Мы привыкли воспринимать как должное два важнейших природных умений человека — воображение и абстрактное мышление, а зря: «Евклидово окно» рассказывает нам, как происходила эволюция нашей способности представлять то, чего мы не видим воочию.
Эта книга — восхитительная смесь научного авторитетного труда и веселого балагурства, она превращает классические теории и понятия геометрии в доступные, поражающие воображение истории.
Спасибо Млодинову: не нужно быть математиком или физиком, чтобы постичь загадки пространства и поразиться великолепию мироустройства.
Перевод: Шаши Мартынова
Введение
Двадцать четыре века назад один грек стоял у берега моря и смотрел, как исчезают вдали корабли. Аристотель, судя по всему, проводил за таким тихим занятием немало времени и повидал немало кораблей, раз его однажды посетила интересная мысль. Все корабли исчезали одинаково — сначала корпус, потом мачты и паруса. Он задумался: как такое может быть? На плоской Земле корабли должны были уменьшиться целиком и исчезнуть, превратившись в нераспознаваемую точку. Но корпус исчезал первым, а уж потом все остальное — и это подтолкнуло Аристотеля к подлинному озарению: Земля — искривлена. Аристотель взглянул на общее устройство нашей планеты через окно геометрии.
Ныне мы исследуем космос так же, как тысячелетия назад познавали Землю. Кое-кто слетал на Луну. Непилотируемые летательные аппараты добирались до границ Солнечной системы. Вполне возможно, уже в этом тысячелетии мы долетим до ближайшей звезды — это странствие с достижимой когда-нибудь-скоростью в одну десятую скорости света займет лет пятьдесят. Но даже если мерить расстояниями до альфы Центавра, задворки Вселенной отсюда — в нескольких миллиардах таких «мерных реек». Вряд ли нам доведется узреть, как корабль достигает горизонта Вселенной, подобно увиденному Аристотелем на Земле. И все-таки мы узнали о природе и устройстве Вселенной многое, как некогда и Аристотель, — наблюдая, применяя логику и страшно долго вперяя взоры в космос. Веками горизонты для нас раздвигали гений и геометрия. Что можно вообще доказать о пространстве? Как узнать, где находишься? А может ли пространство искривляться? Сколько в нем измерений? Как геометрия объясняет естественный порядок и единство космоса? Эти вопросы и стоят за пятью геометрическими революциями в мировой истории.
А началось все со скромной схемы, придуманной Пифагором: применить математику как абстрактную систему правил, по которым можно смоделировать физическую вселенную. Следом возникла концепция пространства, отделенного от земли, по которой мы ходим, или воды, в которой плаваем. То было рождение абстракции и доказательства. Вскоре греки, похоже, научились находить геометрические ответы на любой научный вопрос — от принципов действия рычага до орбит небесных тел. Однако греческая цивилизация пришла в упадок, и Запад завоевали римляне. Однажды — аккурат перед Пасхой 415 года — толпа невежд стащила одну женщину с колесницы и убила. Женщина эта была последним ученым, преданным геометрии, Пифагору и рациональной мысли, она последняя трудилась в Александрийской библиотеке, и с этой смертью цивилизация начала соскальзывать в тысячелетие Темных веков.
Однако цивилизация воскресла, а с нею — и геометрия, но уже совсем другая, новая. Ее принес человек весьма цивилизованный — ему нравилось играть в азартные игры, спать до обеда и критиковать греков: их метод геометрического доказательства виделся ему чересчур обременительным. Для облегчения умственного труда Рене Декарт поженил геометрию и числа. Благодаря его идее координат, пространства и формы можно было крутить и вертеть, как никогда прежде, а число получалось визуализировать геометрически. Эти методики породили математический анализ и создали условия для развития современных технологий. Благодаря Декарту геометрические понятия координат и графиков, синусов и косинусов, векторов и тензоров, углов и кривизны присутствуют ныне в любом физическом контексте — от электроники твердого тела до огромных структур в пространстве-времени, от технологии транзисторов и компьютеров до лазеров и космических полетов. Однако работы Декарта взрастили и более абстрактную — и революционную — идею: искривленное пространство. Действительно ли сумма углов в треугольнике равна 180°, или это верно лишь для треугольников на плоскости листа бумаги? И дело тут не только в оригами. Математика искривленного пространства произвела революцию на уровне основ логики не в одной лишь геометрии, но во всей математике. Она создала предпосылки к рождению теории относительности Эйнштейна. Его геометрическая теория пространства и дополнительного измерения — времени, — а также связи между пространством-временем, материей и энергией изменила саму парадигму мышления настолько масштабно, насколько это удалось в свое время лишь Ньютону. Она, безусловно,
Как-то в июне 1984 года один ученый заявил, что он-де осуществил прорыв в теории, с помощью которой можно объяснить что угодно — от существования субатомных частиц и их взаимодействий до устройства пространства-времени и природы черных дыр. Этот человек считал, что ключ к пониманию единства и порядка во Вселенной — в геометрии, причем геометрии новой и довольно причудливой. Его вывела с трибуны группа людей в белой спецодежде.
Часть I. История Евклида
Глава 1. Первая революция
Евклид, вероятно, лично не открыл ни одного существенного закона геометрии. Тем не менее он — самый знаменитый геометр в истории, и не просто так: тысячелетиями именно в его окне люди впервые видели геометрию. Он и поныне — лицо первой великой революции в представлениях о пространстве: рождения абстракции, понятия о доказательстве.
Постижение пространства началось, что вполне естественно, с представлений о месте — нашем месте, т. е. о Земле. Все началось с развития «измерений земли», как это называли египтяне и вавилоняне. Греческое название того же самого —
«геометрия»,
однако предметы этих занятий совсем не похожи. Греки первыми осознали, что природу можно постичь, применив математику, а геометрия может не только описывать, но и объяснять. Развивая геометрию от простых описаний камня и песка, греки извлекли понятия точки, линии и плоскости. Отбросив вуали материи, они обнаружили структуру такой красоты, какой человечество еще не видело. Евклид стоит как раз на пике борьбы за изобретение математики. История Евклида есть история революции, история аксиомы, теоремы, доказательства — и рождения разума как такового.
Глава 2. Геометрия налогов
Корни достижений греков уходят в древние цивилизации Вавилона и Египта. Йейтс писал
[1]
о вавилонском равнодушии — особенности, из-за которой вавилонянам не удалось достичь величия в математике. До греков человечество приметило немало хитрых формул, расчетных и инженерных фокусов, однако — в точности как наши политики — люди временами добивались поразительных успехов с феноменально малым разумением, что же они вообще сделали. А им-то что? Они были строителями, что работают впотьмах на ощупь — что-то возводят, где-то укладывают ступени и достигают своих целей, но не понимания.
И не они первые. Люди считали и вычисляли, драли налоги и облапошивали друг друга с незапамятных времен. Некоторые предположительно счетные орудия датируются 30 000 лет до н. э. — всего лишь палки, расписанные художниками с интуитивным математическим чутьем. Но есть и поразительно отличные приспособления. На берегах озера Эдвард (ныне Демократическая Республика Конго) археологи выкопали небольшую кость 8000-летней давности с крошечным кусочком кварца, вделанным в углубление на одном конце. Автор этого приспособления — художник или математик, мы никогда уже не узнаем, — вырезал на кости три колонки насечек. Ученые считают, что эта кость, названная костью Ишанго
[2]
, — возможно, самый древний из найденных прибор для численной записи.
Мысль об осуществлении операций с числами
[3]
доходила гораздо медленнее, поскольку занятия арифметикой подразумевают некоторую степень абстракции. Антропологи сообщают: если два охотника выпустили две стрелы, завалили двух газелей и заработали две грыжи, волоча добычу к стоянке, во многих племенах все эти «два» и «две» могли быть разными понятиями в каждом случае
[4]
. В таких цивилизациях нельзя было складывать яблоки с апельсинами. Похоже, на понимание того, что все это частные случаи одного и того же понятия — абстрактного числа 2, — потребовались тысячи лет.
Первые серьезные шаги в этом постижении люди предприняли в шестом тысячелетии до н. э., когда жители долины Нила постепенно отказались от кочевой жизни и принялись культивировать земли в долине
Глава 3. Средь семи мудрецов
Открытие того, что математика — нечто большее
[19]
, нежели алгоритмы расчетов объемов грунта или размеров налогов, принадлежит одинокому греческому купцу, ставшему философом; его звали Фалес, и свершилось это открытие 2500 лет назад. Именно Фалес создал возможность для великих открытий пифагорейцев и, в итоге, написания самих «Начал» Евклида. Он жил во времена, когда по всему миру вдруг так или иначе зазвонили будильники, и человеческий разум проснулся. В Индии рожденный примерно в 560 году до н. э. Сиддхартха Гаутама Будда начал распространение буддизма. В Китае Лао-цзы и его более юный современник Конфуций, появившийся на свет в 551 году до н. э., совершили прорыв в мышлении — с колоссальными последствиями. В Греции же начался Золотой век.
У западного побережья Малой Азии река Меандр, от названия которой происходит слово
meander
[20]
, разливается на унылую заболоченную равнину, которая ныне — часть Турции. Посреди этого болота примерно 2500 лет назад стоял Милет — самый процветающий греческий город того времени. Тогда он был портовым центром Ионии и располагался у залива, ныне забитого илом. Милет был отрезан от остальных земель водой и горами, и всего один путь вел вглубь материка, зато на море имелось целых четыре гавани, и поэтому город стал сердцем морской торговли на всем востоке Эгейского моря. Отсюда, лавируя меж островов и мысов, корабли пробирались на юг — к Кипру, Финикии и Египту, или отправлялись на запад — в европейскую часть Греции.
В этом городе в VII веке до н. э. началась революция человеческой мысли, мятеж против предрассудков и небрежных суждений; длилась она почти тысячелетие и создала основы современного мышления.
Наше знание об этих мыслителях-революционерах смутно и зачастую основано на предубежденных свидетельствах поздних ученых — Аристотеля, Платона — и временами противоречивых пересказах. Большинство этих легендарных героев носили греческие имена, но греческую мифологию не принимали. Их преследовали, ссылали, доводили до самоубийства — во всяком случае, согласно дошедшим до нас историям.
Невзирая на все эти кривотолки, существует согласие в том, что в Милете примерно в 640 году до н. э. гордые родители произвели на свет мальчика по имени Фалес. Фалес Милетский славен тем, что чаще прочих называется первым в мире ученым или математиком. Столь древняя дата, присвоенная этим профессиям, никак не угрожает первенству профессии древнейшей — сексуальному предпринимательству, поскольку Милет славился конструкциями из набитой кожи, изобретенными для сексуального удовлетворения женщин
Глава 4. Тайное общество
Пифагор послушался советов Фалеса
[31]
и отправился в Египет, но в тамошней математике не обрел поэзии. Геометрические объекты были физическими сущностями. Линия оказалась веревкой, натянутой гарпедонаптом, или кромкой пашни. Прямоугольник — границами участка земли или поверхностью каменной плиты. Пространство — илом, почвой и воздухом. Именно грекам, а не египтянам принадлежит романтическое, метафорическое представление математики: пространство может быть математической абстракцией и, что не менее важно, абстракция эта может быть применена в самых разных обстоятельствах. Иногда линия — это просто линия. Но в то же время линия может представлять и ребро пирамиды, и границу пашни, и путь вороны в небе. Знание об одном переносимо на другое.
По преданию, Пифагор шел как-то мимо кузни и услышал, как по тяжелой наковальне стучат разные молоты. Он задумался. Повозившись со струнами, он обнаружил гармонические последовательности, а также связь между длиной поющей струны и тоном слышимой музыкальной ноты. Струна вдвое длиннее, например, поет в два раза ниже. Наблюдение с виду простое, однако глубина его революционна — его часто считают первым в истории примером эмпирического открытия закона природы.
Миллионы лет назад некто выдавил из себя какое-нибудь мычание или хмыканье
[32]
, а некто другой проговорил бессмертные слова — ныне утерянные, но наверняка означавшие что-то вроде «я понимаю, о чем ты». Так произошел язык. В науке учение Пифагора о гармонии — явление того же порядка, первый пример описания физического мира в математических терминах. Не будем забывать ни на секунду, что во времена Пифагора не существовало даже простейшей математики чисел. Пифагорейцам, к примеру, открытие того, что умножение сторон прямоугольника друг на друга дает площадь этого прямоугольника, показалось подлинным откровением.
Для Пифагора и его последователей главной интригой математики виделись разнообразные численные закономерности. Пифагорейцы представляли себе числа как камешки или точки, выложенные в определенный геометрический узор. Они обнаружили, что некоторые числа можно сложить, разместив камешки на равном расстоянии в два столбика по два, в три по три и т. д. — так, чтобы получался квадрат. Пифагорейцы называли любое количество камешков, которые можно выложить таким способом, «квадратным числом», поэтому и мы зовем их до сих пор квадратами: 4, 9, 16 и т. д. Другие числа, как выяснили пифагорейцы, можно выложить так, чтобы получались треугольники: 3, 6, 10 и т. д.
Свойства квадратных и треугольных чисел завораживали Пифагора. Например, второе квадратное число, 4, равно сумме первых двух нечетных чисел, 1 + 3. Третье квадратное число, 9, равно сумме первых трех нечетных чисел, 1 + 3 + 5, и т. д. (То же верно и для первого квадрата: 1 = 1.) Пифагор заметил и то, что, подобно равенству квадратных чисел сумме соответствующих предыдущих нечетных чисел, треугольные числа есть сумма всех последовательных чисел, четных и нечетных. Да и сами квадратные и треугольные числа взаимосвязаны: если сложить треугольное число с предыдущим или следующим треугольным, получится квадратное число.
Глава 5. Манифест Евклида
Приблизительно в 300-е годы до н. э. на южном побережье Средиземного моря, чуть левее Нила, жил в Александрии человек, чья работа может потягаться по влиятельности с Библией. Его подход наполнил философию смыслом и определил суть математики вплоть до XIX века. Эта работа стала неотъемлемой частью высшего образования практически на все это время — и остается до сих пор. С восстановлением этого труда началось обновление средневековой европейской цивилизации. Ему подражал Спиноза. Им зачитывался Абрахам Линкольн. Его защищал Кант
[45]
.
Имя этого человека — Евклид. О его жизни нам неизвестно почти ничего. Ел ли он оливки? Ходил ли в театр? Был ли коренаст или росл? История не знает ответов на все эти вопросы. Нам ведомо лишь
[46]
, что он открыл школу в Александрии, у него были блестящие ученики, он осуждал материализм, был довольно милым человеком и написал не менее двух книг. Одна из них, утерянный труд по коническим сечениям, стала основой для позднейшей исключительно важной работы Аполлония
[47]
, сильно продвинувшей науку навигации и астрономии.
Другая его знаменитая работа, «Начала», — одна из самых читаемых «книг» всех времен. История «Начал»
[48]
заслуживает детективного романа не хуже «Мальтийского сокола»
[49]
. Во-первых, это не книга в буквальном смысле, но собрание из тринадцати свитков папируса. Ни один оригинал не сохранился — они передавались из поколения в поколение чередой переизданий, а в Темные века чуть было не исчезли совсем. Первые четыре свитка Евклидова труда в любом случае — не те самые «Начала»: ученый по имени Гиппократ (не врач-тезка) написал «Начала» где-то в 400-х годах до н. э., и они-то, судя по всему, являются содержимым этих первых свитков, хотя оно никак не атрибутировано. Евклид никак не претендовал на авторство этих теорем. Свою задачу он видел в систематизации греческого понимания геометрии. Он стал архитектором первого осмысленного отчета о природе двухмерного пространства, созданного одной лишь силой мысли, без всяких отсылок к физическому миру.
Важнейший вклад Евклидовых «Начал» сводился к передовому логическому методу: во-первых, Евклид объяснил все термины введением точных определений, гарантирующих понимание всех слов и символов. Во-вторых, он прояснил все понятия, предложив для этого прозрачные аксиомы или постулаты (эти два термина взаимозаменяемы), и отказался от применения неустановленных выводов или допущений. И наконец, он выводил логические следствия всей системы лишь с использованием правил логики, примененной к аксиомам и ранее доказанным теоремам.
Вот зануда и привереда, а? Зачем уж так настаивать на доказательстве малейшего утверждения? Математика — вертикальное сооружение, которое, в отличие от архитектурной постройки, рухнет, если хоть один математический кирпичик окажется битым. Допусти в системе невиннейшую погрешность — и пиши пропало, в ней уже ничему нельзя доверять. По сути, теорема логики утверждает:
