Анатолий Кузнецов родился 31 декабря 1930 года в Москве (семья Кузнецовых проживала в коммунальной квартире в Медовом переулке). Его отец — Борис Кузнецов — был певцом и работал в джазе Кнушевицкого, затем на радио и в хоре Большого театра. По стопам своего родителя решил пойти и Анатолий: после окончания десятилетки в 1948 году, он поступил на вокальное отделение училища имени Ипполитова-Иванова. Однако проучился там немного и вскоре решил сменить профессию. Побудили его поступить подобным образом два человека. Первым была педагог училища по сценическому мастерству Нина Осиповна Смирнова, которая часто ему повторяла: «Толя, голос может пропасть, поэтому поступай лучше в театральное».

Вторым человеком был известный актер Михаил Кузнецов (двоюродный брат нашего героя по отцу), который часто бывал в их доме и очень увлеченно рассказывал Анатолию о мире кинематографа. В конце концов летом 1951 года наш герой решил бросить музыкальный вуз и отправился поступать на актера.

Поступал он в два театральных заведения одновременно: в театральное училище имени Щукина и Школу-студию при МХАТе. Причем, в «Щуке» его сразу раскусили, сказали: «Мы знаем, что ты, кроме нас, сдаешь экзамены и в студию МХАТа. Но поскольку аттестат ты сдаешь нам, а копию — туда, мы считаем, что ты поступаешь только к нам».

Самое удивительное, но Кузнецова приняли в оба вуза, и перед ним встал непростой вопрос: какое заведение выбрать? В течение нескольких дней он ломал голову над этой проблемой, пока все тот же двоюродный брат Михаил Кузнецов не заявил: «Толя, надо продолжать наши традиции. Поэтому иди во МХАТ».

Закончив Школу-студию в 1955 году (дипломный спектакль — тургеневский «Нахлебник», где он играл Кузовкина), Кузнецов должен был отправиться в прославленный Ярославский драматический театр имени Ф. Волкова. Однако актером театра он так и не стал — еще на третьем курсе студии его увлек кинематограф. Его первое появление на экране произошло в фильме «Опасные тропы» (1954), в котором он сыграл молодого ученого Василия Желудева, разоблачающего матерого диверсанта. Фильм занял в прокате 9-е место, собрав на своих просмотрах 29,25 млн. зрителей.