Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор, создатель теории множеств, одного из величайших новых явлений в мире науки, родился в Петербурге 19 февраля ст. стиля (3 марта нов. стиля) 1845 г. Отец его Георг Вольдемар Кантор, родом из Копенгагена, прибыл в Петербург в молодости; он держал там маклерскую контору под собственным именем, иногда же под названием «Кантор и К.» Усердный и удачливый коммерсант, он достиг крупного успеха и оставил после смерти (1863 г.) весьма значительное состояние; по-видимому, он пользовался и в Петербурге, и позже в Германии высоким уважением. По болезни легких он в 1856 г. переселился с семьей в Германию; там он вскоре избрал местом пребывания Франкфурт на Майне, где жил на положении рантье. Мать Кантора, Мария, урожденная Бем, происходила из семьи, многие члены которой были одарены в разных областях искусства; влияние ее проявилось, без сомнения, в богатой фантазии сына. Дед его, Людвиг Бем, был капельмейстером; брат деда Иозеф, живший в Вене, был учителем знаменитого виолончелиста-виртуоза Иоахима; брат Марии Кантор был также музыкантом, а сестра ее Аннета имела дочь-художницу, преподававшую в Мюнхенской школе художественных ремесел. Художественная жилка заметна также у брата Георга Кантора, Константина, бывшего талантливым пианистом, и у сестры его Софии, особенно склонной к рисованию.

Одаренный мальчик, посещавший в Петербурге начальную школу, уже очень рано проявил страстное желание приступить к изучению математики. Отец его, однако, не согласился с этим, считая более обещающей в отношении заработка профессию инженера. Сын сначала подчинился; он посещал некоторое время гимназию в Висбадене, а также частные школы во Франкфурте на Майне; затем поступил, весной 1859 г., в провинциальное реальное училище Великого герцогства Гессенского в Дармштадте, где преподавали также латынь; оттуда он перешел в 1860 г. на общий курс Высшей ремесленной школы (позже Высшей технической школы). Отец руководил его образованием, предъявляя необычно высокие требования; особую важность придавал он воспитанию энергии, твердости характера и пронизывающей всю жизнь религиозности; в частности же он подчеркивал важность полного овладения основными современными языками. Отец наставлял его (в письме по поводу конфирмации в 1860 г.) держаться твердо, вопреки всякой вражде, и всегда добиваться своего; призыв этот не раз вспоминался сыну в часы тяжелых испытаний и, возможно, именно этому отцовскому воспитанию мы обязаны тем, что творческий дух его не был преждевременно сломлен и плоды его не были потеряны для потомства.

С течением времени глубокое влечение сына к математике не могло не подействовать на отца, письма которого свидетельствуют также об его уважении к науке. В письме из Дармштадта, датированном 25 мая 1862 г. и представляющем первое сохранившееся письмо Кантора, сын мог уже выразить отцу благодарность за одобрительное отношение к его планам: «Дорогой папа! Ты можешь себе представить, как обрадовало меня твое письмо; оно определяет мое будущее. Последние дни я провел в сомнении и неуверенности; и не мог прийти ни к какому решению. Долг и влечение постоянно были в борьбе. Теперь я счастлив, видя, что не огорчу тебя, последовав в моем выборе собственной склонности. Надеюсь, дорогой отец, что сумею еще доставить тебе радость, потому что душа моя, все мое существо живет в моем призвании; человек делает то, что он хочет и может, и к чему влечет его неведомый, таинственный голос!..»

Осенью 1862 г. Кантор приступил к занятиям в Цюрихе, откуда он, впрочем, уже после первого семестра ушел вследствие смерти отца. С осени 1863 г. он изучал математику, физику и философию в Берлине, куда триумвират Куммера, Вейерштрасса и Кронеккера привлекал лучшие дарования, возбуждая умы (тогда еще довольно узкого) круга слушателей в самых различных направлениях. Лишь весенний семестр 1866 г. провел он в Геттингене. Сильнейшее влияние на его научное развитие оказал, бесспорно, Вейерштрасс. Замечательно и характерно для широты взглядов Вейерштрасса, для его непредубежденного и проницательного суждения, с каким сочувственным пониманием и как рано оценил он нетрадиционные идеи своего ученика, ответив этим на глубокое уважение, которое тот неизменно оказывал ему в течение всей жизни, вопреки преходящим размолвкам. В берлинские годы Кантор входил не только в Математическое Общество, но и в более узкий круг молодых коллег, еженедельно встречавшихся в трактире Ремеля; к этому кругу принадлежали, не считая случайных гостей, Генох (будущий издатель “Fortschritte” («Успехов»), Лампе, Мертенс, Макс Симон, Томе; последний из них был особенно близок Кантору. Далее, к его товарищам по Берлинскому университету принадлежал Г. А. Шварц, бывший на два года старше; впоследствии, впрочем, он встретил идеи Кантора с сильнейшим недоверием, в противоположность своему учителю Вайерштрассу, и до самого конца жизни особо предостерегал от них, подобно Кронеккеру, своих студентов. 14 декабря 1867 г. двадцатидвухлетний студент защитил в Берлинском университете дипломную работу, возникшую из глубокого изучения Disquisitiones arithmeticae («Исследования по арифметике») и «Теории чисел» Лежандра и оцененную факультетом как “dissertatio docta et ingeniosa” («Ученое и остроумное рассуждение»)

Кажется, Кантор в течение короткого времени преподавал в Берлине в женской школе; во всяком случае, в 1868 г, он вступил, выдержав государственный экзамен, в известную семинарию Шельбаха, готовившую учителей математики.

С только что упомянутой работой [5] жизнь Кантора начинает выходить за рамки нормального развития талантливого ученого, в которые она вмещалась до того.

На второй период, примерно с 1871 по 1884 год, приходится величайшее напряжение сил гениального исследователя, увенчавшееся построением теории множеств.

1872−74 годы принесли с собой два значительных события в личной жизни Кантора. Во время одной из поездок в Швейцарию, нередких в его молодости, он в 1872 г. совершенно случайно знакомится в Герсау с Дедекиндом. Это знакомство привело, наряду с частыми личными встречами, впоследствии происходившими обычно в Гарцбурге, также к переписке, от которой сохранилось 38 писем за годы 1873−79 и 1899. Хотя математическое содержание этой переписки ограничено, они весьма интересны как отражение способа работы и настроения Кантора в то время, а равным образом противоположности характеров этих людей, связанных продолжительной дружбой и высоко ценивших друг друга. Пользуясь терминами Оствальда, можно назвать являющегося в этих письмах Кантopa «романтиком», в противоположность «классику» Дедекинду. Это различие проявляется также в темпе писем Кантора, которые в периоды научной бури и натиска буквально перегоняют друг друга, в то время как ответы Дедекинда отличаются неизменной пунктуальностью. Следует отметить также весьма значительную в начале переписки разницу в возрасте (Дедекинд был на 14 лет старше). В целом, Кантор играет в этой переписке роль спрашивающего и берущего. Уже в одном из первых писем он выражает свою потребность обсуждать с Дедекиндом научные вопросы и ближе познакомиться с ним лично; и в дальнейшем мы постоянно встречаем почтительную благодарность за то, что дает ему это знакомство, а также за «вдохновляющее и чрезвычайно поучительное воздействие» на него «классических трудов» Дедекинда (письмо от 31 августа 1899 г.). Впрочем, глубокое влияние Дедекинда, с его абстрактным, предпочтительно аналитическим подходом, стремящимся к завершенной систематике, еще сильнее сказывается косвенным образом − в построении позднейших публикаций Кантopa по теории множеств, сравнительно с конструктивным стилем молодого Кантора, продвигавшегося вперед отдельными бросками. Перемена эта во многом соответствует весьма выраженной противоположности тенденций в современных исследованиях по основаниям математики.

В то же время Кантор познакомился со своей будущей супругой Валли Гутман. В 1872 г. он стал экстраординарным профессором в Галле, весной 1874 г. состоялась помолвка, а летом свадьба. Во время свадебного путешествия молодожены встретились в Интерлакене с Дедекиндом. У Кантора было четыре дочери и два сына; никто из детей не проявил особой математической одаренности.

Семидесятые года принесли Кантору и различные внешние успехи. Уже в 1869 г. он стал действительным членом Общества Естествоиспытателей в Галле; особенно же следует отметить избрание в члены-корреспонденты Геттингенского Научного Общества. По-видимому, ни одна другая немецкая академия и ни один университет, кроме Галле, вообще не почтили публично его заслуги. Далее, в 1878 г. он отклонил приглашение в Мюнстерскую Академию, а в 1879 г. был назначен ординарным профессором в Галле.

1884 г. видимым образом завершает второй, важнейший и плодотворнейший период в творчестве Кантора; начинается следующий период, также продолжительностью в тринадцать лет, когда его созидательная воля, хотя и не сломленная, под влиянием упомянутых обстоятельств и вызванного ими смещения интересов рождает лишь немного произведений, сравнимых по оригинальности с результатами второго периода. С другой стороны, именно в это время новые идеи все больше начинают пробивать себе путь к научной общественности.

В начале 1885 г. психический кризис у Кантора по существу преодолевается, и вновь возрождается его вера в значение собственных достижений. Далее, к его идеям примыкают в возрастающем числе другие математики (прежде всего, в 1885 г. Гарнак, Лерх, Фрагмен). Теоретико-множественная точка зрения предлагается даже для целей школьного преподавания: старший учитель городской гимназии в Галле, Фр. Майер, состоявший в близких личных отношениях с Кантором, публикует в 1885 г. второе издание своих “Elemente der Arithmetik und algebra” («Элементов арифметики и алгебры»), на которые оказали решительное влияние идеи Кантора о трансфинитном; в частности, в этой книге понятие числа вводится теоретико-множественным путем. Правда можно усомниться, произвела ли эта высоко стоящая в научном отношении книга надлежащее воздействие на школьное преподавание, на которое была рассчитана. В последующие годы выходит и ряд дальнейших работ самого Кантора, в которых изложение и защита ранее достигнутого, особенно же дискуссии философского характера, превышают новое творчество. В математическом отношении интересы Кантора все больше смещаются, отдаляясь от

точечных множеств

в сторону расширения

понятия числа

. На то же время приходится обширная корреспонденция с математиками, философами, теологами и другими учеными, в которой он уточняет свои взгляды на актуальную бесконечность, защищая ее от недоразумений. Он находит досуг также для расширения своих и до того поразительных познаний в старой философской и теологической литературе о проблеме бесконечного. В этом духе написаны работы“Über die verschiedenen Standpunkte in Besug auf das aktuelle Unendliede” («О различных точках зрения на актуальную бесконечность») и “Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten” («К учению о трансфинитном»), в значительной мере направленные в сторону философии и полемически окрашенные. Кроме того, в конце последней из них содержится еще своеобразная теория кратных порядковых типов; в 1888 г. появилась диссертация на эту тему “Ein Beitrag zur Theorie der Ordnungstypen” («К теории порядковых типов») его ученика, впоследствии философа Германа Шварца, возникшая под влиянием прочитанных в 1887 г. лекций Кантора. К тому же времени относится высказывание Кантона (в письме Виванти), что многозначная аналитическая функция способна принимать в заданной точке

Наряду с другими соображениями, прежде всего конфликт с Кронеккером привел его к убеждению, что для обеспечения свободы и научной независимости отдельного, в особенности начинающего исследователя в математическом сообществе и для защиты от чрезмерного влияния отдельных ученых целесообразно объединить немецких математиков в одну организацию. По его инициативе было основано

Отложив личную неприязнь, он пригласил Кронеккера сделать вступительный доклад на первом собрании Объединения в Галле (осенью 1891 года)

Более широкий план Кантора − основать международную организацию математиков потерпел неудачу; но он решительно и успешно работал над учреждением

В 1897 году завершается публикация работ 52-летнего в то время исследователя. Тогда же начинается все возрастающее признание его труда математическим миром.

Прекращение научной продукции вовсе не означает, что он перестал интенсивно заниматься теорией множеств. Применениям в теории функций действительного переменного он уделял мало внимания, более ожидая вторжения методов теории множеств в классический анализ и в теорию чисел. В центре же его интересов по-прежнему находилась

проблема континуума

. Об его усилиях в этом направлении, кроме волнующего эпизода в 1904 г., говорит также переписка с Дедекиндон летом 1899 г. Эти последние дошедшие до нас обрывки переписки, отделенные от предыдущих почти двадцатилетним промежутком, начинаются с утверждения Кантора, что с 1897 г. он располагает доказательством теоремы, в силу которой все мощности

суть алефы

. Дело заключалось в следующем.

Не позже 1895 г., т. е. за два года до публикации Бурали-Форти, Кантор сам столкнулся с так называемым парадоксом Бурали-Форти, касающимся множества всех порядковых чисел, и в 1896 г. сообщил о нем Гильберту

[23]

. Далее, в 1899 г. он пишет Дедекинду также о других противоречивых системах, например, о совокупности всех мощностей или всего мыслимого, и называет их «неконсистентными» (или «абсолютно бесконечными») системами. В противоположность этому, система может рассматриваться как множество, «если совокупность элементов некоторого разнообразия непротиворечивым образом мыслима как совместно существующая»

[24]

. Парадокс, возникающий из множества всех порядковых чисел, по мнению Кантора как раз и означает, что существуют «некоторые разнообразия, не мыслимые также в виде однообразия». Опираясь на эти не особенно ясные понятия, он утверждает далее, что эквивалентные разнообразия одновременно являются множествами или неконсистентны, и что подразнообразие множества есть снова множество. Дальше он рассуждает следующим образом. Пусть

W

− система всех порядковых чисел,

V

− разнообразие, не имеющее в качестве мощности никакого алефа; тогда легко видеть, что «вся система

В перегоняющих друг друга письмах, относящихся к периоду успешной деятельности Кантора (1899 г.), содержатся и другие вещи, заслуживающие упоминания.

Так, 29 августа Дедекинд сообщает другу доказательство эквивалентности с помощью своей теории цепей, на возможность которого он уже весной 1897 г. указывал Ф. Берштейну

Более сорока лет Кантор занимался преподавательской деятельностью в университете Галле; выдающемся преимуществом его лекций была строгость и четкость в определении понятий. Изложение, по рассказам его учеников, было ясным и упорядоченным, но в то же время оживленным и возбуждающим интерес. (Так обстояло дело, во всяком случае, в периоды хорошего самочувствия; в последние годы в лекциях приходилось делать более или менее продолжительные перерывы, когда он был нездоров). На подготовку лекций он затрачивал немного времени. Поэтому изложение интересовавших его предметов, доставлявшее, по словам многих его слушателей, высокое эстетическое наслаждение, весьма заметно отличалось от чтения им других курсов; к этим последним принадлежала также теория функций, находившаяся тогда в Галле в большом пренебрежении. Но, например, к теории групп Кантор проявлял несомненный интерес. Время от времени он докладывал на семинаре свои открытия в теории множеств. Число его слушателей часто оказывалось очень небольшим, нередко сокращаясь до 1−3; это объяснялось низкой посещаемостью математических предметов в Галле, существенно поднявшейся лишь в начале этого столетия. Можно понять поэтому стремление Кантора перейти в другой университет. В совокупности он подготовил все же немало кандидатов на учительские должности, но число диссертаций, выполненных под его руководством, очень невелико

[33]

, и лишь немногие талантливые исследователи были им непосредственно воспитаны. Это связано отчасти с тем, что Кантор, как правило, сразу же сам реализовал свои идеи и не располагал поэтому избытком привлекательных задач; по той же причине он не оставил ценного неопубликованного наследия. Сверх того, его исключительная погруженность в занимавшие его проблемы мало способствовала усилиям по привлечению молодых талантов.

В человеческом отношении он был верным и отзывчивым другом своих слушателей; дом его всегда был открыт для них, как и для многих студентов других специальностей, привлекая их интимной атмосферой, музыкой и возбуждающей, юношески свежей общительностью; значительную роль в этом играла его любезная супруга. Даже в пожилом возрасте он не щадил усилий, чтобы оказать помощь своим ученикам или просто доставить им радость; в частности, к молодым приват-доцентам он относился с исключительной благожелательностью, и в их круге было известно, что каждый, обратившийся к Кантору с просьбой, важной или не столь важной, всегда найдет в нем дружески расположенного слушателя и советчика.

Что касается личности Контора вообще, то все знавшие его рассказывают о его искрящейся, остроумной, оригинальной натуре, склонной к внезапным вспышкам и всегда чистосердечно радовавшейся собственным шуткам; о его неутомимом темпераменте, придававшем − наряду с его внушительной, крупной фигурой − особую привлекательность математическим собраниям, в которых он участвовал, вызывавшем неистощимый поток его мыслей − и поздним вечером, и ранним утром, и в области математики, и во многих областях его внематематических интересов; о его честном характере, верном друзьям, готовом прийти на помощь, дружелюбном в обращении; и, наряду с этим, о характерной рассеянности ученого. В устном обмене мыслями он был, как правило, дающим, и не был расположен сразу же схватывать чужие идеи. Всем своим мыслям он отдавался с равной любовью и настойчивостью; возможно, возникновением труда его жизни мы обязаны не столько вложенной в него силе мысли, и даже не столько гениальной интуиции, в соединении с мощной способностью к формированию понятий, сколько невероятной энергии, с которой он преследовал свои цели, вопреки всем препятствиям. Эта непоколебимая стойкость вытекала из его глубокого убеждения в истинности, даже в реальности своих идей; в письме от 26 января 1884 г. он писал Миттаг-Лефлеру, по поводу желания Кронеккера видеть свои работы принятыми в Acta Mathematica c тем же беспристрастием, что и работы Кантора: «Может быть,

Однако, убеждение в величии и значительности своего труда не сделало Кантора надменным, как это случалось со многими выдающимися исследователями. Наряду с дружескими отношениями, связывавшими его с Дедекиндом и Миттаг-Лефлером, об этом свидетельствуют и многие отдельные черты. Так, даже в 1905 г., посылая, по желанию Миттаг-Лефлера, свой портрет для Acta, он пишет при этом: «Я предпочел бы, чтобы Вы не печатали моего портрета, так как считаю это для себя чрезмерной честью». Характерно в этом отношении также предисловие к отдельному изданию его важнейшей работы (часть 5 работы [13]).

Если Кантор высоко ценит и стремится защитить дух свободы и независимости среди математиков, то он ни в коем случае не делает это pro domo suo (для собственного употребления); требования, вытекающие из его убеждений, он предъявляет и к самому себе. Это видно, например, из его содействия Бендиксону, письмо которого Кантору, (написанное в мае 1883 г.) по его настоянию было обработано для печати и опубликовано во 2-ом томе Acta; за благодарное и истинно научное отношение к г-ну Бендиксону