Наиболее простые проблемы физики связаны с рассмотрением объекта, движущегося под воздействием некой силы. Однако наблюдать такую ситуацию в реальном мире мы не можем: Вселенная — это совокупность огромного количества частиц, которые взаимодействуют друг с другом различным образом, и газ — идеальный пример такого взаимодействия. Вообразить движение всех этих частиц относительно просто, но как выразить это математически? Для ответа на вопрос физикам и математикам пришлось дать новое определение понятию пространство и превратить его в математический объект. Ученые разработали модели различных типов пространств, которые очень отличаются от нашего: в этих моделях кратчайшая линия, соединяющая две точки, не является прямой или в них существует больше направлений, чем вверх и вниз, направо и налево, вперед и назад. Применение таких моделей вышло далеко за границы изучения газов: они подходят как для описания пространства-времени, так и для анализа работы биржи.
Что такое измерение
Обычно говорят, что пространство, в котором мы живем, имеет три измерения, то есть объекты в нем обладают некоторой глубиной, хотя в математической модели этот тезис формулируется намного точнее.
Понятие измерения связано с понятием координаты. Вспомним, что координаты — это группа чисел, которые позволяют определить положение тела. Долгота и широта, например, показывают нам, как найти объект на поверхности Земли.
С математической точки зрения число измерений — это количество координат, необходимое для определения положения тела.
Самый простой случай — это прямая, которую математики обычно называют числовой прямой, поскольку она образована из действительных чисел, то есть всех целых чисел, таких как 1, 2, 3 или —5; дробей, таких как 3/4, и иррациональных чисел, таких как квадратный корень из двух или число π.
* * *
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
В античности считали, что любое число можно выразить в виде частного; то есть что для любого числа а должны быть два таких натуральных числа р и q , что:
a = p / q
Однако пифагореец Гиппас из Метапонта открыл, что это не так. Например, квадратный корень из двух нельзя выразить в виде частного двух натуральных чисел. Пифагорейцы назвали такие числа иррациональными и, как гласит легенда, даже пытались скрыть от мира само их существование, отправив Гиппаса в изгнание.
Сегодня иррациональные числа вполне привычны, узнать их можно по десятичной записи: в ней такие числа имеют бесконечное число знаков после запятой с непериодичной последовательностью.
Рациональные и иррациональные числа называют действительными и связывают их с положением точки в ее измерении.
* * *
Представим, что числовая прямая — это бесконечно длинная проволока, по которой ползет муравей. Если мы возьмем любую точку и обозначим ее как 0, мы сможем определить положение муравья, сказав, за сколько метров от нее он находится. Ноль обычно называют началом координат. Поскольку для определения положения муравья нам необходимо только одно число, говорят, что проволока — это одномерное пространство.
На практике для указания положения нужно больше чисел. Например, чтобы определить на GPS-карте местоположение нашего автомобиля, нужно два числа: горизонтальное и вертикальное положение на экране. Значит, карта — двумерное пространство, поскольку для определения положения частицы на ней необходимы две координаты.
Теперь мы легко понимаем, как определить положение объекта в трехмерном пространстве — для этого нам нужно не меньше чем три числа: одно — для определения высоты тела и два — для определения его положения на плоскости.
Положение частицы может быть представлено группой чисел. Рассмотрим случай частицы на плоскости.
Ее положение задано двумя точками: 5 для горизонтального положения и 7 — для вертикального. Если обозначить положение частицы через r, можно записать:
r = (5, 7).
В случае с тремя измерениями положение задано тремя числами, например:
r = (5, 7, 9),
где последнее число показывает нам глубину.
Многомерные системы
Как только мы представили каждое измерение в виде обычного числа, переход к многомерным системам упрощается: надо только продолжать добавлять числа, одно за другим. Положение точки в десятимерном пространстве задано десятью числами:
r = (5, 7, 9, 2, 3, 6, 4, 1, 3, 3).
Но как выглядит положение в десяти измерениях? Все понимают, что значит положение на плоскости, но очень сложно и даже невозможно представить пространство из пяти и более измерений. И какой смысл в том, чтобы анализировать пространства, имеющие больше трех измерений?
Великий потенциал математики состоит в том, что эта наука способна описывать объекты, которые невозможно представить. Если удается обнаружить ряд правил, работающих для одного, двух и трех измерений, их можно распространить на произвольное количество последних. Использование этих правил не требует какого-либо наглядного представления, а с его помощью можно описать свойства абсолютно новых геометрических объектов. Со временем оказалось, что многие из этих геометрических объектов, находящихся в стороне от повседневного опыта, имеют огромное значение при изучении действительности. Кажется, что математики способны, основываясь на абстрактных рассуждениях, раскрыть тайны Вселенной до того, как на них обратят внимание естественные науки.
Для того чтобы получить представление о типе отношений, которые могут выводиться для любого измерения, лучше всего подходит понятие длины, например длины стрелки.
Начнем с одномерного пространства. Предположим, что мы хотим найти длину этой стрелки.
Для этого вычитаем точку, где стрелка начинается, из точки, где она заканчивается, то есть ее длина равна 10 — 0 = 10 единиц.
В двумерном пространстве найти длину сложнее.
Как можно заметить, невозможно вычислить длину, просто глядя на график.
Нам потребуется теорема Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть если h — гипотенуза, а и Ь — катеты, то:
h2 = a2 + Ь2.
Таким образом, длина гипотенузы равна квадратному корню суммы квадратов катетов:
Поскольку отрезок образует треугольник с горизонтальными и вертикальными осями, нам нужно только заменить стороны а и b числами 3 и 4 соответственно, длину стрелки обозначим через l:
Теперь рассмотрим трехмерное пространство.
Горизонтальная проекция образует прямоугольный треугольник.
В этом случае длину можно найти в два этапа. Мы видим, что отрезок снова образует треугольник, в котором мы знаем высоту (она равна семи единицам), но не основание. Чтобы найти основание, нужно понять, что оно также является гипотенузой прямоугольного треугольника со сторонами три и четыре, как показано на рисунке. Обозначив основание через h, имеем:
h2 = a2 + b2 = 32 + 42 = 25.
Используя полученный результат, применим теорему Пифагора к большому треугольнику, высота которого семь единиц, а основание — пять. Обозначим через с высоту, через l длину. Помня, что h2 = a2 + Ь2 имеем:
В наших рассуждениях просматривается определенная модель. В двух измерениях длина — это квадратный корень суммы квадратов каждой координаты, то есть:
В то время как в трех измерениях длина равна:
* * *
НЕЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Геометрия, которой мы пользуемся до сегодняшнего дня, была описана греческим математиком Евклидом (ок. 325 до н. э. — ок. 265 до н. э.). В своей книге «Начала» он описал пять аксиом, то есть утверждений, которые Евклид считал истинными, построив на их основе остальную геометрию.
В пятой аксиоме Евклида утверждается, что параллельные прямые никогда не пересекаются. Включение этой аксиомы в число основных вызывало вопросы у математиков: они были убеждены в том, что ее можно вывести из четырех предыдущих. Однако все попытки сделать это не увенчались успехом. В конце концов было решено попробовать другой путь: изменить пятую аксиому и доказать, что это ведет к противоречию. Но, к удивлению математиков, новые геометрии с измененной пятой аксиомой не были противоречивыми. В конце концов ученые вынуждены были признать, что евклидова геометрия не является единственно возможной.
Новые геометрии могут рассматриваться как обобщение понятия расстояния. Вспомним, что длина стрелки вычисляется суммированием квадратов длин сторон и извлечением квадратного корня:
Но мы можем определить расстояние и по-другому. Например, общая теория относительности определяет расстояние в пространстве и во времени. Если с — скорость света, a d — евклидово расстояние, то пространственно-временное расстояние выражается следующим образом:
Неевклидовы геометрии больше подошли для описания действительности, чем наш здравый смысл.
* * *
На самом деле, в одном измерении это просто а, которое можно выразить следующим образом:
l = √(a2)
Рассмотрев эти три выражения, можно сделать вывод, что для получения длины в еще одном измерении нужно прибавить квадрат следующей координаты. Таким образом, в n-мерном пространстве складываются квадраты n координат и извлекается корень суммы. Выражаясь математически, если обозначить n-ную координату через х, то:
Это выражение легко распространяется на любое число измерений. Таким образом, мы получили формулу для расчета длины стрелки в пространстве с любым количеством измерений. И это потрясающее математическое достижение.
Объемы, гиперобъемы, площади и гиперплощади
Понятие объема можно определить как количество пространства, которое занимает объект. Можно ли говорить об объемах в других измерениях? Например, подошло бы наше понятие объема обитателям Вселенной из пяти измерений?
Прежде чем анализировать пространства с размерностью больше трех, рассмотрим меньшее количество измерений.
В нашей повседневной действительности объем измеряется в кубических метрах (м3), кубических сантиметрах (см3) или в целом в любой единице измерения расстояния, возведенной в куб. Любопытно, что показатель степени единицы измерения объема совпадает с числом измерений пространства, в котором мы живем.
Теперь возьмем другую знакомую величину — площадь. Она измеряется в единицах измерения длины в квадрате, обычно в квадратных метрах, или м2. Площадь используется для измерения количества пространства, которое занимает плоская, то есть двумерная фигура. Итак, мы можем трактовать площадь как вид объема для двумерных объектов. Точно так же длина соответствует объему одномерных объектов.
Теперь вообразим, что в нашем мире только два измерения. То есть мы существа, ограниченные площадью, как муравьи. В этом мире мы не знали бы понятия объема, а только понятие плоскости. Для нас двумерным эквивалентом объема была бы площадь.
* * *
ФЛАТЛАНДИЯ
«Флатландия» (в переводе с английского "Flatland") — это название романа английского автора Эдвина Эбботта (1838–1926) , в котором для сатирического описания викторианского общества используется понятие пространств из нескольких измерений. Во «Флатландии» рассказывается история о Квадрате, который живет в двумерном мире, где социальный статус каждого многоугольника определяется числом его сторон. Однажды квадрату наносит визит Сфера, которая живет в Трехмерии — трехмерной стране, и рассказывает ему о своей родине. Однако Квадрат отказывается верить в существование третьего измерения, пока не посещает страну своей новой знакомой.
Увидев третье измерение, главный герой предполагает существование еще большего количества измерений, например четвертого, пятого и шестого, но Сфера не верит ему и возвращает его обратно, во Флатландию, где Квадрат проводит остаток дней в тюрьме, пытаясь убедить соотечественников в том, что в мире больше двух измерений. Этот сюжет очень похож на сюжет мифа о пещере Платона, который, как говорят, поместил на дверях своей Академии изречение: «Не знающий геометрии да не войдет сюда».
В момент публикации «Флатландия» была принята довольно тепло, а после открытия Альбертом Эйнштейном общей теории относительности Эбботта стали считать фантастом за предвидение новых измерений.
Обложка первого издания «Флатландии».
* * *
Мы можем видеть, что объем указывает нам размер областей с тем же количеством измерений, что и наше пространство. Например, у куба три измерения, следовательно, у него есть объем. У квадрата, наоборот, объема нет, поскольку он не имеет толщины. Но у квадрата есть определенная площадь, которая описывает размер объекта с меньшей размерностью, чем наше пространство, в этом случае два.
Рассуждая подобным образом, мы можем расширить понятия объема и площади на пространства с количеством измерений больше трех. Назовем эти новые объем и площадь гиперобъемом и гиперплощадью.
В четырехмерном пространстве, скажем, гиперобъем выражается в единицах измерения длины в четвертой степени, например в м4. Гиперплощадь имеет на одно измерение меньше и выражается в единицах измерения длины в кубе — м3; то есть гиперплощадь в четырехмерном пространстве — это как объем в трехмерном. Кажется, что это сложно, но пользуясь математическими инструментами, разработанными для изучения п-мерных пространств, можно не только представить эти гиперобъемы и гиперплощади, но даже определить геометрические тела, подобные привычным нам трехмерным.
Простой пример — сфера. Трехмерная сфера определяется как геометрическая фигура, все точки которой находятся на одном и том же расстоянии от центра; двумерная сфера, круг, определяется точно так же. Подобным же образом мы можем определить четырехмерную гиперсферу как фигуру, у которой все точки равноудалены от центра. Как видите, это определение справедливо для любого количества измерений. То есть n-мерная сфера — это геометрическое тело, все точки которого равноудалены от центра. Объем такой сферы выражается в единицах измерения длины в степени N, где N — число измерений рассматриваемого пространства.
Четырехмерный куб
Особый интерес вызывает такое четырехмерное тело, как гиперкуб. Поскольку это идеальный многогранник, вычислить его гиперобъем и даже представить его проекцию в трехмерном пространстве довольно просто.
Куб — это фигура, стороны которой равны и перпендикулярны друг другу. Пользуясь этим определением, мы можем заметить, что квадрат — это двумерный куб. Площадь квадрата, или двумерного куба, то есть его двумерный объем, вычисляется умножением длин его сторон.
В трехмерном пространстве объем куба также вычисляется умножением длин трех его сторон. Следовательно, в четырех измерениях нужно перемножить длины четырех его сторон. То есть гиперобъем гиперкуба со стороной два метра равен:
2·2·2·2 = 16 м4.
Можно ли представить трехмерный куб в двух измерениях? Конечно, мы делаем это постоянно.
Обратите внимание на то, как мы получили эту фигуру: сначала мы нарисовали два квадрата, то есть кубы в двух измерениях, и соединили их вершины. Результат — изображение трехмерного куба в перспективе. Как видите, мы изобразили на двумерном листе бумаги фигуру, существующую в пространстве, количество измерений которого на единицу больше, чем два.
Мы можем использовать этот же прием для того, чтобы нарисовать четырехмерный куб. Для этого нарисуем два трехмерных куба следующим образом.
Затем соединим все вершины и получим изображение четырехмерного куба, или гиперкуба, в перспективе.
Двумерная проекция гиперкуба.
* * *
СКОЛЬКО ГРАНЕЙ У ГИПЕРКУБА
Сначала нужно определить, что мы называем гранью. Если мы говорим о квадрате, является ли гранью каждая из его сторон? Или речь идет о его площади? Если речь идет о площади, то на самом деле мы задаемся вопросом, сколько квадратов — или двумерных кубов — есть в квадрате. Очевидно, что у квадрата только одна грань, образованная двумерным кубом.
Итак, мы хотим узнать, сколько граней, или двумерных кубов, содержится в четырехмерном кубе. Мы знаем, что в трехмерном кубе шесть двумерных кубов: по одному на каждую грань фигуры. Математическая задача, которая стоит перед читателем, — понять, сколько двумерных кубов в одном четырехмерном кубе.
Ответ можно получить, посчитав грани на двумерной проекции, которую мы показали ранее. У внутреннего куба шесть граней, у внешнего — еще шесть, а кроме того, есть двенадцать диагональных граней, что в сумме дает двадцать четыре. А теперь посчитайте число трехмерных кубов в гиперкубе.
* * *
Наглядное представление дополнительных измерений
Хотя мы и не можем оказаться в четырехмерном пространстве, каждое измерение которого представлено числом, в действительности мы видим мир в гораздо большем количестве измерений, чем три.
Так, мы различаем цвета, которые воспринимаем в зависимости от интенсивности зеленого, красного и голубого. Это означает, что нам нужно три дополнительных числа для представления каждой точки пространства, следовательно, мы видим в большем количестве измерений, чем три. Один из способов наглядно представить дополнительные измерения — это вообразить черно-белую шкалу и сопоставить окраску определенной интенсивности с каждым дополнительным измерением, которое нам потребуется. Так мы можем получить наглядное представление о пространствах, существующих только в мире математики.
Другой способ — представить число, парящее над объектом. Это число обозначает положение в четвертом измерении, в которое перемещается объект.
Измерения могут выражаться не только с помощью указания на положение точки. Например, для выражения температуры тоже необходимо число. Если мы говорим, что частица находится в некоторой точке, и ее температура равна двадцати семи градусам, на самом деле мы используем четыре измерения: три для пространства и одно для температуры. То же происходит, если говорить об интенсивности электромагнитного поля области или о влажности; для каждой из этих величин нам нужны новые числа, значит, мы увеличиваем размерность изучаемой системы.
Другой способ, помогающий наглядно представить пространства высокой размерности, связан, как ни странно, с сокращением количества измерений. Большинство движений, которые могут быть изучены, происходят на самом деле в двух измерениях: например, вращение Земли вокруг Солнца совершается по орбите в виде эллипса и может быть схематически отображено на бумаге без каких-либо затруднений. Таким образом, для представления движения нам нужно только два измерения, а третье мы можем использовать для других интересующих нас величин, таких как энергия или импульс. То есть мы можем использовать пространственные измерения для представления величин, никак не связанных с пространством.
Фазовое пространство
Познакомившись с n-мерными пространствами, мы можем рассмотреть, как они используются для описания поведения молекул газа. Для начала сосредоточим внимание на одной частице, а затем расширим анализ на неограниченное их число.
Вспомним, что положение частицы может быть описано с использованием любого типа координат, необязательно в прямоугольной системе. Поскольку наше пространство имеет три измерения, нам необходимо три числа для указания положения частицы. Координаты могут быть любыми, так что обозначим их через q и добавим какой-нибудь индекс: q 1 , q 2 и q 3 .
Однако знание положения частицы не дает нам достаточно информации для возможности прогнозировать ее поведение. Для этого мы должны также знать, в каком направлении частица движется и с какой скоростью. В качестве варианта мы можем использовать импульс, который является произведением массы частицы на скорость (этот способ предпочитают физики, поскольку он значительно упрощает вычисления).
Для определения как импульса, так и скорости также нужно три числа. Предположим, что кто-то говорит нам: «Автомобиль выезжает на скорости 100 км/ч из Стамбула. За сколько времени он доедет до Москвы?» Ответ зависит от того, в каком направлении он едет: если авто выезжает на юг, поездка окажется очень длинной, потому что водителю придется обогнуть земной шар, но если он поедет напрямую в сторону Москвы, то прибудет на место намного раньше. Итак, недостаточно знать скорость автомобиля, нам нужно и число для определения направления. Кроме того, если бы у автомобиля была возможность летать, нам понадобилось бы и третье число, чтобы показать, что он движется не вверх, а горизонтально.
Другой способ понимания заключается в том, что у скорости есть три составляющие, по одной для каждого возможного направления. Каждая составляющая говорит нам о скорости, с которой объект движется в этом направлении. Поскольку импульс частицы — это масса, умноженная на скорость, нам также нужны три составляющие, по одной для каждой составляющей скорости.
Так как мы используем обобщенные координаты, каждой координате приписывается обобщенный импульс, обозначенный буквой р. Координате q 1 соответствует импульс p 1 и так далее.
Следовательно, чтобы представить частицу, нам нужно шесть чисел: три для положения и три для импульса, и это означает, что частица движется по шестимерному пространству. Положение частицы можно представить математически, записав три положения, а затем три импульса. Если обозначить положение в этом абстрактном пространстве положений и импульсов через r, мы можем его выразить следующим образом:
r = (q 1 , q 2 , q 3 , p 1 , p 2 , p 3 )
Пространство положений и импульсов называют фазовым пространством. Можно сказать, что частица описывает определенную траекторию в фазовом пространстве: как положение, так и импульс меняются во времени, следуя правилам, заданным уравнениями Гамильтона. Мы можем представить траекторию в фазовом пространстве точно так же, как мы это делаем в обычной жизни: нужно только помнить, что часть этих положений на самом деле представляют собой скорость частицы.
Теперь мы можем рассмотреть проблему многих частиц. Мы знаем, что для того, чтобы определить частицу в фазовом пространстве, нам нужно шесть чисел.
Сколько чисел потребуется для двух частиц? Шесть для первой и шесть для второй, то есть 12. Итак, систему из двух частиц можно рассматривать так, будто речь идет об одной частице, движущейся в 12-мерном пространстве. Поскольку уравнения Гамильтона работают для любого числа измерений, мы должны будем всего лишь решить большее число уравнений, и в этом преимущество его математической разработки.
Из предыдущих рассуждений можно сделать вывод, что каждый раз, когда мы будем добавлять частицу, нам потребуются еще шесть чисел: три для ее положения и три для ее импульса. Следовательно, для системы из N частиц число координат, которые нам понадобятся, равно 6N. То есть система из N частиц соответствует одной частице, движущейся по пространству из 6N измерений. Хотя в это и не верится, но решить задачу с частицей, движущейся по пространству из 6N измерений, легче, чем задачу с шестью измерениями для каждой частицы.
Положение частицы на фазовой диаграмме можно представить как группу чисел, разделенных запятыми:
r = (q 1 , q 2 , q 3 , p 1 , p 2 , p 3 )
где q обозначает положения, р — импульсы. Чтобы представить две частицы, нам нужно всего лишь удвоить число координат следующим образом:
r = (q 1 , q 2 , q 3 , q 4 , q 5 , q 6 ,p 1 , p 2 , p 3 , p 4 , p 5 , p 6 )
где первые три положения соответствуют первой частице, а три следующие — второй; то же самое касается импульсов.
В целом для N частиц положение в фазовом пространстве задано рядом чисел, в котором количество каждой координаты в три раза больше, чем число частиц:
r = (q 1 , q 2 , q 3 … q 3N , p 1 , p 2 , p 3 … p 3N )
Этот набор чисел, разделенных запятой, говорит нам о положении точки в фазовом пространстве, поскольку это аналог точки в трех измерениях, но распространенный на произвольное число измерений. С течением времени частица меняет положение в фазовом пространстве, следуя траектории, которую мы можем вычислить, пользуясь уравнениями Гамильтона.
Траектории в фазовом пространстве
Описать траекторию частицы в фазовом пространстве — сложная задача, поскольку невозможно представить столько измерений одновременно. Но иногда мы можем ограничиться некоторыми измерениями, например горизонтальным положением и импульсом в этом же направлении.
Самый простой случай — это случай частицы, движущейся в одном измерении, то есть вдоль прямой линии. Несмотря на это ограничение, частица может перемещаться самыми разными способами: она может колебаться вперед и назад или осуществлять ускоренное движение в одном направлении.
Каждому случаю будет соответствовать своя траектория в фазовом пространстве. Изучение этих траекторий позже поможет нам понять некоторые свойства систем с большим количеством частиц, в частности газов.
Рассмотрим случай, когда частица движется по прямой с постоянной скоростью. Поскольку скорость постоянна, а импульс — это произведение массы на скорость, импульс также будет постоянным. Итак, частица будет двигаться вдоль горизонтальной оси х, сохраняя один и тот же импульс. Рисуя ее траекторию, представим себе, что частица движется, оставляя после себя след, как от сверхзвукового самолета (см. рисунок на следующей странице). След — это то, что представлено на графике: области, по которым прошла частица.
Траектория в фазовом пространстве частицы, которая движется прямолинейно на постоянной скорости, имеет следующий вид.
На графике показано, что импульс частицы при любом ее положении один и тот же. Подобным образом движется, например, поезд, который всегда едет на одной и той же скорости.
Более интересен случай, когда частица движется зигзагом, например как игрушка, прикрепленная к пружине и подпрыгивающая вверх-вниз. В этом случае скорость игрушки уменьшается, пока она не доходит до одного края, затем она начинает увеличиваться по мере того, как игрушка доходит до центра движения, и затем снова уменьшается, когда она доходит до противоположного края. Форма такого движения в фазовом пространстве довольно любопытна.
Как можно заметить, траектория имеет форму эллипса, то есть типичную форму колебательного движения, хотя возможны и более сложные случаи. Эта траектория соответствует некоторым начальным положению и скорости, то есть начальным условиям. С каждым набором начальных условий связана разная траектория в фазовом пространстве. На первом графике на стр. 46 показаны возможные траектории для частицы, движущейся зигзагом, в зависимости от ее начального положения.
* * *
РАЗЛИЧНЫЕ ТРАЕКТОРИИ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Существует огромное количество возможных траекторий в фазовом пространстве, и их форма зависит от правил, регулирующих развитие системы. Например, на графике показана траектория в фазовом пространстве частицы, которая колеблется под воздействием силы трения, так что постепенно теряет энергию.
Но возможно и намного менее предсказуемое поведение. Рисунок ниже соответствует аттрактору Лоренца — траектории, возникающей при описании погоды. В целом существует столько возможных траекторий, сколько можно вообразить систем. Некоторые из них упорядочены, но существует и огромное количество систем, в которых траектория частицы непредсказуема. Трехмерная траектория абсолютно непредсказуема и никогда не проходит через одну и ту же точку.
* * *
Различные траектории в фазовом пространстве.
Каждая траектория соответствует различной энергии.
В случае с газами мы хотим изучить не одну траекторию системы, а все возможные траектории; поскольку начальные условия нам неизвестны, следовательно, мы должны предположить, что они находятся в определенном диапазоне. Метод Гамильтона позволяет нам вывести некоторые свойства без необходимости останавливаться на каком-то из них конкретно. Одно из этих свойств, которое приобретет чрезвычайную важность при изучении газов, заключается в том, что траектории в фазовом пространстве никогда не пересекаются: невозможно прийти в одно и то же место, исходя из различных начальных условий, если только оба начальных условия не порождают один и тот же тип движения.
То есть представленное ниже невозможно.
Кажется, что это противоречит здравому смыслу. Неужели действительно два объекта не могут пройти через одну и ту же точку? Не нужно забывать, что мы говорим о фазовом пространстве: в нем занять одну и ту же точку означает иметь одно и то же положение и один и тот же импульс, то есть одну и ту же скорость. Пред ставим себе, что в фазовом пространстве возможно пересечение траекторий, как на предыдущем графике. Это означало бы, что у частицы, которая находится в этой точке, есть выбор из двух возможных вариантов движения. Какой вариант она выберет? Возможно ли, чтобы законы физики приводили к разным результатам? Нет, это невозможно, и, следовательно, траектории не могут пересечься. Ни для одной из них невозможно разветвление.
Проблема трех тел
Теперь у нас есть необходимые инструменты для изучения поведения газов. Мы знаем, что молекулы газа ведут себя в соответствии с принципом наименьшего действия, а также можем применить уравнения Гамильтона к произвольному числу частиц. Теперь нам осталось написать уравнения и начать их решать.
Конечно же, это титаническая работа. В литре газа приблизительно 1023 частиц, или двадцать три нуля после единицы. Поскольку для каждой частицы нужно шесть координат и для каждой координаты мы должны решить уравнение, перед нами — около квадриллиона уравнений. Даже если воспользоваться мощным компьютером, для решения этой задачи потребуются тысячи лет.
И это не единственная проблема. Оказывается, что современные математические инструменты не позволяют решить уравнения Гамильтона даже в сравнительно простом случае — задаче трех тел с взаимным гравитационным притяжением. Это открытие, сделанное Анри Пуанкаре (1854–1912) в конце XIX века, легло в основу такого понятия, как детерминированный хаос. Детерминированный хаос был открыт благодаря физике, но сегодня это отрасль математики, которая используется для изучения любого типа явлений. Как видите, тактическая проблема вычислений в физике вызвала к жизни математические разработки, каждая из которых пошла своим путем.
На первый взгляд в проблеме трех тел нет ничего особенного. Можно взять, например, Солнце, Землю и Луну — три тела с взаимным гравитационным притяжением. Мы знаем, что Земля вращается вокруг Солнца, а Луна, в свою очередь, — вокруг Земли. Решение кажется элементарным. Однако наше описание очень сильно упрощено по сравнению с тем, что происходит в действительности. Луна притягивается не только Землей, но и Солнцем; кроме того, сила солнечного притяжения меняется в зависимости от положения тел.
Земля, в свою очередь, испытывает притяжение не только Солнца, но и Луны. Хотя при первом приближении можно считать влияние Луны незначительным, но если мы хотим найти точные траектории движения, этого делать нельзя.
* * *
АНРИ ПУАНКАРЕ (1854–1912)
Этот французский физик и математик внес огромный вклад в обе науки. Кроме того, что он был первооткрывателем детерминированного хаоса, Пуанкаре первым изучил свойства уравнений Гамильтона в качественном виде, получив огромное количество данных о поведении их решений.
Пуанкаре также был ключевой фигурой в развитии топологии, изучающей характеристики форм и пространств, которые остаются постоянными после деформации. Выдвинутая им гипотеза о свойствах сферы была доказана всего лишь десять лет назад. Кроме работ в области математики, Пуанкаре был одним из авторов специальной теории относительности и получил верные преобразования пространственно-временных координат еще до того, как Эйнштейн сформулировал свою теорию. Поэтому наиболее общие преобразования координат в релятивизме называются преобразованиями Пуанкаре.
Ученый не ограничивался математикой, а был еще и горным инженером и в течение жизни работал над различными инженерными проектами, такими как развитие сети французских железных дорог.
* * *
В 1860 году, в честь дня рождения короля Швеции и Норвегии Оскара II (1829–1907), был проведен конкурс, посвященный решению проблемы трех тел. Победившая статья должна была быть напечатана в математическом журнале под патронатом самого короля.
Пуанкаре, который уже тогда был известным математиком, представил статью с возможным решением и выиграл конкурс. Однако незадолго до публикации в его математических рассуждениях обнаружилась важная ошибка, и Пуанкаре вынужден был исправить ее, добавив сотню страниц к оригиналу. И все же конечный результат, хотя и содержал революционное открытие, не решал проблему. Пуанкаре удалось доказать, что невозможно найти ее аналитическое решение, то есть можно решить проблему трех тел с помощью компьютера, используя приближения, но не существует точной математической формулировки, чтобы это решение описать.
Ученый изучал различные возможные орбиты в фазовом пространстве и сделал важнейшее открытие: минимальные различия в начальном положении трех тел дают огромные расхождения в их конечном положении. То есть похожие начальные условия порождают абсолютно разные орбиты. При одной и той же отправной точке может получиться так, что одно из тел отлетит вдаль или будет описывать непериодические случайные орбиты. При данных начальных положениях и импульсах спрогнозировать последующее поведение трех тел невозможно. Сегодня это называется чувствительностью к начальным условиям и является одним из необходимых условий хаоса.
Чувствительность к начальным условиям могла объяснить явления, которые, как казалось до последнего времени, противоречат ньютоновой механике. Если Вселенная представляет собой отлаженный механизм, в ней нет места случайным фактам: когда мы подбрасываем игральный кубик, результат предопределен и может быть предсказан с помощью уравнений Гамильтона. Однако кубик — это система, чувствительная к начальным условиям, так что наименьшее отклонение от начальной скорости и положения ведет к совершенно другому результату. При таком подходе случайность — это только проявление этого свойства, общего для сложных систем, в которых больше одной частицы, как в случае с газами.
Открытие Пуанкаре, с одной стороны, радует, потому что объясняет такое явление, как случайность, в рамках законов физики, но с другой стороны — обескураживает: чувствительность к начальным условиям делает поведение некоторых систем непредсказуемым. Это крайне неудобно, особенно если учесть, что любая физическая система состоит из большого числа взаимно притягивающихся и взаимно отталкивающихся тел, таких как атомы или электроны, и, следовательно, любая система превращается в потенциально непредсказуемую.
Конечно, ситуация не так безнадежна, как может показаться на первый взгляд, но для того, чтобы осознать это, необходимы новые математические инструменты, которые позволили бы изучать нелинейные системы, то есть системы с хаотическими элементами.
Несмотря на то что открытие Пуанкаре произошло в конце XIX века, изучение нелинейных систем не продвинулось до 60-х годов прошлого века, пока метеоролог Эдвард Лоренц (1917–2008), неудовлетворенный математическим аппаратом, которым тогда пользовались в его сфере деятельности, не расширил работу Пуанкаре, сформулировав теорию хаоса.
Открытие к Лоренцу пришло случайно: в его распоряжении был компьютер, с помощью которого ученый мог смоделировать погоду на неделю. При данном метеорологическом состоянии в определенный момент времени компьютер вычислял давление и температуру на следующую неделю. Однажды Лоренц решил сэкономить время и начал моделирование, пользуясь лишь частью данных, полученных за предыдущий день. К его удивлению, оказалось, что при вводе одних и тех же начальных величин компьютер делает абсолютно разные прогнозы. Каким-то образом одни и те же алгоритмы, примененные почти к одним и тем же начальным условиям, давали другие результаты.
Лоренц пришел к выводу, что система настолько чувствительна к начальным условиям, что даже небольшие различия в двоичном представлении чисел заставляют сделать абсолютно разные прогнозы. Сегодня известно, что предсказать погоду более чем за две недели невозможно, какой бы мощный компьютер мы ни использовали. Это явление будет подробнее рассмотрено в главе 5.
Динамические системы
Изучение хаотических систем, как и проблема трех тел с взаимным притяжением, требует введения нового понятия — динамической системы. Введение динамических систем следует из уравнений Гамильтона, но эти системы могут использоваться в самых разных областях, от метеорологии до социологии. Динамические системы применяются в физике, но представляют собой не физическую теорию, а отрасль математики. Понять, как работают динамические системы, очень важно для возможности прогнозировать поведение газа, как будет видно в следующей главе.
Идея динамической системы появляется, если с новой точки зрения посмотреть на гамильтониан. Вспомним, что уравнения Гамильтона говорят нам, как изменяются импульсы и положения во времени, то есть при заданных начальных положении и импульсе мы можем сделать вывод о движении частицы для любого момента в будущем.
Возьмем очень маленький промежуток времени. Если мы знаем положение и импульс нашей частицы в определенный момент, то уравнения Гамильтона дадут нам положение и импульс этой частицы в последующий момент. Как только мы узнаем эти положение и импульс, мы снова можем применить уравнения Гамильтона, и так далее. То есть эти уравнения можно понимать как ряд инструкций для поиска клада: исходные положение и импульс показывают нам, где мы должны начинать искать.
На карте сказано: «Два шага вправо», — и мы двигаемся туда. В случае с частицей именно уравнения Гамильтона указывают нам, куда двигаться. Затем мы снова смотрим инструкции: «Два шага вперед», — и получаем наше новое положение, и так далее.
Это можно проиллюстрировать следующим образом.
Итак, уравнения Гамильтона — это серия инструкций для поиска следующей точки траектории при заданном начальном положении, только траектории живут не в привычном пространстве, а в фазовом, которое, как мы помним, включает в себя как положения, так и импульсы. Таким образом, уравнения Гамильтона — это просто правило для описания изменения определенной системы в каждый промежуток времени, если заданы начальные условия.
Теперь пойдем немного дальше. У нас есть два элемента: положение частицы в абстрактном пространстве из N измерений и правило для нахождения ее следующего положения. В нашем случае пространство — это пространство положений и импульсов, а правило задано уравнениями Гамильтона. Что произошло бы, если бы мы воспользовались другим правилом? И другим пространством? Мы бы получили другую систему, более общую, которая называется динамической системой.
Итак, динамическая система — это некое абстрактное пространство, также известное как фазовое пространство, и правило для получения следующего положения исходя из начального. Любая система, которую можно описать таким образом, — динамическая. Это необязательно должны быть физические системы: любой объект, развивающийся во времени, может быть описан как динамическая система. Все выводы, которые мы сможем сделать о динамических системах, будут справедливы для любой системы, которую можно выразить таким же образом. Поскольку количество проявлений, которые можно выразить как динамическую систему, огромно, мы получим мощную теорию с удивительно большим количеством видов применения. Даже человеческий мозг может быть смоделирован подобным образом: состояние каждого нейрона определяет положение в абстрактном пространстве, а правила взаимодействия между нейронами представляют изменение системы. Практически любой процесс, который подразумевает изменение во времени, может быть рассмотрен как динамическая система.
Некоторые динамические системы демонстрируют поведение, которое кажется стихийным, но это справедливо не всегда. Например, камень, брошенный ребенком, описывает параболическую траекторию, и его движение представляет собой динамическую систему, которая при этом полностью предсказуема. Даже динамические системы высокой сложности могут порождать очень простые модели. В целом хаотичное или нехаотичное поведение системы задано как законами, управляющими ею, так и начальными условиями движения.
Теория хаоса изучает динамические системы, поведение которых непредсказуемо, причем хаотичное поведение могут демонстрировать даже простые системы.
Рассмотрим функцию под названием логистическое отображение, которое описывает движение только в одном измерении, с единственной координатой х. Предположим, что мы начинаем с некоторого числа х: логистическое отображение дает нам правило для получения следующего х с помощью простых умножений и вычитаний.
Математическая формула для его нахождения следующая:
x n + 1 = r·x n ·(1 — x n ),
где r — некий параметр, который мы можем произвольно изменить.
Предположим, что мы берем r = 4 и начинаем с х1 = 0,5. Тогда х 2 равно:
х 2 = 4·0,5·(1 – 0,5) = 1.
Следуя тому же правилу, х3 равно:
х 3 = 4·1·(1 – 1) = 0.
И так далее.
Оказывается, что если выбирать значения r от 3,56995 до 4, то поведение логистического отображения оказывается непредсказуемым: малейшие изменения первого значения х порождают абсолютно разные значения последующих значений х. Это хаотическое поведение можно проиллюстрировать бифуркационной диаграммой, изображенной ниже, которая показывает возможные конечные значения х для каждого значения r. На диаграмме видно, как диапазон возможных значений х становится огромным при некотором значении r, а это признак хаотического поведения.
Изучение хаотических систем стало возможным благодаря прогрессу в вычислениях в последние десятилетия. Компьютерное моделирование позволило классифицировать все траектории системы и, следовательно, сделать качественный прогноз их поведения. Возможно, если бы в конце XIX века уже существовали компьютеры, изучение газовой динамики пошло бы по пути, сильно отличающемуся от того, который привел к развитию статистической механики. Однако ограниченные вычислительные возможности заставили физиков и математиков искать другие способы прогнозирования для объектов высокой сложности.
Применение динамических систем
Изучение динамических систем — крайне актуальная область, необходимая для решения множества проблем, начиная от создания искусственного интеллекта до решения биологических задач. Идея состоит в том, чтобы смоделировать систему, развитие которой в абстрактном пространстве задано рядом правил. Затем изучаются различные возможные траектории развития и выводятся их общие характеристики.
Любой газ можно считать динамической системой. Его положение в фазовом пространстве определяется положениями и импульсами всех его частиц, а изменение его состояния определяется уравнениями Гамильтона. Теория динамических систем может быть применена для вывода некоторых общих характеристик поведения газов, к которым затем можно будет применить другие инструменты, такие как вероятность или статистика. При изучении газовой динамики нужно различать два режима газа: в состоянии равновесия или вне него. Анализировать газ в состоянии равновесия, то есть газ, состояние которого не меняется, относительно просто, и эта задача была решена Людвигом Больцманом (1844–1906) в конце XIX века без применения инструментов, связанных с динамическими системами. Его работу подробнее мы рассмотрим в главе 3. Проблема газа вне равновесия намного сложнее и до сих пор полностью не решена, хотя начиная с 70-х годов прошлого века в ее решении произошел значительный прогресс именно благодаря применению теории динамических систем. Более подробно об этом мы расскажем в главе 5.
Помимо изучения газов, динамические системы имеют очень широкое применение. Так, их можно использовать для описания заражения инфекционными заболеваниями. Используя координаты зараженной области в качестве точки фазового пространства и характеристики изучаемого вируса в качестве правил изменения, можно смоделировать следствия и, соответственно, предусмотреть некоторые профилактические меры. Различные траектории динамической системы показывают различные варианты развития заболеваемости, что позволяет выработать оптимальную стратегию преодоления инфекции.
Другой способ применения динамических систем связан с нейробиологией, где нелинейная природа процессов в нашем мозге превращает эти системы в инструмент, необходимый для изучения как индивидуального поведения нейронов, так и общей структуры мозга. Эти модели можно применять для построения новых моделей, что, в свою очередь, ведет к прогрессу в области создания искусственного интеллекта. Действительно, нейронные сети, используемые такими программами, как Siri или распознавание голоса от Google, могут рассматриваться как тип динамической системы. Более подробно они будут рассмотрены в главе 5.
Молекулярная биология также воспользовалась преимуществами, которые дают динамические системы при моделировании взаимодействия между протеинами или механизмов клеточной пролиферации. Очень интересный способ применения — это использование динамических систем для прогноза роста опухолей, что позволяет более точно определять размер и расположение новообразований, повысить эффективность лечения и избежать неприцельного использования рентгенотерапии. Также очень большую роль динамические системы сыграли в экологии, где они используются для описания поведения пищевых цепочек различных видов и для прогнозирования изобилия в определенных областях, а также для изучения эффекта введения в экосистему определенного числа хищников. Анализируя траектории изменения системы, можно установить сферу наименьшего поражения в каком-либо регионе или даже определить стратегии, позволяющие избежать вымирания вида и решить другие проблемы, связанные с окружающей средой.
В социальных науках особую пользу из теории динамических систем извлекает экономика. Бенуа Мандельброт (1924–2010) открыл, что цены на хлопок колеблются, следуя хаотической структуре, сходной на всех уровнях: то есть вне зависимости от периода времени, который берется в расчет, от десяти минут до десяти лет, цены на хлопок показывали один и тот же тип колебаний. Это типичная характеристика хаотических систем, что делает их подходящими для изучения подобных ситуаций.
Так же, как и в физике, многие математические инструменты, используемые для анализа развития экономики, связаны с состоянием равновесия — условием, необходимым для формулирования математически управляемой теории. Использование динамических систем позволяет ослабить это условие и работать с системами, меняющимися со временем.
Наконец, некоторым авторам, таким как Кэтрин Эннис, профессор кинезиологии в Мэрилендском университете, удалось использовать инструменты, основанные на динамических системах, для моделирования образовательного процесса.
Динамические системы применяются очень широко и постоянно появляются новые области их применения, особенно в сферах, традиционно мало связанных с математикой (например, в биологии). Во многих дисциплинах этот мощный инструмент сделал возможными количественные исследования там, где раньше существовало только качественное понимание. Наверняка в следующие десятилетия использование динамических систем еще более расширится, особенно в таких науках, как социология.
Динамические системы — идеальный пример того, как развивается математика: от описания физической системы она приходит к более абстрактной и общей формулировке, которая затем распространяется на большее количество областей, совсем не связанных с первоначальной сферой. Как мы увидим, история повторится и с остальными инструментами, необходимыми для изучения такого явления, как поведение газов.