ЖЕРТВЫ ПРЕДУБЕЖДЕНИЙ

Фило открыл ключом дверь московской квартиры и широким жестом пропустил Мате вперед:

— Прошу!

Они вошли в маленькую, сплошь увешанную книжными полками прихожую. Две кошки, бежевые, с бархатными коричневыми подпалинами, мягко вспрыгнули Фило на плечи.

— Знакомьтесь, — сказал он, — мое семейство: Пенелопа и Клеопатра.

Мате покосился на кошек с недоверием, но от критических замечаний воздержался — спросил только, как Фило различает, кто Пенелопа, а кто Клеопатра: ведь они похожи друг на друга как две капли воды!

Фило выразил уверенность, что Мате тоже скоро научится отличать их — по характерам. Пенелопа, как ей и положено, существо преданнейшее и добрейшее. Клеопатра, само собой, взбалмошна и коварна, что не мешает всем троим пребывать в самых дружеских отношениях.

Комната Фило показалась Мате очень симпатичной, хотя на его вкус здесь было чересчур чисто. Главное украшение ее составляли книги да еще сделанные из всякой всячины фигурки. Мате и прежде приходилось видеть подобные самоделки из корней, шишек и разной домашней дребедени: обрывков провода, пузырьков, пробок… Но эти привлекли его внимание по-новому.

Здесь не было ни зверушек, ни безымянных чудищ. Но даже не слишком искушенный в литературе человек мог бы сразу определить, что все это герои известных книг и пьес. Вот задумался, сидя на камне, длиннокудрый Гамлет. А вот развалился на пуфе завравшийся Хлестаков. Но особенно понравились Мате сделанные из древесного корня Дон-Кихот и Санчо Панса.

— Клянусь решетом Эратосфена, эта парочка определенно напоминает нас с вами.

— Пожалуй, — отозвался Фило, занятый приготовлениями к завтраку. — Мы и в самом деле чем-то похожи на прославленных героев Сервантеса. И, кстати сказать, не только внешне.

— Вот даже как!

— Во-первых, мы тоже чудаки. Во-вторых, странствуем по свету.

— В-третьих?

— В-третьих, несомненно оказываем влияние друг на друга.

— Что-то не помню, чтобы Дон-Кихот и Санчо Панса влияли друг на друга, — пробурчал Мате.

— Еще как влияли! Под конец каждый из них позаимствовал изрядную долю опыта и воззрений другого. Вполне естественно при таком долгом и тесном общении.

Шум и возня за дверью помешали Фило развить свою мысль. Он выглянул в прихожую и ахнул: Пенелопа и Клеопатра опрокинули стоявший на полу рюкзак Мате и с азартом гоняли его содержимое по паркету.

Мате, который тоже поспешил на место происшествия, воочию убедился, что отличить Клеопатру от Пенелопы не так уж трудно. Пойманная с поличным, Клеопатра царственно отвернулась и принялась как ни в чем не бывало вылизывать свои лапки, дескать, умываю руки. Пенелопа, напротив, вжала голову в плечи и виновато забилась в угол.

— Позор, позор и в третий раз позор! — произнес Фило тоном театрального трагика. — Пенелопа и Клеопатра, мне стыдно за вас! Что скажет наш уважаемый гость?

Но уважаемый гость ничего не сказал и принялся подбирать рассыпанные вещи. Фило помогал ему, самоотверженно ползая по полу. Вдруг глаза его расширились.

— Что это, Мате? — спросил он, недоуменно вертя в руках книгу в мягкой обложке.

— Как видите, книга об Омаре Хайяме.

— Ясно, — понимающе процедил Фило, быстро пробегая глазами страницы. — Значит, сведения о математических трактатах и календарной реформе у вас отсюда?

— Да, — сказал Мате. — Глава шестая так и называется: «Обсерватория в Исфахане».

Фило посмотрел на него пристально: заодно не вспомнит ли Мате, как называется глава первая? Тот смущенно потер лоб.

— Первая… Гм! Представьте, забыл.

— Хотите, напомню? — предложил Фило, коварно улыбаясь. — Она называется «Поэт и ученый».

— Не может быть! — закричал Мате, вырывая у него книгу. — Как же я не заметил…

Мате выглядел таким пристыженным и несчастным, что у добросердечного филолога под ложечкой засосало. Он сочувственно дотронулся до костлявого плеча друга.

— Ничего не поделаешь, дорогой. От предубеждения до заблуждения — один шаг.

— Да, — покаянно закивал Мате, — всегда запоминал только то, что мне хотелось запомнить. Предубеждения делают нас слепыми.

— Это я и по себе знаю, — доверительно признался Фило. — С детства вбил себе в голову, что не способен к точным наукам. А между тем умудрялся ведь как-то сдавать экзамены! К тому же почти ничего не делая… Выходит, не так уж я туп. Попросту нашел удобную формулировку, позволяющую мне лоботрясничать: раз неспособный, так и стараться не стоит — все равно ничего не пойму!

В это время раздался пронзительный свист. Приятели вздрогнули.

— Похоже, нас с вами освистывают, — невесело пошутил Мате. — Кто бы это?

— Всего-навсего чайник, — пояснил Фило. — Между прочим, тоже член нашей семьи, и даже весьма уважаемый.

 

РЕШЕТО ЭРАТОСФЕНА

Фило пошел на кухню, позвякал там посудой и через некоторое время вернулся, неся на подносе два чайника, эмалированный и фарфоровый, покрытый вчетверо сложенной салфеткой.

— Люблю чай, — сказал он, внося поднос в комнату и ставя его на веселую красную табуретку. — А вы?

Мате, успевший уже водворить свои вещи на место, неопределенно пожал плечами.

— По лицу вижу, что равнодушны, — заключил Фило, — значит, не пробовали чая моей заварки.

Они сели за небольшой, аккуратно сервированный стол. Пенелопа и Клеопатра, которые сразу позабыли о своей провинности, умильно мурлыкая, терлись о ноги хозяина. Тот поставил перед ними на полу тарелку с мелко нарезанной колбасой, и кошки принялись за еду, деликатно подхватывая розовые кусочки свежими, как лепестки, язычками.

Осторожно наклоняя чайник, Фило наполнил стаканы дымящейся, золотисто-коричневой жидкостью.

— Вот как надо разливать чай! Ни одной чаинки в стакане. И заметьте: без помощи этого вашего пресловутого ситечка.

— Что еще за ситечко?

— Уж конечно не то, которое стащил Остап Бендер у вдовы Грицацуевой! Я имею в виду решето Эратосфена, которым вы клянетесь по всякому поводу. Кстати, давно хотел спросить, кто такой Эратосфен?

— Так вот вы о чем! — расхохотался Мате. — С вашего разрешения, Эратосфен Киренский — древнегреческий математик, живший примерно в третьем веке до нашей эры.

— Полно меня разыгрывать, — подмигнул Фило, — был бы Эратосфен математиком, не ходил бы он с ситом.

— Не с ситом, а с решетом.

— Какая разница! И то и другое — прибор для процеживания и просеивания. А что может просеивать математик? Не числа же, в самом деле!

— Отчего же! — возразил Мате, с наслаждением прихлебывая ароматный напиток. — Человек, просеивающий числа, никогда без работы не останется. Ведь чисел бесконечное множество!

— Допустим. Но какой смысл их просеивать?

— Надеюсь, вы все-таки не думаете, что Эратосфен просеивал числа сквозь обычное решето. Решетом Эратосфена называется придуманный им способ отыскивать среди натуральных чисел простые, то есть такие, которые делятся только на самих себя и на единицу.

Отодвинув подстаканник, Мате полез в карман, и на сцену снова выплыл хорошо знакомый Фило блокнот.

— Вот вам натуральный ряд чисел: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30…

— А единица где?

— Единица не в счет. Итак, зачеркнем в этом ряду каждое второе число после 2 — иначе говоря, все четные числа, которые, естественно, простыми быть не могут, так как делятся на два. Что выпало?

— Четыре, шесть, восемь, десять, двенадцать…

— Итак далее, — прервал Мате. — Теперь вычеркнем каждое третье число после тройки.

— Ой! — сказал Фило озадаченно. — Шестерка уже вычеркнута.

— Не беда, вычеркнем еще раз. Итак, вычеркиваем. 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30… Теперь посмотрим, какое невычеркнутое число стоит после тройки.

— Пять.

— Превосходно. Зачеркнем каждое пятое число после пяти. Это 10, 15, 20, 25, 30. Далее возьмем следующее после пятерки невычеркнутое число семь…

— Знаю, знаю! — догадался Фило. — Зачеркнем каждое седьмое число после семерки. Это 14, 21, 28. Потом зачеркнем каждое одиннадцатое число после 11, каждое тринадцатое после 13, каждое семнадцатое после 17, девятнадцатое после 19, двадцать третье после 23…

— Уймитесь, — остановил его Мате. — Наш ряд уже кончился!

— Ну и что же! — горячился Фило. — Да будет вам известно, что числам нет конца.

Мате шутовски расшаркался.

— Благодарю за новость. Давно ли вы узнали это от меня, и вот уже я узнаю это от вас. Ну да ладно! Назовите-ка числа, оставшиеся незачеркнутыми.

— Два, три, пять, семь, одиннадцать, тринадцать, семнадцать, девятнадцать, двадцать три, двадцать девять, — перечислил Фило.

— Вот вам и первые простые числа.

— А последние какие?

— Никакие, разумеется. По той причине, что простым числам, так же как натуральным, конца нет.

— И вы беретесь это доказать?

— Зачем же доказывать то, что давным-давно доказал Эвклид? Другое дело, если вы спросите, какое наибольшее простое число известно на сегодняшний день…

— В самом деле, какое? — заинтересовался Фило.

— Два в степени девятнадцать тысяч девятьсот тридцать семь минус единица. Это сокращенно! А чтобы изобразить его полностью, нужно шесть тысяч две цифры.

Фило язвительно захихикал. Вот так простое число! Его надо на телеграфной ленте записывать.

— И все же оно не перестает от этого быть простым. Что действительно непросто, так это найти закон, по которому простые числа распределяются среди натуральных.

— Как? — удивился Фило. — Разве он до сих пор не известен?

— Был бы известен, не приходилось бы людям мучить машины в поисках очередного простого числа. Впрочем, выдающийся русский математик Пафнутий Львович Чебышев нашел способ, позволяющий приближенно установить, сколько простых чисел заключено на определенном отрезке натурального ряда. Но это уж разговор не для вас, — поспешно прервал себя Мате, заметив, что Фило приготовился к новому вопросу. — Кстати, знаете вы, что было время, когда способ Эратосфена напоминал решето не только в переносном, но и в прямом смысле?

— Не знаю, но если вы будете столь любезны…

— Буду, буду, — великодушно заверил Мате. — Эратосфен писал числа на дощечке, покрытой слоем воска. При этом составные числа он не зачеркивал, а протыкал острой палочкой. И вскоре дощечка и впрямь начинала походить на решето.

— Вероятно, решето все-таки не единственное изобретение Эратосфена? — тактично полюбопытствовал Фило.

Вместо ответа Мате вышел в прихожую, порылся в рюкзаке и принес какой-то странный прибор. Осмотрев его, Фило высказал предположение, что Эратосфен питал пристрастие к домашнему хозяйству: сперва изобрел решето, потом — подставку для чайника.

Он приподнял чайник, обнажив лежащую под ним складную металлическую гармошку. Мате подтвердил, что некоторое сходство действительно имеется, но весь фокус в том, что с помощью прибора Эратосфена решалась одна из знаменитых задач древности, тогда как подставка на это решительно не способна.

— Любезный Дон-Кихот, — вкрадчиво попросил Фило, — просветите вашего верного Санчо. О каких знаменитых задачах речь?

Мате посмотрел на друга с досадой и в то же время с тайной гордостью. Право же, любопытство его становится угрожающим!

— А кто выпустил джинна из бутылки? — парировал Фило. — Не вы ли? Вот и расхлебывайте.

Мате махнул рукой.

— Так и быть! С таким чаем расхлебывать не страшно.

— Ага! — просиял Фило. — Я знал, что против моего чая вы не устоите!

 

ДЕЛИЙСКАЯ ЗАДАЧА

— Нам известны три неразрешимые задачи древности, — начал Мате, — квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба…

— Почему же неразрешимые! — с ходу перебил Фило. — Вы же сами только что сказали, что Эратосфен решил одну из них посредством своего замысловатого прибора.

— Решить-то решил, но незаконно. Потому что по условию при решении этих задач можно было пользоваться только двумя простейшими приспособлениями: линейкой без делений и циркулем.

— Что за глупое условие! — фыркнул Фило. — Не все ли равно, каким способом решать? Главное — добиться правильного ответа.

— Ошибаетесь, уважаемый Санчо. Решить задачу, ничего не вычисляя, манипулируя только линейкой и циркулем, — большое искусство, требующее изобретательности, остроумия, я бы даже сказал — таланта. Недаром задачам на построение уделяется на уроках геометрии особое внимание! Представьте себе: вам даны три отрезка, которые должны стать медианами некоего треугольника. Попробуйте построить этот треугольник, не прибегая ни к чему, кроме слепой линейки и циркуля.

— Увы! — безнадежно вздохнул Фило. — Для этого надо знать геометрию.

— Золотые слова, хоть и не новые. Нечто подобное сказал Платон еще в четвертом веке до нашей эры. На фронтоне его афинской академии было начертано: «Не знающий геометрии да не входит сюда!» И вот почему именно к Платону обратились за помощью делийцы, когда произошла история с удвоением куба.

— Вас не поймешь, — рассердился Фило. — То вы говорили, что удвоение куба — задача, теперь это уже история…

Но Мате попросил его не придираться к словам: удвоение куба, как и всякая задача, имеет свою историю.

В IV веке до нашей эры на острове Делос в городе Дельфах вспыхнула эпидемия чумы. Что в таких случаях думают древние люди? Они думают, что прогневили богов и, естественно, стараются узнать, каким образом их умилостивить. А посему делийцы обратились за советом к знаменитому дельфийскому оракулу, и тот изрек им волю небожителей: бедствие прекратится тогда, когда в дельфийском храме будет воздвигнут новый жертвенник, объемом ровно вдвое больше прежнего, причем форма жертвенника — куб — должна оставаться неизменной.

Ознакомившись с задачей, Платон якобы сказал, что боги задали ее делийцам не потому, что им не нравится прежний жертвенник, а в укор и назидание грекам, которые мало думают о математике и пренебрегают геометрией.

— Стало быть, задача показалась ему очень трудной, — заключил Фило. — Но почему? Увеличьте ребро куба в два раза — вот вам и удвоение!

Мате сказал, что решение поистине царское, и Фило задрал было нос, но выяснилось, что таким образом пытался решить задачу об удвоении куба критский царь Минос. При этом объем получился у него не в два, а в восемь раз больше прежнего, ибо объем куба равен кубу его ребра, а два в кубе как будто восемь…

Фило, разумеется, сразу сник, но тут же сообразил, что длину ребра можно найти и другим способом. Допустим, объем прежнего куба равен единице. Тогда объем нового должен быть равен двум. Значит, извлеките корень кубический из двух, и дело в шляпе.

На сей раз Мате признал, что Фило рассуждает правильно, но вот беда: извлечь корень кубический из двух можно только приближенно. Ведь это число иррациональное, иначе говоря, несоизмеримое с единицей!

— Ничего, — не сдавался Фило, — можно небось подобрать и такую длину ребра, чтобы корень извлекался. Пусть, например, ребро куба равно двум. Тогда объем будет равен восьми, а удвоенный объем — шестнадцати. Извлечем корень кубический из шестнадцати…

— И снова получим иррациональное число. Ведь что такое шестнадцать? Это восемь умноженное на два. Из восьми корень кубический извлекается, а из двух — нет. А так как при удвоении множитель два под корнем неизбежен, значит, подобрать длину ребра, которая была бы числом рациональным, нельзя:

— Странно, странно и в третий раз странно. Выходит, удвоение куба вообще невозможно?

— Невозможно с помощью слепой линейки и циркуля. Но есть в геометрии и другие способы. Вместо того чтобы извлекать корень, который нельзя вычислить точно, можно найти длину ребра непосредственно на чертеже. Именно так и поступали древние греки. А так как работа эта достаточно кропотлива, Эратосфен решил упростить ее и придумал прибор, который находит длину ребра чисто механически.

— Платон, наверное, сказал бы, что Эратосфен сплутовал, — добродушно предположил Фило.

— Это вы хорошо заметили, — похвалил Мате. — Эратосфен тоже был убежден, что Платон бы его по головке не погладил.

— Откуда вы знаете?

— От самого Эратосфена. Он написал сочинение «Платоник», где немалое место занимает задача об удвоении куба. Способы решения ее обсуждают греческие математики Архит, Менехм, Эвдокс и, конечно, сам Платон. И когда заходит речь о применении механического прибора, Эратосфен, искусно подделываясь под стиль Платона, заставляет его высказать отрицательное отношение к подобному способу.

— Знаете, — неожиданно заявил Фило, — на месте Платона я бы рассуждал точно так же. По-моему, людям не следует избавлять себя от необходимости думать.

— Возможно, — кивнул Мате, — но у Платона были на этот счет и другие соображения, связанные с его мировоззрением. Как философ-идеалист, он презирал все материальное, преходящее, осязаемое. Грубое плотницкое приспособление принижало в его глазах науку, предметом которой, по его мнению, должно быть только отвлеченное, высокое, бесконечное. Кроме того (это уж моя собственная догадка!), всякий механический прибор неминуемо связан с движением. Вот и прибор Эратосфена основан на передвижении планок. А в те времена вводить движение в геометрию считалось дурным тоном. Так полагали и Платон, и ученик его Аристотель, а вслед за Аристотелем друг наш Хайям. Между прочим, доказательство пятого постулата, принадлежащее ал-Хайсаму, Хайям критиковал как раз за то, что в нем есть элемент движения…

— Хорошо, что вы вспомнили о Хайяме! — обрадовался Фило. — Любопытно бы узнать, как он умудрялся решать кубические уравнения с помощью конических сечений?

— Прекрасный вопрос! — воодушевился Мате. — Только что собирался рассказать вам о способе удвоения куба, придуманном Менехмом.

— В огороде бузина, а в Киеве дядька! При чем тут Менехм? Я же вас про Хайяма спрашиваю! Про Хайяма, который жил полтора тысячелетия спустя!

— Тем не менее между ними прямая связь. И сейчас вы это поймете, если только нальете мне еще стакан вашего несравненного чая.

 

СНОВА КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ

— Так вот, — продолжал Мате, принимая из рук Фило заново наполненный стакан, — вы уже сами установили, что задача об удвоении куба сводится к вычислению корня кубического из двух. На языке современной алгебры, то есть пользуясь буквенными обозначениями, это можно записать так:

что вытекает из известного еще в Древнем Вавилоне уравнения x3 = 2. Менехм предложил записать это уравнение в виде двойной пропорции:

1/х = х/у = у/2.

— Не понимаю, — сказал Фило, — откуда взялся игрек?

Мате возвел очи к небу. О Господи! Он и забыл, что для Фило алгебраические преобразования — китайская грамота.

— Исключите из этих двух пропорций смущающий вас игрек, и вы снова получите x3 = 2, — объяснил он, доставая блокнот. — Смотрите. Из пропорции 1/х = х/у следует, что у = х2. Подставьте в равенство ху = 2 вместо игрека x2, и получится, что х3 = 2. Теперь вы видите, что от преобразования, сделанного Менехмом, наше первоначальное уравнение ничуть не изменилось.

— Зачем же было переливать из пустого в порожнее?

— Как — зачем? Да ведь вместо одного уравнения мы получили два: ху = 2 и у = х2.

— Подумаешь, прибыль!

— И очень большая. Потому что ху = 2 — это не что иное, как уравнение равносторонней гиперболы, а у = х2 — уравнение параболы!

— Конические сечения!

— В том-то и дело. И, стало быть, теперь мы можем изобразить наше уравнение в виде кривых на чертеже. Для этого начертим сперва оси координат…

— Чего-чего?

— Оси координат, — раздельно повторил Мате. — Пора о них знать.

— Вот еще! — фыркнул Фило, пылая благородным негодованием. — Мы этого в школе не проходили.

— Не мы, а вы, — уточнил Мате. — Вы не проходили. Но теперь вам от этого не отвертеться. Так вот, достопочтенный Санчо, соблаговолите запомнить, что оси координат существуют для того, чтобы определять положение точки на плоскости или в пространстве. Само собой разумеется, что для нахождения точки на плоскости достаточно двух координат. Если же точканаходится в пространстве, которое, как известно, трехмерно, тут уж потребуются три координаты.

— Ну, это нам ни к чему, — быстро ввернул Фило. — Мы ведь ищем точку на плоскости. Стало быть, хватит с нас и двух координат.

— Прекрасно! — неожиданно похвалил Мате. — Раз вы уразумели это, значит, поймете и то, как строятся графики уравнений. Итак, вычертим оси координат, иначе говоря — две взаимно перпендикулярные прямые. Одну из них — горизонтальную — назовем осью иксов, другую — вертикальную — осью игреков. Точку их пересечения обозначим буквой О. Начнем с уравнения параболы…

— Игрек равняется иксу в квадрате, — сейчас же припомнил Фило.

— Вот именно, — подтвердил Мате. — В чем особенность этого уравнения? А в том, что каким бы ни было числовое значение икса, игрек всегда будет равен квадрату этого числа. Допустим, что икс равен нулю. Тогда игрек равен…

— …тоже нулю, — подхватил Фило.

— Правильно. Вот и найдем эту точку на плоскости.

— А ее искать нечего: вот она! — Фило ткнул пальцем в точку О.

— Совершенно верно. Иначе, точка с координатами ноль, — ноль совпадает с началом координат. Пошли дальше. Допустим, что икс равен единице. Тогда игрек тоже равен единице, так ведь? Найдем точку с координатами единица — единица. Для этого отложим сперва единицу на оси иксов вправо от точки 0…

— В каких единицах длины? — озабоченно перебил Фило.

— В каких угодно. Но для удобства лучше все-таки не в километрах.

— Тогда в сантиметрах?

— Да будет так! Итак, вправо от точки О по оси иксов откладываем один сантиметр. Из конца этого отрезка восстанавливаем перпендикуляр также длиной в один сантиметр. Конец этого перпендикуляра и есть искомая точка с координатами один — один. Допустим теперь, что значение икс не единица, а двойка. Тогда игрек равен…

— Четырем!

— Браво! После этого гениального заявления вам остается лишь найти точку с координатами два — четыре самостоятельно.

Фило отложил два сантиметра от точки О по оси иксов, восстановил из конца этого отрезка перпендикуляр, равный четырем сантиметрам, и посмотрел на Мате победоносно, как актер, ожидающий бурных оваций.

Но оваций не последовало. Мате весьма сухо потребовал, чтобы Фило нашел точку при х = 3, потом х = 4, и отвязался от него только тогда, когда места на листке уже не осталось.

— Ну вот, — процедил он, окинув чертеж критическим оком. — Мы получили несколько точек, удовлетворяющих уравнению у = х2. Все они, естественно, лежат на нашей параболе. Стало быть, остается соединить их плавной кривой — и график данного уравнения, то бишь парабола, перед нами!

Фило недовольно осмотрел вычерченную Мате линию.

— Позвольте, — сказал он заносчиво, — какая же это парабола? Помнится, там, на базаре, вы показали мне кривую, напоминающую рогатку, а тут…

— А тут половина рогатки, — засмеялся Мате.

— Но куда же девалась вторая половина?

— Вторая находится по левую сторону оси игреков, где координаты х отрицательны. А так как отрицательное число, возведенное в квадрат, становится положительным, значит, игрек тоже будет у нас всегда числом положительным. Вот и выходит, что координаты игрек и справа и слева от вертикальной оси совершенно одинаковы. А раз так, значит, левая часть параболы симметрична правой. Дорисуем ее, если хотите, — и целая рогатка в вашем распоряжении. А теперь, когда с параболой покончено, тем же способом вычертим гиперболу, ху = 2.

Фило почесал в затылке. Сразу видно, что тут придется попотеть!

— Почему вы думаете? — осведомился Мате.

— Так ведь в первом уравнении икс и игрек были по разные стороны равенства, а тут в общей куче…

— Раз это вас смущает, отделим их друг от друга. Нетрудно выяснить, что у = 2/х. Заменим первое уравнение вторым — и дело с концом!

— Ага! — кивнул Фило. — Тогда начнем, как полагается, с х = 0…

— Стоп! Как известно, деление на нуль запрещено. Так что начнем с х=1. Тогда у = 2/1, или попросту двум…

— Значит, находим точку с координатами один — два, — подхватил Фило, орудуя карандашом.

— Дальше.

— Дальше нахожу точку при х = 2. Игрек при этом равен единице. При х = 3 игрек равен двум третям… Постойте, как же так? — Фило запнулся. — Выходит, чем больше икс, тем меньше игрек?

— Правильно подмечено! — одобрил Мате. — Чем больше икс, тем меньше игрек, и обратно: чем меньше будет становиться икс, стремясь к нулю, тем больше будет становиться игрек, стремясь к бесконечности. А теперь соединим, наконец, найденные нами точки одной линией — и гипербола готова.

— К тому же не наполовину, а целиком, — удовлетворенно констатировал Фило. — Точь-в-точь как та, что вы нарисовали в Исфахане.

— Должен вас огорчить. То, что я нарисовал в Исфахане, полной гиперболой не было, как не был полной конической поверхностью и тот бумажный фунтик, который мы с вами рассекали воображаемыми плоскостями. Потому что полная коническая поверхность состоит не из одного, а из двух одинаковых фунтиков, соприкасающихся вершинами. И, стало быть, в каждом из этих фунтиков образуется только одна ветвь гиперболы, в то время как полная гипербола состоит из двух ветвей.

— Значит, на нашем чертеже должна быть еще одна ветвь. Но где же она? — недоумевал Фило.

— Ее нетрудно получить, придавая иксам отрицательные значения. Только, в отличие от параболы, игрек при этом тоже будет принимать не положительные, а отрицательные значения.

— Так, так, так, — озабоченно пробормотал Фило. — Икс отрицательный. Значит, откладывать его следует по оси иксов влево. Но вот вопрос: на какой оси откладывать отрицательные игреки?

— Это уж пустяки. Положительные игреки расположены вверх по оси иксов, стало быть, отрицательные…

— Вниз! — сообразил Фило и принялся откладывать отрицательные координаты точек -1, -2; -2, -1; -3, -2/3 и, наконец, — 1/2, -4. — Теперь, — сказал он, полюбовавшись своей работой, — объединим все это хозяйство общей линией, и вторая ветвь гиперболы налицо. Ура, ура и в третий раз ура! Остается выяснить главное: для чего все это делалось?

— Для того, чтобы понять, каким образом Менехм решал задачу об удвоении куба, — пояснил Мате. — А решал он ее так: изображал обе кривые на одном чертеже, рассматривая при этом только ту часть координатной плоскости, на которой эти кривые пересекаются. Точка пересечения их — обозначим ее буквой А — удовлетворяет и первому и второму уравнениям, а следовательно, и уравнению х2 = 2. Опустим из этой точки перпендикуляр на ось иксов, обозначив основание перпендикуляра буквой В, и искомая нами длина ребра удвоенного куба найдена: это отрезок OB. Ему-то и равен х. Вот как конические сечения помогли Менехму решить одни из видов кубического уравнения. А Хайяму они помогли решить все нерассмотренные до него виды.

— Кажется, он насчитал их четырнадцать, — вспомнил Фило.

— Собственно говоря, в наше время все эти виды сводятся к одному. Да и способ решения изменился. Теперь кубические уравнения решаются по формуле итальянского математика XVI века Кардано.

Фило разочарованно нахохлился. Как же так? Выходит, Хайям трудился впустую? Мате задумчиво помешал ложечкой в стакане.

— В науке ничего не бывает впустую. Ни открытий, ни ошибок. Конечно, трудам Хайяма не суждено было оказать влияние на развитие европейской математики — эта честь досталась ал-Хорезми. Зато они оказали огромное влияние на математиков Востока. Идеи Хайяма были подхвачены и развиты другими, более поздними учеными. Кроме того, не следует забывать, что в некоторых вопросах Хайям произвел настоящую революцию. Достаточно вспомнить его календарную реформу. Или учение о числе… Надо вам знать, что Хайям был первым, кто признал иррациональные числа и, таким образом, открыто выступил против Аристотеля, который во всем остальном оставался для него непререкаемым авторитетом.

Фило недоверчиво поджал губы. Чудно! Неужели было время, когда иррациональных чисел не признавали?

— Было время, когда не признавали и отрицательных, — сказал Мате. — Вот, например, два минус пять. С нашей точки зрения, это можно рассматривать как сложение положительного и отрицательного чисел: 2 + (-5) = -3. С точки зрения древних, такое вычитание невозможно. Уравнение х + 2 = 0, по их мнению, также чистейшая нелепость, ибо нет такого числа, которое, будучи прибавлено к двум, равнялось бы нулю. А по-нашему, такое число есть: это -2. Поэтому уравнение вполне разрешимо. Просто корень у него отрицательный.

Фило вдруг зажмурился. Подумать только, сколько отчаянного труда, смелости и немыслимого таланта стоит за любым, самым, казалось бы, незначительным научным понятием! Это похоже на бесконечную лестницу, где каждая ступенька штурмуется как горный пик. Чтобы признать какое-то безобидное иррациональное число, Хайям должен был обладать мужеством богоборца: ведь он посмел оспаривать самого Аристотеля! А Эратосфен, дерзнувший ввести движение в геометрию, вероятно, чувствовал себя чуть ли не преступником…

— Кстати, об Эратосфене, — круто свернул в сторону Фило. — Мне кажется, ему непременно следовало бы изменить имя.

— Это еще зачем?

— Судите сами: Эрато в Древней Греции — муза любовных песен. Разве это подходит математику? Вот если бы Эратосфен писал стихи…

— К счастью, он их не писал, — безапелляционно заявил Мате.

— Вы уверены? После истории с двумя Хайямами я бы на вашем месте не слишком полагался на свою память.

Мате покраснел. Проклятая забывчивость! Он снова направился в прихожую и вернулся с книгой в черном глянцевом переплете.

— Вот, — сказал он, — здесь собраны биографии ученых Древнего Вавилона, Египта, Греции. Сейчас открою главу об Эратосфене и выясню, чего я там не заметил.

— Позвольте мне! — Фило осторожно отнял у него книгу.

Он мгновенно, как всегда, нашел нужную страницу, пробежал ее глазами и торжествующе рассмеялся.

— Так и есть! «Он (то есть Эратосфен) был знаменит во многих отраслях: как математик, географ, историк, филолог и поэт. Образчиком его тонкого стихотворного искусства является эпиграмма об удвоении куба… В его диалоге „Платоник“ рассматривается не только эта делийская задача, но и философские проблемы и некоторые вопросы теории музыки. Он написал поэму о звездном небе в форме повествования о небесных странствиях Гермеса и его всевозможных приключениях, а также собрал мифы, касающиеся созвездий. Он составил новую карту мира, основанную на предположении шарообразности Земли, вычислил наклон эклиптики, расстояния до Солнца и Луны и длину земного меридиана. И он же написал большое исследование о древнегреческой комедии… Кроме того, Эратосфен считается родоначальником критической хронологии, так как научил человечество точно определять даты исторических событий…» Ну, что скажете?

— Скажу, что Эратосфену незачем менять имя, — угрюмо буркнул Мате. — И еще, что вы как филолог-любитель должны были знать о существовании такого интересного литератора.

— Должен был знать и узнал. Но вы не сказали самого главного. Мы с вами то и дело натыкаемся на примеры, свидетельствующие о губительной, тормозящей силе предубеждений, а между тем со своими собственными предубеждениями расстаемся весьма неохотно.

— Да, это вам не чай пить, — довольно язвительно отозвался Мате.

— Согласен. Но на то мы и друзья, чтобы помогать друг другу преодолевать трудности. Как это сказал тогда Хайям? «Что видно на другом, то на себе не видно. Дурные стороны видней со стороны…»

— Иначе, вы мне будете помогать избавляться от моих предубеждений, а я вам от ваших, — уточнил Мате. — Что ж, по рукам!

Они обнялись, но тут за стеной раздались душераздирающие вопли. Фило и Мате бросились в кухню: Клеопатра и Пенелопа тузили друг друга почем зря! Мате хотел разогнать их, но Фило, улыбаясь, увел его обратно в комнату. Кто знает, может быть, они избавляют друг друга от предубеждений?