Генерация случайного числа

Можно сделать из этого настоящую головоломку: написать программу, выполнение которой на компьютере дает число, случайным образом расположенное в данном интервале, например, между 0 и 1. Но это невозможно.

Некоторые языки содержат функцию, значение которой есть непредсказуемое число в данном интервале. Если ваш компьютер использует LSE, достаточно набрать на клавиатуре

? ALE(0)

чтобы получить в ответ непредсказуемое число между 0 и 1, которое может рассматриваться как полученное случайным образом.

На языке Бейсик команда RND(0) дает тот же эффект при условии, что предварительно выполнена инструкция RANDOM. Но Бейсик — это скорее общее имя для целого класса языков, чем обозначение совершенно определенного стандартизованного языка, не меняющегося от одной машины к другой. Так что сверьтесь с описанием к вашему компьютеру…

Если используемый вами язык допускает описанные выше или аналогичные возможности, то получить случайное число в интервале (0, 1) — это никакая не головоломка, это тривиально.

Но если в языке такой возможности нет,; то это больше чем головоломка, это невозможно. Предположим, что мы сделали программу, производящую такое число. Эта программа не может иметь исходных данных, иначе это не она вытаскивает, случайное число, а именно вы при введении данных… Если же у нее нет данных, то она действует, исходя из констант. Но тогда нет переменных элементов, и последовательные запуски программы дают совпадающие результаты. Как же вы получите с помощью такой программы случайное число?

Поэтому если ваш компьютер не допускает функции, дающей стохастическое число, я вижу только одно решение: введите сами случайное число в ваш компьютер. Как это сделать? Вот предложение. Вы берете колоду из 52 карт, перетасовываете. Затем вы делите колоду на верхнюю и нижнюю части и берете из нижней части три верхние карты. Небольшая и очень простая программа читает три целых числа x, y, z. В качестве значений этих целых чисел вы задаете численные значения трех выбранных карт, считая туза за 1, валета — за 11, даму — за 12, короля — за 13. Компьютер вычисляет значение

(((x − 1)/13 + у − 1)/13 + z − 1)/13.

Например, если вы достанете, как только что случилось со мной, семерку бубен, десятку червей и еще шестерку бубен, то

x =7 y= 10 z = 6

и компьютер получит 0.440601.

Эго значение не является воистину непредсказуемым. Как только вы достанете карты, вы уже сможете понять порядок величины результата. С другой стороны, таким способом вы не сможете получить более 13³ = 2197 различных чисел. Но этого на самом деле достаточно для приложений, которые мы рассматриваем в этой книге. А если вы и в самом деле хотите получить что-либо непредсказуемое, прочтите следующий раздел.

 

Непредсказуемые числовые последовательности

Редко бывает нужно получить только одно случайное число. Чаще нужно получить много таких чисел. Большая часть игр, представленных в этой книге, требует, чтобы играющий с компьютером по ходу игры встречался, сообразно с предложенными правилами, с непредсказуемыми ситуациями. Нужно уметь порождать такие ситуации.

Поэтому нужно иметь возможность построить такую последовательность чисел, чтобы переход от одного числа к другому определялся простыми вычислительными правилами, но чтобы в то же время результат было трудно предсказать.

Может случиться, что используемый вами язык предоставляет эту возможность непосредственно в виде одной из конструкций языка.

Так, на LSE команда ALE(x) дает число, лежащее в интервале (0, 1), значение которого зависит от x, но непредвиденным образом и, кроме того, не специфицированным в языке: значение будет различным на разных машинах. Если вы трижды зададите один и тот же вопрос

? ALE (0.1)

вы каждый раз получите один и тот же ответ, но между ALE(0.1) и ALE(0.2) нет простого соотношения.

На Бейсике функция RND играет ту же самую роль. Она порождает непредсказуемую последовательность, значения которой зависят только от начального числа — оно одно и то же для данного компьютера. Инструкция RANDOM дает случайное число и ставит его начальным элементом последовательности, что позволяет порождать различные последовательности.

Может быть, интересно посмотреть, как можно строить подобные последовательности. Вот метод, предложенный А. Энгелем [ENG]. Если x — число между 0 и 1, то следующий за x элемент последовательности есть

дробная часть ((x + 3.14159)8)

Конечно, восьмая степень вычисляется тремя последовательными возведениями в квадрат! Она дает число между 9488 (для x = 0) и 86564. Очень небольшое изменение x вызывает сильное изменение (x + π)8, и, в частности, оно может перейти через ближайшее целое, так что новое значение (дробная часть результата) может оказаться меньше предыдущей.

Возьмем, например, x = 0.52000; тогда

(x + 3.14159)8 = 32311.5437

так что за 0.5200 следует 0.5437.

Но для x = 0.52005 имеем

(x + 3.14159)8 = 32315.0736

и за 0.52005 следует 0.0736.

Так как мы берем дробную часть, то полученное число, разумеется, лежит между 0 и 1.

Упражнение 1. Поведение последовательности.

Речь идет о том, чтобы увидеть, как ведут себя числовые последовательности, порожденные таким образом. Для этого вычислим большое число членов последовательности, порожденной своим первым элементом. Поместим каждый из этих членов в один из 50 интервалов длины 0.02, составляющих интервал от 0 до 1. Выведем число членов последовательности, попавших в каждый из этих интервалов. Если числа из последовательности равномерно распределены в интервале (0, 1), мы должны будем обнаружить, что их количество в разных интервалах имеет ощутимую тенденцию к постоянству.

Составьте программу для проверки зтого утверждения. Начальное значение может, например, вводиться в начале каждого вычисления.

Упражнение 2. Поиск других последовательностей.

Число π, использованное при вычислении наших последовательностей, не обладает никаким специальным свойством, и можно спросить себя, действительно ли выбор этого числа является наилучшим возможным. Числа (x + π)8 довольно велики, а берем мы от них только дробную часть. При этом мы отбрасываем значащие цифры целой части, и — поскольку вычисления на компьютере проводятся с фиксированным количеством значащих цифр — на дробную часть остается относительно небольшое количество цифр. Предположим, что числа представляются с помощью 24 двоичных цифр. Нужно 14 двоичных цифр, чтобы записать 9488, так как

213 = 8192 < 9488 < 214 = 16384

и 17 цифр, чтобы записать 86564, так что остается лишь от 7 до 10 двоичных цифр на дробную часть.

Используя (x + a)8 вместо (x + π)8 с меньшим значением a, можно ожидать сохранения большего количества значащих цифр для дробной части. Но нельзя взять a слишком близко к 1, так как тогда распределение чисел в интервале (0, 1) окажется плохим. Можете ли вы объяснить, почему?

Например, почему нельзя взять a = 8√2?

Если вы сделали упражнение 1, вы располагаете программой для проверки случайных чисел. Измените ее так, чтобы она осуществляла чтение

— постоянной а,

— начального значения последовательности.

На своем микрокомпьютере я выяснил, что а = 1.226 дает достаточно хорошие результаты. Но это наблюдение может меняться от машины к машине, так как все это очень чувствительно к способу, которым осуществляются умножения; в последней двоичной цифре результата умножения есть неопределенность, существенно влияющая на рассматриваемый процесс.

 

Азартные игры

Теперь вы должны быть в состоянии получать последовательности случайных чисел. Либо эта возможность есть в используемом вами языке, либо вы можете построить непредсказуемую последовательность чисел методом, описанным в предыдущем разделе.

Упражнение 3. «Орел» или «решка».

Я не осмеливаюсь предложить это как игру; это скорее упражнение, чтобы научиться использовать случайные числа. Составьте следующую программу:

— она спрашивает вас, что вы загадали, «орла» или «решку», и читает ваш ответ;

— она порождает случайное число и затем сообщает вам, выиграли вы или проиграли.

Единственная трудность; генератор случайных чисел дает вам, быть может, число, содержащееся между 0 и 1 (это так в случае функции ALE языка LSE и для генератора из разд. 1.2. Имеются противоречивые сведения о языке Бейсик, возможности которого существенно меняются от машины к машине). Следовательно, нужно перейти от вещественного числа в интервале 0 : 1 к чему-либо принимающему не более двух значений, например 0 и 1. Вы сопоставляете по своему усмотрению «орла» одному из них, а «решку» — другому.

Если генератор случайных чисел действует не лучшим образом, то игра может оказаться нечестной, и одна из возможностей — «орел» или «решка» — может выпадать чаще, чем другая.

Сделайте программу, реализующую большое число испытаний, и подсчитайте число выпаданий орла.

Упражнение 4. Игральные кости.

Вместо игры в «орла» или «решку» заставьте компьютер играть в кости. Напишите программу, симулирующую большое число выбрасываний двух костей, и подсчитайте, сколько раз будет выпадать каждая комбинация от 2 до 12. Знаете ли вы, сколько раз должна выпасть каждая из них, если генератор случайных чисел идеален, а число бросаний действительно велико?

Перед вами — та же задача, что и в предыдущем упражнении: перейти от некоторого числа в интервале (0, 1) к целому числу от 1 до 6 включительно. Но если вы знаете, как сделать это для 2, то вы сможете сделать и для 6…

Игра 1. Фальшивые кости.

Ну да, такое еще бывает; есть еще такие люди, которые мошенничают и используют поддельные кости. Нужно быть в состоянии заметить это и,- как в любом хорошем вестерне, устроить грандиозную драку с мошенником.

Здесь мошенником пусть будет компьютер. Он играет одной-единственной костью и бросает ее столько раз, сколько вы требуете. Он дает вам число выпаданий единицы, двойки, …, шестерки. Вы сообщаете ему, верите ли вы, что кости поддельные, и если да, то какая грань выпадает чаще других. Компьютер отвечает вам, выиграли вы или проиграли, и случайным образом оценивает ваш выигрыш. Совершенно ясно, что если вы потребуете 40000 бросаний, то у вас будет больше шансов обнаружить истину, чем если вы потребуете 20 бросаний…

Нужно решать две задачи: компьютер должен выбрать — подделывать кости или не подделывать, и если он их подделывает, то он должен решить, какая грань будет встречаться чаще остальных.

Вспомогательная задача: выбрать функцию оценки для выигрыша.

? Игра 2. Стратегия для одной игры в кости.

Ж.-К. Бейиф [BAI] предложил игру в кости с двумя игроками. Каждый игрок в свою очередь хода бросает кость столько раз, сколько хочет. Если он не выбрасывает единицу, то он записывает за этот ход сумму выпавших за бросания этого хода очков. Если же он выбрасывает единицу, то он не записывает ничего (и его ход кончается с выбрасыванием единицы). Выигравшим считается тот, кто первым наберет (или превысит) 100 очков.

Составьте программу, которая позволит человеку играть против компьютера. Эта программа реализует бросание кости. На своем ходе она честна и не мошенничает. На вашем ходе она бросает кость и сообщает^ что выпало, а вы требуете следующего бросания, если вы хотите играть дальше.

Задача о стратегии ясна. Вы можете, например, бросать кость ровно один раз. У вас хорошие шансы увеличить свою сумму, но на небольшое число очков (от 2 до 6). Если вы делаете несколько бросаний, вы увеличиваете шанс получить большую сумму, но вы увеличиваете и риск выбросить единицу. Стратегия играющего против компьютера — это его проблема, и программа компьютера во всех этих рассмотрениях не участвует. Она играет по команде человека, он говорит, хочет ли он продолжать — под его личную ответственность.

Напротив, программа должна быть снабжена стратегией для управления игрой компьютера. Возможностей много. Выбирать следует вам.

Программирование этой .игры представляет двоякий интерес;

— нужно придумать стратегию для компьютера;

— у вас есть возможность экспериментировать. Если компьютер снабжен некоторой стратегией, то вы можете играть против него с другой стратегией и посмотреть, кто выигрывает…

Вы можете также захотеть переиграть партию с тем .же началом, что и в предыдущей партии, но вводя в вашу игру изменения, чтобы изучить последствия. Это приводит к новому понятию.

 

Воспроизводимая непредсказуемая последовательность

Вы научились порождать последовательности непредсказуемых чисел, или, допуская неточность речи, принятую в информатике, случайных чисел (эти последовательности совершенно не случайны; они полностью детерминированы, но, поскольку мы не можем найти простого способа перехода от данного числа к следующему и поскольку эти числа приблизительно регулярно размещены в промежутке 0 : 1, то они производят впечатление случайности). Каждое число в этой последовательности зависит только от предыдущего числа. К тому же, как и выше, вы можете получить и в самом деле непредсказуемое число, задавая компьютеру значения трех карт. Вы заставляете его вычислить значение, определенное в разд. 1.1, затем вы берете следующее за этим значением либо с помощью функции ALE или RND вашего компьютера, либо с помощью метода, описанного в разд. 1.2.

Эти последовательности случайных чисел таковы, что каждое число в последовательности зависит только от предшествующего ему и задание начального элемента последовательности полностью определяет последовательность. При отправлении из одной и той же точки два последовательно проведенных вычисления дают одинаковые последовательности. Таким образом, вы не только можете получить в играх непредсказуемые ситуации, но и воспроизвести их столько раз, сколько вам нужно. Для этого нужно, чтобы программа требовала ввести исходное значение последовательности. Я считаю удобным вывести приглашение приблизительно такого рода:

ВВЕДИТЕ ТРЕХЗНАЧНОЕ ЦЕЛОЕ

затем прочесть значение x этого целого и взять в качестве начального значения случайной последовательности число x/1000.

Исходя из генератора случайных чисел, можно легко построить последовательность целых чисел. Название функции, порождающей случайные числа, меняется от языка к языку; назовем ее

ale (x)

— это функция, сопоставляющая x, 0 ≤ x < 1, следующее за ним число

0 ≤ ale (x) < 1.

Построим теперь последовательность неотрицательных целых чисел, меньших данного числа n. У нас есть две возможности.

1. Мы порождаем последовательность случайных чисел в интервале (0, 1) и для каждого из чисел последовательности получаем соответствующее целое

x := ale (x), p = целая_часть(n * x).

Различные значения x могут давать одно и то же значение p, так что элемент, следующий за p в последовательности целых, не определяется каким-либо предсказуемым образом. Вообще говоря, данное значение p может иметь несколько последующих значений. Маловероятно, что эта последовательность окажется периодической. Это заведомо случится, если последовательность x, определяющая ее, периодична (а это бывает, хотим мы этого или не хотим).

2. Пусть p дано; тогда p/n лежит между 0 и 1. И элемент, следующий за p, можно определить формулой

p := целая_часть (n * ale (p/n)),

Здесь элемент, следующий за p, полностью определен числом p, и эта последовательность неизбежно оказывается периодической. В наиболее удачных случаях она дает n различных значений (n целых от 0 до n − 1), после чего возвращается к уже встретившемуся в последовательности числу, и — так как каждое из чисел имеет однозначно определенное следующее за ним число — мы повторяем уже построенную часть последовательности. Но чаще всего этим способом получаются слишком короткопериодические последовательности.

?? Головоломка 1. Периодическая последовательность.

Построим последовательность целых чисел в промежутке (0, n − 1) только что описанным способом. Предположим, что n достаточно велико (например 10000). Написать программу, определяющую период этой последовательности. Ограничение: вы не имеете права запоминать в таблице последовательные значения элементов последовательности (вы не имеете права запоминать их и в любой другой форме). Именно поэтому n предполагается достаточно большим: не может быть и речи о сохранении всех полученных значений, чтобы смотреть, встречается ли каждое новое значение среди предыдущих. Нужен другой метод. Вам предлагается обнаружить один из них…

Головоломка для маленького вундеркинда.

В прессе — как американской, так и французской — часто появляются восторженные сообщения о детях, которые обучаются работе с компьютером за несколько часов и затем объясняют своим родителям, как это делается. Разрастаются клубы по информатике, где дети пишут программы, заставляющие бледнеть профессионалов. Подающие надежды Эйнштейны информатики… Я бы никогда и не предлагал следующую головоломку, если бы не был жестоко ущемлен одним из них. Понятно, что я не скажу, ни где, ни когда.

Я находился в зале для практических занятий с детьми 15–16 лет. Преподаватель предложил им составить программу, бросающую две случайные кости и сообщающую число появлений каждой комбинации (см. упражнение 4). Маленький местный вундеркинд закончил свою довольно простую (не так ли!) программу, и преподаватель предложил ему следующую задачу:

пусть последовательно n раз выбрасывается «орел» или «решка». Сосчитать число случаев появления комбинации «орел» — «орел» — «орел», и число случаев появления комбинации «орел» — «решка» — «орел».

Мальчик очень быстро написал программу, но она не пошла. Поэтому я уселся рядом с ним и предложил ему проверить, это именно не идет. Мы вывели программу на экран. Совершенно непонятно. Плохо вложенные циклы. Поскольку ошибки были, то пришлось делать исправления вплоть до убирания одного GOTO, чтобы заменить его другим GOTO. Я сделал ему замечание, что его программа непонятна, на что он ответил, что это не имеет значения, поскольку он ее понимает. Я возразил ему, что через три месяца он сам ее не поймет: никакой реакции, это его не интересовало… Так что взаимопонимания между нами достичь не удалось. Я вижу только два возможных объяснения этого явления, в конечном счете не исключающих друг друга: многие преподаватели лицеев располагают наблюдениями такого рода.

Можно представить себе, что успешный диалог между человеком и машиной разрушительно действует на диалог между людьми. Это было бы катастрофой. Но эту столь пессимистическую гипотезу ничто реально не подкрепляет,

Гораздо более правдоподобно, что этот мальчик (как и подобные ему) встречают естественные затруднения в общении с другими людьми. Он нашел в информатике страну, в которой можно избежать такого общения и где машина принимает все, что он скажет, какова бы ни была форма и структура, лишь бы только синтаксис был соблюден. Именно поэтому феномен «информатических клубов» оказывается опасным. В рамках преподавания информатики нужно, чтобы преподаватель требовал от своих учеников анализа поставленной задачи и словесного выражения на обыденном языке результата этого анализа. Программирование может начаться только после этого. На этом уровне преподаватель заботится о качестве стиля программ, написанных по ясному плану… (Я надеюсь, что и вы работаете именно так, иначе вас нужно остерегаться.) В обстановке, когда подростков недостаточно контролируют и они находятся как бы на самообучении, они могут оказаться свободно предоставленными своим естественным склонностям. Если организованное преподавание помогало бы им учиться выражать и структурировать свои мысли, то всетерпимость к средствам выражения, свойственная машине, позволяет им оставаться в их собственном мирке, и случайные — но настоящие — успехи ошибочно убеждают их, что искать других путей не нужно. Это ли нужно подросткам, испытывающим трудности при общении?

Вернемся к нашим баранам. Если кто-то из молодых людей и обломает на этой задаче свои зубы, то это, может быть, и правда головоломка. Пора перейти к формулировке задачи.

* Головоломка 2. Последовательности «орлов» и «решек».

Осуществим n выбрасываний «орла» и «решки» с большим n (например 10000). Сколько раз встретится в ней данная комбинация из m следующих друг за другом выбрасываний (например, 10 раз «орел» или чередование из 10 выбрасываний «орла» и «решки», начиная с «орла»).

Есть много способов решить это упражнение. Они не все равноценны по времени вычисления. Я взял большое n и относительно большое m, чтобы прояснить явление. Ваша программа не должна работать долгие часы…

 

Другие азартные игры

* Игра 3. Покер — М — С.

Я не уверен, что это следует писать. Я знаю эту игру только по услышанной мною радиопередаче какой то периферийной радиостанции (угадайте какой?). Тасуем карточную колоду. Разыгрывается некоторая сумма. Верен верхнюю карту из пачки и требуем от игрока, чтобы он угадал, является ли следующая карта младшей или старшей по отношению к только что взятой. Учитывается только число очков, а не масть карты. Валет всегда больше девяти, король больше валета, туз больше всех. Если игрок угадал правильно, сумма в игре возрастает (я не знаю точно, добавляется ли при этом некоторое фиксированное количество или сумма удваивается, но это не так уж важно. В любом случае ваш компьютер не имеет связи с распределителем банковских билетов. Жаль, быть может…). Если он не угадывает, он теряет все, В конце некоторого фиксированного числа бросаний (кажется 6; я слушал недостаточно внимательно, я прошу прощения у упомянутой станции) игрок, если он всегда оказывался прав, присваивает сумму игры.

Составьте программу, которая позволит вам быть игроком, а компьютер пусть будет всем остальным (за исключением того, что вы называете и сумму игры). На мой взгляд, хотя я могу и ошибаться, единственная трудная задача — перетасовать карты…

?** Игра 4. Лабиринт для шахматного коня.

Лабиринты являются очень высоко ценимыми головоломками. Почему не использовать компьютер и генератор случайных чисел для построения случайных лабиринтов, которые вы затем будете пытаться пройти? Но мой микрокомпьютер не имеет графических возможностей. К тому же если у вашего такие возможности есть, то я не уверен, что желание нарисовать обычный лабиринт приводит к хорошему упражнению по программированию. Внимание часто в большей мере поглощается графическими задачами, чем более фундаментальной задачей порождения лабиринта. Тем не менее, если вам так подсказывает сердце, не стесняйтесь: , стройте от случая к случаю такой лабиринт, чтобы у него был хотя бы один путь от начала к концу, и играйте с ним.

Чтобы освободиться от графических задач, рассмотрим другую форму лабиринта. Его создание составляет головоломку, а использование — игру. Пусть дана прямоугольная область, образованная n строками с p полями на каждой из них. На моем компьютере, где приходится учитывать формат экрана, числа n = 12 и p = 20 дают хорошие результаты. Занятые места считаются препятствиями (обозначенными здесь 0), пусть как-то помечены свободные места (здесь — точкой), пусть значок * обозначает всадника. Конь перемещается, как конь в шахматах: два шага в одном направлении и еще один шаг перпендикулярно предыдущему направлению. Конь может перемещаться только с одного свободного места на другое, В начальный момент он находится в правом нижнем углу. Он должен попасть в верхний левый угол (который, таким образом, тоже должен быть свободным). Число ходов игры ограничено. На рис. 1 изображен типичный пример лабиринта.

Составьте программу для компьютера для создания этого лабиринта и попытки его пройти. Так как должен существовать какой-то путь, проходящий из правого нижнего угла в правый верхний угол, то я предлагаю вам действовать следующим образом:

— возьмите случайным образом путь, связывающий эти два угла. Это — маленькая головоломка. Может быть, вы знаете задачу Эйлера о шахматном коне: составить такой путь коня по шахматной доске, чтобы он побывал на каждом поле один и только один раз. Но здесь у вас больше свободы. Тем не менее не представляется разумным проходить два раза одно и то же поле (если ваш путь будет содержать круг, то он будет предоставлять возможность для короткого замыкания, т. е. удаления этого круга). Но, может быть, это и не необходимо. Если мы много раз попадаем на одно и то же поле, то мы предоставляем много возможностей выбора, и осложняем задачу воссоздания пути. Не нужно использовать какой-либо систематический алгоритм прохода, иначе ваш лабиринт будет расшифровываться слишком быстро. Следующий за данным полем шаг на нашем пути должен выбираться случайным образом. Как тогда мы сможем быть уверены в попадании в левый верхний угол?

— получив однажды такой путь, отметьте его. Затем вы случайным образом распределяете препятствия на полях, не принадлежащих выбранному пути. Степень заполнения этих полей является параметром, который вы подберете по опыту. Если вы поставите слишком мало препятствий, ваша шахматная доска будет почти пустой, и будет много возможных путей, так что лабиринт не получится. Если же вы поставите много препятствий, то

дуть будет почти полностью определен (на рисунке препятствия занимают приблизительно 2/3 полей. Это — верхняя грань);

— когда это сделано, вы снимаете обозначения полей выбранного пути, заменяя их точками. Лабиринт готов к показу.

Остается обеспечить движение коня. Вот как действую я. Сначала я подсчитываю число полей на исходном пути, которые были выбраны случайно, и вывожу это число в качестве верхней границы числа ходов. Я свидетельствую, что всегда обнаруживался более короткий путь. Я не пытался объяснить этот экспериментальный факт…

Компьютер сообщает число оставшихся ходов и требует ваших указаний о движении. Ответ дается в виде двух букв: первая из этих букв дает направление, в котором нужно переместиться на два шага, вторая буква дает перпендикулярное предыдущему направление, в котором нужно сделать один шаг: Н — для нижней, В — для верхней, П — для правой, Л — для левой сторон. В случае на рис. 1 первое движение предписывает ЛВ — два шага влево, один вверх.

Компьютер анализирует ответ. Если превышено число ходов или ход встречает препятствие, то игрок проигрывает. Если нет — звездочка, изображающая коня, перемещается в новое положение, число оставшихся ходов уменьшается на единицу, и игра продолжается.

Игра 5. Спящая красавица.

Краткое содержание предыдущих эпизодов. Доктор Жабуэ не убил великолепную Жюли, он только приостановил жизненные процессы. Ее мог бы разбудить надлежащий лицевой массаж, но это его не беспокоит, впереди еще много времени. Из замка вывезено все, что имело хоть какую-то ценность: обстановка, картины, произведения искусства… Молодой повеса обнаруживает пустой замок и находит, что он должен быть замечательным треком для мотогонок…

13-й эпизод.

Рыжий Тони входит в темную комнату. Несмотря на грохот мотоцикла, отчетливо воспринимается равномерный храп. Он зажигает фару и обнаруживает безмятежно спящую прекрасную Жюли. Ослепленный ее красотой, он приближается к ней и гладит ее по лицу. Ничего больше и не нужно. Жюли внезапно просыпается и, приходя в сознание с удивительной быстротой, восклицает: «Бежим отсюда скорее, в замке западня, все сейчас взорвется». Тони садится на мотоцикл. Жюли вскакивает на сиденье за Тони и пристегивается к нему. Но уже повсюду гремят взрывы, и огонь охватывает деревянный потолок. Тони мчится зигзагами среди обломков. Обрушиваются куски горящих балок, угрожая раздавить их в любой момент.

Удастся ли им выбраться из замка? Продолжение в следующем эпизоде.

Эта игра является вариантом предыдущей. Вы представляете замок тем же самым прямоугольным пространством, где точки обозначают свободные места, нули — препятствия, а звездочка сообщает местоположение Тони, В начале игры Тони находится в правом нижнем углу, а выход находится в левом верхнем углу. Препятствий вначале крайне мало. После каждого хода Тони компьютер случайным образом формирует новые препятствия и размещает их на игровом поле. Если Тони оказывается на месте одного из них, то он раздавлен и для него все кончено…

Чтобы оставить Тони хоть какой-то шанс, я предпочитаю устанавливать препятствия парами — поочередно вертикальными и горизонтальными. После небольшого наблюдения можно заметить, что движение большей частью идет в тесных коридорах, куда препятствия не могут попасть (нужно по крайней мере два смежных свободных поля, чтобы там могло разместиться препятствие).

Если не принимать мер предосторожности, то препятствия могут полностью загородить путь к выходу. Может быть, предпочтительнее условиться, чтобы хоть какой-то путь оставался свободным. Каким образом — на ваше усмотрение. В своей первой версии такой программы я этого не сделал. Чаще всего выход оказывался блокированным и игра могла быть выиграна лишь в исключительных случаях.

 

Арифметические развлечения

Есть много примеров арифметических игр, головоломок и развлечений. Их можно найти в [BAL], [BER], [KUE]. Мы обращаемся и к другим источникам и добавляем некоторые задачи, которые представляют интерес собственно с точки зрения программирования. Многие арифметические головоломки можно сделать вручную: для чего составлять программу? Очень часто вам нужно сделать часть работы на руках, а машина сделает остальное. Это вы должны правильно распределить работу, иначе время вычисления может оказаться чрезмерным. Строгих правил здесь нет. Одна и та же задача может иметь много решений, и методы решения одной и той же задачи могут быть различными. Это и создает игровую ситуацию.

Группировка различных головоломок по темам более или менее условна. Начнем с наиболее простых задач.

ДЛЯ РАЗМИНКИ.

Головоломка 3. Вращающееся число.

Найти такое число, оканчивающееся на 5, что, умножая его на 5, мы получим новое число, полученное из предыдущего вычеркиванием цифры 5 на конце и приписыванием ее в начале.

Это легко…

Та же задача с заменой 5 на 2.

Можно ли заменить здесь 5 какой-нибудь цифрой, отличной от 0?

** Головоломка 4. Квадратный корень.

Извлечь целый квадратный корень с недостатком из очень длинного целого числа (намного более длинного, чем наибольшее целое, которое воспринимается вашим компьютером, например, содержащего 50 или 100 значащих цифр),

 

Числовые последовательности

Вот две известные в информатике головоломки. Сожалею, что обманываю ожидания своих коллег, которые не найдут здесь ничего нового…

?* Головоломка 5. Последовательность Хэмминга.

Рассмотрим числа, не имеющие других простых делителей, кроме 2, 3 и 5. Расположим их в возрастающем порядке. Это и есть последовательность Хэмминга. Вот ее начало:

2 3 4 5 6 8 10 12 15 16 18 20 24 25 27 30 32 36 40 45 48 50…

Составьте программу, выписывающую n первых членов этой последовательности для большого n. Внимание: вы должны порождать последовательность Хэмминга в порядке возрастания ее членов. Нетрудно, например, взять степени тройки и разместить их в последовательность. Вы же образуйте последовательность от номера 1 до номера i − 1, а затем вычислите и поставьте на место элемент, последовательности с номером i. В этом-то и головоломка…

?** Головоломка 6. Счастливые числа.

Унтер-офицер собирает своих людей, чтобы решить, кого отправить в наряд на картошку.

«Постройтесь гуськом и рассчитайтесь, начиная с 2». Первый из стоящих говорит 2, следующий — 3, следующий — 4 и т. д.

«Первый в ряду, выйди из строя. Ты освобожден от наряда. Какой у тебя номер?»

«Второй», — отвечает солдат.

«Начиная со второго, рассчитаться по два; тем, кому не выпадет 2, выйти из строя; они пойдут в наряд».

И процесс возобновляется. Первый из вышедших из строя имеет номер 3, и он счастлив: он освобожден от наряда. Теперь рассчитываются по трое, начиная с 3 — с того, кто первым вышел из строя за нарядом…

Составьте программу, выписывающую n первых счастливых чисел для большого n (100, даже 500), Внимание: в чем состоит головоломка: каждый член последовательности должен вычисляться, исходя из данных значений предыдущих счастливых чисел. У вас есть i первых, вычислите следующее. В таблице-то легко вычеркивать… Вот первые счастливые числа:

2 3 5 7 11 13 17 23 25 29

Счастливые числа — не обязательно простыв, а простые числа — не обязательно счастливые…

??? Головоломка 7. Дьявольская последовательность.

Марк Твен описал в своих рассказах жуткую историю. Человек прочел глупые стихи вроде

(Я цитирую по памяти, но дух соблюден.) Он был порабощен ритмом этих стихов, что стало настоящим наваждением. Если он начинал писать, его перо выводило «Режьте, братцы, режьте». Если он встречал кого-нибудь, он не здоровался с ним, а говорил «Режьте, братцы».

Он пробовал управлять собой, но это подрывало его здоровье. Он решил обратиться к своему священнику и объяснить ему, в чем дело, и читал ему это маленькое стихотворение, подчеркивая его ритм, пока пастор не выучил его наизусть. Ушел он исцеленный.

Но в воскресенье пастор начал проповедь словами «Режьте, братцы, режьте». Что бы ни было в гимне, который он запевал, слова были одни — «Режьте, братцы, режьте…» Его жизнь стала адом. Он не мог исцелиться, пока в один прекрасный день ему не удалось злодейски обучить этому стихотворению одного профессора университета…

Нижеследующее и есть «режьте, братцы, режьте». Оно преследует меня долгие годы. Я потерял массу времени на размышления о нем без сколько-нибудь значительного успеха. Но ничто меня не занимает в большей степени. Моя единственная надежда освободиться от него — это то, что вы им заинтересуетесь…

Последовательность определяется следующим образом: первый член этой последовательности есть произвольное нечетное число, отличное от единицы. Следующее за числом p равно

p/2, если p четно,

Зp + 1, если p нечетно.

Последовательность заканчивается, когда в ней встречается значение 1.

Вот последовательность, которую мы получим, исходя из 7:

7 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1

Нет никакой надежды, что вам удастся доказать, что для любого нечетного числа в качестве начального значения последовательность достигает единицы.

Но в высшей степени увлекательно составить эту крошечную программу и посмотреть, как она работает. Испытайте число 27 в качестве начального значения: вы получите очень длинную последовательность, среди элементов которой есть 9232. Если вы изучите ряды чисел, получаемые для начальных значений, взятых среди нечетных целых от 3 до 99, вы получите довольно много патологических последовательностей, не всегда сильно отличающихся. Все это очень смущает. Ни один специалист по теории чисел еще не смог Доказать, что такая последовательность принимает значение 1 для любого начального значения. Не больше известно и о том, почему некоторые из этих последовательностей — короткие, а другие — слишком длинные…

Эта программа замечательно иллюстрирует то, что называется «проблемой остановки». Существуют простейшие программы, относительно которых нет уверенности, что они остановятся…

Теперь, когда вы уже познакомились с этой последовательностью, получите предмет головоломки. Заметим сначала, что если p нечетно, то мы переходим к Зp + 1 — числу, отличному от 1. Очевидно, что непосредственно предшествующий шаг есть деление на 2. Поэтому можно изменить правило построения последовательности описанным ниже образом: следующее за числом p равно

p/2, если p четно,

(Зp + 1)/2, если p нечетно,

Это вычеркивает некоторые члены предыдущей последовательности, не меняя проблемы остановки:

7 11 17 26 13 90 10 5 8 4 2 1

Вы можете пойти еще дальше в том же направлении, объединяя вместе все последовательные шаги, действующие по правилу (Зp + 1)/2, и все следующие за ними шаги, состоящие в делении на два. Вы получите два новых правила перехода, гораздо более уплотненные. Свяжите их и пустите в ход. Для числа 7 вы должны без задержки получить последовательность

7 13 5 1

Это позволяет рассматривать обобщения задачи. Пусть k — нечетное число. Возьмем в качестве правил перехода следующие:

p/2, если p четно,

k * p + k − 2, если p нечетно.

Возможно уплотнение, аналогичное предыдущему. Для k = 5 следующее за числом 3 есть 3, и существуют исходные точки, для которых программа не останавливается. Для k = 7 она идет точно так же. Так что проблема остановки связана со свойством числа k. Я бы здесь… Впрочем, мало ли чего я хочу!

 

Зашифрованные операции

Это — класс самых разнообразных задач. Задаются точные арифметические операции, в которых некоторые цифры либо стерты, либо заменены буквами. В данной операции одна и та же буква всегда заменяет одну и ту же цифру, и разные буквы представляют поэтому разные цифры. Нужно восстановить исходную операцию. Есть случаи, в которых это сводится к решению системы уравнений с неизвестными, представляющими собой букву, — системы, решение которой дает также решение исходной задачи. Компьютер не видит ничего скрытного. Таким образом, если что-то не так, то нужно действовать систематически методом проб и ошибок. Нужно выбрать значения для одних букв и получить с их помощью значения остальных. Нужно проверить, что разным буквам соответствуют разные значения. После конечного числа попыток мы получим решение — если оно единственно — или список всех возможных решений. А еще существуют промежуточные решения: вычисление ограничивает число осуществляемых попыток.

Головоломка 8. SEND MORE MONEY.

Это — лаконичная телеграмма английского студента своему отцу. История умалчивает о том, как отец это принял и были ли отправлены деньги…

SEND + MORE = MONEY

Программа очень легкая. Время вычисления короткое. Едва ли это головоломка. Как раз для тренировки…

Головоломка 9. HELP THE YOUNG.

Конечно, конечно. Почему бы не послать им еще денег? Та же задача:

HELP + THE = YOUNG

Отметим разницу с предыдущей задачей. Предыдущая использовала не все цифры от 0 до 9. В этой участвуют все. Можете ли вы воспользоваться этим?

DEVOIR, LEÇON, ÉLÈVE.

Есть аналогичные зашифрованные сложения по-французски. Например, такая:

ÉLÈVE + LEÇON = DEVOIR

? Головоломка 10. Зашифрованное умножение.

Довольно сложений, это становится скучным. Вот зашифрованное умножение:

ABCDE * 9 = FGHIJ

Здесь 10 букв представляют 10 различных цифр, так что одна из них равна 9. Можно сразу кое-что сказать о возможных значениях букв, но чтобы получить решение, придется идти буквально ощупью. Столько же придется искать и компьютеру.

?* Головоломка 11. Забавное число.

Число 123456789 обладает забавными свойствами:

123456789 * 2 = 246913578

Как и исходное, удвоенное число образовано всеми девятью цифрами, кроме 0.

123456789 * 4 = 493827156

Результат снова образован девятью цифрами, отличными от 0.

123456789 * 5 = 617283945

По-прежнему 9 цифр.

123456789 * 7 = 864197523

Опять 9 цифр, и это еще не все.

123456789 * 8 = 987654312

Но это не работает ни для 3, ни для 6. Это не может работать и для 9, потому что в результате больше 9 цифр,

Тем не менее есть много чисел, образованных всеми 9 цифрами (кроме 0), которые после умножения на 3 дают результат, образованный теми же девятью цифрами. Можете ли вы дать список всех таких чисел, оканчивающихся на 9? И также список тех, которые кончаются на 3?

Можно ли распространить использованный метод на случай умножения на 6?

 

Доказательства теорем

Компьютер можно использовать для доказательства теорем. Это — трудная задача искусственного интеллекта. Мы снабжаем компьютер правилами вывода, даем формулировку того, что требуется доказать, и исходные аксиомы. Компьютер пытается найти последовательность правил вывода, которые могут привести от исходных данных к требуемым рёзультатам.

Здесь обо всем этом речь не идет. Я предлагаю вам только взглянуть на путь, использованный для доказательства с помощью компьютера знаменитой проблемы четырех красок: любая географическая карта может быть раскрашена четырьмя красками так, что любые две территории, имеющие общую границу, раскрашены, разными красками. Общая идея состоит в том, чтобы доказать вручную или, в случае необходимости, с помощью программы, что проблема будет решена полностью, если будет известно ее решение в некотором конечном числе случаев. Эти случаи исследуются на компьютере. Вот примеры, доступные этому методу.

Внимание: вы должны бороться с проблемой сложности. Если вы не будете принимать никаких мер предосторожности, число подлежащих исследованию случаев может сказаться невероятно большим и работа компьютера станет невозможной: ведь перед вами не вечность… Равновесие между подготовительной работой (доказательством палых теорем) и работой компьютера оценивается в зависимости от ваших возможностей, одновременно в области математических доказательств и в ресурсах вашего микрокомпьютера. К сожалению, не говорите: эта программа отнимает уйму времени, я перепишу ее на ассемблере. Это — худшее из решений. Все, что я вам предлагаю, осуществимо на Бейсике за разумное время. Если ваша программа требует уйму времени, значит, она плохо придумана.

Головоломка 12. Теорема 153.

Этот пример заимствован из [MJB]. Образуем числовую последовательность следующим образом:

— начальный элемент — произвольное натуральное число, кратное трем,

— за любым элементом последовательности следует число, равное сумме кубов всех цифр данного элемента.

Теорема. Любая такая последовательность становится (начиная с некоторого места) постоянной, равной 153.

Пример. Начнем с 33:

33

3³ + 3³ = 54

5³ + 4³ = 189

1³ + 8³ + 9³ = 1242

1³ + 2³ + 4³ + 2³ = 81

8³ + 1³ = 153

1³ + 5³ + З³ = 153

1³ + 5³ + З³ = 153

и теперь последовательность стала постоянной.

Используйте ваш компьютер для доказательства этой теоремы.

? Головоломка 13. Варианты.

Нелегко сказать, какую роль в предыдущей теореме играет то, что исходное число кратно трем. Но от вас не потребует чрезмерных усилий в общем случае, что два последовательных числа последовательности имеют равные остатки при делении их на 3. В последовательностях, которые мы стали изучать, все члены последовательности делятся на 3. Можно доказать также, что все члены последовательности, кроме, быть может, первого, делятся на 9.

Если взять натуральное число, не кратное трем, то все члены соответствующей последовательности будут иметь один и тот же остаток при делении на 3. Что, кроме этого, вы можете узнать о поведении этих последовательностей?

Если при переходе к следующему члену последовательности вы будете брать сумму квадратов цифр (вместо того, чтобы брать сумму кубов), то все будет не намного лучше. Можете ли вы доказать следующую теорему: каково бы ни было натуральное число, взятое в качестве первого элемента последовательности, эта последовательность содержит число, не превосходящее 4?

? Головоломка 14. Теорема 6174. Построим последовательность натуральных чисел следующим образом. Начальный элемент — натуральное число с четырьмя цифрами, которые не все равны между собой. Мы переходим от данного члена последовательности к следующему но такому правилу.

Пусть a, b, c, d — четыре цифры, представляющие десятичную запись данного числа. Расположим их в порядке убывания слева направо и получим первое число. Расположим их в обратном порядке и вычтем это второе числа из первого. Это и есть искомый следующий член последовательности.

Теорема. Эта последовательность для любого начального элемента становится (начиная с некоторого места) постоянной, равной 6174.

Пример. Начнем с 7815:

8751 − 1578 = 7173

7731 − 1377 = 6354

6543 − 3456 = 3087

8730 − 0378 = 8352

8532 − 2385 = 6174

6174 − 1467 = 6174

Используйте ваш компьютер для доказательства этой теоремы. Это окажется намного проще, чем в предыдущей головоломке, поскольку имеется всего лишь 9000 чисел с четырьмя цифрами, и нужно исследовать 9000 последовательностей. Но вы можете сделать число испытаний намного меньше этого…

?? Головоломка 15. Господин S и господин P.

Вот одна из наиболее классических арифметических головоломок. Выберем два натуральных числа, больших единицы, но меньших ста. Значение их суммы сообщено господину S, значение их произведения — господину P. Ни один из них не знает, какое число сообщено другому. Господин P звонит господину S по телефону.

P. Я не могу найти эти два числа.

S. Я знаю, что вам это и не удалось бы.

P. Ах, так… Но тогда я их знаю!

S. Ну, тогда и я тоже их знаю!

Рассуждение позволяет существенно видоизменить задачу, и даже более того — предъявить решение. Много ли их? Используйте ваш компьютер, чтобы их найти.

 

Простые числа

??** Головоломка 16. Чемпион головоломок.

На мой взгляд, наиболее замечательная арифметическая головоломка, над которой мне пришлось особенно долго работать и которая дала мне возможность получить некоторые удовлетворительные результаты, — это, конечно, проблема простых чисел. Пусть дано число n (конечно, нечетное) и достаточно большое; сказать, является ли оно простым и, если можно, дать его разложение на простые множители.

Если не предполагать, что n велико, то есть простой способ действовать: делить n на простые числа и смотреть, удается ли деление без остатка. Если да, то число составное и допускает разложение в произведение. Впрочем, при таком методе многие делители можно вообще не рассматривать. Если n есть произведение двух сомножителей p и q:

n = p * q,

то либо p = q, либо один из сомножителей больше другого, так что можно считать, что p — делитель, q — частное и p ≤ q. Поэтому будем делить n на последовательно возрастающие простые числа, для которых частное больше или равно делителю. Так как мы не располагаем таблицей простых чисел, то используем последовательность Делителей, которая заведомо содержит все простые числа, например, последовательность нечетных чисел или лучше целых чисел вида 6k ± 1.

Число операций растет как квадратный корень из n. Если вы добавите к n одну цифру, то вы увеличите время вычисления примерно раза в три. Но более важно другое. Если вы увеличиваете n, вы можете превысить «арифметические способности» своего компьютера. Как вы узнаете, правильно ли выполнено деление? Предел, которого вы можете достичь таким образом, существенно зависит от марки вашего микрокомпьютера.

Таким образом, вы должны бороться со следующими трудностями:

— точность вашего компьютера. Вам нужно иметь возможность делать вычисления с повышенной точностью, а это очень дорогостояще по времени;

— число требуемых операций;

— доверие к вашей программе. Если ваша машина сообщает вам, что

9873564383 = 631181 * 15643,

то вы, вероятно, сможете проверить этот результат на вашем микрокалькуляторе, А если компьютер сообщит вам, что 9873564401 — простое число, то как вы это проверите? Проделав вычисления на руках?

Вот основы метода Ж.-М. Полларда [POL].

По данному числу n (нечетному натуральному) строится последовательность по описанному ниже правилу:

— первый член последовательности равен 2;

— следующий за x элемент равен x² − 1 по модулю n (остатку от деления x² − 1 на n).

Оказывается, что эта последовательность периодична. Это легко видеть. Остаток от деления на n есть неотрицательное целое, меньшее n, поэтому не может быть более n различных остатков. Поэтому неизбежно, что как только число членов превысит n, среди членов последовательности мы получим два одинаковых, что и означает периодичность последовательности. Но она может оказаться периодической с намного более коротким периодом, чем n. Вот, например, последовательность для n = 137:

a1 = 2

a2 = 3

a3 = 8

a4 = 63

a5 = 132

a6 = 24

a7 = 27

a8 = 43

a9 = 67

a10 = 104

a11 = 129

a12 = 63 = a4

Последовательность периодична с периодом 8.

Пусть дана последовательность, вычисленная для некоторого n. Предположим, что n делится на s, и что соответствующая числу s последовательность периодична с периодом p.

Для достаточно большого i имеем ai + p = a i по модулю p, следовательно, a i + p − a i делится на p. Так как, кроме того, и n делится на p, то наибольший общий делитель (НОД) чисел ai + p − a i и n отличен от 1.

Построим последовательность Полларда для n = 22879:

a1 = 2

a2 = 3

a3 = 8

a4 = 63

a5 = 3968

a6 = 4271

a7 = 6877

a8 = 2235

a9 = 7602

a10 = 20928

a11 = 8486

a12 = 11982

НОД чисел a12 − a4 и n = 22879 есть 137, делитель числа n.

Если мы способны сказать, становится ли данная последовательность периодической (головоломка 1), то мы располагаем быстрым методом определения, имеет ли данное число делитель. Можете играть. Это не такая уж простая программа…

Есть тест на простоту числа, основанный на так называемой малой теореме Ферма: если n — простое, причем число n не является делителем a, то

an −1 = 1 по модулю n.

Представим n в виде n = 2s m + 1. Назовем число n сильно псевдопростым по основанию a, если выполнено одно из следующих двух условий:

либо a m = 1 по модулю n,

либо am 2 r = n − 1 по модулю n = 2s m + 1 для некоторого r, 0 ≤ r < s.

Очень мало сильно псевдопростых чисел, не являющихся простыми; так

2047 = 23 * 89 — сильно псевдопросто по основанию 2,

1373653 = 829 * 1657 — по основанию 2 и 3,

25326001 = 2251 * 11251 — по основанию 2, 3 и 5,

3215031751 = 151 * 751 * 28351 — по основанию 2, 3, 5 и 7.

Метод интересен, потому что a n вычисляется за время, растущее не быстрее, чем ln n. Это утверждение вытекает из соотношений:

а0 = 1, а1 = а,

a2 n = (а * а)n , a2 n +1 = (a * a)n * а.

Все, что нужно для работы, у вас есть. Больше делать нечего, кроме собственно составления программы.

Кстати: знаете ли вы две универсальные конструкции в информатике? Первая — «известно, что…». Вторая — «это и нужно сделать…».

 

Таинственные программы

Я надеялся не приводить в этой книге никаких готовых программ. Программирую не я, а вы. И я не очень люблю смотреть, как подростки копируют программу, набирая ее на клавиатуре и при этом не отдавая себе отчета в том, что она делает и как устроена. Но сказать, что делает та или иная программа, может оказаться настоящей головоломкой, Программы, которые мы будем обсуждать, написаны на некотором воображаемом языке. Вам придется по крайней мере сделать усилие, чтобы перевести их на ваш обычный язык: Бейсик, LSE или Паскаль. Условная команда записывается в виде

ЕСЛИ условие ТО последовательность команд

КОНЕЦ_ЕСЛИ

(последовательность команд выполняется тогда и только тогда, когда условие истинно)

или

ЕСЛИ условие ТО последовательность команд

  ИНАЧЕ последовательность команд

КОНЕЦ_ЕСЛИ

(если условие истинно, то выполняется последовательность команд, заключенная между ТО и ИНАЧЕ, в противном случае выполняется та последовательность команд, которая расположена между ИНАЧЕ и КОНЕЦ_ЕСЛИ).

В обоих случаях КОНЕЦ_ЕСЛИ играет роль закрывающей скобки, связанной с открывающей скобкой ЕСЛИ. Мы будем использовать цикл

ПОКА условие ВЫПОЛНЯТЬ

  последовательность команд

ВЕРНУТЬСЯ

Последовательность команд, содержащаяся между ВЫПОЛНЯТЬ и ВЕРНУТЬСЯ, повторяется, ПОКА условие истинно.

* Головоломка 17. Для забавы. Вот легко понимаемая программа. Здесь n и b — два натуральных числа и b нечетно (это существенно)

ПРОЧЕСТЬ n , b

ПОКА n > b ВЫПОЛНЯТЬ

  ЕСЛИ n четно ТО n := n /2

  ИНАЧЕ n := n − b

  КОНЕЦ_ЕСЛИ

ВЕРНУТЬСЯ

СООБЩИТЬ ЕСЛИ n = 0 ТО 'ДА'

ИНАЧЕ 'НЕТ' КОНЕЦ_ЕСЛИ

Вы можете попробовать выполнить ее вручную для

n = 277 − 3, b = 7.

Забавно, не правда ли? Несмотря на свою исключительную» простоту, эта программа, кажется, новая…

*** Головоломка 18. Посерьезнее. Эта — несомненно более трудная. И тоже неопубликованная. Боюсь, что вы можете избаловаться… На вход программы подается n — нечетное натуральное число.

ПРОЧЕСТЬ n

q := ( n − 1)/4; p := целая_часть ( q )

ЕСЛИ q ≠ p ТО СООБЩИТЬ 'НЕТ';

КОНЕЦ_РАБОТЫ КОНЕЦ ЕСЛИ

ЕСЛИ нечетное p ТО СООБЩИТЬ 'НЕТ';

КОНЕЦ_РАБОТЫ КОНЕЦ_ЕСЛИ

a := 4; b := 1

ПОКА p ≥ a ВЫПОЛНЯТЬ

p := p /2

ЕСЛИ нечетное p ТО p := p − a /2 − b ;

b := a − b КОНЕЦ ЕСЛИ a := a + a ВЕРНУТЬСЯ

ЕСЛИ p = 0 ТО СООБЩИТЬ b ;

КОНЕЦ РАБОТЫ КОНЕЦ_ЕСЛИ

ЕСЛИ p + 2* b = a ТО СООБЩИТЬ a − b ;

КОНЕЦ РАБОТЫ КОНЕЦ_ЕСЛИ

ЕСЛИ p = 4 * ( a − b ) ТО СООБЩИТЬ 2 * a − b ;

КОНЕЦ РАБОТЫ КОНЕЦ_ЕСЛИ

СООБЩИТЬ 'НЕТ'; КОНЕЦ_РАБОТЫ

Я не запрещаю вам перевести эту программу на ваш любимый язык, а затем испытать ее для различных значений n. Есть маленький шанс, что вы угадаете, на что она способна. Это не очевидно!

** Головоломка 19. Вклад Жака Гебенстрейта. Я обязан Жаку Гебенстрейту следующей программой. Она была предложена в том виде, в каком я ее привожу, без какого-либо комментария (это было сделано без злого умысла с его стороны: сам он получил не больше от того, кто дал ему эту программу).

ПРОЧЕСТЬ a , b ; p : = max ( a , b ); q := min ( a , b )

ПОКА q > eps ВЫПОЛНЯТЬ

   r := ( q / p )²; s := r /( r + 4)

   p := (2 * s + 1) * p ; q := s * q

ВЕРНУТЬСЯ

результат := p

Как вам кажется, что вычисляет эта программа?

 

Общие предложения

Мы собираемся предложить здесь игры для программирования. Мы выбрали их потому, что они не требуют придумывания выигрывающей стратегии при составлении программы. Каждая игра ставит вас перед, вообще говоря, непредсказуемой ситуацией. Вы должны играть, соблюдая правила и имея в виду добиться определенной цели. Вам следовало бы развить собственную стратегию. После того, как вы предложили свой ход, компьютер сообщает новое состояние игры, затем изменяет это состояние некоторым почти полностью определенным образом. Ваша стратегия должна оценить, как именно.

Программирование этих игр не представляет заметных трудностей. Это — не головоломка (если исключить лабиринт для коня, который представляет настоящую трудность). Но нужно работать очень тщательно, чтобы компьютер соблюдал правила и не жульничал. Ошибки программирования всегда достойны осуждения. Здесь может возникнуть. искушение сделать все быстро, потому что в конце концов всегда что-то получится. Тщательно изучите задачу, продумайте прежде чем писать, составьте план вашей программы, разберите подзадачи отдельно…

Игра 6. Гениальный ответчик.

Я не думаю, что есть еще хоть кто-нибудь, кто не знает игру, которую М. Мейрович назвал «гениальный ответчик». Обычно она играется с цветными шашками (6 и 8 различных цветов в зависимости от изготовления). Играющий должен угадать сделанную из этих шашек тайную комбинацию. Так, в варианте «мини» вы должны угадать комбинацию из четырех шашек, например: ГОЛУБАЯ ЖЕЛТАЯ ЖЕЛТАЯ КРАСНАЯ (в этом порядке). Второй игрок — ведущий. Это он выбирает комбинацию для угадывания и он оценивает ходы, которые вы делаете. Ваш ход в игре состоит в том, что вы предлагаете комбинацию, содержащую то же число шашек, из того же набора цветов, например, КРАСНАЯ ГОЛУБАЯ ЖЕЛТАЯ ГОЛУБАЯ.

Ведущий сообщает вам, сколько шашек из вашей комбинации содержат правильный цвет на правильном месте: здесь — 1, третья шашка ЖЕЛТАЯ, как и в неизвестной вам комбинации. Затем он сообщает вам, сколько шашек имеют правильный цвет, но стоят на неправильных местах. Здесь 1, так как вы предложили красную шашку, но она на неверном месте. Согласно традиции, ведущий выставляет столько черных шашек, сколько в вашем ответе шашек правильного цвета на правильном месте, а затем столько белых шашек, сколько шашек правильного цвета на неверных местах.

Составьте программу, заставляющую ваш компьютер играть роль ведущего. Он должен случайным образом выбирать комбинацию и, конечно, не сообщать ее. Когда вы предлагаете свою комбинацию, компьютер должен также сообщить вам, сколько черных и белых шашек она заслуживает. Если в конце обусловленного заранее числа попыток вы не достигли результата, компьютер вас не поздравит, но сообщит загаданную комбинацию.

Введите в вашу программу параметры по числу цветов и числу шашек в комбинации, как и по степени сложности:

простая: 4 шашки, 6 цветов, 6 попыток;

средняя: 6 шашек, 8 цветов, 8 попыток.

Особой трудности нет. Игра заведомо приятна. Отладьте диалог…

Игра 7. Пляж Ботафого.

Несколько лет назад я отправился вести курс в Понтификальном университете Рио-де-Жанейро. Часть моей семьи смогла присоединиться ко мне на несколько дней. Мы отправились посмотреть на знаменитую «Сахарную голову», расположенную вблизи Ботафого. Мы прибыли на место. В нескольких стах метров перед нами «Сахарная голова» на берегу маленькой бухты открывала весьма привлекательный пляж. Чтобы его достичь, мы должны были преодолеть одно препятствие: автостраду. Нам очень хотелось отправиться на пляж и насладиться морем (мы еще не знали, насколько оно может быть загрязнено!). Но очевидным образом не было никаких средств пересечь эту автостраду. Ни один переход не пересекал ее поверху, это мы видели. Не было поблизости и подземных переходов. Мы не говорили по-бразильски (он произошел от португальского, но он отошел от языка, на котором говорят в Лиссабоне, так же сильно, как язык Квебека отличается от французского в Париже). Наконец, мы попытались что-нибудь понять с помощью моего приблизительного английского. «Чтобы попасть туда? Пересеките автостраду…» Это не было многообещающим развлечением. Движение было интенсивным. Бразильцы водят машины на большой скорости. Не слушая ничего, кроме зова нашей отвагу мы успешно достигли покрытой дерном полосы, разделяющей два направления автострады, и впали в глубокое уныние. Никогда нам не добраться до цели! Но отступать было некуда. Либо в одном, либо в другом направлении, но дорогу нужно было пересечь. Я не знаю, каким образом нам удалось ее перейти. И вот, после того, как мы решили, что пробил наш последний час, мы вылезли из моря на пляж Ботафого и — обнаружили в ста метрах подземный переход, позволявший безопасно перейти дорогу. Когда я позже рассказывал эти злоключения одному из своих коллег, он заявил мне, что вообще молодые люди не имеют привычки пользоваться ни подземными, ни нажимными переходами, они бросаются прямо под автомобили безо всякой боязни. Он рассказал мне также, что после торжественного открытия надземного перехода, который пересекал ту же автостраду немного выше Фламенко, в одном журнале был опубликован юмористический рисунок. На нем была изображена мать семейства, катящая детскую коляску и тянущая другой рукой ребенка, чтобы перейти пешком автотрассу у надземного перехода, говоря «Какой удобный переход! Наконец-то мы сможем переходить дорогу в тенечке…»

Все это навело меня на вот какую игру. На экран выводится рисунок, символизирующий автостраду с n полосами движения. По каждой полосе движутся автомобили, В начале игры вы находитесь на краю автострады. Вы можете либо оставаться там, где вы есть, либо прыгнуть на шаг вперед. Автомобили перемещаются согласно неизвестному закону. Если один из них достигает занимаемого вами положения или проходит по нему, то вы раздавлены. А если нет, то ваш ход. Вы снова можете либо остаться неподвижным, либо продвинуться на шаг вперед, либо вернуться на шаг назад, и цикл возобновляется. Вы выигрываете, если вы достигаете другой стороны дороги, не будучи раздавленным.

Вот несколько предложений по реализации игры. Я представляю автостраду следующим образом.

Расстояние между машинами постоянно, В верхней полосе оно равно 18 (17 точек между двумя машинами) и возрастает на 1 в каждой следующей полосе (24 точки между двумя стрелками в нижней полосе). Стрелки представляют машины острием в направлении их перемещения. Тире указывают место вашего перехода, но это отнюдь не переход «зебра»: ни одна машина не замедлит хода, чтобы дать вам перейти! В начале игры вы находитесь вне автострады, как на рис. 2.

Скорость машин постоянна. В верхней полосе я выбрал 5: любое перемещение машин продвигает их на 5 точек влево. В результате одна из машин может уйти влево или справа может появиться новое транспортное средство, если интервал вправо увеличится более чем на 17 точек до края: расстояние между машинами поддерживается постоянным. Я решил сделать скорость машин растущей на 1 точку при каждой смене полосы: она равна 6 во второй полосе, 7 — в третьей…

Таким образом, расстояние между машинами растет, скорость тоже, но отношение не постоянно. Если вы вступаете на первую полосу в тот момент, когда машина только что проехала тире, то у вас 16 точек до машины справа от вас. При скорости 5 точек вы можете оставаться неподвижным три хода. На нижней полосе у вас осталось бы справа 23 точки, но при скорости 12 вы не можете оставаться на месте более одного хода. Чем дальше вы продвигаетесь, тем больше риск, что вы будете раздавлены.

При таком выборе данных период рисунка очень велик. У вас нет никакой возможности получить по ходу партии дважды одну и ту же конфигурацию.

Единственный случайный элемент: начальное положение машин на каждой полосе. Вы задаете это начальное положение, выбирая число точек между тире и первой машиной справа от тире; это — целое число, выбираемое случайно, строго меньше расстояния между машинами на данной полосе. Таким образом, для 8 полос нужно случайным образом получить 8 чисел, Используя воспроизводимую непредсказуемость последовательности, как это описано в разд. 1, вы можете переиграть партию, если сочтете, что плохо использовали ваши возможности. Вы можете провести соревнования со своими друзьями. В моей программе я подсчитываю число шагов, потребовавшихся для перехода дороги. Выигрывает тот, кто переходит с наименьшим числом шагов.

Не говорите: идиотская игра, придуманная в дурацком мозгу… Прежде всего это невежливо по отношению ко мне. Кроме того, в ней нужно иметь некоторый опыт, чтобы дать себе отчет в том, насколько трудно играть оптимальным образом. Благодаря изображению точек, вы можете — если захотите — проводить свои подсчеты и узнавать, каким будет положение машин после следующего хода. Вы можете предвидеть или вычислять столько ходов от начала, сколько вы пожелаете: игра вашего противника полностью определена. Но опыт показывает, что это скучно. Ходы лучше делать, оценивая положение машин перед следующим ходом. Может получиться, что вы говорите себе: у меня есть время пройти, а он возьмет дай раздавит. Может случиться, что вы не берете на себя риск пойти вперед, а машина останавливается в точности перед тире.

Точно так же может случиться, что вы правильно оцениваете ситуацию, но вам не удается достаточно точно рассчитать начальные ходы, и вы попадаете в ловушку. Вы оказываетесь на некоторой полосе и не раздавленным. Но нельзя ничего не делать: если оставаться на месте, то вас раздавят. Нельзя вернуться — там, на предыдущей полосе, машина слишком близко к тире. Нельзя идти и вперед: на следующей полосе машина стоит перед тире или слишком близко к тире.

Вот еще несколько предложений. Необходимо держать рисунок на экране неподвижным: только стрелки машин и крестик (×) пешехода должны перемещаться по неподвижному полю. Чтобы передвинуть пешехода, я предлагаю следовать очень простому правилу. На вопрос компьютера отвечать Н, если вы собираетесь пойти в нижнюю сторону (на само собой разумеющуюся полосу), В — если вы хотите перейти на полосу выше, и ничего не отвечать, если вы не хотите шевелиться.

Программирование этой игры очень просто. Желаю успеха.

* Игра 8. Шадок у гиби.

«У шадоков ситуация удовлетворительна. Испытания ракет продолжаются, постоянно кончаясь неудачами.

Дело здесь в одном из основных принципов шадокской логики: «Нет ничего, что бы непрерывно продолжалось и не кончилось успехом». Или, в других выражениях: «Чем больше неудач, тем больше шансов, что оно заработает». Их ракета еще несовершенна, но они вычислили, что у них есть по крайней мере один шанс из миллиона, что она заработает… И они торопятся поскорее осуществить 999999 первых неудачных опытов, чтобы быть уверенными, что миллионная заработает». (Жак Руксель. Великолепие навыворот. Париж, издательство Грассе.)

Великий колдун сказал, что ракеты терпят неудачу потому, что не хватает транзисторов в системах безопасности. Но у гиби транзисторы собирают с растений, произрастающих на огородах. Решено послать одного из шадоков на планету гиби искать транзисторы. Гиби, очень умные благодаря своим шляпам, быстро проникли в планы шадоков и решили позабавиться. Они позволили шадоку забраться в один из их огородов, но окружили его со всех сторон, и всякий раз, когда растение расцветает и дает транзистор, они мчатся, чтобы собрать урожай прежде шадока.

Вот вам тема игры. Как и в предыдущих играх, я предлагаю здесь версию, которую я реализовал на своем микрокомпьютере, Вы можете подогнать параметры в зависимости от возможностей вашей машина, а также в зависимости от желаемой трудности игры и шансов на успех. Было бы благоразумно. В первых версиях из осторожности стоит считывать все параметры до начала каждой партии. Вы сможете также сделать несколько попыток, чтобы добиться удовлетворительного расположения всех персонажей в огороде. Не придерживайтесь рабски сделанных ниже предложений.

В начале игры компьютер воспроизводит образ огорода] где появляются: гиби, обозначенные буквами Г; цветы с транзисторами, обозначенные цифрой, показывающий число транзисторов, которые можно собрать с этого цветка (есть цветки с одним транзистором, наименее продуктивные, и цветки с девятью транзисторами, наиболее продуктивные); шадок, представленный крестиком (×); пустые места, обозначенные точкой. Вот возможная комбинация. В ней 12 строк по 20 полей, с 15 гиби и 20 цветками. Все их значения указаны. Шадок имеет право на 40 ходов, чтобы собрать 100 транзисторов. Компьютер постоянно сообщает число оставшихся ходов и число уже собранных транзисторов.

На своем ходе шадок может переместиться па одну клетку в любом направлении. Я выбрал определение перемещения с помощью 0, 1 и 4 букв: В — для верха, Н — для низа, Л — для левой и П — для правой стороны. Если ответ пуст, то шадок не шевелится. Если ответ П, то нужно сделать один шаг вправо на той же строке. Если ответ ВЛ (или ЛВ, порядок не важен), то шадок перемещается на 1 шаг но направлению диагонали вверх и влево.

Если при движении шадок оказывается на поле, запятой цифрой, то эта цифра исчезает из игры и ее значение прибавляется к сумме, набранной игроком. Случайным образом выбирается новая цифра и располагается на свободном игровом поле.

Ну, а теперь — о путешествиях гиби. Каждый гиби перемещается на один шаг по строке, столбцу или диагонали к ближайшей к нему цифре. Это правило может привести двух гиби на одно и то же поле. Есть много способов разрешить проблему этих столкновений: например, если ноле назначения какого-либо гиби не является ни точкой, ни цифрой, то перемещение на него не осуществляется. Это проще всего. Если при своем перемещении гиби прибывает на поле, обозначенное цифрой, то эта цифра исчезает из игры. Когда все гиби перемещены, нужно случайным образом раздобыть столько же цифр, сколько было упразднено, и случайным образом расположить их на местах, обозначенных точками.

Игра кончается, либо когда шадок приобретает свои 100 транзисторов, либо когда число ходов, предоставленных ему, оказывается исчерпанным.

Эта игра включает намного более случайных элементов, чем предыдущая. Но можно играть с большей или меньшей ловкостью. На рис. 3 шадок может собрать урожай с одной из трех следующих цифр: с 3 — выше от него в том же столбце (этой цифре угрожает гиби, по шадок, играя первым, достигает ее раньше); с 5 — ниже и правее его (и ей тоже угрожает гиби, но шадок его опередит) с 9 — ниже и левее (эта цифра дальше, нужно три хода, чтобы достичь ее, вместо двух для предыдущих цифр, но нет ни одного гиби поблизости). Цифра 9 дает наибольшее число очков, но обходится в три хода. Если так и сделать, то уже ни одной цифры поблизости не окажется. Цифра 5 находится в углу, наводненном гиби. Как будто у нас нет особых оснований выбрать в качестве следующего хода что-либо другое. Именно 3 оказывается наилучшим выбором, потому что и 5, и 7, и 9 не слишком близко, В этом углу гиби есть, но там и с цифрами неплохо, так что их перемещения более или менее предсказуемы (если сумеете, сделайте, чтобы это было в точности так). Итак, у вас есть возможность выбирать каждый отдельный ход наилучший образом, но вы не можете проводить вычисления слишком далеко: вы не знаете, как будут противодействовать гиби, а их достаточно много для того, чтобы при каждом ходе какие-то цветы исчезали, позволяя другим расцвести.

Эту игру не так уж трудно запрограммировать. Но нужно сосредоточить внимание на перемещениях гиби. Для каждого из них найдите ближайший цветок и, если несколько цветков находятся на одном и том же расстоянии, выберите случайным образом тот, к которому он отправится.

* Игра 9. Плата за страх.

Шел когда-то фильм с таким названием. Я его не видел, но о нем достаточно много говорили по телевизору, чтобы я знал, о чем он, и он дал мне идею гораздо менее опасной игры!

Вы — тот самый игрок, который, в обмен на обещанную кучу денег, рискует своей жизнью, которой угрожают наемные убийцы. Игра разыгрывается в пространстве, наполненном препятствиями. За вами гонятся трое убийц. Они вооружены револьверами и стреляют в вас, если вы с ними не разделены препятствием. Это — хорошие стрелки: если вы находитесь на линии выстрела, они не промахнутся и компьютер сообщит R. I. P. (requiescat in расе: «да покоится в мире» — для тех, кто совсем не учил латыни).

Более точно, игра снова реализуется на прямоугольнике, образованном точками (свободными местами) и нулями (препятствиями). Я выбрал прямоугольник с 12 строками и 20 столбцами, Я расположил там 100 препятствий в трех убийц (обозначенных У).

Рисунок 4 снят с экрана. Условимся, что убийцы могут стрелять только в направлении строки или столбца,

В приведенной конфигурации игрок (обозначенный ×) не находится на линии выстрела ни одного из убийц. Он может перемещаться на один ход в любом направлении (как король в шахматах). Игра разыгрывается следующим образом:

— игрок перемещается (один из способов перемещения — пребывание на месте, где он находится. Но можно помешать игроку укрываться в норе. Я ограничиваю число стояний на месте пятью ходами). Переходить можно только на место, обозначенное точкой. Если игрок оказывается после этого на линии выстрела одного из убийц (в той же строке или в том же столбце и не огороженным препятствием), то он мертв;

— после этого трое убийц перемещаются на один шаг — все равно в каком направлений (они не могут оставаться неподвижными). Они перемещаются на поле, обозначенное точкой. Нужно договориться об их перемещении, чтобы учесть в случае необходимости спорные ситуации, например, перемещать их одного за другим, что позволяет для каждого из них учесть движения предыдущих. Убийцы, когда у них есть возможность, перемещаются так, чтобы приблизиться к игроку. Если в результате этого перемещения убийца оказывается в состоянии взять игрока на мушку, то он стреляет и убивает его. Игра сразу кончается. Если это не так, то цикл возобновляется.

Если игроку удается просуществовать в продолжение данного числа ходов, он выигрывает.

Может случиться, что убийца оказывается бок о бок с игроком, но по диагонали. Он не может стрелять, потому что не находится ни на той же строке, ни в том же столбце. Вы можете сказать, например, что ваш игрок — чемпион по дзюдо и что убийцы не рискуют атаковать его в ближнем бою. Но вы можете принять и противоположную тактику: если при разрешенном перемещении убийца может попасть на клетку игрока, то последний считается убитым. Тем самым вы уменьшите шансы игрока…

Эту игру запрограммировать не очень трудно. Нужно только принять единственную меру предосторожности: в процессе бросания жребия о начальной конфигурации устройте так, чтобы ситуация не оказалась катастрофической с самого начала игры: ни один из убийц не должен находиться ни в строке, ни в столбце, где находится игрок, а также и не в соседних строках и столбцах.

Я сыграл немало партий. Есть два способа играть. Можно трепыхаться в набитом препятствиями участке в плавать между двумя соседними неприступными полями. Выигрываешь без славы… Можно обыгрывать трудности и, напротив, пытаться вовлечь убийц в гонку преследования, уклоняясь от всех их ловушек. Это намного труднее. Их все-таки трое… Если у вас появятся соображения о том, как ограничить возможности избирать первую тактику, используйте их. Я в этом не преуспел. Деятельность по подсчету стояний на одном месте — это простейшая защита, позволяющая избежать случая, изображенного на рис. 5. Попав однажды на место, обозначенное крестиком (×), игрок может оставаться там бесконечно. Перед лицом необходимости перемещаться убийцы то освобождают, то снова занимают два места, обозначенные буквой У, но не имеют возможности выселить игрока. Если же число стояний на месте ограничено, то игроку невыгодно входить на эго поле, с которого он больше не сможет уйти. Но это может оказаться выгодным в конце партии, если число оставшихся ходов меньше числа разрешенных стояний на месте.

Игра 10. Игра роботов.

Я принял за образец игру, которую я нашел в обзоре по компьютерам. Я глубоко сожалею, что не узнал о ней больше, чтобы воздать ее автору (мне неизвестному) по заслугам. Ее тема в каком-то смысле сравнима с темой «платы за страх», но правила другие и они дают существенно отличающуюся стратегию игры при не очень измененном программировании. Это — идеал для тех, кто больше любит играть с компьютером, чем писать программы. Здесь мы отличаемся: для меня большее развлечение — писать программы…

История происходит в 2387 году. Космическая экспедиция достигает планеты X. Один из участников экспедиции проникает в огромный зал разрушенного здания. Земля изрыта многочисленными расщелинами, открывающими бездонные пропасти. Ни одной живой души, но местные жители достигли высокого технического уровня. Они построили автоматические заводы, производящие движущихся роботов. Заводы еще работают сами по себе, но с перебоями. Появление роботов случайно, да и не работают больше эти роботы так, как когда-то… Они продолжают стремительно нападать на пришельцев, но как слепые. Если избранный ими путь приводит их к расщелине, они оказываются не в состоянии избежать ее и проваливаются в дыру. Что же касается избираемого ими пути, то он определен полностью без всяких уловок: прямо к пришельцу. Игра начинается с входа посетителя в помещение. Дверь за ним автоматически закрывается. Единственный выход — на другом краю. Роботы входят в зал через четыре угла. В начале игры в помещении находится некоторое количество роботов. У посетителя есть два козыря:

— с помощью хитроумных перемещений он может заставить роботов сваливаться в расщелины и тем самым отделываться от них;

— у него есть несколько дезинтегрирующих зарядов, с помощью которых он может разрушать роботов. Но он может применять их только в ближнем бою (разве что дальность его оружия не ограничена. Насколько мы знаем, на земле такая дистанция есть…). Кроме того, ему нужно экономить заряды. Еще неизвестно, что его ждет, когда он приблизится к выходу…

Рисунок 6 воспроизводит экран микрокомпьютера. Помещение есть прямоугольник с 11 строками и 18 столбцами. Строки обозначают свободные места, 0 — расщелины в полу, Р — роботы. Крестик (×) обозначает игрока, здесь — в начальном положении. Выход обозначен плюсом.

При своем ходе игрок может

— убить роботов на полях, прилегающих к его собственному;

— переместиться на одно поле в любом направлении, при условии, что он не попадет в расщелину, в результате чего он погиб бы. Он не должен также перемещаться в клетку, помеченную Р, так как там он был бы уничтожен роботом. Если это перемещение приводит его к полю +, то он выигрывает.

Вот что сделал я для реализации этого. Игрок сначала говорит, каких роботов он хочет разрушить, а затем — куда он хочет пойти. Если он отвечает

−Л, −В, НЛ

это означает, что должен быть разрушен робот слева (на соседнем поле), как и робот, находящийся на соседнем поле над ним, после чего он передвинется на поле, расположенное ниже и левее.

Каждый раз, прочитав ответ, компьютер вычисляет новое состояние игры и показывает его. Число роботов, которых игрок может разрушить, ограничено, компьютер следит за ним и в каждое мгновение может сообщить.

После этого роботы переместятся, каждый на одну клетку, все равно в какую сторону (по горизонтали, по вертикали или по диагонали). Если при этом робот оказывается на доле 0, то он уничтожается. Если два робота сталкиваются при движении, то один из них уничтожается. Кроме того, роботы случайным образом добавляются в четырех углах игрового поля. Это нужно делать для то- го( чтобы число роботов в игре оставалось более или менее постоянным.

В случае, изображенном на рис. 6, игрок может остаться неподвижным. Тогда робот, расположенный над игроком в том же столбце, уничтожается в западне, расположенной непосредственно ниже, но робот, расположенный левее и ниже игрока, приблизится к игроку, и последнему придется разрушить его на следующем ходе. Игрок может также начать с хода влево, но тогда два робота приблизятся к нему, и ему придется разрушить их на следующем ходе.

Игра оказывается более или менее трудной в зависимости от соотношения между числом препятствий и числом роботов. Я взял прямоугольник с 11 строками и 18 столбцами (число строк нечетно по причине особой роля, которую играет среднее поле), с 30 расщелинами и 20 роботами. Игрок имеет право разрушить 12 роботов. В начале игры игроку, как правило, трудно выйти из своего начального положения, потому что он находится поблизости от двух правых углов, из которых появляется немало свежих роботов. Когда же ему удается удалиться от правого края, выходящие из углов роботы его меньше стесняют и большая их часть падает в расщелины. Трудности возобновляются при приближении к левому краю. Именно поэтому нужно избегать растраты боеприпасов в начале партии. Попытайтесь, и вы увидите, что это требует немалой ловкости…

* Игра 11. Формула 1.

Задумывались ли вы когда-нибудь над тем, что переживает водитель, мчащийся на огромной скорости по извилистой дороге, обгоняя попутные машины и уклоняясь от встречных? Конечно, вы не преобразуете ваш компьютер в быстро мчащийся автомобиль, и с помощью используемых нами графических средств мы не сможем создать впечатление движения по расстилающейся перед вами дороге. Так как, наконец, я полагаю, что у вас нет средств управления вашим компьютером в реальном времени (этих средств нет не только у меня, но и в оборудовании учебных заведений), поэтому перед любым вашим действием вы сможете размышлять столько времени, сколько вам захочется, а это совсем не так в случае водителя на дороге. Но попытайтесь-ка в этой игре реагировать быстро и вы увидите, что эффект не так уж плох, несмотря на элементарность средств…

Автострада выводится на экран в виде последовательности строк, на которых поставлены точки, нули и звездочка. Точки реализуют 4 полосы движения и представляют свободные места. Выше транспортное средство пред- ставимо звездочкой. Нули суть неподвижные препятствия (скажем, что-то тяжеловесное и очень медлительное). Типичная ситуация изображена на рис. 7. Вы находитесь перед участком дороги (я выбрал 13 строк. Это дает мне хорошие результаты. Но вы можете взять больше, если вам позволяет ваш экран; это увеличивает возможности предвидения. Вы можете взять и меньше, что заставит вести машину в еще более стесненных условиях…).

У вас есть некоторая скорость, которая не выводится на экран, но вы можете ее узнать. В начале игры решается, фиксируется ли она сразу на всю игру (я выбрал 4) или предлагается вами. Когда вы решаете — ускоряете ли вы движение или замедляете его — вы можете узнать на каждом ходе, какова она. Но я не считаю уместным заставить компьютер сообщать ее постоянно — это слишком многое облегчает водителю. Увидите сами.

Компьютер требует от вас, что вы собираетесь делать: ускорять, замедлять, повернуть правее или повернуть левее. Попарно эти возможности взаимоисключающие, но вы можете одновременно ускорить движение и взять вправо или замедлить и взять влево. Вы можете также не менять ни вашу скорость, ни направление вашего движения.

Если вы ускоряете движение, то ваша скорость увеличивается на одну единицу. Если вы замедляете движение, то скорость уменьшается на единицу. Если вы таким образом добираетесь до нуля, то вы рассматриваетесь как проигравший партию: вы не имеете права останавливаться…

Предположим сначала, что вы не меняете направления движения. Ваша машина спускается по вертикали на число строк, равное вашей скорости. Это может привести к тому, что вы пересечете поле, обозначенное 0. Тогда вы сталкиваетесь с грузовиком, вы пропали. Это может также привести вас к тому, что вы попадаете на не обозначенное поле. Вы покинули дорогу. Это — тяжелый несчастный случай. Вы пропали. Так, на рис. 8, если ваша скорость превосходит 2, то вы сталкиваетесь с грузовиком. Если бы вы исходили из крайнего левого поля того же ряда и ваша скорость превосходила бы 5, то вы покинули бы дорогу (внимание: вы пропали с того момента, как вы достигли нуля или не обозначенного поля. Оставшаяся часть вашей траектории движения не рассматривается).

Теперь, если вы меняете направление движения, двигаясь, например, вправо, то ваша машина продвигается по диагонали из исходного ряда вправо до следующей строки, а затем движение продолжается дальше в том столбце, в котором оказывается машина. Понятие «вправо» двусмысленно: вы можете расширить его до «вправо на фигуре» или «вправо по направлению движения». Это не так уж важно, выберите тот смысл, который вы пожелаете. Если это вас шокирует, переверните рисунок и заставьте машину подниматься; тогда «направо» будет значить «направо на экране» во всех случаях. Но это немного усложняет программу, и я так не делаю.

Если вы повернете направо в случае, изображенном на рис. 8, то какова бы ни была ваша скорость, вы сразу же сталкиваетесь с грузовиком. Если вы повернете налево, то вы избегаете грузовиков, но ваша скорость не должна превосходить пяти.

Когда вы сообщили все ваши команды, компьютер показывает положение звездочки на последовательных строчках, чтобы материализовать ваше движение. Если вы оказываетесь на поле, не помеченном точкой, то все останавливается, вы пропали. В противном случае через некоторое время — время ожидания, дающее вам возможность лучше рассмотреть пройденное вами, вся фигура поднимается, чтобы возвратить вашу машину на верхнюю строку, и на экране появляется новый кусок дороги. Таким образом, вы можете обнаружить, что вы едете слишком быстро и что дорога резко поворачивает или что попарно гуськом идут по два тяжелых грузовика, которые блокируют две полосы движения. Вы можете затормозить, но только на одну единицу. Придется рисковать…

Для того чтобы игра не продолжалась бесконечно, вы должны условиться о числе линий, которые нужно пересечь (например 100). Если вы достигли этого, компьютер прославляет вас так, как вы того заслуживаете, и указывает вашу среднюю скорость.

Эту игру программировать не очень трудно, если не считать того, что нужно оказаться способным корректно дозировать число грузовиков, и что нельзя позволять дороге часто делать зигзаги, а также выходить за пределы экрана. Но здесь нет ничего, с чем вы не могли бы справиться.

Собственно игра оказывается гораздо труднее, чем можно было себе представить. Вы, конечно, можете затормозить до скорости 1. Вы оказались на краю. Но ничего смешного нет. Вы можете оказаться в самом рискованном положении, вы терпите удар за ударом. Благодаря воспроизводимым непредсказуемым последовательностям вы можете много раз возобновлять один и тот же пробег. Впрочем, здесь бывает трудно вспомнить, что же происходит на шестидесятом километре… Вы можете также попробовать маршрут, а затем предложить его вашим друзьям. И если вы на их глазах вылетели с трассы, но вовсе не факт, что они смогут на ней удержаться. Итак, желаю успеха!

?** Игра 12. Твоя песенка спета, любопытный!

Идея не нова, да и реализация поступила в рыночную продажу. Но в этой игре возникают некоторые маленькие задачи по программированию, И я предлагаю вам красивый план их реализации.. К тому же это позволит ввести вас в игры с числами.

Вы знаете телевизионную игру: вытащить случайным образом 6 шашек среди 24f образованных следующим образом:

двойной набор из 10 шашек с числами от 1 до 10;

четыре шашки с числами 25, 50, 75, 100.

Случайным образом выбирается трехзначное целое число (первая цифра которого — не нуль, так что оно содержится между 100 и 999, включая границы). Задача состоит в том, чтобы менее чем за 45 с обнаружить последовательность операций, использующих только значения шести выбранных шашек, причем каждую не более одного раза, и соединить их знаками + − × / (целочисленное деление разрешается только в тех случаях, когда оно выполняется нацело, без остатка).

Вот пример, который я получил с помощью своей программы.

Шашки: 4 4 7 8 9 100

Число, которое нужно получить: 380

В течение 45 с, которые я выделил своему компьютеру, я получил следующее решение:

4 × 100 = 400

9 + 8 = 17

7 + 17 = 24

24 − 4 = 20

400 − 20 = 380

Это решение использует 6 шашек. Компьютер сообщает еще через 45 с:

4 × 9 = 36

4 + 36 = 40

7 × 40 = 280

280 + 100 = 380

Это решение не использует шашки 8.

Не пытайтесь сделать эту программу, следуя методу игры: вытащить случайным образом 6 шашек, вытащить случайным образом число, которое нужно получить, сообщить и то, и другое и в продолжение следующих 45 в искать нужную комбинацию. У вас нет никаких шансов, чтобы это произошло (см. Головоломку 28). Действуйте лучше следующим образом.

Выберите случайным образом 6 шашек и их комбинацию. Если результат не лежит в промежутке от 100 до 999, — повторите выбор. Если результат допустим, то выведите сообщение, какие 6 шашек участвуют, расположив их, например, в возрастающем порядке, чтобы не было понятно, в каком порядке они были использованы; сообщите искомое число, затем сообщите оставшиеся секунды и, когда 45 с протекут, сообщите результат. Здесь есть неудобство: всегда есть хотя бы одно точное решение. И при том, что не приходится особенно обольщаться, то, что вы достигнете с его помощью, вы, может быть, сможете сделать по-другому только приближенно.

Внимание: случайным образом выбирать комбинацию на самом деле вовсе не всегда так просто, как в приведенном примере. Не забывайте, что вы можете использовать и не все шашки. Найдите способ получать ответ. Я не вполне удовлетворен своим собственным. Я предпочел бы знать и другие способы это сделать…

?** Игра 13. Две лисы и 20 кур.

Когда я был молод, мы играли в эту игру на свежем воздухе, используя маленькие булыжники в качестве кур и два булыжника побольше для лис. Мы расчерчивали эту игру мелом на асфальте или палкой на утрамбованной земле.

Вот как я представляю эту игру на экране своего компьютера. Буквы представляют кур, звездочки — две лисы. Куры могут перемещаться на один шаг вверх, влево или вправо, но не назад и не по диагонали. Лисы также могут перемещаться только на один шаг, но также и вверх — как и вниз, влево и вправо. Лиса может съесть курицу — как в игре в шашки: если в горизонтальном или вертикальном направлении за курицей на один шаг следует свободное поле, то лиса перепрыгивает через курицу на свободное поле и берет ее. При этом трофеи складываются. На рис. 9 одна лиса может съесть курицу b, тогда как вторая лиса может съесть за один ход кур e и f. Лисы всегда обязаны есть и, когда у них есть выбор — как на рис. 9, — они обязаны осуществить наиболее длинное поедание. Если два приема пищи имеют одинаковую длину, осуществляется один из них — по выбору лисы.

В запрограммированной версии компьютер играет за лис. Вы перемещаете кур. Партнеры играют по очереди, причем куры начинают. Они выигрывают партию, если девяти из них удается занять 9 полей, образующих верхний квадрат игры (квадрат, нижние углы которого на рис. 10 занимают лисы). Начальное положение кур и лис изображено на рис. 10. Куры выигрывают также, если им удается заблокировать лис.

Лисы выигрывают, если им удается съесть 12 кур, так как тогда оставшихся кур недостаточно, чтобы занять 9 верхних полей.

Может показаться удивительным, что я отношу эту игру к категории игр без стратегии. Как вы собираетесь перемещать лис по вашей программе для компьютера? Действительно, возможностей слишком мало, и едва ли стоит говорить о стратегии. Нужно, чтобы при каждом ходе программа искала наиболее длинный среди всех возможных путь поедания для лис и осуществляла его, если он единствен. Если существуют два таких пути, то один из них нужно выбрать. Если их нет совсем, то способ действия состоит в том, чтобы посмотреть, позволит ли какое-нибудь перемещение лисы поставить ее в состояние возможного поедания. Если такой ход есть, то почему бы его не сделать, это заставит кур реагировать. Если и такого угрожающего хода нет, то остается мало возможностей выбора. Я был поражен, увидев, что если выбрасывать ходы случайным образом вместо того, чтобы осуществлять их выбор, то результат будет не намного хуже… Но, конечно, не так уж трудно придумать что-нибудь получше. Единственная настоящая трудность программирования — определение наиболее длинного пути поедания.

?** Игра 14. Одна лиса и 13 кур.

Это — вариант предыдущей игры. Та же конфигурация, но только одна лиса и 13 кур. Та же задача: 9 кур должны занять верхний квадрат. Лиса обязана есть, и притом по наиболее длинному пути.

В отличие от предыдущей игры лиса и куры могут также перемещаться по диагонали, но куры не могут двигаться вниз. Линии на рис. 11 указывают на возможные перемещения.

Программирование этой игры сравнимо с программированием предыдущей. Я попытался быть немного более хитрым при определении перемещений лисы: так как здесь меньше того, за чем нужно следить, то можно израсходовать немного больше времени, чтобы заняться единственной лисой.

В результате получилась более хитрая игра. В варианте с двумя лисами курам довольно легко удается блокировать лис и, таким образом, выиграть. В версии с одной- единственной лисой увеличивается богатство возможных перемещений, и блокировать лису трудно. Можно отдать не более четырех кур и не так-то легко пожертвовать их так, чтобы отправить лису на другой край, в то время как остальные куры заполняют курятник.

Привыкнув к игре с двумя лисами, я вначале никак не мог приспособиться к этой игре, особенно к манере лисы ходить по диагонали» Но это не страшно. С того момента, как вы полностью ухватите способ движения (и, в частности, возможность перейти из h в b и из j в f на рис. 11), эта программа даст вам настоящую возможность играть: вы можете применить ту или иную стратегию игры на выигрыш против машины, которая такой стратегией не очень-то обладает…

Игра 15. Игра Доминика.

Уж здесь-то я могу ручаться, что это игра для начинающих. Ее для своего малюсенького микрокомпьютера придумал мой племянник Доминик. Она напоминает «плату за страх» (игра 9). Начальное положение игры — то же (рис. 4). Доминик взял прямоугольник поменьше и уменьшил число препятствий. Для начала он поставил препятствия на определенные места.

Правила игры изменены. Убийцы не вооружены огнестрельным оружием, у них — только ножи. Они не могут добраться до игрока иначе, чем достигнув занимаемого им поля. Игрок перемещается на 1 шаг в любом направлении (по горизонтали, по вертикали, по диагонали) с условием перемещаться на свободное поле. Убийцы на своем ходе приближаются к игроку на один шаг — обязательно на свободное поле — в любом направлении.

Игра осталась очень интересной. Проблема нахождения игрока и убийцы на смежных линиях больше не стоит. Если убийца оказывается рядом с игроком в каком-либо направлении, он его хватает на следующем ходе, если игрок не удаляется от него при своем ходе…