«Мы законодатели Вселенной; возможно даже, что опыт не дает нам ничего, кроме созданного нами, и что сам материальный мир есть величайшее из наших математических творений».

Дж. У. Н. Салливан. Аспекты науки

Рис. 29. Электронная модель преобразования Пуанкаре — Перельмана

В ноябре 2002 года математический мир облетела сенсационная новость: некий малоизвестный российский математик выложил на общедоступном интернет-сервере доказательство гипотезы Пуанкаре! Тут надо заметить, что, подобно любому законченному художественному или музыкальному произведению, доказательство математической теоремы, тем более такого уровня, как теорема Пуанкаре, должно иметь совершенно особую логику, форму и концепцию. Решение здесь обычно строится на формулировке ряда аксиом как общепризнанных утверждений.

-77-

Затем начинается хитроумная вязь математических выкладок, логика которых приводит к решающему выводу, за которым и следует конечный результат. Самое главное — не ошибиться в нанизывании звеньев логической цепочки доказательств, ведь даже незначительная неточность тут же бракует итоговый результат.

Почему же столько критических замечаний вызвала именно форма ознакомления с результатами исследований российского математика?

Дело в том, что интернет-издания, как правило, не рецензируются, в том числе и электронные архивы. Между тем печатные научные издания придают независимому рецензированию публикуемых материалов очень большое значение, считая, что только экспертные оценки признанных профессионалов могут показать корректность и оригинальность представленных материалов. Заметим, что эта общепризнанная норма научных публикаций часто оказывалась под огнем критики. Например, Эйнштейн принципиально не публиковался в рецензируемых изданиях.

Итак, вернемся в 1992 год, когда молодой, но уже довольно многообещающий сотрудник Математического института им. В. А. Стеклова Григорий Перельман попал на лекцию светила топологии Ричарда Гамильтона. Американский математик рассказывал о потоках Риччи — новом инструменте для изучения гипотезы геометризации Терстона — факта, из которого гипотеза Пуанкаре получалась как простое следствие. Эти потоки, построенные в некотором смысле по аналогии с уравнениями теплопереноса, заставляли поверхности со временем деформироваться примерно так же, как мы деформировали двумерные поверхности. Оказалось, что в некоторых случаях результатом такой деформации оказывался объект, структуру которого легко понять. Основная трудность заключалась в том, что во время деформации возникали особенности с бесконечной кривизной, аналогичные в некотором смысле черным дырам в астрофизике.

-78-

Рис. 30. Односвязное двумерное многообразие Пуанкаре

«С точки зрения тополога не существует разницы между бубликом и кофейной кружкой с ручкой. Оба эти объекта имеют дырку и могут быть трансформированы друг в друга без нарушения целостности. Для описания этого абстрактного топологического пространства Пуанкаре использовал слово "многообразие" (manifold). Простейшее двумерное многообразие — поверхность футбольного мяча, которая для тополога является сферой, даже если ее растянуть или скомкать. Доказательством того, что объект представляет собой двумерное многообразие (так называемую two-sphere), является то, что объект — односвязный (simply connected), то есть в нем нет дыр. В отличие от футбольного мяча бублик не является сферой. Если вы накинете лассо на футбольный мяч и начнете его затягивать, в результате вам удастся стянуть узел лассо в точку, при этом лассо будет все время находиться на поверхности мяча. Если вы завяжете лассо вокруг дужки бублика, стянуть его в точку, не разрушая целостности бублика, вам не удастся».

Сильвия Насер, Дэвид Грубер. Многообразная судьба. Легендарная проблема и битва вокруг ее решения

-79-

Рис. 31. Преобразования двумерных многообразий (современное компьютерное моделирование)

Свойства двумерных многообразий были хорошо известны уже в середине XIX века, однако оставалось неясным, справедливо ли для трех измерений то, что истинно в случае двух. Пуанкаре предположил, что все замкнутые односвязные трехмерные многообразия (финитные многообразия без дырок) являются сферами. Эта гипотеза имела особенное значение для ученых, исследующих самое большое трехмерное многообразие — нашу Вселенную. Математическое доказательство этой гипотезы было, тем не менее, совсем не легким. Большинство попыток привело исследователей в тупик, но некоторые послужили источником важных математических открытий, таких как лемма Дена, теорема сферы и теорема о петле, ставших базовыми теоремами современной топологии.

Рис. 32. Замкнутое односвязное трехмерное пространство своеобразно иллюстрирует сфера Эшера

Гипотезу Пуанкаре можно было бы сформулировать еще так: любое замкнутое односвязное трехмерное пространство гомео-

-80-

морфно трехмерной сфере или, иначе говоря, все трехмерные поверхности в четырехмерном пространстве, гомотопически эквивалентные сфере, гомеоморфны ей. Для пояснения этой задачи часто используют наглядный пример: если обмотать яблоко резиновой лентой, то, в принципе, стягивая ленту, можно сжать яблоко в точку. Если же обмотать такой же лентой бублик, то в точку его сжать нельзя без разрыва или бублика, или резины. В таком контексте яблоко называют односвязной фигурой, бублик же не односвязен. Почти сто лет назад Пуанкаре установил, что двумерная сфера односвязная, и предположил, что трехмерная сфера тоже односвязна. Говоря простыми словами, если трехмерная поверхность в чем-то похожа на сферу, то, если ее расправить, она может стать только сферой и ничем иным. Доказать эту гипотезу не могли лучшие математики мира.

Надо вспомнить, что в феноменальном интеллектуальном забеге на «математический приз тысячелетия» участвовали и другие выдающиеся личности. Так, одним из них был видный математик и физик-теоретик китайского происхождения Шин-Тун Яу, которого тоже очень интересовали исследования Гамильтона потоков Риччи. Яу и Гамильтон познакомились в 1970-х годах и вскоре стали близкими друзьями, несмотря на разницу в темпераменте и воспитании.

Рис. 33. Ричард Гамильтон, профессор математики Колумбийского университета (США)

«Гамильтон, сын врача из Цинциннати, опровергал сложившийся стереотип математика как засушенного "ботаника". Дерзкий и непочтительный человек, он ездил верхом, занимался виндсерфингом и менял подружек как перчатки. В его

-81-

жизни математика занимала место еще одного хобби. К сорока девяти годам у него сложилась репутация превосходного лектора, но количество его опубликованных работ было относительно невелико, если не считать базовых статей о потоках Риччи; кроме того, у него практически не было учеников. Перельман прочел статьи Гамильтона, после чего отправился послушать его лекцию в ИПИ. После лекции Перельман поборол свою застенчивость и поговорил с Гамильтоном.

Сильвия Насер, Дэвид Грубер. Многообразная судьба. Легендарная проблема и битва вокруг ее решения

"Мне было очень важно расспросить его кое о чем, — вспоминал Перельман. — Он улыбался и был очень со мной терпелив. Он даже рассказал мне пару вещей, которые были им опубликованы только несколько лет спустя. Он, не задумываясь, делился со мной. Мне очень понравились его открытость и щедрость. Могу сказать, что в этом Гамильтон был не похож на большинство других математиков".

"Я работал над разными темами, хотя время от времени я мысленно возвращался к потокам Риччи, — добавил Перельман. — Не нужно быть великим математиком, чтобы увидеть, что потоки Риччи могут оказаться полезными в решении проблемы геометризации. Я чувствовал, что мне не хватает знаний. Я продолжал задавать вопросы…"

В 1996 году он написал Гамильтону длинное письмо, обозначив в нем свою идею — с надеждой на сотрудничество. "Он не ответил, — сказал Григорий. — И я решил работать один"».

Между тем после лекционного турне по американским университетам Перельман вернулся в Россию, где начал трудиться над решением проблемы особенностей потоков Риччи и доказательством гипотезы геометризации (а вовсе не над гипотезой Пуанкаре) втайне от всех. Решая уравнение потока Риччи (математически это дифференциальное уравнение в частных производных), Григорий Яковлевич получил очень интересные результаты, позволяющие деформировать риманову метрику на многообразии. Однако немного позже он получил довольно неприятный результат, заключающийся в том, что в процессе деформации возможно образование сингулярностей — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности. «Сингулярные решения» очень не любят физи-

-82-

ки, обоснованно считая, что их математические модели просто перестают работать в данных точках и ту же деформацию невозможно продолжить. Первый шаг в «войне с сингулярносгями» состоит в их классификации в трехмерном ориентированном случае. Затем при подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею», а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой, — после чего продолжают деформацию.

Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме. Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией».

Рис. 34. Планетарная поверхность как аналог двумерной сферы — одного из основных элементов доказательства теоремы Пуанкаре — Перельмана

Исходя из общепризнанных математических стандартов (да и общих научных), решение проблемы Пуанкаре, предложенное Перельманом, выглядело достаточно необычно. Его форма была конспективно краткой и в то же время фантастически емкой, логика построений поражала филигранной точностью математических высказываний, а сами они были до предела сжаты. Более того, доказательство не имело прямых упоминаний гипотезы Пуанкаре и содержало массу результатов, не имевших отношения к основной теме. Все это вызвало

-83-

в математическом мире шквал комментариев, многие из которых, особенно со стороны китайской математической школы, трудно было назвать объективными. Уже несколько лет спустя анализ доказательства Перельмана, которое занимало всего лишь десятки страниц, насчитывал стостраничные тома, а общее количество оценок и комментариев не уместилось бы и в тысячестраничном фолианте. Между тем различные команды экспертов (надо заметить, что лишь немногие математики имели достаточный уровень для оценки работ Перельмана) раз за разом подтверждали правильность доказательства, предложенного российским гением, при этом не было найдено ни одной погрешности логических построений. В математическом сообществе постепенно зрело взвешенное мнение: Григорию Яковлевичу Перельману действительно удалось решить проблему Пуанкаре и теперь его доказательство вполне можно называть теоремой Пуанкаре — Перельмана.

В ноябре 2002 года Григорий Яковлевич Перельман закончил выкладывать доказательство гипотезы Пуанкаре в Интернете на сайте так называемого электронного архива, чем он занимался на протяжении восьми месяцев, опубликовав три оригинальные работы.

Рис. 35. Топологические метаморфозы (по мотивам М. Эшера)

-84-

стр. отсутствует

-85-

который в эпоху Ферма разработан не был. Поэтому усилия математиков были направлены не на решение этого частного случая, а на построение нового математического подхода, который способен справляться с такими задачами.

Рис. 36. Бесконечность топологической эволюции

«В 1995 году Гамильтон опубликовал статью, в которой обсуждал некоторые идеи по решению задачи Пуанкаре. Прочитав эту статью, Перельман понял, что Гамильтон нисколько не преуспел в преодолении главного препятствия — решении проблемы "перешейков" и "сигар". "Сначала 1992 года он, похоже, не продвинулся ни на йоту, — рассказал нам Перельман. — Возможно, он застрял еще раньше". Тем не менее Перельману казалось, что он знает, как обойти этот камень преткновения».

Сильвия Насер, Дэвид Грубер. Многообразная судьба. Легендарная проблема и битва вокруг ее решения

Суть подхода состоит в том, что для геометрических объектов можно определить некоторое уравнение «плавной эволюции», похожее на уравнение ренормализационнои группы в теоретической физике. Исходная поверхность в ходе этой эволюции будет деформироваться и, как показал Перельман,

-86-

в конце концов плавно перейдет именно в сферу. Сила этого подхода состоит в том, что, минуя все промежуточные моменты, можно сразу заглянуть в бесконечность, в самый конец эволюции, и обнаружить там сферу.

Гипотеза Пуанкаре считалась одной из величайших математических загадок, а ее решение — важнейшим достижением в математической науке: оно моментально продвинет вперед исследования проблем физико-математических основ Мироздания. Виднейшие умы планеты прогнозировали ее решение лишь через несколько десятилетий, а Институт математики Клэя в Кембридже, штат Массачусетс, внес проблему Пуанкаре в число семи наиболее интересных нерешенных математических задач тысячелетия, за разгадку каждой из которых была обещана премия в один миллион долларов.

-87-