Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света

Альберти Микель

В этой книге пойдет речь об этноматематике, то есть об особенностях методов счисления, присущих разным народам. Хотя история современной математики — часть европейского культурного наследия, опирается она на неакадемические пласты, существовавшие задолго до возникновения современной культуры. Этноматематика охватывает весь перечень математических инструментов, созданных разными народами для решения определенных задач. Конечно, она далека от знакомой нам академической науки и, скорее, опирается на практический опыт, а потому вдвойне интересна. Эта книга — способ совершить математическое путешествие вокруг света и узнать много нового о культурах разных народов.

 

Предисловие

Каждый народ и каждая культура характеризуются присущими только им верованиями, ритуалами, представлениями о мире, социальной организацией. К таким же «особым приметам» относятся язык, литература, гастрономия, система торговли, технологии, архитектура и — почему бы и нет? — математика.

Мы рассматриваем эту науку как продукт, создаваемый западной культурой в специальных учреждениях — университетах и исследовательских центрах. Но профессионалы и любители занимаются математикой не только в научных учреждениях и не только в рамках академической среды.

История известной нам математики является частью европейского культурного контекста. Но опирается эта наука на неакадемические пласты, существовавшие задолго до нашей современной культуры. Исследователи-антропологи не углублялись в математические дебри, ограничиваясь простой фиксацией системы счисления и счета. Западные колонизаторы, прибывая на новые земли, также не слишком интересовались математикой коренного населения — они лишь видели, как туземцы применяют свои знания на практике в рамках своей культуры.

Говоря сейчас о математике, мы имеем в виду конкретные инструменты, возникшие у разных народов независимо друг от друга для решения практических задач. Все народы производят подсчеты и измерения, определяют местоположение и занимаются проектированием. Этноматематика охватывает весь перечень математических инструментов, созданных разными народами для решения определенных задач.

Эти задачи характерны для всех культур, и логично думать, что именно в них берет начало математическая мысль, присущая самым разным народам. Конечно, этноматематика очень далека от знакомой нам академической науки. Можно сказать, что она более сырая, неограненная и опирается не на строгие академические принципы и формальные доказательства, а скорее на практический опыт. И именно поэтому этноматематика не лишена логики.

В общих чертах цель нашего исследования заключается в том, чтобы пролить свет на туземную математику разных народов, описать способы ее применения, включить ее в систему формальных математических знаний, а затем развить и применить в образовательных целях. Где лучше всего знакомиться с примерами этноматематики? И как поступать с найденными образцами?

Чтобы ответить на эти вопросы, потребуется совершить математическое путешествие вокруг света, — путешествие, направленное в глубь времен и в разные культуры. Вы узнаете, что разные народы создали собственные системы счета и методы вычислений. Туземные приспособления для счета вроде инкских кипу и китайского абака стали прообразами современных вычислительных машин.

В архитектуре и орнаментации главную роль играет пространственная организация — как двумерная, так и трехмерная, поскольку она определяет строение узоров и принципы их повторения. Более того, по характерным геометрическим узорам можно легко идентифицировать народ или культуру — например, с помощью симметрии, которая с доисторических времен до наших дней является универсальной парадигмой выражения культуры на всем земном шаре.

Важнейшее значение в культурном контексте имеет игра, подразумевающая принятие, изучение и использование ряда правил, которые определяют логику игры и служат основой для обоснования ее результатов и происходящих во время игры действий. Именно игры отражают представления о случайности, присущие конкретной культуре.

Некоторые народы очень тесно включают математику в свою социальную жизнь. Наблюдая за неким ритуалом, мы можем считать увиденное театральной постановкой, танцем или геометрической картиной, но для непосредственных участников церемонии все их действия слиты в единое целое. Впрочем, в нашей книге мы не будем обсуждать, верит ли туземец в то, что занимается математикой. Мы поговорим о том, как выглядят действия туземца с нашей точки зрения.

В конце вы найдете ответы на заданные выше вопросы, связанные с этноматематикой. Человечество — это ведь математический вид, и вся математика нашего мира — по сути, не более чем этноматематика.

Работа над книгой была бы невозможной без помощи тех, кто изучает разные культуры и народы. Поэтому мы хотели бы поблагодарить госпожу Ибу Кетут за помощь в изучении даров, которые преподносят своим божествам туземцы острова Бали (Индонезия). Мы выражаем особую благодарность Камини Дандапани из Ченнаи (штат Тамилнад, Индия) за фотографии, которые помогают объяснить математические идеи, связанные с изображением узоров колам. Тесное сотрудничество и совместная работа с Долос Гиша и Жоаном Серра из L’art ORL Vitrall (Сабадель, Испания) помогли нам понять математические законы, действующие в мире витражей. Мы благодарны всем, кого упомянули выше, за то, что они помогли нам пролить свет на математические идеи и математическую деятельность, которая обычно протекает незаметно.

 

Глава 1

Этнические корни математики

Математика — спутница культуры

Слово «математика» во многих языках пишется с большой буквы. Эту дисциплину изучают во всем мире практически одинаковыми методами и почти по одной и той же программе. Во всех школах, институтах и университетах планеты учат и учатся считать, изучают теорему Фалеса и теорему Пифагора, решают задачи при помощи уравнений и систем уравнений и описывают самые разные явления с использованием математических моделей. Это представление о Математике охватывает и ее применение в других дисциплинах, более или менее тесно связанных с наукой.

В Математике используются все более сложные инструменты и устройства. Если Платон, решая задачи на построение, довольствовался линейкой и циркулем, то современная наука немыслима без передовых технологий, начиная от калькулятора и заканчивая сложнейшими компьютерными программами.

Математике присуща универсальность, всеобщность, но эта всеобщность прежде всего носит институциональный и априорный характер. Она формулируется в академических учреждениях и координируется посредством образовательных проектов. Грубо говоря, Математика, которую учат и преподают на востоке и западе, к северу и к югу от экватора, практически одинакова.

Но всеобщность Математики всех народов и культур мира проявляется и еще одним способом: развитие математических идей и методов происходит повсеместно.

С этой точки зрения математика представляет собой межкультурный феномен, и здесь ее следует писать уже с маленькой буквы. Автором этой идеи стал Алан Бишоп в 1991 году. Из его книги «Приобщение к математической культуре. Обучение математике с точки зрения культуры» («Mathematical Enculturation. A Cultural Perspective on Mathematics Education») мы узнали о том, какую роль играет математика как часть культуры и важнейший элемент механизма ее передачи.

Стереотип культурного человека, практически не знающего математики или избегающего этой строгой науки, должен уйти в прошлое. Понятие культуры неявно подразумевает множество контекстов, среди которых непременно найдется место и для математики. Да и может ли существовать народ или культура без нее? Конечно же, нет.

Культура — это совокупность знаний, которые накапливаются людьми с течением времени, характеризуют их образ жизни и помогают выживать. Группы людей, изолированные друг от друга, могут сформировать разные культуры. Эти различия проявляются в социальных связях, в архитектуре жилища, пищевых пристрастиях, механизмах выживания, мифах, страхах и так далее. Со временем в каждой культуре формируются системы общественной и политической организации, язык, представления о мире, ритуалы и верования, технологии и другие проявления, включающие музыку, танцы, орнаменты.

Все эти процессы происходили всегда и практически повсеместно, но Запад узнал о них лишь несколько веков назад. До XV века европейцам ничего не было известно об Американском континенте, и они едва ли представляли, что происходит за пределами региона, который сегодня называется Европой. О том, что находится за Индией, европейцы узнали только из рассказов Марко Поло, совершившего путешествие в Сипангу (ныне Китай). Они не знали ни об Океании, ни о Тихом океане. Остров-континент Австралия на самых первых картах назывался Terra Incognita — «неизвестная земля».

И тем не менее уже несколько тысяч лет назад все эти земли, неизвестные европейцам, были заселены людьми с собственными системами знаний. Эти люди общались на самых разных языках, некоторым даже была известна письменность. Они жили в домах, построенных при помощи орудий труда, позволявших обрабатывать природные материалы — дерево, бамбук, глину, листья и так далее. Часто эти люди проводили свободное время за игрой в камешки, которые определенным образом укладывались в углубления, проделанные в деревянных досках. Часто они путешествовали и торговали с соседями на суше и в открытом море.

Эти народы знали, как нужно жить. Никто не усомнится в том, что они умели охотиться, строить дома, готовить пищу, путешествовать по морю, творить, говорить и играть. А также им были известны счет, вычисления и измерения. Но если каждый народ способен создать собственные, присущие только ему проявления культуры, например систему верований, представления о мире, архитектуру, систему торгового обмена или искусство, разве не может таким же продуктом культуры оказаться и математика?

Математика, которую может создать народ или группа людей, называется этноматематикой. Этот термин придумал бразильский математик и преподаватель Убиратан д’Амброзио в конце 1980-х. В истории человечества существовало и существует множество народов и культур, и присущие им математические идеи превращают наш мир в мир этноматематики.

* * *

РОДИТЕЛИ ЭТНОМАТЕМАТИКИ

Связь между математикой и культурой была отмечена уже в первых антропологических исследованиях, среди которых выделяются труды Гэя и Коула о народе кпелле в Либерии. Однако само понятие «этноматематика» и совокупность знаний, которые сегодня объединены этим термином, определили профессора Алан Бишоп (Соединенное Королевство) и Убиратан д'Амброзио (Бразилия). Немалую роль также сыграли работы Паулуса Жердеса (Мозамбик), Марсии Ашер (США) и Клаудии Заславски (США).

Убиратан д’Амброзио родился в Сан-Паулу и получил степень доктора математики в местном университете. Затем он продолжил исследования на кафедре математики Брауновского университета города Провиденс, штат Род-Айленд (США).

Алан Бишоп — почетный профессор факультета преподавания австралийского Университета Монаша, однако свою научную карьеру он начал в Кембридже (Соединенное Королевство). Этот ученый — советник ЮНЕСКО в области преподавания математики, техники и науки.

Убиратан д'Амброзио.

* * *

Математика с большой буквы в том виде, в каком она известна в нашей культуре, уходит корнями глубоко в прошлое, на тысячи лет назад. Как и вся культура в целом, эта наука сформировалась на основе множества идей, созданных разными народами. Она включает заимствования у шумеров, древних египтян и греков, арабов, индийцев и китайцев, так что, по сути, вся наша Математика уходит корнями в этноматематику. Она представляет собой результат культурного обмена, происходившего в древние времена. Математика не появилась в каком-то конкретном месте в определенное время, а распространена по всей планете.

Достаточно выйти из дома, чтобы увидеть, как люди повсюду занимаются математикой, причем далеко не всегда используя для этого академические понятия и методы. Особенности артефакта, изображенного на фотографии, бросаются в глаза даже при беглом осмотре. И некоторые из них имеют математический характер.

Урна в городе Морелья испанской провинции Кастельон .

На фотографии изображена каменная стена, а рядом с ней расположен металлический предмет, в котором мы узнаем урну для мусора. Урна имеет цилиндрическую форму со скругленной нижней частью. Для красоты в ней проделаны два ряда отверстий: отверстия в верхней части урны имеют форму кругов, отверстия в нижней части — форму шестиугольников. Они находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, и на каждый круг приходится по два шестиугольника. Также на урну нанесены пометки мелом. Мы видим семь групп из четырех перечеркнутых параллельных линий.

Теперь, хорошо рассмотрев этот предмет, сформулируем некоторые гипотезы.

Во-первых, культура, способная создать подобный предмет, знакома с технологиями обработки металлов. Эти технологии позволяют формовать металлы и проделывать в них отверстия заданного вида, расположенные определенным образом.

Изображенный на фотографии предмет, по всей видимости, изготовлен не вручную, а механическим способом, так что возможны его точные копии. Надписи, напротив, сделаны от руки. Автор надписей, должно быть, досчитал до пяти как минимум семь раз, то есть подсчитал 35 единиц. Что именно он хотел сосчитать, мы никогда не узнаем. Также есть вероятность, что он не производил подсчеты, а чертил линии бессознательно — как мы порой неосознанно стучим ногой по полу в такт музыке, отсчитывая ритм.

Все эти предположения неизбежно основаны на сходстве культур. Мы узнаем в предмете на фотографии урну. Но кто это — «мы»? Жители города Морелья в провинции Кастельон, где сделана фотография? Испанцы? Европейцы? Узнает ли в этом предмете урну туарег из Мали, саам из Лапландии или собиратель риса с филиппинского острова Лусон? Скорее всего, нет. Они наверняка определили бы, что предмет изготовлен из металла, имеет форму цилиндра и в нем проделаны отверстия в форме кругов и шестиугольников. Они также смогли бы сосчитать, сколько отверстий каждого типа проделано в этом предмете, но, вполне возможно, использовали бы при этом совсем другие термины и числа, чем мы. Особенно если они обучались счету у старших членов семьи, а не у школьных учителей.

* * *

КОНЦЕНТРИЧЕСКИЕ ОКРУЖНОСТИ ВОЗРАСТОМ 6 ТЫСЯЧ ЛЕГ

Лос-Мильярес — это название археологического городища медного века, которое располагалось возле современной Альмерии (Испания) и дало название одноименной культуре, распространенной по всей южной части Пиренейского полуострова. На керамических изделиях, найденных в Лос-Мильярес, можно видеть геометрический орнамент. Так, на глиняной чашке, представленной на фотографии, изображены концентрические окружности, напоминающие глаза, и несколько параллельных равноудаленных лучей. Глаза, по всей видимости, были символом этой культуры, так как их можно увидеть на большинстве артефактов, найденных в городище.

Глиняная чашка из городища Лос-Мильярес в Альмерии .

* * *

Совсем другое дело — попытаться определить значение символов на следующей фотографии. Она была сделана у входа в подземное жилище в городе Галера в Гранаде. Представители нашей культуры узнают в этих символах цифры. Хотя рядом с ними не указано никакого знака действия, числа расположены так же, как при умножении столбиком — этот метод все мы изучали в школе. Речь и в самом деле идет об умножении, в чем можно убедиться, умножив 150 на 12,— результат, как и на фотографии, будет равен 1800.

Вход в подземное жилище в Гэлере (Гэанада).

А что вы скажете о следующей фотографии, на которой изображен фасад гостиницы Catalonia Plaza на площади Испании в Барселоне?

Рассмотрев ее, можно предположить, что каменные облицовочные плиты на фасаде были созданы на основе известного тождества, так как квадраты окон состав лены из двух квадратов разного размера и двух равных прямоугольников. Если а — сторона меньшего квадрата, b — сторона большего квадрата, то прямоугольники будут иметь размеры а х Ь, а все окно будет представлять собой квадрат со стороной а + Ь. Следовательно,

(а + b)2 = а2 + 2аЬ + Ь2.

Однако математические идеи той или иной культуры можно заметить не только в дизайне или архитектуре, но и во множестве других проявлений. Основные из них приведены в таблице.

Проявления культуры

1.  Общение:  Язык, письменность, символы

2.  Верования:  Философия, космология, религия, ритуалы, толкование снов

3.  Окружение:  Определение местоположения, флора, фауна, геология

4.  Труд : Сельское хозяйство, животноводство, охота, рыболовство

5.  Технологии:  Орудия труда, ремесла, оружие, системы мер

6.  Архитектура:  Жилища, места отправления культа, могилы, поселения

7.  Питание:  Еда, питье, гастрономия

8.  Одежда:  Наряды, аксессуары

9.  Обмен:  Торговля, экономика, рынок, наследство

10.  Искусство:  Музыка, танец, литература, живопись, скульптура

11.  Досуг:  Игры, ставки, спорт

12.  Отношения:  Общественные отношения, родственные связи

Любая культура проявляется посредством определенных практик, которые мы будем называть культурными практиками. Во многих из них неявно присутствуют математические идеи, часто скрытые, или «замороженные», как говорит мозамбикский профессор Паулус Жердес. Раскрыв и «разморозив» эти идеи, мы сможем познакомиться с математикой разных народов и культур. Помимо этой тайной математики, в культурных практиках могут присутствовать и более очевидные математические идеи, которые можно выявить, если понять, как мыслят носители исследуемой культуры, частью которой является «тайная» и «явная» математика.

Чтобы обнаружить этноматематику культуры, можно следовать разными путями. Так как математике присущи объективность, строгость и точность в действиях с числами и фигурами, то, изучив культурные практики и проявления, для которых характерны эти черты, мы обнаружим сокрытые в этой культуре математические идеи.

Масштабные архитектурные сооружения древнего мира и их основные элементы (круг, квадрат, трапеция).

Ярче всего эти идеи проявляются в архитектуре, ремеслах, технологиях, торговле и играх. Заострив внимание на практиках, необходимых для проявления культурных феноменов, Алан Бишоп выделил шесть универсальных математических действий, общих для всех народов: счет, измерение, определение местоположения, проектирование, игра и объяснение. Там, где производятся подсчет, измерение, определение местоположения, проектирование или объяснение, там, где идет игра, возможно, претворяются в жизнь математические идеи, присущие конкретной группе, народу или целой культуре. Познать эти идеи — значит познать этноматематику.

Когда речь заходит об этноматематике, возникает вопрос: заслуживает ли эта дисциплина внимания или же она представляет собой всего лишь набор занимательных рассказов о путешествиях в экзотические уголки Земли? Чтобы ответить на этот вопрос, отметим несколько важных моментов. Некоторые народные математические практики не только упрощают решение традиционных задач, но и позволяют четче понять математические идеи, присущие исключительно научному миру.

Также следует учитывать, что этноматематика не пользовалась такой же благосклонностью исследователей, как академическая Математика с большой буквы. Как заметил профессор Жердес и его коллеги, западная колонизация в немалой степени затруднила развитие этноматематики и даже стала причиной ее замалчивания.

Наше понимание математики необязательно должно совпадать с пониманием индейца навахо, хиваро или маори. Возможно, что в этих культурах математика не имеет четких границ, и даже если подобные границы существуют, они необязательно будут в точности соответствовать границам нашей математики. Это же справедливо и для других проявлений культуры. Так, танцы в честь божества туземные народы считают молитвой или знаком признательности, а не обычным проявлением художественного творчества.

Когда мы говорим об этноматематике, то понимаем под математикой все то, что относится к ней в нашей культуре, все, что на самом базовом уровне характеризуется объективностью, строгостью, точностью, количественным и геометрическим выражением.

Камни, кости и глина

Математические идеи были присущи даже доисторическим народам. Конечно, мы не можем точно знать, о чем думали кроманьонцы, неандертальцы или их предки, но свидетельства их существования, дошедшие до наших дней, позволяют нам хотя бы предполагать, какие математические идеи они использовали.

В 2003 году в пещере Бломбос в ЮАР был обнаружен брусок охры возрастом примерно 72 тысячи лет с геометрическими узорами.

Петроглиф из пещеры Бломбос (ЮАР).

Узор имеет примерно 60 мм в длину, его ширина не превышает 2 мм. Он состоит из двух рядов треугольников, образованных параллельными прямыми. Воспроизведем этот узор, чтобы лучше понять его геометрическую подоплеку.

Возможно, неровная поверхность камня или недостаточно совершенная технология помешали автору точнее изобразить узор, который мы сегодня назвали бы треугольной сеткой.

По расположению линий можно сказать, что треугольники были нарисованы не по отдельности, а пересечением трех рядов параллельных отрезков. Первый ряд образуют три горизонтальных параллельных отрезка, второй — восемь параллельных отрезков, наклоненных влево, третий — девять параллельных отрезков, наклоненных вправо.

Мы никогда не узнаем, имел ли автор узора представление о том, что такое «прямая», «отрезок», «угол», «параллельность» или «симметрия». Мы также никогда не узнаем, был ли этот узор эмблемой или символом чего-то или кого-то, имел ли он какое-то практическое значение или попросту его автор таким образом утолял тягу к прекрасному. Однако действия древнего «живописца» говорят, что он (или она) сознательно или бессознательно руководствовался перечисленными математическими понятиями. Ему помешали ограничения, накладываемые реальностью, и отсутствие подходящих технологий, но, как бы то ни было, этот узор — свидетельство существования математической мысли еще в доисторические времена.

К намного более позднему периоду относится кость бабуина с зарубками, найденная в 1960 году на стоянке Ишанго в тогдашнем Бельгийском Конго (ныне Демократическая Республика Конго). Ее возраст оценивается примерно в 20 тысяч лет. Изначально считалось, что кость использовалась для счета, так как на ней в несколько рядов сделаны зарубки, расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга.

Кость Ишанго в двух ракурсах (Брюссельский музей естественных наук).

На кость в три ряда нанесены зарубки, сгруппированные следующим образом.

Столбец А: 11 + 13 + 17 + 19 = 60.

Столбец В: 3 + 6 + 4 + 8 + 10 + 5 + 5 + 7 = 48.

Столбец С: 11 + 21 + 19 + 9 = 60.

В столбце А записаны простые числа от 10 до 20. Сумма чисел в ряду равна 60 — это число имело очень большое значение, так как выступало основанием системы счисления в культурах Месопотамии, на землях между реками Тигр и Евфрат, 15 тысяч лет спустя. 60 — очень удобное число, так как оно имеет 12 делителей, среди них — шесть первых натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. В столбце В записаны числа и кратные им (3 и 6, 4 и 8, 5 и 10). К этим числам приписано 7, чтобы общая сумма была равной еще одному числу, кратному 12, а именно 48. В столбце С записана последовательность нечетных (но не простых) чисел, которые в сумме также дают 60.

Случайно ли суммы чисел в трех столбцах равны 60, 48 и 60? Значит ли это, что тем, кто сделал зарубки, уже были известны понятия кратности и делимости, которые проявляются в парах чисел 3 и 6, 4 и 8, 5 и 10? Означает ли это, что авторы резьбы имели представление о неделимых, или простых, числах, в частности 3, 5, 7, 11, 13 и 19? Ответить на эти вопросы непросто, особенно если учесть, что зарубки имеют разную длину, а некоторые из них прерываются. Что означает прерывистая линия — одну единицу или две? А может, у того, кто сделал зарубки, просто дрогнула рука?

Наиболее вероятный математический феномен, который можно отметить при изучении зарубок на кости Ишанго, заключается в установлении соответствия «один к одному» между зарубками и какими-то другими объектами. Такое соответствие составляет основу счета.

Именно в этом заключается важнейшее отличие этих зарубок от петроглифа из южноафриканской пещеры Бломбос. Зарубки на кости Ишанго, по всей видимости, подчиняются не геометрической, а числовой закономерности. Петроглиф из пещеры Бломбос, напротив, описывается не числами, а законами геометрии.

Намного позже, чем южноафриканский петроглиф и конголезская кость с зарубками, на Европейском континенте было создано сооружение, в котором сочетаются числа и геометрия. Речь идет о мегалите Стоунхендж в долине Солсбери в Соединенном Королевстве. Стоунхендж имеет круговую структуру и состоит из четырех концентрических окружностей, образованных менгирами высотой в несколько метров, а сочетание дольменов и менгиров образует более сложную общую структуру.

Концентрические окружности Стоунхенджа (Соединенное Королевство).

Внешняя окружность мегалита диаметром 30 метров образована огромными камнями в форме прямых призм, которые сверху изначально были покрыты перекладинами. Внутри этой окружности расположена еще одна, состоящая из блоков меньшего размера, которые, в свою очередь, заключают в себе фигуру в форме подковы. Внутри этой подковы находится плита — алтарный камень. Стоунхендж, окруженный круглым рвом диаметром чуть больше 100 метров, был возведен примерно в 2500 году до н. э., хотя древнейшая часть сооружения датирована 3100 годом до н. э.

Цель строительства Стоунхенджа неизвестна. Среди приписываемых ему функций выделим три наиболее вероятных: место отправления культа, захоронение и астрономическая обсерватория. Следует отметить, что в те времена, когда был построен Стоунхендж, в дни летнего солнцестояния лучи солнца прочерчивали главную ось сооружения. На закате того же дня лучи солнца указывали ось так называемого Вудхенджа — памятника, расположенного неподалеку от Стоунхенджа, где были найдены многочисленные кости животных и другие предметы, которые, возможно, использовались во время религиозных или культовых церемоний.

Стоунхендж отличается от приведенных выше примеров тем, что имеет круглую форму. И все же существуют некоторые черты, которые роднят его с описанными выше культурными объектами: структура Стоунхенджа основана на ряде повторений, подчиняющихся общему закону, что придает сооружению особый характер. В петроглифе из пещеры Бломбос повторяются треугольники, на кости Ишанго — равноудаленные зарубки, в Стоунхендже — круги. Повторяющиеся круги Стоунхенджа образуют единую мощную структуру, так как имеют общий центр.

Можно пойти еще дальше и найти соотношение между диаметрами двух концентрических окружностей Стоунхенджа, которые равны примерно 30 и 24 м:

30 м/24 м = 5/4 = 1,25

Однако диаметры этих окружностей вполне можно принять равными 30,4 м и 24,1 м. В этом случае их соотношение будет таким:

Учитывая, что 1,26 — очень точное приближение кубического корня из 2, можно ли сделать вывод, что строителям Стоунхенджа были известны пропорции, а отношение диаметров окружностей действительно равно кубическому корню из 2?

Увы, никаких подтверждений этой гипотезы не существует.

Следует выделить три особенности Стоунхенджа: во-первых, он имеет уникальную геометрическую структуру, которая представляет собой ряд концентрических окружностей, во-вторых, в нем проявляется связь с астрономией, и, в-третьих, он служит примером того, как в сооружениях древней культуры проявляется геометрическая точность.

Еще до появления Стоунхенджа вавилоняне, жившие на землях между реками Тигр и Евфрат в Малой Азии почти за 2 тысячи лет до нашей эры, записывали свои мысли на глиняных табличках. Хотя использованные для этого петроглифы и имеют геометрический характер, их уже можно назвать знаками письменности. Многое из того, что нам известно о народах, населявших Месопотамию, — это не просто гипотезы, а результаты расшифровки древних записей.

В том же регионе примерно за 3 тысячи лет до нашей эры шумеры начали записывать слова с помощью идеограмм. Со временем эти идеограммы усложнялись, и спустя примерно тысячу лет из них образовалась система письма, которую мы сегодня называем клинописью. Клинопись начали использовать другие народы, и на ее основе был создан древний персидский алфавит.

Известно около двух тысяч символов клинописи, однако позднее использовалось не более 600. Далее представлены символы, которыми обозначались первые 39 чисел. По их форме четко видно, что вавилоняне использовали десятичную систему счисления.

Символы вавилонской системы счисления.

Однако вавилонская система счисления не сводилась к простой десятичной. На маленькой табличке YBC 729 изображен квадрат и две его диагонали. Рассмотрев рисунок, мы поймем, что вавилоняне использовали числа не только для счета.

Вавилонская глиняная табличка YBC 729 .

Числа, приведенные на иллюстрации, могут обозначать длину отрезка, рядом с которым они записаны. Однако числа 42, 25 и 35, кажется, записаны далеко от стороны и диагонали квадрата. Каким соотношением связаны 30, 1, 24, 51, 10, 42, 25 и 35? Откуда взялись эти величины?

Предположим, что 30 единиц — это длина стороны с квадрата. Вычислим длину его диагонали D:

D = 30·√2 = 42,4264068…

Мы получили одно из чисел на табличке — 42. Однако вавилоняне использовали шестидесятеричную систему счисления. Переведем полученный результат в нее (необходимые действия можно выполнить на калькуляторе).

30·√2 —> 42°25′ 35,06".

Мы получили 42, 25 и 35. Можно смело предполагать, что тот, кто заказал или изготовил табличку, вычислил длину диагонали квадрата со стороной в 30 единиц и записал результат, найденный с удивительной точностью, в шести десятеричной системе счисления: 42°25′35″.

Осталось понять, откуда взялись числа 1, 24, 51 и 10. Что, если это частное, отношение между диагональю и стороной квадрата? Вычислим это отношение в шестидесятеричной системе счисления:

(D/c) = √2 — > 1°24′ 51,17".

Следовательно, число в шестидесятеричной системе, записанное над диагональю, — это приближенное значение квадратного корня из двух, вычисленное с удивительной точностью. Этот результат подтверждает предположение о том, что вавилоняне обладали знаниями геометрии и умели вычислять длину диагонали квадрата.

Как именно были получены указанные результаты, из таблички неясно. Из другой таблички под названием Плимптон 322 видно, что вавилонянам были знакомы пифагоровы тройки, и они умели вычислять пропорции между ними, то есть стороны прямоугольных треугольников и тригонометрические функции. Однако это вовсе не означает, что им была известна теорема Пифагора, не говоря уже о ее доказательстве. Как же тогда были получены приведенные выше результаты? Быть может, древние применяли итеративный метод, в котором последовательность приближений сходится к столь точному значению квадратного корня из 2?

Вавилонская система счисления имела один важный недостаток — в ней не было символа, обозначавшего ноль. Как отличить 106 от 16 без ноля? Изначально ноль обозначался пробелом, однако это не решало всех сложностей. Как отличить три пробела в записи числа 10 006 от двух пробелов в записи 1006? Вавилоняне решили эту проблему, дополнив запись числа разделительными символами, однако в результате арифметические действия намного усложнились.

Пирамиды и папирусы

За полторы тысячи лет до Стоунхенджа и почти за тысячу лет до глиняных клинописных табличек были воздвигнуты египетские пирамиды.

Расположение пирамид Гизы  (Египет).

Возможно, что мы никогда не узнаем, как именно были построены эти сооружения, но сама их форма, расположение и размеры наводят на мысль, что в проекте не обошлось без математики. Пирамиды представляли собой усыпальницы фараонов, обладавших полной и безграничной властью над своими подданными.

Древнейшую из пирамид, ступенчатую пирамиду Джосера в Саккаре, спроектировал Имхотеп около 2700 года до н. э. Спустя примерно 500 лет в долине Гизы близ Каира были воздвигнуты три великие пирамиды Хеопса, Хефрена и Микерина. Характеристики пирамиды Хеопса таковы.

Форма: пирамида с квадратным основанием,

Грани: равнобедренные треугольники.

Высота: 147 м.

Длина стороны основания: 230 м

Угол наклона граней: 52°

Угол наклона ребер: 42°

Направление сторон основания: север — юг.

Зная длину стороны основания и высоту пирамиды, нетрудно вычислить углы наклона ее граней и ребер. Однако при этом мы воспользуемся методами тригонометрии, неизвестными древним египтянам. Как же им удалось придать пирамиде желаемую форму и размеры?

Для ответа на вопрос решим три математические задачи.

1. Как были изготовлены каменные блоки в форме прямых призм?

2. Как на земле отмечались прямые углы квадратного основания пирамиды?

3. Как были возведены треугольные грани под углом в 52°?

Чтобы изготовить из каменного блока неправильной формы прямоугольную призму, мастера сначала отмечали на нем прямую линию. Для этого они могли натянуть смоченную краской веревку подобно тетиве лука. Веревка указывала на неровной поверхности направление распила. Проверить направление можно было по деревянной рейке и визирной линии. Далее мастер выполнял эти же действия с другого края блока так, чтобы отмеченные линии были параллельны. Параллельность определялась на глаз. Этих линий было достаточно для того, чтобы сформировать первую плоскую сторону блока. Даже сегодня некоторые строители считают, что по визиру линии определяются точнее, чем с помощью натянутой веревки.

При помощи угольника аналогичные построения можно провести для следующей грани и так далее. Как видите, изготовить прямоугольный блок непросто, а потери материала у неопытного мастера могут достигать половины объема исходного блока.

Теперь, возможно, вы задумались, как мастера изготавливали угольники и обеспечивали перпендикулярность сторон? Этот вопрос приводит нас ко второй задаче — задаче о построении прямого угла на земле. Как египтяне 4 тысячи лет назад строили прямые углы?

Треугольник со сторонами длиной 3, 4 и 3 м называется египетским. Предполагается, что он использовался для построения прямых углов еще во времена фараонов и до сих пор по-прежнему применяется в разных странах мира, в частности в Испании, Аргентине и Швеции, пусть и в пропорционально уменьшенном виде (со сторонами 30, 40 и 50 см). Возможно, именно так египтяне размечали прямые углы основания великой пирамиды.

Еще один возможный метод построения — метод Евклида. Этот математик жил намного позже, спустя примерно 2 тысячи лет после того, как были построены великие пирамиды, но описанный им метод построения перпендикуляра к отрезку, возможно, был известен задолго до того, как Евклид привел его доказательство.

Это же можно предположить и о знаменитой теореме, носящей его имя. Египтяне 4 тысячи лет назад, возможно, действовали следующим образом. Вершина прямого угла в основании пирамиды помещалась в точке Р. Затем строилась прямая r, проходившая через Р в том же направлении, что и будущая сторона пирамиды. Далее на прямой r обозначались две точки Q и Q', равноудаленные от Р (эти точки можно отметить с помощью веревки). Наконец, при помощи той же веревки той же мерой PQ = PQ' (хотя могла использоваться и любая другая) строились две дуги окружности. Точка пересечения этих дуг располагалась на перпендикуляре к прямой, как показано на рисунке.

Питер Ходже и некоторые другие специалисты по строительству, изучавшие методы древних египтян, считают более вероятным иной способ. Одно из приводимых ими объяснений заключается в том, что в Древнем Египте прямой угол имел первостепенное значение и вряд ли связывался с окружностями. Вспомним, к примеру, что египетские фрески нарисованы поверх прямоугольных сеток, а многие здания, в том числе построенные значительно позже, также имеют форму прямоугольников.

Возможно, прямые углы строились следующим образом. Сначала, как и в предыдущем случае, через точку Р — будущую вершину квадрата — проводилась прямая r, на которой отмечались точки Q и Q', равноудаленные от Р. Затем на веревке s, одним концом привязанной к Р, отмечалась точка R. Когда расстояние RQ становилось равным RQ' веревка s располагалась перпендикулярно прямой r.

Иными словами, угол α становился прямым.

Этот метод основан на построении равнобедренного треугольника, в котором отрезок PR является высотой.

И наконец, как египтяне возвели грани пирамид под углом в 52 °? Смысл этого вопроса, сформулированного в терминах современной математики, состоит в следующем: как египтяне обеспечили нужный наклон граней пирамиды? Специалисты предполагают, что наклон определялся скорее как отношение между высотой и основанием пирамиды, а не как угол. Учитывая, что тангенс угла определяется именно как отношение высоты пирамиды к половине ее основания, получим

Значит ли это, что строители великой пирамиды стремились обеспечить именно такой угол наклона граней? Быть может, за основу был взят угол наклона ребер, равный 42°?

Но почему выбраны именно такие углы? Может быть, они как-то связаны с египетскими традиционными мерами длины и равнялись какому-то круглому числу пальцев, ладоней или локтей? Ответить на эти вопросы сложно, ведь соотношение этих мер и современных мер длины в разных источниках отличается. К примеру, египетский царский локоть, который использовался при строительстве пирамиды Хеопса, по всей видимости, был равен 52,4 см. В последующие тысячелетия локоть составлял от 31,6 до 51 см. Если считать, что царский локоть действительно имел указанную длину, то высота великой пирамиды составит 280 локтей, а длина стороны основания — 440 локтей. Соотношение между этими величинами равно 7/11.

Почему выбрано именно такое соотношение — также загадка. Мы можем однозначно утверждать лишь то, что в Древнем Египте эпохи пирамид существовали точные математические методы построения прямых, параллельных и перпендикулярных линий, и только благодаря им удалось построить эти впечатляющие монументы. К счастью, до наших дней дошли папирусы, из которых мы знаем, как египтяне решали математические задачи.

В древнеегипетской культуре использовалось иероглифическое письмо, которое можно увидеть на стенах гробниц фараонов. Со временем иероглифы изменились и возникло иератическое письмо, имевшее более символический характер. При помощи иератического письма, созданного в конце эпохи пирамид, фиксировались всевозможные стороны жизни и культуры Древнего Египта. Записи велись на папирусе. Из папирусных свитков мы знаем, что египтяне использовали десятичную систему счисления, а при решении геометрических задач и выполнении расчетов применяли дробные части единицы.

Из всех папирусов, дошедших до наших дней, один содержит множество математических задач — это папирус Райнда, найденный в Фивах в середине XIX века близ мавзолея Рамзеса II, также известный как папирус Ахмеса по имени переписчика, который указал, что всего лишь сделал копию более древнего текста неизвестного автора или авторов. Копия Ахмеса датирована примерно 1600 годом до н. э., оригинал же мог быть на 300 лет старше.

Папирус Ахмеса содержит 87 математических задач. Шесть первых посвящены делению чисел на 10, 16 задач посвящены суммам дробей, 18 — уравнениям, восемь — делению, 14 — вычислению объемов призм и усеченных пирамид, пять — вычислению площадей земельных участков и объемов тел вращения, а еще 15 относятся к экономике. Форма записи практически идентична той, что используется в современной математике, и если мы сравним папирус Ахмеса со школьными тетрадями, то не найдем между ними особых различий.

Папирус Ахмеса , один из древнейших математических текстов, дошедших до наших дней.

Египтяне также строили амбары цилиндрической формы и рассчитывали их вместимость через площадь круглого основания. Правило вычисления площади круга звучало так: «вычти из диаметра его девятую часть и возведи полученное число в квадрат».

В задаче 41 требуется вычислить объем амбара с диаметром основания 9 локтей и высотой 10 локтей. Результат определяется умножением площади основания на высоту. При вычислении площади основания применяется указанное выше правило. Девятая часть от 9 локтей равна 1 локтю. Разность между ними равна 8 локтям. Возведя это значение в квадрат, получим 64 квадратных локтя. Умножив это число на 10, получим 640 кубических локтей. Точный ответ таков:

Результат, полученный по методу древних египтян, больше истинного всего на 0,6 %. Расхождение вызвано неявно используемым в этой формуле значением π — это единственное отличие египетской формулы от современной. Некоторые историки высоко оценивают древний метод именно потому, что в нем фигурирует достаточно точное значение π. Если мы сравним египетскую формулу с известной нам формулой площади круга, то увидим, что в ней соотношение между длиной окружности и ее диаметром, то есть π, принимается равным 3,16:

Однако внимания заслуживают два вопроса, которые, возможно, даже важнее, чем точность при вычислении π. Египтяне определяли объем фигуры как произведение площади ее основания на высоту. Как они пришли к этой формуле? Какие мысли, не зафиксированные в египетских папирусах, привели их к этой формуле?

По одной из гипотез, древние связывали площадь круга с площадью неправильного восьмиугольника, вписанного в квадрат стороной в 9 единиц.

Если мы хотим получить прямоугольную фигуру, по площади примерно равную кругу, то очевидно, что вписанный квадрат слишком мал, а описанный квадрат слишком велик. Среднее арифметическое площадей этих квадратов — не слишком точная оценка реальной площади круга, так как в ней число π принимается равным 3. Между прочим, именно такое значение π несколько веков использовалось в Древнем Египте и Месопотамии. Однако достаточно понаблюдать за тем, как колесо совершает полный оборот, чтобы убедиться: отношение длины окружности к ее диаметру очевидно больше 3.

Учитывая, что площади, в отличие от расстояний, нельзя измерить по земле, площадь круга можно оценить следующим образом: построить окружность, измерить ее длину, после чего вычислить ее по формуле и сравнить полученные результаты.

Какую формулу следует применить для расчета длины? Разумно ли принять длину окружности равной среднему арифметическому периметров вписанного и описанного квадрата? Возможно, да. Однако мы сталкиваемся еще с одной проблемой: найти периметр квадрата, вписанного в окружность, без теоремы Пифагора нельзя.

По одной из гипотез, египтяне принимали эквивалентным окружности неправильный восьмиугольник. Чтобы построить его, они делили стороны квадрата длиной в 9 единиц на три части каждую, для чего на сторонах квадрата отмечалось восемь точек. Далее эти точки соединялись линиями, и получался неправильный восьмиугольник, площадь которого визуально неотличима от площади круга.

Площадь круга равна 63,6 кв. ед. Площадь неправильного восьмиугольника отличается от нее менее чем на 1 %:

S k =92 — 4·(1/2)·32 = 81–18 = 63 кв. ед.

Еще одна гипотеза изложена в задаче папируса Ахмеса под номером 50. В ней площадь круглого поля диаметром 9 единиц принимается равной площади квадрата со стороной в 8 единиц. Автор папируса указывает, что подтверждение этого соотношения приводится в задаче 48. Задача 48 сопровождается рисунком, на котором изображен неправильный многоугольник, вписанный в квадрат. В центре обеих фигур записана цифра 8. Однако рисунок неточен: вписанный многоугольник имеет не восемь, а всего семь сторон, при этом одна из его сторон не полностью совпадает со стороной квадрата. Но здесь важно другое: почему египтяне думали, что круг диаметром 9 единиц эквивалентен квадрату со стороной 8 единиц?

С точки зрения современного человека площади этих фигур действительно схожи:

S 8 = π·4,52 = 63,617… кв. ед.

Их подобие нетрудно видеть на рисунке.

S квадрата = 82 = 64 кв. ед.

Как считают Робинс и Шут, ответ на этот вопрос заключался в том, как диаметр окружности связывался со стороной квадрата. Если соединить вершину квадрата с серединой его стороны, получится прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной √80. Это значение весьма схоже с диаметром окружности, равным √81 = 9.

Любопытно, что если мы примем длину гипотенузы прямоугольного треугольника со сторонами 8 и 4 равной не √80, а 9, то получим еще более точное значение площади круга (64 ближе к 63,617, чем 62,83):

Неверная длина гипотенузы: 82 = 64 кв. ед.

Точное значение: π·4,52 = 63,617… кв. ед.

Точная длина гипотенузы: π·(√80/2)2 = 62,8318… кв. ед.

В любом случае ошибка будет меньше, если мы примем площадь круга диаметром 9 единиц равной 64 кв. ед., а не 63 кв. ед. (такова площадь неправильного восьмиугольника, рассмотренного ранее).

Неудивительно, что при решении этой задачи был выбран квадрат со стороной 9 единиц. Но почему именно 9? Если мы возьмем за основу квадрат со стороной в 3 единицы, то получим, что площадь восьмиугольника равна 7 кв. ед. Построить квадрат такой площади нельзя без использования иррациональных чисел. Площади квадратов со сторонами, например, 4 и 9 будут слишком далеки от реального значения. Возможно, для построения восьмиугольника египтяне брали за основу квадрат с длиной стороны, кратной 3. Но какое число, кратное 3, удобнее всего? Соотношение между площадью вписанного круга (S о ), площадью квадрата со стороной 3х и площадью вписанного неправильного восьмиугольника (S 8 ) таково:

Чтобы построить квадрат, почти равный по площади восьмиугольнику, нужно найти число с такое, что с2  = 7х2. Для целых с это уравнение не имеет решений, однако можно найти приближенное значение с примерно = x√7, например с = 8. Именно его использовали египтяне, получая очень близкие результаты: 7х2 = 63,с2 = 64.

Рей Пастор и Бабини считают, что египтяне вывели правило по результатам действий с дробными частями единицы. Так как требуется вычесть из диаметра его девятую часть, возникает вопрос: какую дробную часть диаметра вида 1/n, где n — натуральное, необходимо рассмотреть, чтобы найти длину стороны эквивалентного квадрата? Пусть диаметр окружности D = 1. Вычтем из него дробь 1/n и вычислим, каким должно быть значение n, чтобы при возведении этой разности в квадрат получалось число, близкое к площади круга с диаметром 1.

Математика с большой буквы

Значительная часть известной нам сегодня математики создана на основе традиций, заложенных Евклидом в его «Началах». Этот труд не просто сборник задач и решений. В нем описано математическое мышление, которое принималось за образец вплоть до середины XX века, пока Бертран Рассел не пошатнул сами его основы.

Критики «Начал» не согласны уже с первой строчкой трактата, где приводится определение точки как чего-то, что не имеет частей. Сегодня точка определяется как элемент аффинного, или топологического пространства. Рассмотрим подробнее критику первого предложения, в котором идет речь о построении равностороннего треугольника. Это предложение часто рассматривается как иллюстрация парадигмы метода Евклида: оно представляет собой формулировку теоремы, которая доказывается на основе приведенных ранее аксиом. В доказательстве раскрывается метод, при помощи которого древние египтяне, возможно, размечали на земле прямые углы оснований своих пирамид.

В предложении 1 описывается построение равностороннего треугольника на данном отрезке. Пусть дан отрезок АВ. Нужно построить с помощью циркуля окружность радиуса АВ с центром в точке А. Далее аналогично строится окружность с центром в точке В. Две построенные окружности пересекутся в точках Р и Q. Эти точки будут находиться на одинаковом расстоянии от А и В. Следовательно, треугольники АВР и ABQ равносторонние.

Критики отмечают, что в доказательстве используется аксиома о непрерывности линий, отсутствующая среди евклидовых постулатов. Если эта аксиома не выполняется, то построенные окружности необязательно пересекутся. Следовательно, «Начала» — это не исчерпывающий математический трактат, а продукт культуры, в котором изложены все известные на определенный момент времени знания, заимствованные из разных культур. Некоторые даже осмеливаются заявлять, что именно «Начала» научили нас мыслить математически. Однако математическая мысль вовсе не ограничивается триадой «аксиома — теорема — доказательство», она может принимать и другие формы. Несмотря на то что в «Началах» описывается ряд алгоритмов, в частности алгоритм вычисления наибольшего общего делителя двух натуральных чисел, нельзя сказать, что алгоритмы действительно составляют часть математической мысли, описанной в этом трактате. В разделе «Начал», посвященном алгебре, мы не встретим описания итеративных процессов, в которых последовательность приближений, найденных по определенному алгоритму, сходится к решению задачи. Эти идеи возникли позже и характерны для китайской, арабской и индийской культур. Евдокс, который, возможно, был современником Евклида, применил схожий подход в своих работах, которые, однако, не упоминаются в «Началах». Архимед, живший на 100 лет позже Евклида, вероятно, первым применил метод последовательных приближений для вычисления площади круга и получил самый точный результат своего времени. Понятие последовательности и ее сходимости спустя почти 2 тысячи лет дали начало анализу бесконечно малых. Возникает вопрос, как Евклид рассматривал анализ бесконечно малых: как процесс или как идею?

Бертран Рассел пошел дальше и заявил, что математика выводится из логики. Однако этот факт вовсе не означает, что логика — суть математики. Мы каждый день принимаем решения, которые можно обосновать при помощи логики, но не рассматриваем их как логические задачи. Мы принимаем решения с учетом множества факторов, и логика — лишь один из них. Мы очень часто опираемся на опыт, интуицию, аналогии, советы и бесчисленное множество других доводов, которые по истечении времени можно рационально обосновать. Но мы не всегда рассуждаем исключительно рационально. Так и математическая мысль и сама математика не сводятся к одной лишь логике.

Метод последовательных приближений

Шульба-Сутры — единственный индийский математический текст ведического периода, то есть VIII–II веков до н. э. В нем приведены четкие методы построения алтарей квадратной или круглой формы для дома. Алтари, находившиеся в общественных местах, должны были иметь более сложную форму и содержать треугольники, ромбоиды и трапецоиды. В одном из таких алтарей элементарные многоугольники образовывали фигуру в форме птицы — возможно, это означало, что после жертвоприношения птица поднимет в небеса просьбу просившего.

Одна из задач заключалась в построении алтаря площадью в два раза больше данного. Эту простую геометрическую задачу можно решить на глаз и в численном виде. Второй способ предпочтительнее, если мы хотим заранее определить, сколько материала потребуется на изготовление алтаря. Первым способом решение находится мгновенно: достаточно построить квадрат на диагонали исходного. Полученный квадрат будет содержать ровно четыре половины исходного квадрата.

Численное решение основано на применении теоремы Пифагора или определении числа, которое при возведении в квадрат дает 2. В самом деле, какова длина стороны квадрата х, площадь которого в два раза больше площади квадрата со стороной с? Посмотрим:

Шульба-Сутры также содержат описание алгоритмического метода вычисления квадратного корня из 2 путем последовательных приближений. Согласно этому методу, нужно добавить к длине стороны ее треть, затем — четвертую часть трети и, наконец, вычесть 30-ю часть четвертой части трети стороны. Иными словами, обозначив через с длину стороны квадрата, который нужно удвоить, имеем:

Выполнив указанные операции, вы увидите, что полученный результат — прекрасное приближение квадратного корня из 2 с точностью до пяти знаков после запятой:

Позднее, в XV веке, к этому числу были добавлены еще два члена, и в результате оно стало равняться корню из 2 с точностью до семи знаков:

Откуда взялись эти цифры и число 34, в Шульба-Сутрах ничего не сказано. В них, как и во многих других математических текстах, зафиксированы лишь ответы, а не пути к решениям. Существует гипотеза, согласно которой индийский алгоритм вычисления корня из 2 основан на методе, известном еще вавилонянам. Мы уже показали, что им удалось с удивительной точностью вычислить длину диагонали квадрата, но нам ничего не известно о том, какой метод они при этом использовали и был он алгебраическим или геометрическим.

Как математики воссоздают творческий процесс решения задачи? Нужно провести некий воображаемый путь, выбрав в качестве начала точку, к которой пришел тот, кто решил задачу. Если мы узнаем, о чем думал автор решения, зафиксированного в Шульба-Сутрах, указанные дроби и числа обретут смысл.

Среди наиболее вероятных объяснений — теория индийского математика Датты, жившего в первой трети XX века. Начнем с того, что приближенное значение корня из 2 получается при помощи числовой последовательности, которая начинается с единицы (такова длина стороны квадрата):

{1, 1,33333, 1,41467, 1,4142157, 1,4142135 } — > √2.

Длина стороны квадрата и его площадь равны единице. Так как на первом шаге мы прибавляем к единице одну треть, разделим квадрат на три равные части. Получим три прямоугольника. Обозначим два первых прямоугольника через А и В и разделим третий прямоугольник на три равные части. Каждая из этих частей будет представлять собой квадрат. Обозначим верхний квадрат через С и разделим два нижних на четыре части каждый. Получим рисунок.

Имеем одиннадцать фигур (А, В, С и восемь маленьких прямоугольников). Расположим их вокруг исходного квадрата следующим образом.

Заполнив пустой угол, получим новый квадрат. Его площадь будет больше площади искомого удвоенного квадрата на величину площади этого пустого угла, так как площадь добавленных фигур равна исходному квадрату. Заметим, что если мы добавим к этой фигуре небольшой квадрат в углу, то площадь полученного квадрата будет в точности совпадать с той, что указана в Шульба-Сутрах:

Датта объясняет использование дроби 1/(3·4·34) с алгебраической точки зрения, свойственной скорее западной математике. По его мнению, пустой угол фигуры — это излишек, который распределяется между двумя ограничивающими его сторонами. Иными словами, этот пустой угол (его площадь равна 1/122) делится на два прямоугольника и новый пустой угол со стороной х, которые мы «отрежем» от верхней и правой боковой стороны фигуры:

Далее Датта заключает, что площадь нового пустого угла, квадратика со стороной х, пренебрежимо мала, и выполняется соотношение:

Возможно, именно так рассуждал индийский автор Шульба-Сутр, однако приведенные алгебраические методы и пренебрежение малыми величинами кажутся не слишком уместными при поиске все более точных значений. Чтобы поставить себя на место индийского автора и понять ход его рассуждений, нужно найти геометрическое обоснование этого необычного знаменателя, то есть числа 34. Разделим квадратный пустой угол со стороной 1/12 на столько частей, сколько раз этот квадрат укладывается на верхней и правой сторонах фигуры, то есть на 16 + 16 = 32 части. Отсечем от каждого из 16 квадратиков, расположенных вдоль стороны фигуры, полосу шириной 1/(12·32) и получим новый многоугольник, вписанный в квадрат. Длина стороны этого многоугольника будет равна:

Площадь этого квадрата намного ближе к искомому значению:

Число 34 по-прежнему не появляется. Поступим иначе: вместо того чтобы уменьшить стороны изображенного выше неправильного многоугольника, рассечем квадрат со стороной 1 + 1/3 + 1/12 вдоль верхней и правой стороны. На каждой из них маленький квадратик в углу укладывается ровно 17 раз.

Разрежем этот маленький квадратик на 34 полосы, а затем отсечем 17 полос из верхней и столько же — из правой стороны большого квадрата. Мы исключили излишек в форме маленького квадрата, длина стороны которого равна: 1/(12·34)

Полученная фигура вновь будет неправильным многоугольником, вписанным в квадрат. Длина стороны этой фигуры в точности равна приближенному значению, приведенному в Шульба-Сутрах.

По всей видимости, если мы отбросим 34 квадратика, это будет слишком много, если отбросим 33 — слишком мало, чем и объясняется чередование чисел 33 и 34 в последующих приближенных значениях, полученных по индийскому методу:

В продолжение рассуждений, параллельных индийскому методу, заметим: если разделить исходный квадрат не на три, а на пять частей, то первое приближение будет более точным.

Подобная схема рассуждений не вписывается в евклидову геометрию. Несмотря на всю ее логичность, эти рассуждения не основаны на аксиомах и не приводят к доказательству уже известного результата. Мы видим перед собой не теорему, доказательство и вывод, а поиск некоторого объекта, природу которого мы узнаем лишь по мере приближения к нему.

Математика как культурный феномен

Математическая мысль усложняется в культурах, которым известна письменность, и напрямую связывается с ней. Мы гораздо больше знаем о тех культурах, от которых до нас дошли письменные свидетельства.

В египетских пирамидах мы видим квадрат, а не круг. В Стоунхендже мы видим круг, а не квадрат. Быть может, форму квадрата должны были иметь монументы, имевшие отношение к загробному миру, подобно пирамидам? Быть может, круг имеет большее отношение к астрономии и ритуалам-, связанным с Солнцем и Луной?

Культуры, о которых мы рассказали в этой главе, давно прекратили свое существование. Математические идеи в них зародились намного раньше, чем возникла так называемая западная культура. Развитие этих идей носило локальный характер: все народы занимались математикой по-своему и независимо друг от друга решали практические задачи. Эта математика была этноматематикой.

Мы имеем некоторое представление о том, что такое математика, как она создается, и наше представление опирается на идею непрерывности пространства и времени. Но, по всей видимости, эта идея возникла лишь с появлением нашей культуры. А что происходит и происходило за ее пределами? В доколумбовой Америке существовали народы, создавшие важные математические знания. Этот процесс не прекращается в самых разных культурах с момента открытия нового континента и до наших дней — именно благодаря ему эти культуры смогли выжить и дойти до нас. Обо всем этом мы и поговорим дальше.

* * *

СЕЛЬСКАЯ МАТЕМАТИКА

В конце 1980-х годов профессор Гвида де Абреу изучила математические методы, которые применяли крестьяне на северо-востоке Бразилии. Расхождения между этими методами и сугубо академическими представлениями препятствовали внедрению новых аграрных технологий.

К примеру, площади треугольников крестьяне вычисляли как произведение среднего арифметического длин двух сторон треугольника на половину третьей, то есть по формуле ( х + у )· z / 4.

Этот метод имеет свои недостатки. Для равностороннего треугольника со стороной х  площадь будет равна S = х 2 /2, что отличается от фактического значения, равного ( х 2 √3)/4. Для прямоугольного треугольника с катетами длиной 30 и 40 метров и гипотенузой длиной 50 метров в зависимости от выбора сторон возможны три разных результата. Истинное значение площади составляет 600 м 2 , а значения, полученные по методу бразильских крестьян, равны:  S 1 = 800 м 2 , S 2 = 875 м 2 , S 3  = 675 м 2 .

В последнем случае мы вычислили среднюю длину двух больших сторон треугольника и получили наиболее точный результат. Возможно, так и следует действовать во всех случаях, тем более что этот метод, несомненно, намного удобнее применять на практике, чем тригонометрические расчеты. Кроме того, основой системы мер, которую использовали крестьяне, были единицы под названием брага, куб и конта. Брага, стандартная мера длины, составляла от 2 до 2,20 м и измерялась при помощи посоха. Куб определялся как площадь квадрата с длиной стороны в одну брагу, конта — как площадь квадрата с длиной стороны в 10 браг.

 

Глава 2

Как считать быстрее и лучше

Письменный счет и вычисления

Что бы вы подумали, если бы увидели на тротуаре бумажку с такими надписями?

Это свободная интерпретация шумерской таблички возрастом более 4600 лет, найденной в городище Шуруппак на территории Ирака. Как отмечает Джордж Ифра ( Марракеш , 1947), эта табличка представляет собой древнейшую запись деления чисел. Математик и историк Джордж Ифра — автор объемных и очень подробных трудов о системах счисления во всем мире, созданных задолго до появления математической науки.

В табличке идет речь о разделе ячменя между несколькими людьми. В левом столбце указано исходное количество ячменя, которое нужно разделить: один амбар и семь сил (один амбар равнялся 1152 000 сил). В правом столбце приведены необходимые расчеты. Смысл текста на табличке таков: после того как амбар ячменя был разделен между несколькими людьми, каждому досталось по 7 сил. Всего было 164571 человек, 3 силы оказались лишними.

Числа на табличке записаны при помощи геометрических фигур. Маленький конус обозначал единицу, круг — 10 единиц, большой конус — 60 единиц, большой конус с отверстием — 600, большой круг — 3600, большой круг с отверстием — 36 000 единиц.

Делимое 1152000 раскладывается на степени 60 следующим образом:

1152 000 = 5·603 + 2·10·602.

Но вместо того, чтобы записать его в таком виде, автор таблички, который не умел представлять большие числа, применил самое большое число, известное в ту эпоху, то есть 36000. Если мы хотим записать число 1152000 при помощи кругов с отверстиями, нам потребуются 32 круга:

1152 000 = 32·36 000.

Разделив эти 32 круга на 7 частей, получим, что в каждой части будет по 4 круга и еще 4 круга окажутся лишними. Четыре круга, доставшихся каждому человеку, составляют частное и записаны в верхней правой части таблички. Четыре оставшихся круга представляют собой остаток от первого деления. Их нужно снова разделить на 7 частей. Так как остаток равен 4·36 000 сил, получим:

4·36 000 = 144 000 = 40·3600,

то есть 40 больших кругов без отверстий. Разделим их на группы по 7 и получим, что частное — 5 кругов, остаток — тоже 5 кругов. Оставшиеся круги, обозначающие 5·3600 единиц, делятся на большие конусы с отверстиями по 600 единиц:

5·3600 = 18 000 = 30·600.

Имеем 30 больших конусов с отверстиями, которые нужно разделить на семь частей. Частное равно 4, остаток — 2. Таким образом, остались 2 больших конуса с отверстиями, то есть 2·600 = 1200 единиц, которые снова нужно разделить на 7 частей. Для этого используем следующую единицу измерения — конус без отверстий, обозначающий 60 единиц:

1200 = 20·60.

Эти 20 конусов, в свою очередь, снова делятся на 7. Результат деления равен 2, остаток — 6. Таким образом, лишними оказались 6 * 60 = 360 единиц. Они обозначаются 36 шарами по 10 единиц каждый:

360 = 36·10.

* * *

ВЫЧИСЛЕНИЯ ШУМЕРОВ

На латыни слово calculus означало маленькие камни или кусочки глины, которые в зависимости от формы и размера обозначали разные величины. От этого слова произошло современное «калькулятор»». Шумеры использовали для обозначения величин не камни, а маленькие конусы и шарики, в которых проделывали отверстия. Современные врачи называют « calculus renalis » камни в почках — небольшие плотные образования, возникающие в результате кальцификации.

* * *

Результат деления 36 на 7 равен 5, остаток — 10 единиц, или, что аналогично, 10 маленьких конусов. Разделим их на 7 частей и получим последний остаток в 3 единицы, или 3 маленьких конуса. Все описанные выше действия приведены в таблице.

Фигурам, изображенным в верхней правой ячейке глиняной таблички, соответствуют числа в третьем столбце таблицы. Под этими фигурами на табличке изображены три маленьких конуса, обозначающие остаток от деления (им соответствует четвертый столбец таблицы). Разумеется, деление было проведено по всем правилам.

Древние египтяне, жившие в 2000 году до н. э., с легкостью выполняли умножение и деление на 10 — для этого им было достаточно заменить символы, обозначавшие цифры исходного числа, меньшими или большими символами соответственно.

На следующем рисунке в качестве примера показано, как записывались числа 48 и 480 (напомним, что египтяне писали справа налево).

При умножении на другие величины они использовали не алгоритм, подобный нашему, а последовательное умножение или деление на 2. Так, чтобы умножить 117 на 14, они записывали числа в два столбца. В левом столбце записывались последовательные степени двойки, в правом — числа, кратные 14. Запись прекращалась, когда следующая степень двойки превышала число, на которое умножалось 14, то есть 117.

Теперь нужно выбрать из правого столбца числа, которые в сумме дают 117:

1 + 4 + 16 + 32 + 64 = 117.

Следовательно, результат умножения равен сумме чисел из правого столбца, соответствующих этим слагаемым:

14 + 36 + 224 + 448 + 896 = 1638.

Действия, выполняемые в левой колонке, равносильны представлению большего из множителей в двоичной системе счисления:

117 = 1·26 + 1·25 + 1·24 + 0·23 + 1·22 + 0·21 + 1·20 = 1110 101 (в двоичной системе)

Это выражение определяет результат. Египтяне, жившие 4 тысячи лет назад, при умножении, по-видимому, неосознанно переводили числа в другую систему счисления. Их метод оказался успешным потому, что из левого столбца всегда можно выбрать числа таким образом, что их сумма будет равна требуемому числу. Иными словами, натуральное число всегда можно выразить в двоичной системе счисления.

Рассмотрим несколько примеров, показывающих, почему это так:

12 = 22·3 = 22·(2 + 1) = 23 + 22.

15 = 3·5 = (2 + 1)·(22 + 1) = 23·22 + 2 + 1.

Первые натуральные числа также обладают этим свойством:

1 = 20, 2 = 21, 3 = 21 + 20, 4 = 22, 5 = 22 + 1, 6 = 22 + 21, 7 = 22 + 21 + 20…

Если п — натуральное число, обладающее этим свойством, то следующее за ним число, n + 1, также будет обладать этим свойством. В самом деле, если n четное, то ни одно из составляющих его слагаемых не будет равно 20 = 1. Следовательно, именно эту степень двойки нужно будет добавить к n, чтобы получить следующее число, n + 1. Таким образом, n + 1 будет суммой степеней двойки. Если же n нечетное, то его разложение на сумму степеней двойки будет оканчиваться 20. Чтобы получить из n следующее число, n + 1, к нему нужно будет добавить единицу, то есть 20. Но в разложении этого числа уже есть одна единица, поэтому получим 20 + 20 = 1 + 1 = 2 = 21. Если слагаемое 21 уже фигурировало в разложении, мы получим новое слагаемое, равное 22 и так далее. Результат в любом случае будет представлять собой сумму степеней двойки.

Запишем первые 10 натуральных чисел в виде сумм степеней двойки, чтобы вы могли увидеть закономерность, которой они подчиняются.

Древние египтяне выполняли деление по схожему алгоритму, но в обратном порядке, то есть с помощью умножения. К примеру, при делении 92 на 9 они определяли число, на которое нужно умножить 9, чтобы получить 92. Сначала необходимо составить таблицу чисел. В левом столбце запишем последовательность степеней двойки, в правом столбце будем раз за разом удваивать 9, пока оно не превысит 92.

Теперь выберем из правого столбца числа, которые в сумме дают 92. Так как выбрать такие числа нельзя, 92 не делится на 9 нацело. Ближайшая сумма равна 18 + 72 = 90. Следовательно, результат деления равен 2 + 8 = 10 (сумме степеней двойки, соответствующих числам 18 и 72), остаток от деления равен 2.

Счет в разных регионах

Для счета необходимо дать величинам названия, а также предусмотреть символы для их обозначения. Сегодня символы, обозначающие цифры, являются практически универсальными и используются во всех уголках планеты. Названия чисел и слова, используемые при счете, также эквивалентны. Однако даже самый точный перевод не всегда может обеспечить соответствие исходных понятий.

Двести лет назад многие европейцы думали, что африканцы способны считать разве что до 10. Эту точку зрения опровергли некоторые торговцы XVIII века и исследователи-антропологи в XX столетии.

Можно было подумать, что народ кпелле, живший в центральной Либерии и Гвинее, не умел обращаться с числами только потому, что использовал для выполнения арифметических действий кучки камней. Однако в результате исследования, которое провели Гэй и Коул, оказалось, что кпелле точнее оценивают число камней в кучках разных размеров, чем студенты Йельского университета.

* * *

ЖЕСТЫ ДЛЯ ОБОЗНАЧЕНИЯ ЧИСЕЛ В АФРИКЕ

Зулусы — самый многочисленный народ Южной Африки. Они проживают преимущественно в Южноафриканской Республике, а отдельные группы зулусов встречаются в Зимбабве, Замбии и Мозамбике. Камба — язык семейства банту, на котором говорит народ камба, живущий в Восточной Африке, в частности в Кении и Танзании. В следующей таблице приведены жесты, которыми камба и зулусы обозначают числа от 1 до 10.

Число · Зулусы (Южная Африка) · Камба (Кения)

1 · Вытянутый левый мизинец · Вытянутый правый указательный палец

2 · Вытянутый мизинец и средний палец на левой руке · Вытянутый указательный и средний палец на правой руке

3 · Вытянутые мизинец, безымянный и средний пальцы · Вытянутые указательный, средний и безымянный пальцы правой руки

4 · Четыре вытянутых пальца · Пары «указательный — средний» и «безымянный — мизинец» правой руки, сложенные в виде буквы V

5 · Пять вытянутых пальцев · Пальцы правой руки, сложенные в кулак

6 · Вытянутый большой палец правой руки · Взяться за левый мизинец правой рукой

7 · Вытянутый большой и указательный палец правой руки · Взяться за мизинец и безымянный палец левой руки правой рукой

8 · Три вытянутых пальца правой руки · Взяться за мизинец, безымянный и средний палец левой руки правой рукой

9 · Четыре вытянутых пальца правой руки · Взяться правой рукой за четыре пальца левой руки

10 · Вытянуть все пальцы · Сжать в кулаки пальцы обеих рук

* * *

Для счета и вычислений мы используем десятичную систему счисления, которую выражаем устно и письменно. В нашем обществе взрослый человек, который считает на пальцах, вызывает удивление — так могут делать только дети в младших классах.

Мы записываем и произносим числа при помощи символов и слов, в которых также отражается десятичное основание нашей системы счисления. Все числа от 1 до 10 обозначаются разными символами и словами. Звучание чисел, больших 10, определяют фонетические корни. Например, числа с 11 до 19 произносятся так.

Аналогично обозначаются и последующие степени числа 10 — основания системы счисления. Первые слоги указывают, сколько степеней десятки нужно выбрать: тридцать (30), пятьдесят (50), двести (200), триста (300), четыре тысячи (4000), сто тысяч (100000). Выражение вида «семь тысяч триста пятьдесят два» неявно подразумевает представление исходной величины в виде суммы степеней 10:

7·1000 + 3·100 + 5·10 + 2.

Однако в рамках западной культуры имеются некоторые различия. Французы при устном счете для обозначения десятков от 60 до 90 используют в качестве основы число 20. Восемьдесят на французском произносится quatre-vingt, то есть «четыре раза по двадцать». Восемьдесят пять произносится quatre-vingt cinq, то есть

4·20 + 5.

Клаудия Заславски (1917–2006, Нью-Йорк) первой изучила туземные математические идеи и внесла вклад в создание этноматематики. В труде «Africa Counts» («Африка считает») она предвосхитила идеи, которые спустя много лет составили основу отдельной дисциплины — этноматематики (это название ей дал бразильский профессор Убиратан д’Амброзио). Заславски зафиксировала множество математических идей, свойственных африканским культурам: системы счисления, отличные от десятичной, методы счета на пальцах, геометрические узоры, используемые в строительстве и украшениях.

За пределами западной культуры при обозначении величин, которые нельзя показать на пальцах одной руки, в устной речи за основу берется число 5. В некоторых разновидностях языка банту (Центральная Африка) корень, обозначающий число 5, звучит как «тано» и входит в слова, обозначающие 6, 7, 8 и 9. Эти слова образуются прибавлением к корню «тано», обозначающему пять единиц, окончаний 1 (-мве), 2 (-вали), 3 (-тату) и 4 (-не). Таким образом, 6 называется тано-на-мве, 7 — тано-на-вали, 8 — тано-на-тату, 9 — тано-на-не.

В Гвинее-Бисау и Центральной Африке также используются пятеричные и двадцатеричные системы счисления, в которых 5 понимается как число пальцев на руке, 20 — число пальцев на руках и ногах. Таким образом, 10 называется «две руки», а 20 — «человек». Выражение «пять человек» обозначает число 100.

Традиционные обозначения чисел отражают мышление народа. Однако такие обозначения удобны при подсчете малых величин, но не при действиях с большими числами. Так, народ игбо, живущий на территории Нигерии, использует систему счисления по основанию 20. Квадрат 20 обозначается словом нну, квадрат 400 называется «нну кхуру нну», что означает «400 встречает 400».

Числа имеют первостепенное значение и в торговле, где нужно уметь измерять и взвешивать, производить расчеты и вести записи. Торговля невозможна без обмена и единицы стоимости. Так возникает необходимость в умножении и делении.

В Африке в качестве денежных единиц использовались раковины, коровы, соль, рабы и золото. Сегодня главная роль отводится банкнотам и монетам, хотя на местных рынках практикуется и натуральный обмен товарами.

Сто лет назад народ эве с побережья Гвинеи использовал в торговле раковины каури. Сорок раковин составляли единицу товарного обмена и назывались хока. Вдали от побережья хока равнялась уже не 40, а 35 раковинам. Эве быстро и умело перемножали числа: так, они брали 20 раз по 3 раковины, затем добавляли к ним 10 и получали 2 материковых хока: 20·3 + 10 = 70.

Значит ли это, что эве находили соотношение между береговой и материковой хока? Учитывая, что 20 — половина от 40, а 10 — четвертая часть 40, знали ли они, что три половины и четвертая часть береговой хока равнялись двум материковым хока? Более того, понимали ли они, что отношение между этими «валютами» равнялось 8:7 и, чтобы перевести цену из береговых в материковые хока, нужно было умножить ее на 7 и разделить на 8? Ответить на этот вопрос нелегко.

Система счисления народа йоруба (Нигерия)

Особого упоминания заслуживает удивительно сложная система счисления народа йоруба, живущего на территории Нигерии. Так, число 48 на языке йоруба дословно означает 20·3 — 10 — 2.

Йоруба используют двадцатеричную систему счисления, однако в отличие от подавляющего большинства культур числа в ней определяются вычитанием, а не сложением. Система счисления йоруба может показаться необычной и слишком сложной, однако это не единственная система счисления, основанная на вычитании — по такому же принципу была устроена римская система.

Как представить число в системе йоруба? Чтобы ответить на этот вопрос, сначала рассмотрим обозначения всех чисел до 20 — основания этой системы счисления. Числа от 1 до 10 обозначаются разными словами. Числа от 11 до 14 образуются прибавлением окончания — лаа к словам, обозначающим числа от 1 до 4. Вычитание используется начиная с числа 15: это и последующие числа обозначаются словами, которые буквально означают 20 — 5, 20 — 4, 20 — 3, 20 — 2 и 20 — 1. Число 20 обозначается новым словом; следующие числа, начиная с 21, обозначаются при помощи сложения, затем, начиная с 25, — вновь при помощи вычитания. Это правило циклически повторяется для всех последующих чисел. К примеру, 105 = 6·20–10 — 5, 315 = 400 — 20·4–5 (число 400 имеет особое название).

Укажем, как обозначаются некоторые большие числа.

Возможно, подобное представление чисел связано с подсчетом раковин каури: раковины при счете сначала объединялись в группы по 5, затем — в группы по 20. Пять групп по 20 раковин образовывали ряд из 100 раковин. Когда мы делим раковины на группы по 5, мы считаем от 1 до 5. Именно поэтому йоруба определяют числа 11, 12, 13 и 14 прибавлением единиц к 10. Однако эта версия не объясняет, почему число 15 определяется иначе.

Возможное объяснение заключается в том, что йоруба считали раковины на пальцах одной руки. Допустим, что мы держим в уме число 10 и последовательно разгибаем пальцы рук, чтобы отсчитать 11, 12, 13 и 14. Как отсчитать на пальцах этой же руки следующие числа до 20? Сначала разогнем пятый палец, а затем будем поочередно загибать пальцы до тех пор, пока не досчитаем до следующего десятка. Следовательно, числа, которые мы добавим к первому десятку, когда будем разгибать пальцы, мы отнимем от следующего десятка, когда будем загибать пальцы.

Таким образом, когда мы разогнем пятый палец, то будем представлять, что вычли 5 из 20: 20 — 5 = 15. Загнем один палец и получим 20 — 4 = 16, загнем еще один и получим 20 — 3 = 17. Когда мы загнем все пальцы, то начнем отсчет следующего десятка, то есть досчитаем до 20.

На рынке в Мозамбике

Методам счета за пределами академической среды посвящено множество исследований. Целью одного из них было узнать, как женщины каждый день выполняют сложение и вычитание в уме (чаще всего это происходит на рынках). Чтобы вычесть 5 единиц из 62, больше половины женщин на рынке в Мозамбике (Восточная Африка) сначала вычитали 2, а затем отнимали еще 3 от результата:

62 — 5 = (62 — 2) — 3 = 57.

Примерно треть опрошенных женщин вычитали 5 из 60, после чего прибавляли к результату две единицы:

62 — 5 = (60 — 5) + 2 = 57.

Меньшинство вычитало 10 из 62, после чего прибавляло к результату разность

62 — 5 = (62–10) + (10 — 5) = 57.

При умножении большинство женщин удваивали числа до тех пор, пока не получали приближенный результат. К примеру, они умножали 6 на 13 следующим образом (этот метод похож на египетский, описанный в начале этой главы):

Авторство всех этих методов подсчета неизвестно — так же как неизвестно, обучал ли женщин кто-либо считать именно таким способом. Возможно все описанные способы счета в уме составляют часть культурной традиции, связанной с ролью женщины в торговых отношениях.

В Нигерии также были зафиксированы алгоритмы вычислений в уме, схожие с приведенными выше. Так, сумма 18 + 19 вычислялась по следующим правилам:

18 + 19 = (18 — 1) + (19 +1) = 17 + 20 = 37

18 + 19 = (20 — 2) + (20 — 1) = 20 + 20 — (2 + 1) = 40 — 3 = 37.

При делении 45 на 3 полезно знать, что 21/3 = 7:

Эти методы позволяют понять, что одни и те же действия можно выполнять множеством способов, а математическое творчество довольно распространено.

В индийском автобусе

Город Ченнаи, ранее носивший название Мадрас, — столица штата Тамилнад на юго-востоке Индии. Водители автобусов в этой местности должны очень быстро вычислять в уме, чтобы определить, сколько денег должен заплатить каждый пассажир (сумма зависит от тарифов на разных участках пути), а в конце рабочего дня на основе дневного заработка они должны вычислить так называемую батта — свою заработную плату. Батта зависит от разновидности автобуса, числа поездок и дневной выручки.

Нирмала Нареш из Университета штата Иллинойс изучил методы, которые используют водители автобусов для вычисления батта и платы за проезд в зависимости от маршрута. При этом водители учитывают соотношение между индийской валютой рупией, ее сотой частью (пайсом) и различными банкнотами и монетами.

Улица Ченная в штате Тамилнад (Индия).

Далее изложены вычисления, которые совершает в уме водитель ченнайского автобуса, чтобы найти произведение 3·293 и 3,30·61:

3·293 = 3·300 — (3·7) = 900 — 21 = 879.

3,50·61 = 3·61 + (1/2)·61 = 183 + 30,50 = 213,5.

Как видите, водитель не выполняет умножение напрямую и не применяет школьные методы, а упрощает исходные числа, чтобы легче считать в уме. В первом случае он округляет 293 до 300. Умножить 300 на 3 в уме несложно, но полученный результат больше правильного на величину, в три раза большую, чем допущенная погрешность в 7 единиц. Чтобы получить правильный ответ, нужно вычесть из 900 три раза по 7. Во втором случае десятичная дробь 3,50 раскладывается на целую и дробную части, то есть на три единицы и одну половину. Далее 61 умножается на 3 — получаем 183. Остается добавить к этому числу половину от 61, то есть 30,5.

Эти вычисления в уме доказывают, что водители прекрасно умеют не только представлять числа в виде суммы, но и на практике применяют известное в академическом мире свойство дистрибутивности умножения относительно сложения. Хотя водители получили начальное математическое образование и учились считать в уме в школе, в повседневной жизни они применяют народные методы, которые отличаются от академических.

Разделение десятичной дроби на целую и дробную часть при умножении часто используется, когда нужно произвести вычисления в уме. Этот народный метод не изучается в школах, но встречается в разных частях света.

* * *

ВЫЧИСЛЕНИЕ КВАДРАТОВ В УМЕ

Так как ( n ± 1) 2 — n 2 ± 2 n + 1, квадрат целого числа можно вычислить в уме, зная квадрат предыдущего или следующего числа:

31 2  = 30 2 + 2·30 +1 = 900 + 60 + 1 — 961.

19 2  = 20 2 - 2·20 + 1 = 400 — 40 + 1 = 439.

Так как n 2  = а 2 + n 2 — а 2  = а 2 + ( n + а )·( n — а ), квадрат целого числа также можно определить через произведение его суммы и разности с другими числами, которое несложно вычислить:

19 2  = 1 + (19 2 - 1 2 ) = 1 + (19+1)·(19-1) = 1 + 20·18 = 1 + 360 = 361.

37 2  = 9 + (37 2 - З 2 ) = 9 + (37 + 3)·(37 — 3) = 9 + 40·34 = 9 + 40·(30 + 4) = 9 + 40·30 + 40·4 = 9 + 1200 + 160 = 1369.

* * *

Торг: стратегия действий с числами в торговле

Торг был и остается общепринятой торговой практикой. Хотя в западном мире он практически ушел в прошлое, в других регионах торг по-прежнему сохраняется на традиционных рынках и в излюбленных туристами местах.

Цель торга — прийти к соглашению относительно цены, которая устроит и продавца, и покупателя. Как правило, торг начинает продавец: он называет цену, которую должен заплатить покупатель. Часть игры заключается в том, что изначальная цена всегда завышена (порой — слишком завышена), и покупатель должен в ответ назвать другую, более низкую цену. При этом он не должен сбивать ее слишком сильно, чтобы продавец не почувствовал себя оскорбленным и не потерял интерес к покупателю.

Неписанное правило торга на традиционных рынках заключается в том, что справедливой ценой можно считать цену, равную половине первоначальной. Но это правило выполняется не всегда — порой продавец сам приглашает покупателя назвать цену первым.

Чаще всего цена при торге меняется на некоторую фиксированную величину, но покупатель и продавец могут договориться о скидке в процентах. Если покупателю предложили скидку в 5 %, ему не следует ожидать, что он сможет выторговать скидку в 50 %, то есть приобрести товар за полцены. В этом случае торг можно считать успешным, если покупателю удается удвоить названную скидку, то есть сбавить 10 % от цены. Скидки обычно предлагаются на довольно дорогие товары, так что даже небольшое изменение цены в процентном отношении предполагает существенную экономию, поэтому такой вид торга встречается не очень часто.

Наиболее простая математическая модель торга — это линейная модель. В ней цены, предлагаемые продавцом и покупателем, изменяются пропорционально. При всей своей простоте эта модель неточна: в реальной жизни предлагаемые цены увеличиваются и уменьшаются неравномерно, и по мере приближения к соглашению цена изменяется все меньше.

Более точной кажется модель, в которой графики изменения цены представляют собой кривые. Кривая цены, предлагаемой покупателем, С(х), будет возрастающей и выпуклой. Это означает, что покупатель будет называть все большую цену, увеличивая ее все меньше и меньше. К примеру, последовательность значений 20, 60, 100 и 140 соответствует первой, линейной модели, последовательность 20, 50, 70 и 75 — второй модели. Значения в этой последовательности возрастают, но разница между ними становится все меньше. Кривая продавца, V(x), напротив, будет убывающей, и разница между последовательными значениями также будет убывать.

Если считать, что результатом увеличения С(х) и уменьшения V(x) будет итоговая цена, получим параболические кривые, так как увеличение и уменьшение будут описываться производными исходных функций, V'(х) и С'(х). В случае с кривой покупателя производная положительна (С(х) возрастает), в случае с кривой продавца — отрицательна (V(х) убывает):

V(0) = В — начальная цена, предложенная продавцом. В результате получим две параболы разной кривизны, которые пересекаются в точке равновесия.

Однако мы не знаем, действительно ли участники торга рассуждают подобным образом. Быть может, они думают, что цену следует повышать или понижать обратно пропорционально разнице с исходной ценой? Если это так, то мы получим новую модель, в которой поведение продавца и покупателя описывается логарифмическими функциями — именно эти функции являются решениями дифференциального уравнения модели. Обозначив через V исходную цену, получим:

Постоянная k для покупателя положительна, для продавца — отрицательна.

Но на самом деле люди, предлагая свою цену, не вычисляют в уме подобные пропорциональные величины. Рассмотрим реальные данные, собранные автором по результатам торга с тремя продавцами, чей доход напрямую зависел от туристов.

Во всех трех случаях мы находились не на рынке, а в магазине. Я предлагал цену, не учитывая какие-то заранее обдуманные пропорции или соотношения. Ход моих рассуждений я объясню позже.

В третьем случае цены товаров были указаны на ценниках, что, как правило, служит признаком фиксированной стоимости. В моем случае цена, написанная на ценнике, равнялась 350. Не успел я спросить, действительно ли это окончательная цена, как продавщица сказала, что может сделать мне скидку.

«Какой будет скидка?» — спросил я. «Отдам за 300» — ответила продавщица.

Скидка была не слишком большой, и я понял: цены на ценниках были не окончательными, но достаточно близкими к реальным. В любом случае вещь не досталась бы мне очень дешево. Теперь настала моя очередь предложить цену. Цены ниже 200 показались мне слишком низкими, поэтому я предложил 200. Продавщица согласилась на 280. Ее предложение несколько охладило мой пыл — новая цена была всего на 20 меньше предыдущей. Я предположил, что в итоге мы сойдемся на 250, но не хотел завершать торг слишком быстро. Я предложил 230 — чуть больше, чем 225.

Продавщица предложила 260. В конце концов я сказал, что 250 — моя последняя цена. Продавщица настаивала на 260, но я не сдавался. В итоге вещь досталась мне за 250.

После торга я спросил продавщицу, какую максимальную скидку она была готова предложить. Продавщица ответила: 25 % и добавила, что такова максимальная скидка в ее магазине, а в других местах, например на рынке, скидка могла быть намного больше. Таким образом, я провел неплохую сделку: вещь стоимостью 350 досталась мне за 250. Скидка оказалась больше 28 %.

На основе этих практических результатов я составил новую математическую модель торга. В значениях, приведенных в таблице, скрыто какое-то равновесие, а также они очевидно сходятся к итоговой цене, которая устроит и покупателя, и продавца. Какому закону подчиняется это равновесие? Предложим гипотезу: каждая цена представляет собой среднее значение двух последних предложенных цен. Иными словами, если x 0 — исходная цена, предложенная продавцом, x 1 — первая цена, предложенная покупателем, то общий член числовой последовательности, образующейся в ходе торга, задается формулой:

Это не что иное, как среднее арифметическое двух последних цен, упомянутых в торге. Приведенное выражение очень похоже на формулу общего члена в последовательности Фибоначчи. Сравним результаты трех предыдущих торгов с этой моделью, которую будем называть моделью средней цены.

Живительное сходство. Следовательно, в туристических местах торг можно достаточно точно описать моделью средней цены. Но как определить, к какому значению стремится цена в этой модели? На какой цене сойдутся покупатель и продавец в подобных ситуациях? Рассмотрим начальные цены трех предыдущих торгов и посмотрим, что произойдет.

Что общего у этих чисел и пар начальных значений цен (45, 20), (80000, 40000) и (350, 200)? Если мы посмотрим на соответствующие графики, то заметим явное сходство.

Чтобы понять, что происходит, рассмотрим формулу общего члена в этой модели.

Предел X, к которому сходятся члены последовательности цен, определяется двумя исходными ценами — ценой продавца (x 0 ) и ценой покупателя (x 1 ):

Вычислим X для начальных значений в трех предыдущих примерах и покажем, к какому значению стремится итоговая цена.

Обратите внимание, что во всех трех случаях пятый член настолько близок к предельному значению, что продолжать торговаться не имеет особого смысла. Возможно, именно поэтому при торге покупатель и продавец редко меняют цену больше четырех-пяти раз. Как мы уже говорили, участники реальных торгов не руководствуются описанной моделью сознательно, но эта модель настолько близка к тому, как происходит торг в действительности, что остается только удивляться способности людей интуитивно оценивать числа в поисках равновесного значения.

Абак

Первым вычислительным устройством в истории были человеческие руки. Говоря в компьютерных терминах, руки были первым программным обеспечением в истории. На пальцах одной руки можно досчитать до 5, на пальцах двух рук — до 10, а если использовать пальцы ног, то и до 20. Но если обозначать фалангами пальцев единицы, а пальцами — степени 10, то можно досчитать до десяти миллиардов.

Впрочем, этот метод непрактичен, поэтому его никто не использует.

В различных культурах Европы и Азии руки служили не только для счета, но и для вычислений, особенно для умножения. Чтобы умножить 6 на 8 на пальцах, нужно действовать следующим образом. Сначала досчитаем до 6, разгибая пальцы на одной руке, то есть досчитаем до 5 и загнем один палец. Один палец останется загнутым, 4 — разогнутыми. Аналогичным образом досчитаем до 8 на другой руке.

Три пальца останутся загнутыми, 2 — разогнутыми. Загнутыми оказалось 1 + 3 = 4 пальца — это будут десятки. Перемножим число разогнутых пальцев: 4·2 = 8 — это будут единицы. Результат равен 40 + 8 = 48.

В этом методе сочетаются сложение в уме и простое умножение небольших чисел, меньших пяти. Говоря математическим языком, умножение чисел, меньших либо равных 10, сводится к умножению по модулю 5. Эта система используется в повседневной жизни и даже в научной среде в ряде стран, объединенных общими культурными связями: в Индии, Индонезии, Ираке, Сирии и Северной Африке.

Но для действий с большими числами этот метод не очень удобен. Конечно, его можно улучшить и применять для умножения любых чисел, даже довольно больших, но, как это часто бывает, теоретические улучшения вовсе не обязательно будут достаточно эффективными для практического использования. Так что для действий с большими числами все же лучше использовать вычислительные устройства.

В одном из стихов главы 27 трактата Лао-цзы «Дао дэ цзин» говорится: тот, кто умеет считать, не пользуется чоу. Чоу — это инструмент для счета, состоявший из деревянной доски и нескольких бамбуковых палочек. Чоу был создан в V–III веках до н. э., так что это приспособление можно назвать одним из древнейших инструментов для вычислений.

Чоу представлял собой доску размером 8 x 8 клеток, в которых помещались бамбуковые палочки, обозначавшие числа. Изначально число палочек соответствовало числу единиц (до 10), но затем была создана упрощенная система, в которой поперечно лежащие палочки обозначали 5 или 10 единиц. Таким образом, числа от 1 до 5 обозначались вертикально расположенными палочками, числа 6, 7, 8 и 9 — горизонтальной палочкой (она обозначала 5), под которой выкладывалось необходимое количество вертикальных палочек. Число 10 было представлено горизонтальной палочкой, последующие десятки — дополнительными горизонтальными палочками.

Для обозначения чисел 60, 70, 80 и 90 вертикальные палочки выкладывались сверху, чтобы отличить их от 6, 7, 8 и 9. Возникал вопрос: как расположить палочки для обозначения сотен, тысяч и последующих степеней 10? Китайцы решили эту задачу при помощи доски, столбцы которой обозначали различные степени 10.

В этой системе нулю соответствовала пустая клетка.