Эта глава начинается с рассмотрения общих вопросов применения математики в инженерном деле. Математический аппарат инженера определяется как взаимосвязанная совокупность языка, моделей и методов математики, ориентированная на решение инженерных задач. Цель настоящей книги - помочь инженеру в освоении некоторых практически важных разделов математического аппарата, пока еще не нашедших должного отражения в вузовском курсе высшей математики.

Основное внимание уделяется множествам, матрицам, графам, логике и вероятностям. Все эти разделы тесно связаны между собой, поэтому во вводной главе приведены краткие сведения по каждому из них, которые затем используются при более глубоком изложении материала. Внутренние ссылки даются тремя цифрами в скобках, означающими соответственно номера главы, параграфа, пункта. При ссылках на материал внутри главы ее номер опускается, а в пределах параграфа ссылка содержит только номер пункта.

При изучении вводной главы важно понять смысл основных определений, привыкнуть к соответствующей символике, научиться выполнять простейшие операции над математическими объектами. Этой цели должны способствовать приведенные в конце каждого параграфа задачи и упражнения, решение которых позволит закрепить и расширить изложенный материал. Даже если читатель отложит изучение специальных глав на будущее, то и тогда материал вводной главы может пригодиться при чтении специальной литературы и справочных пособий. Разумеется, каждый читатель в зависимости от его подготовки и целей наметит свой подход к использованию книги.

- 5 -

1.

Взаимодействие математики и техники

. Технические науки развиваются в тесном взаимодействии и сотрудничестве с математикой. Это проявляется, с одной стороны, в использовании математического аппарата для решения научно-технических задач. С другой стороны, инженерная практика в значительной мере ориентирует и стимулирует развитие самой математики. Можно привести множество примеров, иллюстрирующих это положение.

Исследование различных типов дифференциальных уравнений с самого начала тесно связывалось с решением технических и физических проблем. Метод наименьших квадратов, ставший одним из эффективных средств обработки результатов наблюдений возник из потребностей геодезической практики. Начертательная геометрия развилась под влиянием строительного дела, архитектуры и механики. Огромный арсенал

численных методов

сформировался и продолжает развиваться благодаря практическим потребностям.

Взаимодействие математических и прикладных дисциплин приводит к их взаимному обогащению, причем этот процесс носит двусторонний характер. Нередко идеи и методы, разработанные для решения частных задач в какой-либо конкретной области, приобретают в процессе развития столь общее значение, что их строгое обоснование становится делом математиков. Те идеи и методы, которые выдерживаются всесторонние и подчас весьма длительные испытания, развиваются в математические теории, обслуживая затем более широкий класс задач, чем те, из которых они возникли.

Характерным примером в этом отношении является теория вероятностей, для оформления которой как раздела математики понадобилось несколько столетий, считая от первых попыток найти закономерности в азартных играх. Операционное исчисление, разработанное на интуитивном уровне в конце прошлого века для расчета электрических цепей, испытало на себе все превратности судьбы, но затем получило строгое обоснование и нашло свое место в теории интегральных преобразований.

- 6 -

1.

Что такое множество?

Ответить на этот вопрос не так просто, как это кажется на первый взгляд. В повседневной жизни и практической деятельности часто приходится говорить о некоторых совокупностях различных объектов: предметов, понятий, числе, символов и т.п. Например, совокупность деталей механизма, аксиом

- 20 -

геометрии, чисел натурального ряда, букв русского алфавита. На основе интуитивных представлений о подобных совокупностях сформировалось математическое понятие множества как объединения отдельных объектов в единое целое. Именно такой точки зрения придерживался основатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор.

Множество относится к категории наиболее общих, основополагающих понятий математики. Поэтому вместо строгого определения обычно принимается некоторое основное положение о множестве и его элементах. Так, группа выдающихся математиков, выступающая под псевдонимом Н. Бурбаки, исходит из следующего положения: «Множество образуется из элементов, обладающих некоторыми свойствами и находящихся в некоторых отношениях между собой или с элементами других множеств».

1. Какие из приведенных ниже соотношений неверны и почему?

а) x ∈ {2, a, x}; б) 3 ∈ {1, {2, 3}, 4}; в) x ∈ {1, sinx}; г) {x, y} ∈ {a, {x, y}, b}.

2. Равны ли между собой множества А и В (если нет, то почему)?

1.

Матрица как таблица

.

Матрица

– это совокупность чисел или объектов другой природы, расположенных в виде прямоугольной таблицы:

Такая таблица, состоящая из

m

строк и

n

столбцов, содержит

mn

клеток (позиций). При этом говорят, что матрица имеет

размер m × n

и ее называют

( m × n )-матрицей

. Позиция на пересечении i -й строки и j -го столбца называется

ij -клеткой

.