В живой увлекательной форме рассказано о специальности математика, математической теории, научной атмосфере Кембриджа начала века. Профессор Г. Харди – выдающийся английский математик, его научное творчество совместно с Литлвудом привело к ряду замечательный открытий.
Для широкого круга читателей – математиков, историков, философов, студентов, научных работников и даже для школьников.
Г. Г. Харди. Апология математика
A Mathematician's Apology
by
G.H. Hardy
Предисловие Ч. П. Сноу
Это был ничем не примечательный вечер за высоким столом[
1
] в Крайст-колледже[
2
], если не считать того, что гостем был Харди. Он только что вернулся в Кембридж в качестве Садлеровского профессора[
3
], и мне доводилось слышать о нём от молодых кембриджских математиков. Они были в восторге от его возвращения: по их словам, он был настоящим математиком, не то, что все эти дираки[
4
] и боры[
5
], о которых без умолку толкуют физики. Харди был чистейшим из чистых математиков[
6
]. К тому же он был человеком неортодоксальным, эксцентричным, радикальным и охотно говорил буквально обо всём. На дворе стоял 1931 год, и выражение "звезда" ещё не вошло в английский язык, но позднее молодые кембриджские математики непременно сказали бы, что Харди наделён всеми качествами звезды.
Со своего места я снизу вверх наблюдал за Харди. Ему тогда было лет пятьдесят с небольшим. Волосы его уже поседели, но плотный загар придавал ему сходство с краснокожим индейцем. Лицо Харди было красивым: высокие скулы, тонкий нос, выразительные лучистые глаза, в которых, однако, время от времени пробегало насмешливое мальчишеское выражение. Глаза у него были тёмно-карими, яркими, как у птицы, такие глаза не часто встретишь у тех, кто склонен к астральному мышлению. В Кембридже в ту пору было немало необычных, запоминающихся личностей, но Харди, подумалось мне в тот вечер, выделялся даже среди них.
Не помню, как был одет тогда Харди. Вполне возможно, что под мантией на нём была спортивная куртка и серые спортивные брюки. Подобно Эйнштейну, Харди одевался как ему нравилось, хотя в отличие от Эйнштейна он разнообразил свой повседневный туалет, отдавая явное предпочтение дорогим шёлковым рубашкам.
Когда мы сидели в профессорской, потягивая вино после обеда, кто-то сказал, что Харди хотел бы поговорить со мной о крикете. Я был избран членом колледжа всего лишь за год до этого, но Крайст в то время был небольшим колледжем, и о том, как предпочитают проводить свой досуг даже младшие члены колледжа, вскоре становилось известно всем. Я пересел рядом с Харди. Меня никто ему не представил. Как я узнал впоследствии, Харди был человеком скромным и застенчивым во всём, что касалось этикета, и панически боялся официальных представлений. Харди слегка кивнул мне, как бы приветствуя старого знакомого, и без предисловий начал:
- Говорят, Вы неплохо разбираетесь в крикете[
АПОЛОГИЯ МАТЕМАТИКА
Предисловие
Я весьма признателен за множество ценных замечаний профессору Ч. Д. Броуду и д-ру Ч. П. Сноу, каждый из которых прочитал мою первоначальную рукопись. Я включил в текст по существу почти все их предложения, что позволило избежать многочисленных неточностей и неясностей.
Однако был случай, когда мне пришлось поступить иначе. В основу §28 положена короткая заметка, помещённая мной в "Эврике" (журнале Кембриджского архимедова общества) в начале года, и я счёл невозможным переделывать то, что было написано мной так недавно и так тщательно. Если бы я попытался удовлетворить всерьёз этим важным критическим замечаниям, то мне пришлось бы расширить §28 настолько, что это нарушило бы баланс всей моей книги. Поэтому я оставил всё без изменения, но добавил в "Примечании" в конце книге краткое изложение сути главных замечаний, сделанных моими критиками. 18 июля 1940 г. Г. Г. Х.
1
Писать о математике - печальное занятие для профессионального математика. Математик должен делать что-то значимое, доказывать новые теоремы, чтобы увеличивать математические знания, а не рассказывать о том, что сделал он сам или другие математики. Государственные деятели презирают пишущих о политике, художники презирают пишущих об искусстве. Врачи, физики или математики обычно испытывают аналогичные чувства. Нет презрения более глубокого или в целом более обоснованного, чем то, которое люди создающие испытывают по отношению к людям объясняющим. Изложение чужих результатов, критика, оценка - работа для умов второго сорта.
Помню, что как-то раз мне довелось обсуждать эту проблему в одной из нескольких серьёзных бесед с Хусманом. В своей лекции памяти Лесли Стифена "Назначение и природа поэзии" Хусман весьма решительно отрицал свою принадлежность к "критикам", но делал это, как мне показалось, в особенно странной форме: он выразил восхищение литературной критикой, что озадачило и шокировало меня.
Он начал с цитаты из своей инаугурационной лекции, прочитанной двадцатью двумя годами раньше. "Не могу утверждать, является ли талант литературного критика лучшим даром Всевышнего, но он, по-видимому, полагает именно так, ибо талант литературного критика весьма редкий. Ораторы и поэты встречаются редко по сравнению с ягодами чёрной смородины, но чаще, чем возвращения кометы Галлея[
87
]. Литературные критики встречаются ещё реже..."
И далее: "За двадцать два года я усовершенствовался в одних отношениях и ухудшился в других, но усовершенствовался не настолько, чтобы стать литературным критиком, равно как не ухудшился настолько, чтобы вообразить, будто я стал таковым".
Мне показалось плачевным, чтобы выдающийся учёный и замечательный поэт так писал, и оказавшись через несколько недель рядом с ним в холле, я собрался с духом и высказал ему своё мнение. Неужели сказанное им должно быть воспринято всерьёз? Неужели жизнь лучшего из критиков действительно кажется ему сравнимой с жизнью учёного или поэта? Мы обсуждали эти вопросы на протяжении всего обеда, и, как мне кажется, он, наконец, согласился со мной. Не следует думать, будто я провозглашаю диалектический триумф над человеком, который более не может возразить мне... Но под конец нашего разговора его ответом на первый вопрос было: "Возможно, не вполне", а отвечая на второй, он заметил: "Вероятно, нет".
2
Я намереваюсь заняться апологией[
88
] математики. Возможно мне скажут, что в этом нет необходимости, так как ныне существует лишь несколько областей науки, которые по общему признанию (обоснованно или необоснованно) считаются более доходными и почётными. Возможно, это и так. Во всяком случае, вполне вероятно, что со времён сенсационных триумфов Эйнштейна звёздная астрономия и атомная физика - единственные науки, которые оцениваются общественным мнением выше, чем математика. Математику в настоящее время нет необходимости защищать свою профессию. Ему не нужно отвечать на те возражения, которые описаны Брэдли[
89
] в превосходной апологии метафизики, которая служит введением к его книге "Видимость и реальность".
Метафизик, говорит Брэдли, возразит, что "метафизическое знание совершенно невозможно" или что "даже если оно и возможно до какой-то степени, то практически его нельзя называть знанием". "Те же проблемы, придётся услышать метафизику, те же дискуссии, тот же полный провал. Почему бы не оставить всё это? Разве нет ничего другого, более достойного ваших усилий?" Разумеется, не найдётся ни одного глупца, который бы решился говорить в таком тоне о математике. Большая часть математических истин очевидна и впечатляюща. Она впечатляет. Практические приложения математики, мосты, паровые двигатели и динамо-машины производят глубокое впечатление на самое заторможенное воображение. Широкую публику не нужно убеждать в том, что математика имеет какой-то смысл.
Всё это весьма удобно для математиков, но истинный математик вряд ли успокоится на этом. Любой истинный математик должен ощущать, что истинная математика опирается не на указанные выше грубые, осязаемые достижения, и что репутация математики в глазах широкой публики зиждется на незнании и ошибочных представлениях, и что возможна более рациональная защита математики. Как бы то ни было, я намереваюсь предпринять такую попытку. Моя задача представляется мне более простой, чем трудная попытка апологии метафизики, предпринятая Брэдли.
В этой связи я хочу задать вопрос: стоит ли вообще серьёзно изучать математику? Что, собственно, служит оправданием жизни математика? Мои ответы большей частью будут такими, какие следует ожидать от математика: я глубоко убежден, что математикой стоит заниматься, чему существуют многочисленные подтверждения. Но я сразу же должен заявить, что защищая математику, я буду защищать и себя и что моя апология с необходимостью будет в определённой мере эгоистичной. Не думаю, что мне стоит приносить извинения за выбранную мной специальность, даже если я считаю себя неудачником в математике.
Некоторый эгоизм такого рода неизбежен, и я не думаю, что он реально нуждается в оправдании. Хорошая работа делается отнюдь не "скромными" людьми. Одна из важнейших обязанностей профессора, преподающего любой предмет, состоит в том, чтобы немного преувеличить важность своего предмета и своего участия в его развитии. Человек, постоянно задающий вопросы "Стоит ли заниматься тем, что я делаю?" и "Тот ли я человек, который справится с этим делом?" всегда будет неэффективен и к тому же будет расхолаживать других. Он должен слегка прикрыть глаза и думать о своём предмете и самом себе немного лучше, чем они того заслуживают. Сделать это не слишком трудно: труднее не выставить свой предмет и себя на посмешище, зажмурившись слишком плотно.
3
Человеку, решившему оправдать своё существование и свою деятельность, необходимо различать два несхожих по существу вопроса. Первый вопрос состоит в том, стоит ли заниматься тем, чем он занимается; второй - в том, почему он этим занимается (какова бы ни была ценность того, чем он занимается).
Первый вопрос часто оказывается очень трудным, а ответ на него - обескураживающим, но несмотря на это большинство людей находят второй вопрос достаточно лёгким. Их ответы, если они честны, обычно принимают ту или другую из двух форм, причём вторая форма является всего лишь более скромной вариацией первой, которую нам надлежит рассмотреть серьёзно.
(1) "Я занимаюсь тем, чем занимаюсь потому, что это единственное что я умею делать хорошо. Я адвокат, биржевой брокер или профессиональный крикетист потому, что обладаю некоторым талантом, позволяющим мне выполнять именно данную конкретную работу. Я адвокат потому, что у меня хорошо подвешен язык и меня интересуют всякого рода юридические тонкости. Я биржевой брокер потому, что могу быстро и точно оценивать ситуацию на рынке ценных бумаг. Я профессиональный крикетист потому, что могу очень хорошо играть в крикет. Я признаю, что быть поэтом или математиком возможно и лучше, но к сожалению не обладаю талантом для занятий поэзией или математикой".
Я отнюдь не утверждаю, будто большинство людей может выдвигать такие аргументы в своё оправдание, так как большинство людей вообще не умеют ничего делать хорошо. Но подобная апологетика становится несокрушимой, если её можно выдвинуть, не впадая при этом в противоречие, как это умеет делать незначительное меньшинство людей: возможно, пять или даже десять процентов людей могут делать что-то сравнительно неплохо, очень мало людей умеет делать что-то действительно хорошо, а число тех, кто умеет хорошо делать две вещи, пренебрежимо мало. Если человек обладает настоящим талантом, то ему следует без раздумий идти на почти любые жертвы, чтобы развить свой талант полностью.
Подобную точку зрения разделяет д-р Джонсон[
4
Мне следует сказать несколько слов по поводу возраста, который особенно важен для математиков. Ни один математик не должен позволять себе забывать о том, что математика в большей степени, чем любой другой вид искусства или любая другая наука, - занятие для молодых. Приведу простой пример на сравнительно скромном уровне: средний возраст избранных в Королевское общество самый низкий у математиков.
Разумеется, мы без труда можем привести намного более поразительные примеры. Мы можем рассмотреть хотя бы карьеру человека, который вне всякого сомнения был одним из трёх величайших математиков мира. Ньютон перестал заниматься математикой в возрасте пятидесяти лет и утратил былой энтузиазм задолго до этого. Он, несомненно, осознал к тому времени, когда ему исполнилось сорок лет, что расцвет его творческой деятельности уже миновал. Его величайшие идеи - флюксии[
93
] и закон всемирного тяготения - пришли ему в голову около 1666 года, когда Ньютону было двадцать четыре года. "В ту пору я был в самом расцвете лет, пригодных для изобретения различных новшеств, и размышлял о математике и философии больше, чем когда-либо впоследствии". Свои большие открытия Ньютон совершил до того, как ему исполнилось сорок лет ("эллиптическая орбита" была открыта в тридцать семь лет), а позднее ему мало что удалось сделать, он лишь полировал и совершенствовал то, что было сделано раньше.
Галуа[
94
] умер в двадцать один год, Абель[
95
] - в двадцать семь лет, Рамануджан - в тридцать три года, Риман[
96
] - в сорок. Были люди, которые сделали выдающиеся работы и в более зрелом возрасте. Замечательная работа Гаусса[
97
] по дифференциальной геометрии была опубликована, когда ему было пятьдесят лет (хотя основные идеи были созданы им десятью годами ранее). Я не знаю ни одного случая, когда крупное математическое открытие было бы сделано человеком в возрасте старше пятидесяти. Если человек в преклонном возрасте утрачивает интерес к математике и перестает заниматься ею, то маловероятно, чтобы утрата была весьма серьёзной для математики или для него самого.
С другой стороны, маловероятно, чтобы польза от этого была особенно существенной. Перечень математиков, переставших заниматься математикой в последнее время, не слишком вдохновляет. Ньютон стал весьма компетентным директором монетного двора (когда он ни с кем не ссорился). Пенлеве[
