В наши дни каждый школьник получает первичные знания по математике. Еще до школы ребята учатся считать, а затем на уроках получают представление о неограниченности числового ряда, об элементах геометрии, о дробных и иррациональных числах, изучают начала алгебры и математического анализа. Эти знания абсолютно необходимы каждому молодому человеку, независимо от того, кем он станет в будущем: рабочим, инженером, механизатором, врачом, офицером или ученым.

Зачатки счета теряются в глубине веков и относятся к тому периоду истории человечества, когда еще не было письменности. Писать человек научился тогда, когда он довольно далеко продвинулся в умении считать. Математические знания в далеком прошлом применялись для решения повседневных задач, и именно практика в значительной степени руководила всем дальнейшим развитием математики. И в наше время, как и в далеком прошлом, практика выдвигает перед математикой сложные задачи. Именно в этом причина современного бурного развития математики, появления многих новых ее ветвей, позволяющих глубже и детальнее изучать явления окружающего нас мира и решать конкретные практические задачи, которые неизбежно возникают в связи с прогрессом инженерного дела и науки. Чтобы решить их, необходимо не только безукоризненно владеть теми знаниями, которые человечество приобрело в прошлом, но и находить, открывать новые средства математического исследования.

Не сомневаюсь, что многим читателям этой книги самим придется принять участие в решении проблем научно-технического прогресса: конструировать новые самолеты, космические ракеты, создавать системы связи, исследовать законы природы и использовать их для нужд практики. Чем больше и глубже нашим читателям удастся усвоить дух математики и научиться использовать ее методы хотя бы в простейших ситуациях, тем дальше и быстрее они сумеют продвинуться в использовании математических средств в той области деятельности, которой займутся после школы.

Дорогие ребята! В этой книге собрано около 200 статей, посвященных основным понятиям математики и ее приложениям.

Ряд статей словаря, такие, как «Группа», «Геометрические преобразования», «Топология», знакомят с новыми областями математики, бурно развивающимися в последние десятилетия. Не забыты и математические развлечения, в том числе и знаменитый венгерский кубик.

В нашей стране много делается для того, чтобы математически одаренные юноши и девушки могли развивать свои способности. Проводятся математические олимпиады, создаются летние математические школы. Об этом вы также сможете прочитать в статьях словаря.

Начальные геометрические сведения дошли до нас из глубокой древности. Например, формулы для вычисления площадей земельных участков, имеющих форму прямоугольника, треугольника, трапеции, приведены в древнеегипетских математических папирусах, относящихся к 2000 г. до н.э., в клинописных таблицах Древнего Вавилона.

Начальные геометрические знания были добыты опытным путем. Получение новых геометрических фактов при помощи рассуждений (доказательств) началось от древнегреческого ученого Фалеса (VI в. до н.э.). Ему приписывают установление свойств равнобедренного треугольника, доказательство равенства вертикальных углов, доказательство того, что вписанный угол, опирающийся на диаметр – прямой, и др. Фалес, по-видимому, применял поворот части фигуры и перегибание чертежа, т.е. то, что в наши дни называют перемещениями, или движениями (см. Геометрические преобразования).

Постепенно доказательства приобретают в геометрии все большее значение. К III в. до н.э. геометрия становится дедуктивной наукой, т.е. наукой, в которой большинство фактов устанавливается путем вывода (дедукции), доказательства. К этому времени относится книга «Начала», написанная древнегреческим ученым Евклидом (см. Евклид и его «Начала»). В ней доказываются свойства параллелограммов и трапеций, приведена теорема Пифагора (см. Пифагора теорема), изучается подобие многоугольников, рассматриваются многие другие геометрические факты.

Аксиоматика - система аксиом той или иной математической науки. Например, аксиоматика элементарной геометрии содержит около двух десятков аксиом, аксиоматика числового поля – 9 аксиом. Наряду с ними важнейшую роль в современной математике играет аксиоматика группы, аксиоматика метрического и векторного пространств (см. Вектор) и др. Советским математикам С. Н. Бернштейну и А. Н. Колмогорову принадлежит заслуга аксиоматического описания теории вероятностей (см. Вероятностей теория). Десятки других направлений современной математики также развиваются на аксиоматической основе, т.е. на базе соответствующей системы аксиом (аксиоматики).

Аксиоматический метод – важный научный инструмент познания мира. Большинство направлений современной математики, теоретическая механика и ряд разделов современной физики строятся на основе аксиоматическою метода. В самой математике аксиоматический метод дает законченное, логически стройное построение научной теории. Не меньшее значение имеет и то, что математическая теория, построенная аксиоматически, находит многократные приложения в математике и естествознании.

Во многих разделах современной математики применяются метрические пространства как совокупности элементов произвольной природы, в которых для каждой пары

a

 и

b

 определено число

ρ(a,b)

, называемое расстоянием между

a

 и

b

 и удовлетворяющее аксиоматике, состоящей всего из трех аксиом:

Алгебра - часть математики, которая изучает общие свойства действий над различными величинами и решение уравнений, связанных с этими действиями. Решим задачу: «Возрасты трех братьев 30, 20 и 6 лет. Через сколько лет возраст старшего будет равен сумме возрастов обоих младших братьев?» Обозначив искомое число лет через

x

, составим уравнение: 30 + x = (20 + x) + (60 + x), откуда x = 4. Близкий к описанному метод решения задач был известен еще во II тысячелетии до н.э. писцам Древнего Египта (однако они не применяли буквенной символики). В сохранившихся до наших дней математических папирусах имеются не только задачи, которые приводят к уравнениям первой степени с одним неизвестным, как в задаче о возрасте братьев, но и задачи, приводящие к уравнениям вида ax

2

= b (см. Квадратные уравнения).

Еще более сложные задачи умели решать с начала II тысячелетия до н.э. в Древнем Вавилоне: в математических текстах, выполненных клинописью на глиняных пластинках, есть квадратные и биквадратные уравнения, системы уравнений с двумя неизвестными и даже простейшие кубические уравнения. При этом вавилоняне также не использовали букв, а приводили решения «типовых» задач, из которых решения аналогичных задач получались заменой числовых данных. В числовой же форме приводились и некоторые правила тождественных преобразований. Если при решении уравнения надо было извлекать квадратный корень из числа

a

, не являющегося точным квадратом, находили приближенное значение корня

x

: делили

a

 на

x

 и брали среднее арифметическое чисел

x

 и

a/x

.

Первые общие утверждения о тождественных преобразованиях встречаются у древнегреческих математиков, начиная с VI в. до н.э. Среди математиков Древней Греции было принято выражать все алгебраические утверждения в геометрической форме. Вместо сложения чисел говорили о сложении отрезков, произведение двух чисел истолковывали как площадь прямоугольника, а произведение трех чисел – как объем прямоугольного параллелепипеда. Алгебраические формулы принимали вид соотношений между площадями и объемами. Например, говорили, что площадь квадрата, построенного на сумме двух отрезков, равна сумме площадей квадратов, построенных на этих отрезках, увеличенной на удвоенную площадь прямоугольника, построенного на этих отрезках. С того времени и идут термины «квадрат числа» (т.е. произведение величины на самое себя), «куб числа», «среднее геометрическое». Геометрическую форму приняло у греков и решение квадратных уравнений – они искали стороны прямоугольника по заданным периметру и площади.

Большинство задач решалось в Древней Греции путем построений циркулем и линейкой (см. Геометрические построения). Но не все задачи поддавались такому решению. Например, «не решались» задачи удвоения куба, трисекции угла, задачи построения правильного семиугольника (см. Классические задачи древности). Они приводили к кубическим уравнениям вида x