемлемо. А вот «больше ничто» — это ужасно. Как справиться с жутким всепоглощающим невежеством, непониманием одной из основных движущих сил, сотворивших современный мир, одного из столпов человеческой интеллектуальной деятельности?

Не все сразу, конечно. Общество уже намного лучше усваивает математические понятия и воспринимает эту науку как разумную и нормальную форму человеческой деятельности — доказательством служит всё увеличивающаяся готовность средств массовой информации сообщать о достижениях или новых открытиях в области математики, причем не только на страницах научных журналов (помните формулу намокания печенья?). Общеизвестна удивительная популярность математических книг и журнальных статей для неспециалистов. Книги, посвященные математике, вышли на первые строчки в списках бестселлеров научно-популярной литературы. Кинофильмы, посвященные математике, получают награды.

Как это происходит? Международные движения и правительственные инициативы тут ни при чем. ЮНЕСКО объявила 2000 год Международным годом математики. Британское правительство решило ухватиться за уравнение «математика = школа», а затем попытаться что-то с этим сделать. Но тем не менее открытие, что «математика сексуальна, математика — новый рок-н-ролл» (я цитирую центральные газеты), было сделано в результате нескоординированных действий большого количества людей — тех, кто нашел свой собственный способ взглянуть на эту науку и заинтересовать ею более широкую аудиторию.

Вот так, шаг за шагом, стало выстраиваться новое представление о математике, согласно которому этот предмет считается пограничной областью научных исследований, центральной силой, способствующей развитию новых технологий, формой облагораживающего влияния на человеческую культуру. Математика всегда выполняла эти функции, но теперь это замечает намного больше людей.

Эта книга была создана, потому что ничего подобного раньше не существовало. Я искал способ доступно изложить историю математики. Вместо того чтобы развернуть перед читателем последовательность «великих теорем», я хотел наглядно показать, что математика была тесно связана с интересами и устремлениями цивилизаций. Я считал, что всего этого можно будет добиться, сочетая наглядную сторону математики с комментариями ученых и разворачивая это повествование на фоне исторических периодов и ключевых событий из области математических идей. Границы пространства и времени не позволят мне пересказать всю историю математики. Поэтому я выбрал для освещения ключевые моменты истории — ее приливы и отливы совпадают с расцветом и закатом величайших цивилизаций.

С самого начала математика оказывала заметное влияние на все виды человеческой деятельности. Торговля, сельское хозяйство, религия, война — везде ощущалось влияние математики, а все аспекты человеческой жизни, в свою очередь, порождали математические понятия. Тем не менее история этой науки в значительной степени скрыта от нашего пристального взгляда. Возьму на себя смелость утверждать, что взаимное развитие философии, математики и других естественных наук намного важнее для истории человечества, чем бесконечная смена правителей и парад войн. Я надеюсь, эта книга внесет свой скромный вклад в научную культуру общества небывалых достижений.

Возможно, науки, и особенно математика, испытывали недостаток общественного внимания, которое уделялось в основном искусствам, и в результате не смогли занять в сердцах и умах людей столь же значимое место. Уже произошло своего рода «перекрестное опыление» таких понятий, как теория относительности, квантовая механика, искусственный интеллект, теорема неполноты, и они стали частью общепринятых современных представлений. Но когда математики говорят о красоте своего предмета, это часто списывается на остаточные эмоции тех, кто провел слишком много времени в разреженной атмосфере башни из слоновой кости. Лишь использование компьютеров наконец сделало красоту математики доступной для всех.

Математика — не наука о непонятных символах. Это наука идей: идей о пространстве, времени, числах и их взаимоотношениях. Это наука о количественных соотношениях, развитие и усложнение которых отражают поиски знания. Любые идеи рождаются из образа. С ростом вычислительных возможностей математика родилась заново — как визуальная наука. Самые невероятные структуры, которые можно отыскать в хаотических сложных системах, прорываются сквозь лес символов и открывают для всех и каждого возможность своими глазами увидеть математический пейзаж. Возникает новая эстетика, в которой математическая точность сочетается с художественной выразительностью. Большая часть этой книги подтверждает факт, что эта смесь в той или иной степени присутствует везде и всюду. Эти два аспекта культуры — точность и выразительность — обручились очень давно, хотя так и не сумели предстать перед алтарем.

В любой книге должна быть первая глава со вступительным словом. История — не слишком однозначный и четкий предмет, так что поиск первого использования чисел — это путешествие в туманное прошлое к истокам человеческой жизни и цивилизации. Археологи и другие ученые пытаются выложить мозаику нашей праистории из жалкой горстки мелких обломков. Новые открытия не просто становятся дополнительными кусочками головоломки, они могут радикально изменить всю картину прошлого и наше отношение к нему. Мы всегда должны помнить об этом, глядя на самые ранние свидетельства математической деятельности, а также на математические культуры Месопотамии и Египта.

Самое раннее свидетельство записи чисел было раскопано в Свазиленде (Южная Африка). Это малоберцовая кость бабуина с двадцатью девятью четкими пометами, относящаяся относящиеся к 35-му тысячелетию до нашей эры. Она напоминает календарные палочки, до сих пор использующиеся в Намибии, — они позволяют фиксировать ход времени. В Западной Европе также были найдены кости неолитического периода. На лучевую кость предплечья волка, найденную в Чешской Республике и датированную 30-м тысячелетием до нашей эры, нанесено пятьдесят пять меток, разбитых на два ряда из пяти групп. Возможно, это долговая палочка, а возможно, пометы говорят о количестве убитых животных. Одна из самых интригующих находок — так называемая «кость Ишанго», обнаруженная на берегу озера Эдвардс между Угандой и Демократической Республикой Конго. Ее возраст — более 22 000 лет, и, похоже, это не просто долговая палочка. Микроскопический анализ показал дополнительные отметки, связанные с фазами Луны. Предсказывать полнолуние тогда было необходимо — возможно, по религиозным причинам, а вероятней всего, потому, что видеть ночью было полезно из чисто практических соображений. Неудивительно, что сохранение знаний о движении великих небесных часов стало главной задачей народов неолита. Скорее всего, на становление математики самое большое влияние оказали небо и светила — за счет них развивались астрономия, астрология или космология.

Существуют записи, сделанные в Месопотамии — области, расположенной между реками Евфрат и Тигр, — и относящиеся приблизительно к 3500-м годам до нашей эры. В этом регионе сменилось несколько культур. На смену древним шумерам и аккадцам пришли мастера по работе с железом — хетты, которые, в свою очередь, отступили перед внушающими страх ассирийцами. За ними последовали халдеи и их известный царь Навуходоносор, которые были впоследствии изгнаны персами, а тех разбили армии Александра Великого. Центральная власть последовательно концентрировалась в городах Ур, Ниневия и Вавилон. Базовые математические знания пришли из древней Вавилонской империи (1900–1600 до н. э.), на которую заметно повлияли шумеры и аккадцы, а также из империи, которой правила династия Селевкидов — наследников сподвижника Александра Македонского, получивших власть над этим регионом в четвертом столетии до нашей эры. Эти знания явно сформировались под греческим и вавилонским влиянием. В тот период Вавилон занимал ключевое положение в этом регионе, а потому математика часто называется «вавилонской наукой».

Наша современная десятеричная система счисления — это система со знакоместом на основе 10. Другими словами, десять единиц на одном знакоместе эквивалентны одной единице на следующем, более высоком знакоместе, при этом положение цифры в числе определяет ее значимость. На основании самых ранних записей можно показать, что вавилоняне использовали шестидесятеричную, или базирующуюся на основании 60, систему счисления. Она и поныне живет в нашем способе исчисления времени. Таким образом, например, вавилоняне выразили бы число 75 как «1,15», мы тоже записываем 75 минут как 1 час и 15 минут. Приблизительно за 2000 лет до нашей эры появилась система знакоместа, в которой применялось только два клинообразных символа:

Веским доказательством существования вавилонской математики служат глиняные таблички с клинописными надписями. Они очень широко использовались, и сотни тысяч экземпляров этих табличек выжили — от крошечных фрагментов до целых блоков размером с портфель. Повсюду было много глины, и, пока она оставалась влажной, можно было стереть вычисление и начать писать заново. Как только глина затвердевала, табличка или выбрасывалась, или использовалась в качестве строительного материала. Арифметические вычисления тогда были распространены не меньше, чем теперь. Вавилоняне были плодовитыми творцами математических таблиц. Они оставили нам несколько довольно сложных образцов, касающихся исчисления обратных величин, площадей, кубов и более высоких степеней чисел — такие степени полезны при вычислении прибыли по ссудам. Использование математических таблиц теперь в значительной степени ушло в прошлое из-за широкого распространения калькуляторов, но их важность в облегчении вычислений имеет долгую историю, восходящую к глиняным табличкам вавилонян. Этот народ был очень опытен в алгебре, хотя вопросы и методы решения были риторическими — они объяснялись словами, а не символами. Вавилоняне решали квадратные уравнения приемом, который сейчас, по существу, не что иное, как «наш» метод «дополнения до полного квадрата». Их обоснование этой процедуры основывалось на том, что прямоугольную область можно перестроить таким образом, чтобы получился квадрат. Некоторые уравнения более высокого порядка решались или числовыми методами, или путем упрощения их до уже известных типов.

В самом начале математика развивалась, обслуживая нужды торговли и сельского хозяйства, но, помимо того, она также была связана с выполнением религиозных обрядов и наблюдением за движением небесных светил. Созданием календарей занимались астрономы-священники — картография небес требовала разработки специальных математических знаний. Поскольку в древности космология была геоцентрической, термин «планета» относится к Солнцу, Луне и пяти небесным телам, видимым невооруженным взглядом, — Уран, Нептун и Плутон были обнаружены относительно недавно. Различные цивилизации, существовавшие в самых разных уголках Земли, фиксировали движения небесных тел и создавали календари, и все они должны были найти способ сопоставить два самых важных временных цикла — лунный месяц и солнечный год.

Классический период цивилизации майя, существовавшей в Центральной Америке и формировавшейся до десятого века до нашей эры, относится к 300–900 годам нашей эры. Испанское нашествие 1519 года пережило очень небольшое число документов (самый значительный из них — рукопись с астрономическими таблицами, известная как Дрезденский кодекс), но, к счастью, от майя также остались высеченные на камне барельефы. Каждые двадцать лет майя устанавливали каменные стелы, или столбы, на которых отмечались дата строительства, основные события предшествующих двадцати лет, а также имена знатных людей и служителей храмов. Иероглифы, при помощи которых делались надписи, были стилизованными изображениями богов майя. Но для обозначения чисел они часто использовали нотацию, ныне известную как «точка и черточка». В этой лаконичной системе счисления с соблюдением знакоместа точка изображала единицу, горизонтальная черта изображала «пять», а ноль отображался символом, похожим на раковину. Эта система счисления, похоже, использовалась приблизительно с V века до нашей эры и, по существу, была двадцатеричной, то есть с основой 20, кроме аномалии в третьем разряде. В настоящей двадцатеричной системе числа выстраивались бы в последовательности 1, 20, 202, 203 и так далее, но в системе майя используется последовательность 1, 20,18 х 20,18 х 202, и так далее. Это усложняет вычисления, но на основании того, что 18 х 20 = 360, мы можем понять то значение, которое майя придавали своему календарю.

У майя было три календаря. Священный год, состоящий из 260 дней, был получен путем наложения двух циклов: один цикл состоял из чисел от 1 до 13, а другой был 20-дневным циклом божеств. Таким образом, каждый день в священном году был уникальным образом определен числом и божеством. Этот календарь был не слишком полезен для фермеров, поэтому они ориентировались также на обычный год, состоявший из 365 дней. В нем было 18 месяцев 20 дней плюс дополнительные 5 дней, известные как «период без названия». Иероглиф, обозначающий дополнительные дни, также использовался для изображения хаоса и беспорядка, и любой человек, рожденный в эти дни, оставался проклятым до конца жизни. Третий календарь, используемый для «длинного счета», был основан на хронологии, начинающейся 12 августа 3013 года до нашей эры. В нем использовался цикл из 360 дней. Кроме того, существовали жертвенные циклы из 4, 9 и 819 дней. В результате большую часть своего времени писцы тратили на вычисление календарей и важных дат. Не сохранилось явных свидетельств использования дробей или тригонометрических функций, однако майя умели очень точно предсказывать циклы, основываясь на огромном объеме накопленных ими астрономических наблюдений. Например, астрономы майя утверждали: 149 лунных месяцев равняются 4400 дням, что эквивалентно одному лунному месяцу в 29,5302 дня — очень близко к вычисленному в наши дни значению 29,53 059 дня. В Дрезденский кодекс входят таблицы лунных и солнечных затмений, а также предсказанные положения Венеры, которую они называли «утренняя звезда» и «вечерняя звезда». К сожалению, больше о математической астрономии майя почти ничего не известно.

В египетском календаре использовалась такая же система, как у майя. У них было 12 месяцев по 30 дней и 5 дополнительных дней в конце года. Именно египтяне первыми начали делить день на 24 отрезка, хотя неясно, когда именно была зафиксирована длительность одного часа. Они использовали то, что можно назвать «сезонными часами», — делили как дневное, так и ночное время на 12 отрезков, поэтому в течение года отрезки светлого и темного времени суток были разными. У египтян был свой набор маленьких созвездий — деканов, которые восходили на небе с промежутком в десять дней. В эллинистические времена они были объединены с вавилонским зодиаком, так что каждое зодиакальное созвездие, занимающее 30 градусов небесного круга, делилось на три декана. Деканы изображены на потолках царских гробниц и на крышках усыпальниц Среднего царства (ок. 2100–1800 до н. э.). Но сопоставить деканы с известными сейчас звездами оказалось довольно трудной задачей. Единственное исключение — звезда Сириус, восход которой в определенное время года был связан с разливом Нила, что было очень важно для ирригации. На более поздних захоронениях мы находим подробное изображение звезд на сетке координат. Расшифровать эти надписи помог демотический папирус, созданный в греческую эпоху. Однако создается впечатление, что мастера, наносившие эти изображения на гробницы, слишком свободно подошли к интерпретации исходной астрономической информации, хотя базовые рисунки, лежавшие в основе изображений, были значительно точнее. У нас нет письменных свидетельств о том, проводили ли египтяне астрономические наблюдения и создавали ли таблицы; даже Птолемей, перечисливший использованные им источники древней астрономии, не упоминает никаких египетских трудов.

С момента падения Ассирийской империи и до эллинских времен вавилоняне занимались созданием астрономии, пригодной для эффективного прогнозирования. Птолемей упоминает о том, что начиная с VIII века до нашей эры они вели запись лунных затмений, но данные о планетах были не слишком надежными. Вавилонский календарь был исключительно лунным. Начальный день месяца выпадал на первое появление полумесяца, каждый день длился от заката до заката. Поэтому вавилонян больше всего интересовала возможность предсказать время появления полумесяца, а также определить в зависимости от положения Солнца и Луны, сколько дней будет в предстоящем месяце — 29 или 30. То же самое и в случае с другими планетами — самым интересным для вавилонян было их первое появление на небе. Особенно важное место в ранних таблицах занимала планета Венера. Для того чтобы составить эфемериды — так назывались таблицы местоположения планет, — зодиакальную область делили на три зоны, куда входили двенадцать поименованных созвездий, а положения планет указывались относительно звезд. Есть также таблицы восхода и захода созвездий. Самые ранние эфемериды относятся к периоду Селевкидов, чаще всего они описывают движения Луны, но есть таблицы и для других планет.

Каждый из нас сталкивался в школе с этой теоремой. Сейчас ее называют «теоремой Пифагора», но она была широко известна в древности задолго до рождения знаменитого грека. Существование этой теоремы дает нам возможность сравнить стили математических рассуждений и основные направления работы некоторых древних математиков, относящихся к различным культурам.

Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов двух более коротких сторон равна квадрату наиболее длинной стороны. Можно построить такие треугольники с целочисленными сторонами; самый известный из них — треугольник со сторонами 3, 4, 5. Существует бесконечное множество таких, как их называют, пифагоровых треугольников, например треугольники со сторонами 5,12,13 и 7, 24, 25, которые также были известны в древности.

Одна из самых восхитительных математических таблиц Вавилона, ныне известная как «Плимптон 322», хранится в Колумбийском университете Нью-Йорка. Числа на ней расставлены в четыре столбца и пятнадцать рядов. Похоже, что это лишь часть разбитой таблицы. Теперь принято считать, что на ней описан дробный пифагоровский треугольник — источник всех последующих. Этот сложный метод означает, что вавилоняне знали теорему Пифагора уже в 1800–1650 годах до нашей эры, то есть больше чем за тысячу лет до Пифагора. Это предположение было подтверждено еще одной табличкой, найденной около Вавилона и датируемой приблизительно тем же периодом, — в настоящее время это один из самых древних примеров теоремы Пифагора. Для геометрических вычислений и решений алгебраических уравнений вавилоняне использовали линейку, хотя такая алгебра была скорее риторической, чем символической. Некоторые считают, что вавилоняне, возможно, заложили фундамент самой ранней формы тригонометрии.