В предыдущих главах мы рассказали, как с помощью математики можно описать различные свойства музыки и ее суть. В этой главе, напротив, будет солировать математика: мы расскажем о том, как авангардисты начала прошлого века пытались определить пределы тональной музыки, используя различные математические инструменты.

Тональный эгалитаризм: додекафония

В начале XX века тональная музыка переживала кризис. В поисках высшей экспрессивности Лист и в еще большей степени Вагнер и Штраус довели принципы, на которых основывался хроматический строй, практически до предела, что означало отсутствие тональности. Как результат, возникла «атональная» музыка, в которой отсутствовал тональный центр. Одним из ярчайших представителей этого направления был Арнольд Шёнберг (1874–1951) . Позднее, в начале 1920-х годов, этот австрийский композитор разработал технику музыкальной композиции, получившую название додекафония, которую стали использовать представители Новой венской школы, в частности Альбан Берг и Антон Веберн.

Что такое додекафония?

Термин «додекафония» (от греч. «двенадцать звуков») означает совокупность 12 звуков западной музыкальной системы. Эти 12 звуков соответствуют семи белым и пяти черным клавишам пианино. При использовании 12 звуков нужно учитывать два важных фактора:

— в додекафонии отсутствует однозначное определение звуков, которые ранее считались независимыми, например, ля-диез и си-бемоль. Эти звуки считаются эквивалентными;

— при указании каждого из 12 звуков речь идет обо всех подобных звуках. Так, когда упоминается до, имеется в виду не нота до конкретной октавы с конкретной частотой, а все ноты до различных октав. Таким образом, в додекафонии существует «всего» 12 звуков.

Додекафония подчинена основной идее атональной музыки: отказ от выделения в иерархии какой-то одной ноты (тоники) по отношению к остальным. В додекафонии был создан метод, позволяющий избежать преобладания одних нот над другими. Он заключается в том, что всем нотам присваивается одно и то же относительное значение и все ноты используются в композиции примерно одинаковое число раз.

* * *

НЕТ — ТРИДЕКАФОНИИ!

Может показаться забавным, что Шёнберг, создатель додекафонии, системы из 12 звуков, страдал оттрискаидекафобии — боязни числа 13. Причины этой фобии неизвестны. По-видимому, она появилась еще в древние времена, так как еще викинги избегали «чертовой дюжины», а в христианской традиции это число связывается с Иудой, который был тринадцатым на Тайной вечере. В древней Персии это число ассоциировалось с хаосом.

Боязнь числа 13 порой достигает невероятных размеров. Так, во многих городах, где улицы пронумерованы, нет улицы под номером 13; во многих зданиях нет 13-го этажа. В «Формуле-1» ни один автомобиль не имеет номер 13. Американского актера Стэна Лорела из знаменитого дуэта Лорела и Харди на самом деле звали Стэн Джеферсон (13 букв); он сменил фамилию из-за боязни числа 13. Некоторые музыканты также демонстрировали по меньшей мере предубеждение к этому числу: американец Джон Мэйер записал 14 композиций для своего альбома Room for Squares, но композиция под номером 13 содержит лишь две секунды тишины, а в нумерации композиций на этом альбоме число 13 пропускается.

Арнольд Шёнберг родился 13 сентября 1874 года. Он изменил название своей оперы Moses und Aaron («Моисей и Аарон») на Moses und Aron, так как первый вариант названия содержал 13 букв. Он боялся умереть в год, кратный числу 13, и в 1950 году, когда ему исполнилось 76 лет (7 + 6 = 13), он впал в депрессию. Он умер в пятницу 13 июля 1951 года. В свою очередь Альбан Берг был одержим числом 23, которое считал фатальным. Тем не менее это число часто используется в его Лирической сюите: многие ее части имеют число тактов, кратное 23, равно как и темп метронома.

* * *

Серии

Чтобы достичь этой цели, в додекафонии используется ряд правил. Например, чтобы слушатель не заострял внимание на определенных нотах больше, чем на остальных, композиции должны содержать полные циклы из всех 12 нот. После того как была использована одна нота, ее можно использовать снова только тогда, когда будет завершен цикл из 12 нот.

Ноты циклов не располагаются в беспорядке — напротив, в основе каждой композиции лежит «серия» — четко упорядоченная последовательность из 12 звуков хроматической гаммы.

Однако серия — это не просто группировка звуков с целью их статистического подсчета, а эквивалент традиционного мотива. В этом смысле додекафония признает себя продолжателем западной музыкальной традиции. Изображенная ниже серия используется в Сюите ор. 25 Шёнберга — одном из первых произведений, в котором применена система из 12 звуков.

Композитор наряду с основной серией создает другие, связанные или производные серии. Они получаются с помощью преобразований, которые мы рассмотрели в главе 3: инверсии, ракохода и транспозиции.

Существует четвертое преобразование, популярное у некоторых композиторов, — поворот. Если мы представим серию в виде круга (соединив первую ноту с последней), поворот будет эквивалентен началу серии с любой из точек круга.

Может показаться, что додекафоническая запись не требует особого творчества, потому что в ней используются серии. Да, применение серий составляет саму суть додекафонии, но каждый композитор подстраивает их к своим потребностям. На основе серии композитор может использовать разнообразные приемы: запись нот серии в разных октавах и для разных инструментов; начало исходной или преобразованной серии до того, как закончено исполнение предыдущей; работа с производными сериями, составленными из фрагментов исходной, и так далее.

* * *

КАКОВО ЧИСЛО ВСЕХ ВОЗМОЖНЫХ СЕРИЙ?

Первой нотой серии может быть любая из 12 возможных. После того как мы выбрали первую ноту, следующую можно выбрать из 11 оставшихся. Таким образом, число возможных вариантов для первых двух нот равно 12·11. Третьей нотой может быть любая из десяти оставшихся. Таким образом, число вариантов для первых трех нот равняется 12·11·10. Продолжив рассуждения, получим, что общее число возможных различных серий равно 12·11·10·9·…·3·2·1 = 479001600. Это число называется факториал 12 и записывается как 12!

Факториал любого целого положительного числа п определяется как произведение всех целых положительных чисел от 1 до n . Таким образом, n ! = n ·( n — 1)·…·2·1.

Однако для додекафонических серий подсчет «различных по сути» мелодий выглядит несколько сложнее, так как в этом случае не должны учитываться транспозиции, инверсии, ракоходы и сочетания этих преобразований. Тщательные подсчеты показывают, что число различных серий равно 9 985 920.

* * *

Числовая и матричная форма

Традиционные партитуры, в которых используется нотный стан, подчиняются логике диатонической музыки. Одним из следствий этого является тот факт, что расстояние между соседними линиями нотного стана и промежутками между ними не всегда обозначает один и тот же музыкальный интервал. Иногда этот интервал состоит из двух полутонов (от ре до ми), иногда — из одного (от ми до фа). Из-за этого в додекафонической музыке используются альтерации. По этой причине, как видно из предыдущих примеров, инверсии и ракоходы додекафонических серий «не видны» на партитурах.

Серию также можно представить в числовом виде, что упрощает запись мелодии. При записи серий в числовом виде, как правило, выбирается исходная нота. В следующем примере исходной нотой является ми, которой присвоено значение 0. Далее последовательно нумеруются полутона: фа обозначается 1, фа диез — 2, соль — 3 и так далее.

При представлении серии в числовом виде для нахождения связанных серий можно использовать средства арифметики. Например, транспозиция серии получается прибавлением одного и того же числа k к каждому элементу серии:

T k (s 1 , s 2 , …, s 12 ) —> (s 1 + k, s 2 + k, …, s 12 + k),

T 0 (0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6) —> (0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6),

T 1 (0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6) —> (1, 2, 4, 10, 3, 0, 3, 11, 8, 9, 6, 7),

T 2 (0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6) —> (2, 3, 5, 11, 4, 1, 6, 0, 9, 10, 7, 8),

…

T 7 (0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6) —> (7, 8, 10, 4, 9, 6, 11, 3, 2, 3, 0,1),

…

T 12 (0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6) —> (11, 0, 2, 8, 1, 10, 3, 9, 6, 7, 4, 5).

После 11 счет снова начинается с 0, точно так же как мы считаем часы: 8 часов утра плюс 7 часов равно 3 часам дня. В математике подобные операции на ограниченных множествах чисел называются модулярной арифметикой. В случае с додекафоническими сериями множество чисел имеет всего 12 элементов в интервале от 0 до 11. Число элементов множества называется модулем (в нашем случае модуль равен 12). В арифметике по модулю 12 число 13 эквивалентно числу 1. Записывается это так:

13  1 (mod 12).

Все числа вида 12k + 1, где k — целое, эквивалентны 1:

25  1 (mod 12),

37  1 (mod 12),

49  1 (mod 12),

61  1 (mod 12),

Как мы уже говорили, в додекафонии не проводятся различия между одинаковыми нотами, которые относятся к разным октавам. Арифметика по модулю 12 отражает этот факт: число 1, которым в нашем примере обозначена нота фа, равно 13, которым снова обозначается фа.

Средства модульной арифметики помогают заметить, что инверсия серии эквивалентна замене всех значений от 0 до 11 (то есть значений всех различных нот) разницей между этим значением и 12. При таком преобразовании значение 1 заменится на 11, 2 — на 10, 3 — на 9 и так далее. Для серии, которую мы рассматривали

в качестве примера, получим:

I(s 1 , s 2 , ...,s 12 ) —> (s 1 , 12 — s 2 ,…, 12 — s 12 )

I(0,1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6) —> (0, 11, 9, 3, 10, 1, 8, 2, 5, 4, 7, 6).

Ракоход, в свою очередь, получается «обращением» числового ряда слева направо:

R(s 1 , s 2 , ..., s 12 ) —> (s 12 , s 11 , ..., s 1 )

R(0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6) —> (6, 5, 8, 7, 10, 4, 11, 2, 9, 3, 1, 0).

Исходная серия вкупе с ее инверсией, ракоходом и с 12 возможными транспозициями для каждого из этих преобразований формирует 4·12 = 48 перестановок, которые может использовать композитор. Если учитывать повороты, то число вариантов возрастет до 48·12 = 576.

Эти 48 форм можно записать в виде матрицы размером 12 x 12, опираясь на следующие правила:

— в первой строке T 0  записывается исходная серия (в нашем примере выделена жирным шрифтом);

— в первом столбце I 0   записывается инверсия серии (также выделена жирным);

— в каждой из оставшихся ячеек записывается сумма (по модулю 12) чисел, с которых начинаются соответствующая строка и столбец. Например, пятая строка начинается с числа 10, четвертый столбец с числа 9, следовательно, на пересечении этой строки и этого столбца необходимо записать число 7, так как 10 + 9 = 19  7 (mod 12).

12 строк матрицы будут содержать исходную серию со всеми возможными транспозициями, 12 столбцов — инверсию исходной серии со всеми возможными транспозициями. Ракоходы этих 24 серий можно получить, если изменить направление обхода матрицы: строки нужно читать справа налево, столбцы — снизу вверх.

Круговая форма

Представление серии в форме круга особенно полезно при изучении додекафонии. Например, в круговой форме серия из ор. 25 Шёнберга выглядит так:

Чтобы получить ракоход серии, нужно всего лишь изменить направление обхода на противоположное:

Чтобы получить инверсию серии, достаточно отобразить ее симметрично самой себе относительно оси, проходящей через основной тон:

Для транспозиции нужно повернуть круг на необходимое число «часов»:

Инверсию транспозиции можно получить отражением относительно нужной оси:

Круговая форма позволяет лучше увидеть внутреннюю структуру некоторых серий. Например, в основе серии Струнного квартета ор. 28 Антона Веберна, о которой мы уже рассказывали, лежит тема ВАСН:

Если представить эту серию в круговой форме, то ее симметрия становится более наглядной. На рисунке ниже ось симметрии серии обозначена пунктирной линией. Благодаря такому расположению серия S совпадает со своей ракоходной инверсией при транспозиции на три полутона вниз. Иными словами, эта серия получается из исходной путем применения уже известных вам функций ракохода (R), инверсии (I) и транспозиции (Т), последняя из которых применяется трижды:

Тема ВАСН, которая сама по себе является симметричной, звучит в серии трижды: первый раз в исходном виде, второй — в инвертированном и транспонированном, третий — в транспонированном:

В круговом представлении повороты связывают последние ноты с первыми, замыкая круг. Таким образом, обход серии может начинаться с любой точки круга.

Альбан Берг

Третьим выдающимся представителем Новой венской школы был Альбан Берг (1885–1935) . Он владел богатым музыкальным языком, и использование приемов додекафонии не помешало ему придать своим композициям в высшей степени экспрессивный характер. Среди наиболее известных его произведений — оперы «Воццек» и «Лулу», Лирическая сюита для струнного квартета и Концерт для скрипки с оркестром «Памяти ангела». Серия из последней композиции (представлена на рисунке)

обладает удивительной симметрией, которую можно заметить, если представить серию в форме круга:

Для этой серии характерно созвучие тонов, которое становится очевидным, если записать серию в числовой форме (0, 3, 7, 11, 2, 5, 9, 1, 4, 6, 8, 10). Обратите внимание, что серия содержит последовательность из четырех больших и малых аккордов, тем самым восстанавливается квинтовый круг: 0–7, 7–2, 2–9 и 9–4. Круг завершается четырьмя последовательными тонами.

На следующей иллюстрации показаны эти цепочки квинт (исключены некоторые промежуточные элементы):

Сериализм, контроль и хаос

Додекафония открыла путь к созданию музыкальных композиций под сильным влиянием математических моделей. Те же принципы, которым соответствуют высоты звуков в сериях, вскоре стали применяться и к другим параметрам звуков. Изначально композиторы стремились сделать распределение звуков разной высоты статистически равномерным. Почему это же нельзя применить и к другим параметрам — интенсивности, длительности нот, тембру или регистру? По сути, этот метод ничем не будет отличаться от метода, использованного для распределения высот звуков. Например, можно составить таблицу, в которой будут перечислены 12 степеней динамики, начиная от пиано пианиссимо и заканчивая форте фортиссимо. Можно составить серию из уровней относительной громкости и работать с ней так же, как и с другими сериями:

Аналогично можно указать длительности нот или любой другой параметр, а затем применить к нему музыкально-математические преобразования. Представителями этого направления являются французский композитор Пьер Булез (р. 1925) и немецкий композитор Карлхайнц Штокхаузен (1928–2007) , которые систематически использовали серии применительно к различным свойствам звуков. Это направление называется интегральный сериализм.

Булез разработал метод так называемого умножения блоков. Каждый из гармонических блоков А и В является аккордом — множеством звуков определенной высоты. При транспозициях блока А в качестве самой низкой ноты последовательно выбирается каждая нота блока В. Произведение А x В — это гармоническое соединение всех таких транспозиций.

Булез использовал этот прием в произведении Le marteau sans maítre («Молоток без мастера»), разделив серию на пять блоков a, b, c, d и е, которые затем перемножались по описанному выше методу:

Это интересный пример того, как математическая операция (в данном случае умножение) переносится в область, где, как может показаться, она не будет иметь смысла. Однако подобные методы оказались не слишком плодотворны. Сериализм сводит процесс создания композиции к простой абстрактной игре, и полученные композиции практически невозможно «расшифровать». Сам Булез упоминал об этой проблеме в своей книге «Структуры»:

«Я хотел полностью исключить из моего словаря все следы условностей применительно к ритму и фразам, равно как и к форме. Следовательно, я хотел элемент за элементом восстановить различные этапы создания музыки так, чтобы возник новый идеальный синтез, который не был бы изначально испорчен чужеродными реминисценциями, свойственными определенным стилям».

Стохастическая музыка

Французский композитор греческого происхождения Янис Ксенакис (1922–2001) критиковал сериализм, так как считал, что независимое формирование серий из разных параметров (высоты, длительности, динамики и других) ведет к тому, что они оказываются изолированными и не связанными между собой. Параллельная организация различных серий подобна концептуальной полифонии, когда идеальный слушатель может оценить каждую серию по отдельности точно так же, как он слышит отдельные голоса классической полифонической мелодии. Однако результат больше напоминал совокупность разрозненных элементов, собранных в общую массу звуков.

Ксенакис, который также был архитектором, стремился создать структурированную музыку, в которой была бы воссоздана согласованность между эстетическим и природным. Его музыка предстает перед слушателем в виде «звуковых облаков», которые со временем видоизменяются. Эти облака образованы из множества конкретных звуков, почти не связанных между собой, но подчиняются общим для композиции статистическим законам. После того как сформированы общие структурные очертания произведения, отдельные части распределяются на основе множества сложных математических методов и моделей, принадлежащих к теории вероятности, алгебре, теории групп и теории игр.

Партитура пьесы «Метастаз» Яниса Ксенакиса .

Игра в кости с Моцартом

Вольфганг Амадей Моцарт (1756–1791) и  Йозеф Гайдн (1732–1809)  — самые известные композиторы классического периода. Музыка того времени, доступная широкому кругу слушателей, подчинялась строгим законам, которыми в совершенстве владели и Моцарт, и Гайдн.

Расцвет классической музыки совпал по времени с промышленной революцией: появились машины, способные заменить ручной труд, начался процесс автоматизации производства. Это привело к изменениям в общественном и экономическом устройстве, идея крупномасштабного производства укоренилась в массовом сознании.

Иоганн Филипп Кирнбергер (1721–1783) был композитором и теоретиком музыки, учеником Баха и создателем различных видов темперации, носящих его имя. В 1757 году он опубликовал первую из серии игр, в которых систематизировались музыкальные композиции и которые позволяли любому создавать свои собственные произведения, для чего не требовались специальные знания. Моцарт и Гайдн придумали игру Musikalisches Würfelspiel — музыкальную «игру в кости». Далее мы расскажем об игре, создание которой приписывается Моцарту. Она содержит 176 пронумерованных готовых тактов, расположенных в двух таблицах. Каждая таблица имеет 16 столбцов. Нужно случайным образом выбрать число в каждом из столбцов обеих таблиц, бросив обычные игральные кости.

Игрок-композитор бросает кости, и выпадает число от 2 до 12. Это число указывает на номер ячейки таблицы в столбце 1. Например, выпали числа 3 и 5, в сумме они дают 8. Это означает, что нужно выбрать число в строке 8 первого столбца. Это число 152. Такт номер 152 станет первым в нашем «произведении». Повторив эти же действия для каждого из оставшихся столбцов, мы получим 32 такта. (При выборе чисел во второй таблице нужно бросать только один кубик.)

Число возможных композиций

Каково число различных композиций в этой игре? Первый такт можно выбрать 11 способами — по числу возможных очков (от 2 до 12), выпавших при броске двух игральных костей. Для каждого первого такта второй такт можно выбрать также 11 способами. Всего первые два такта можно выбрать 11·11 = 112 = 121 различным способом.

Для каждой пары первых двух тактов третий такт можно выбрать И способами. Таким образом, общее число возможных сочетаний первых трех тактов равно 112·11 = 113 = 1331.

* * *

УЛИПО

Комбинаторный метод, похожий на тот, что изложен выше, использовал в XX веке французский писатель Раймон Кено (1903–1976) , который вместе с математиком Франсуа Ле Лионне в 1960 году основал УЛИПО (фр. OULIPO , сокращение от Ouvroir de littérature potentielle — цех потенциальной литературы). Его произведение Cent mille milliards de poémes («Сто тысяч миллиардов стихотворений») состоит из десяти сонетов, каждая из четырнадцати строк которых может сочетаться с любой другой строкой любого другого сонета. Так, существует 10 вариантов выбора первой строки, 10 — второй и так далее. Таким образом, общее число сонетов равно 10 14  — название этого числа и вынесено в заглавие произведения.

* * *

С каждым новым тактом менуэта общее число возможных композиций увеличивается в 11 раз, с каждым тактом трио — в 6 раз. Общее число «произведений» В этой игре равно 116·616 = 129629238163050258624287932416 ~= 1,3·1029. Если бы кто-то решил исполнить их все подряд, одно за другим, без перерывов, тратя на исполнение каждого 30 секунд, то ему понадобилось бы свыше 123 000 триллионов лет.

Любопытно, что с точки зрения теории вероятностей игра плохо подходит для создания разнообразных композиций. При броске двух костей число возможных очков лежит в интервале от 2 до 12, но вероятность выпадения разных чисел отличается: 7 можно выбросить шестью способами, а 2 и 12 — всего одним, как можно увидеть из следующей таблицы:

Копирование великих

При изучении искусства композиции часто используется следующий метод: ученик должен написать произведение в стиле одного из великих композиторов: фугу в стиле Баха, сонату в стиле Бетховена или прелюдию в стиле Дебюсси.

Рассмотрим в качестве примера творчество Бетховена. При копировании его стиля ученик должен использовать различные приемы, чтобы созданная им композиция «звучала, как бетховенская». В чем же заключается стиль Бетховена? Можно перечислить несколько примеров: это и музыкальная форма, и исполнение мелодии при использовании более или менее широких мелодических интервалов, включение пауз и динамических контрастов.

Каждое музыкальное измерение определенного стиля можно проанализировать с помощью статистических методов. Например, если мы хотим изучить тематические мотивы сонат Бетховена, можно проанализировать ширину выбранного регистра, то есть интервал между самой низкой и самой высокой нотой. Статистика покажет, в каких из этих мотивов ширина регистра равна 1 полутону, 2, 3 и так далее. (Кстати, интересно узнать минимальную ширину интервала, использованную Бетховеном, то есть первый ненулевой член этой числовой последовательности.) Похожая статистика поможет проанализировать любой другой параметр.

Хотя с помощью методов статистики можно получить общее представление о композиции, в нем не будет учитываться контекст: при копировании стиля распределение нот, возможно, будет не столь важно (информация о том, сколько нот до содержится в произведении, будет абсолютно бесполезной, если мы запишем все эти ноты подряд в самом начале нашей композиции). Важно знать не то, сколько раз используется каждая нота по отдельности, а то, как связаны ноты между собой.

Решить эту задачу нам помогут цепи Маркова. Суть их использования заключается в следующем. С помощью методов статистики мы изучаем порядок следования различных «состояний» системы. Применительно к созданию мелодий цепи Маркова позволяют воспроизвести закономерности, которые указывают, как определенные последовательности нот влияют на звучащие в дальнейшем ноты.

День рождения Маркова

В следующем примере мы используем цепи Маркова, чтобы создать мелодию в стиле известной песни Happy Birthday.

В следующей таблице показано, сколько раз каждая нота встречается в этой мелодии:

Может показаться, что если мы хотим написать мелодию в этом же стиле, в новой мелодии ноты должны располагаться в точно таком же соотношении. Но в действительности такая мелодия будет иметь мало общего с оригиналом.

Вместо того чтобы анализировать, сколько раз в мелодии встречается каждая нота, с помощью цепей Маркова можно определить, в какой последовательности они располагаются. 26 нот мелодии упорядочены с помощью 25 переходов: первый переход соль-соль, второй — соль-ля и так далее. Максимально возможное число переходов равняется 8·8 = 64, но не все они используются в этой мелодии.

В следующей таблице приведено число переходов каждого типа:

Даже если мы выберем первую ноту произвольным образом, следующие ноты будут выбраны в соответствии с информацией о числе переходов каждого типа, которая содержится в таблице.

Начнем новую мелодию с ноты соль — с этой же ноты начинается оригинальная мелодия. Какие ноты могут следовать за начальным соль? В последней строке таблицы показано, что в мелодии Happy Birthday ноту, следующую за нотой соль, можно выбрать восьмью способами: один раз за ней следует соль второй октавы, один раз ре, один раз до, два раза ля, три раза та же нота соль. Обозначим каждый из этих переходов числом от 1 до 8 и выберем случайным образом число, лежащее в этом интервале, чтобы определить вторую ноту мелодии. Если выпадет 1, этой нотой будет соль второй октавы, если 2 — ре, если 3 — до, если 4 или 5 — ля, если 6, 7 или 8 — соль. Допустим, выпало число 3. Это означает, что второй нотой в новой мелодии будет нота до.

Повторим эти же действия для пяти возможных вариантов выбора ноты, следующей за до: ре, до, си, си и соль. Случайно выбранное число в интервале от 1 до 5 укажет третью ноту новой мелодии. Допустим, выпало число 4. Третьей нотой новой мелодии станет нота си. Эти действия повторяются требуемое число раз. Далее приведена мелодия, написанная с помощью этой техники:

Второй Happy Birthday

Мы только что проанализировали музыкальное произведение с помощью марковского процесса первого порядка, учитывая, как каждая нота зависит от предыдущей. Попробуем теперь использовать марковский процесс второго порядка и определить, как каждая нота зависит от двух предыдущих. Проанализируем исходную мелодию еще раз. Первый переход второго порядка — это соль-соль => ля. Следующий — соль-ля => соль.

Хотя число возможных переходов второго порядка равняется 64·8 = 512, в мелодии используется лишь несколько из них. Они представлены в таблице:

При создании мелодии второго порядка нужно выполнить те же действия, что и в предыдущем случае. Разница заключается только в том, что останется совсем немного способов «свернуть» с пути, заданного исходной мелодией. Далее приведена мелодия, созданная по этому методу:

Эти мелодии воссоздают исходную Happy Birthday лишь порядком следования нот друг за другом. Эту же технику можно применять и к другим музыкальным «измерениям» и определять с ее помощью длительности нот, гармонические последовательности, регистры, оркестровку и так далее.

EMI

Программа EMI (англ. Experiments in Musical Intelligence — «Эксперименты в области музыкального искусственного интеллекта») не только имитирует стили великих композиторов, но также способна создавать собственные композиции.

Разработанная американцем Дэвидом Коупом программа EMI анализирует произведения выбранного композитора и выделяет их фрагменты — музыкальные «клетки», затем комбинирует их в новом порядке и создает композиции в том же стиле, что и проанализированные произведения. На основе этих фрагментов произведений под руководством опытного пользователя EMI формирует таблицы подобные той, что используется в игре Моцарта Musikalisches Würfelspiel. Далее EMI использует различные приемы искусственного интеллекта для объединения этих изолированных фрагментов. Произведения, созданные EMI, «прошли проверку» слушателей-людей: некоторым понравилась услышанная музыка, другие пришли в ярость, а кто-то всерьез обеспокоился способностью машины воспроизводить плоды человеческого гения. Коуп не согласен с тем, что в будущем слушатели будут реагировать на компьютерную музыку подобным образом: «По сути, компьютер — это лишь инструмент, расширяющий наш разум. Музыка, созданная с помощью наших алгоритмов, столь же «наша», как и та, что создана исключительно человеческим вдохновением».

Механизация

Программа Коупа ставит вопрос: можно ли механизировать творческий процесс?

Еще до того, как Моцарт создал свою игру, появились первые музыкальные автоматы. В XVII веке Афанасий Кирхер создал Area Musarithmica — первый инструмент, способный создавать музыкальные произведения для четырех голосов по определенному алгоритму. В начале XIX века Дитрих Винкель (1777–1826) создал Componium — автоматический орган с двумя валами, которые случайным образом чередовались при исполнении произведений. Чтобы ответить на вопрос, поставленный в начале этого раздела, нужно понять, в чем заключен источник вдохновения композиторов и можно ли как-то воспроизвести или сымитировать его.

Вдохновение

Как и в других видах искусства, на создание музыки композиторов может вдохновить любимый человек, историческое событие или личность, художественное произведение. Концерты «Времена года» Антонио Вивальди, Фантастическая симфония Гектора Берлиоза, увертюра «1812 год» Петра Чайковского — вот некоторые из наиболее известных примеров так называемой «программной музыки», которая напрямую связана с внемузыкальной реальностью. Во всех указанных случаях источник вдохновения композитора находится в общеизвестной исторической или литературной среде или, по меньшей мере, в среде, современной композитору. Однако источником вдохновения не всегда служит нечто очевидно общее для композитора и других людей либо же он видоизменяет это силой своего творчества.

Так, бразильский композитор Эйтор Вилла-Лобос (1887–1959) в 1939 году написал произведение New York Skyline (позднее переработав его в 1957 году), вдохновившись очертаниями небоскребов Нью-Йорка, силуэты которых он изобразил на листе бумаги в клетку.

Сэр Эдуард Элгар (1857–1934) посвятил свои знаменитые «Энигма-вариации», ор. 36 «друзьям, изображенным в этом произведении». Каждая вариация содержит инициалы или иное указание на близкого Элгару человека, которого он запечатлел в музыке. Однако название произведению дала не эта «загадка», а другая, ответ на которую до сих пор не найден: сам Элгар утверждал, что спрятал в этом произведении еще одну мелодию. Эта загадочная неслышимая мелодия подобна главному герою спектакля, который никогда не появляется на сцене, но вокруг которого развивается действие. После публикации партитуры было предложено множество решений этой загадки, но ни одно из них не выглядит убедительным.

Алгоритмическая композиция

Алгоритм — это множество инструкций по решению определенной задачи или выполнению определенного действия. Простейшие алгоритмы используются в школе для выполнения основных арифметических операций. Все процессы, выполняемые внутри компьютера, подчиняются тому или иному алгоритму. Хотя четкое определение алгоритма (одно из множества существующих) содержит указание на свойства, которыми должен обладать алгоритм (он должен быть конечным, состоять из четко определенных инструкций и так далее), мы будем использовать более простую формулировку. Будем считать алгоритм множеством шагов и (или) правил, которым нужно следовать для достижения определенного результата.

Алгоритмическая композиция представляет собой математическое моделирование процесса вдохновения. Композитор создает алгоритм, получающий некоторую информацию на входе и выдающий другую информацию на выходе. Какой смысл в создании музыки по алгоритму? В конечном счете разумно считать музыку способом коммуникации, выражающим человеческие эмоции, индивидуальное видение реальности определенного человека. Зачем нужны машины, способные создавать музыку? Будет ли результат их работы музыкой в полном смысле этого слова? Что такое музыка вообще?

Во-первых, хотя музыка остается средством выражения возвышенного, ее роль давно вышла за эти рамки. Музыка стала частью огромного рынка, который постоянно требует появления все новых и новых песен и исполнителей. В этом смысле композитор не более чем винтик механизма, без которого в недалеком будущем можно будет обойтись. Тот факт, что человека можно заменить, не ставит под сомнение качество работы композитора и корректность алгоритма, а показывает, что и люди, и алгоритмы являются частью одной стандартизованной системы.

Во-вторых, создание алгоритма, способного «написать» качественную музыку, — это задача, перед которой сложно устоять программистам, интересующимся музыкой. Правила, по которым создается музыка, можно проанализировать математически, но этот анализ имеет предел, после которого в объяснениях неизбежно начинают фигурировать такие понятия, как «вдохновение», «духовность», «чувственность», «искусство». Можно ли преодолеть этот предел? Доступны ли человеческому интеллекту глубинные правила, по которым создается музыка? Наступит ли день, когда какой-то программист, используя современные математические методы, подобно Прометею сможет «украсть» божественный огонь вдохновения и сделать его доступным для всех?