Человечество использовало числа с первых дней своей истории. Даже в языке некоторых австралийских и африканских племен, сохранивших первобытный образ жизни, существуют слова для обозначения чисел от одного до пяти, а для всех чисел больше пяти используется слово «много». Каждая культура создает присущие только ей способы выражения мыслей (цифры и буквы, слова и числа), согласно своему образу жизни, и возможно, что современным первобытным племенам просто не нужно говорить о величинах больше пяти. Сегодня эти племена живут так, словно и не прошло нескольких тысяч лет цивилизационного развития, и точно так же выполняют расчеты.

Системы счисления. Необходимость в счете

Для обозначения чисел люди используют слова и цифры: в устной речи числовые величины выражаются с помощью слов, а на письме для обозначения чисел и операций с ними применяются цифры. В начале своей истории люди охотились, занимались собирательством и жили там, где в изобилии водилась дичь и росли плоды. Когда по какой-то причине источники пропитания иссякали, племя переселялось в другое место.

В этот период числа были практически не нужны, и длился он намного больше, чем вся последующая, «цифровая» эпоха.

Пытаясь получить постоянные источники пищи, люди постепенно начали одомашнивать животных, а позже — обрабатывать землю. Произошло это приблизительно 11000 лет назад, и в то время население Земли составляло около 8 миллионов человек. С этого момента числа начали использоваться чаще, и возникали ситуации, когда нужно было подсчитать, записать и выразить словами относительно большие величины. Скотовод должен был рассказать другим членам общины, сколько у него овец и сколько их было в прошлом году. Людям нужно было знать количество дней в году, чтобы определять, когда домашние животные дадут приплод, когда нужно сеять и собирать урожай. С течением времени потребовались подсчеты, сколько дани следует платить жрецам, а сами жрецы должны были записывать, кто заплатил дань, а кто — нет. В этих и многих других ситуациях необходимо было как-то выражать и записывать числовые величины.

Чтобы упростить запись, человек изобрел специальные знаки — цифры. В западной цивилизации сегодня используется десять цифр — всем известные 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 И 9.

А как подсчитывали овец доисторические пастухи? К примеру, собрав животных в стадо, его разбивали на десятки, затем — на сотни (десять групп по десять), затем — на тысячи (десять групп по сто) и так подсчитывали количество. Основанием этих групп было число десять, поэтому мы говорим, что 10 является основанием системы счисления. Однако так действовали не все пастухи — у каждого народа была собственная система счисления, но все они имели одну общую черту: основание системы счисления неизменно делилось на пять. Так, в разных цивилизациях использовались системы счисления по основанию 5,10, 20 и 60.

Число 5 появилось, когда первобытный человек начал считать, используя пальцы рук, — точно так же, как это делают современные дети. Некоторые народы, например майя, считали на пальцах рук и ног, поэтому они использовали систему счисления по основанию 20.

Шумеры, египтяне, индийцы, китайцы и майя первыми упорядочили числа и стали использовать системы счисления. Шумеры, жившие на Ближнем Востоке, на территории современного Ирака, около 4000 года до н. э., выполняли сложные арифметические операции и геометрические расчеты, изучая положение звезд на небосводе.

Благодаря их расчетам появился первый календарь. Основанием системы счисления шумеров было число 60, а значения цифр зависели от их положения в записи: одними и теми же знаками обозначались единицы, десятки, группы по 20 и группы по 60.

Такая система счисления называется позиционной.

Шумеры писали палочками из заостренного тростника на глиняных табличках, затем обжигали их в печах, и в пустынях Ирака археологи нашли тысячи табличек с математическими расчетами.

Шумерская глиняная табличка, найденная в районе города Ур, на которой записаны площади земельных участков в городе Умма.

Элементы шумерской системы счисления сохранились до сих пор — они используются при измерении углов и времени. Так, час равен 60 минутам, минута — 60 секундам. Угол в один градус (речь идет о шестидесятеричных градусах, которые на калькуляторах обозначаются символами DEG) делится на 60 частей — минут (60'), каждая из которых делится на 60 секунд (60").

Древние египтяне писали на папирусе, изготовленном из стеблей растения, росшего в долине Нила. Египетские жрецы — ученые той эпохи — сделали множество открытий, связанных с числами. Например, чтобы определить, чему равна третья часть выращенной на поле пшеницы, которую нужно уплатить в качестве дани, или чтобы подсчитать, на сколько частей можно разделить испеченный хлеб, жрецы изобрели дробные числа, или дроби. В 1858 году шотландский египтолог Александер Генри Райнд купил старый папирус, на котором были записаны задачи о дробях и задачи по геометрии. По сути папирус Райн да — первый известный нам учебник математики: он был написан примерно в 1700 году до н. э., и благодаря ему мы можем оценить уровень развития науки в Древнем Египте.

Фрагмент так называемого папируса Райнда — библии египетских математиков.

Папирус имеет 33 сантиметра в ширину и более 5 метров в длину.

Китайцы, в свою очередь, записывали числа не в строки, а в столбцы. Они делили числа на «мужские» и «женские» (нечетные и четные соответственно). Одним из достижений китайских математиков является определение положительных и отрицательных чисел. В Китае в качестве цифр использовались иероглифы, то есть каждый иероглиф, кроме обычного, имел и числовое значение, и это вызывало немало трудностей. Кроме того, китайцы считали, что слова имеют магический смысл, зависящий от того, какое число они обозначают, и приписывали иероглифам всевозможные сверхъестественные свойства.

Майя, жившие в Центральной Америке за много лет до прибытия туда Колумба, также записывали числа в столбцы, а не в строки. Они использовали календарь, в котором месяц состоял из 20 дней, год — из 360 дней, и позиционную систему счисления по основанию 20, а их знаки для обозначения числовых величин были весьма похожи на китайские и индийские.

Майя и их предшественники, ольмеки, совершили множество открытий в математике и астрономии и примерно в 36 году до н. э. дали определение такому понятию, как ноль, или «ничто» (именно этим годом датировано первое письменное упоминание этого числа). Но поскольку 0 в системе счисления майя не мог использоваться в арифметических операциях, это помешало дальнейшему развитию вычислений.

Китайская система счисления : 8 раз по 10 = 80.

Греческая система счисления : (3 + 5) раз по 10 = 8 раз по 10 = 80.

Система счисления майя : 4 раза по 20 = 80.

Египетская система счисления : 8 раз по 10 = 80.

Римская система счисления : 50 + 10 + 10 + 10 = 80.

Система счисления шумеров : 60 + 10+10 = 80.

Одно и то же число, представленное в шести разных системах счисления.

Самыми умелыми математиками древнего мира были индийцы. В своих арифметических расчетах они использовали огромные величины и решали задачи, требующие невероятного воображения (в одной из них, например, упоминаются 1024 дерущиеся обезьяны).

VI веком н. э. датируются два великих открытия индийских математиков: они стали присваивать цифрам разные значения в зависимости от их позиции в записи (одна и та же цифра в зависимости от позиции обозначала единицы, десятки, сотни или тысячи) и начали обозначать особым знаком, 0, число элементов пустого множества (индийцы называли это число «шунья», арабы — «сефир»). Вначале 0 обозначался просто точкой, потом — точкой, расположенной внутри круга, а затем на смену этим обозначениям пришел круг.

Индийские цифры VI века н. э. записывались так же, как и современные: восемьдесят тысяч триста сорок три

= 80 343

= восемь десятков тысяч, ноль тысяч, три сотни, четыре десятка и три единицы

= 8∙10 4  + 0∙10 3 + 3∙10 2 + 4∙10 1 + 3∙10 0 .

Греки, подобно китайцам, использовали в качестве цифр буквы, однако их система счисления не была позиционной, что усложняло запись чисел и развитие алгоритмов вычислений. По этой причине древние греки не очень преуспели в науке о числах — арифметике, однако добились огромных успехов в геометрии.

Аристотель (384–322 годы до н. э.) понимал слово «экономия» как управление домашним хозяйством, а науку, которую мы сегодня называем экономикой, называл по-гречески хрематистикой. Он не занимался подробным анализом экономических вопросов и не изучал взаимосвязь между переменными, однако рассмотрел такие понятия, как стоимость, деньги и проценты.

Аристотель рассматривал экономику прежде всего с точки зрения этики и первым выделил различные методы управления предприятием и домашним хозяйством.

Он говорил о потребительской и меновой стоимости, деньгах и богатстве и проанализировал две функции денег: как меры стоимости и как средства обращения товаров. Отрицательное отношение Аристотеля к ростовщичеству сохранилось до Нового времени и легло в основу доктрины католической церкви. Ученый рассуждал и на другие экономические темы, например о частной собственности и рабстве, и его идеи оказали большое влияние на исламскую этику.

Римляне не внесли в греческую систему счисления существенных изменений.

Они использовали для обозначения чисел буквы М, D, C, L, X, V и I, а большие числа обозначали горизонтальной чертой над этими буквами. Естественно, римлян ожидали те же трудности, что и греков: нетрудно представить, насколько сложно записать в римской системе счисления действительно большое число, например миллион, или выполнить с числами различные действия.

Именно поэтому когда в VIII веке арабы через Андалусию принесли в Европу индийскую систему счисления, все, кто занимался расчетами, сразу же начали использовать индийские цифры, а римская система счисления окончательно отошла в прошлое.

* * *

ОСНОВАНИЯ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ И ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ

Сегодня почти не верится, что раньше люди вели все подсчеты только на пальцах рук, однако именно на этом основана современная система счисления, которую мы используем каждый день — позиционная десятичная. Однако эта система не универсальна — ее не используют самые быстрые и точные устройства для вычислений — компьютеры. Какие же системы счисления применялись в прошлом и какие — используются сейчас?

Десятичная система счисления

— Десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

— Выражение: 72 603 10 = 7∙10 4  + 2∙10 3 + 6∙10 2 + 0∙10 1 + 3∙10 0 .

Используется в повседневной жизни с древних времен.

Шестнадцатеричная система

— 16 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F.

— Выражение: 72 603 10  = 11В9В 16 = 1∙16 4 + 1∙16 3 + 11∙16 2 + 9∙16 1 + 11∙16 0 .

— Используется в электронике.

Двоичная система

— Две цифры: 0, 1.

— Выражение: 72 603 10 = 10001101110011011 2 = 1∙216 + 0∙215 + 0∙214 + 0∙213 + 1∙21 2 + 1∙ 2 11 + 0∙2 10 + 1∙2 9 + 1∙2 8 + 1∙2 7 + 0∙2 6 + 0∙2 5 + 1∙2 4 + 1∙2 3 + 0∙2 2  + 1∙2 1  + 1∙2 0 .

— Используется в компьютерной технике.

Двадцатеричная система счисления

∙ Двадцать цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F, G, Н, I, J.

∙ Выражение: 72 603 10 = 91А3 20  = 9 ∙ 20 3  + 1∙20 2 + 10∙20 1 + 3∙20 0 .

∙ Применялась майя и шумерами, для записи использовались особые знаки.

Напомним, что на протяжении веков в разных культурах бытовали совершенно разные единицы измерения величин (веса, длины, объемов, денег), которые довольно часто были тесно связаны с применяемой системой счисления. Однако если при измерении величин и записи чисел в качестве основания используется одно и то же число, то вычисления, без которых невозможна экономика, становятся гораздо проще. Например, в десятичной метрической системе для обозначения кратных единиц измерения применяются десятичные приставки, а для записи величин также используется система счисления по основанию 10 (пример: 2,547 метра — это 2 метра 5 дециметров 4 сантиметра и 7 миллиметров).

УМНОЖЕНИЕ В ДРЕВНОСТИ И В НАШИ ДНИ

Последовательности вычислений, направленные на получение результатов арифметических действий, называются алгоритмами. За всю историю человечества алгоритмы невероятно усложнялись и постепенно становились все более совершенными. В таблицах ниже представлены два алгоритма умножения на примере чисел 2409 и 94, которые использовались в разные эпохи.

Умножение 2409 х 94 согласно методу, который использовали древние египтяне (3600 год дон. э.)

2409 94

(1204 188)

(602 376)

301 752

(150 1504)

75 3008

37 6016

(18 12032)

9 24064

(4 48128)

(2 96256)

1 192512

= 94 + 752 + 3008 + 6016 + 24 064 + 192 512 = 226 446.

Первый множитель (2409) последовательно делится на два, пока результат деления не станет равен единице. Одновременно с этим второй множитель (94) столько же раз умножается на два. Результатом умножения является сумма чисел в правом столбце, которым соответствуют нечетные числа в левом столбце.

Умножение 2409 х 94 согласно методу, который использовался в компьютерах середины XX века

Выполняется умножение 4 на 9,90 на 9,4 на 0,90 на 0 и т. д. до умножения 90 на 2000. Результат умножения равен сумме промежуточных результатов, записанных в левой части таблицы.

* * *

Алгоритмы вычислений

Греки и римляне, как и доисторические пастухи, использовали для вычислений камешки или палочки. Цифры нужны были только для записи результатов. Чтобы не носить с собой постоянно мешочек с камнями, был изобретен абак — устройство для счета, которое до сих пор иногда используется для обучения детей основам арифметики.

Современная модель абака и представленное на нем число.

Каждый ряд абака соответствует позиции в записи числа. Если в каком-то ряду не сдвинут ни один шарик, это соответствует нулю, однако римляне в своей системе счисления не могли записать ноль. В римской системе число три миллиона двести восемьдесят четыре тысячи шестьсот пятьдесят семь записывалось так:

Однако в V веке н. э. индийцы уже использовали форму записи, очень похожую на современную запись 3284657. В VIII веке арабы, захватившие север Индии, заимствовали индийскую позиционную систему счисления и ноль. В Средние века они начали использовать отрицательные числа, перекрестное умножение и правило пропорции для решения задач следующего вида: «У Хусейна 22 динара, у Орнара — 19, у Халила — 7. Они сложили деньги вместе и заключили сделку, на которой заработали 12 динаров. Как нужно поделить прибыль?» В Коране также описываются сложные задачи о наследстве, которые легли в основу арабского права и подтолкнули развитие математических методов пропорционального деления наследства в зависимости от степени родства с умершим. Для решения подобных задач и уравнений была создана алгебра — от арабского «аль-джабр», что означает «восполнение». Тогда же были созданы первые алгоритмы — это слово происходит от имени известнейшего арабского математика Аль-Хорезми.

Итальянский ученый Леонардо Пизанский, известный как Фибоначчи («сын Боначчи»), в XIII веке совершил множество открытий в области арифметики и алгебры, которые получили дальнейшее развитие в эпоху Возрождения (XIV–XV века).

В своей «Книге абака» он изложил все знания, накопленные арабами, в том числе объяснил позиционную систему счисления и число ноль (который он называл zephyrum), а также алгоритмы действий с целыми и дробными числами. В «Книге абака» объясняются правило пропорции, способы вычисления квадратного корня числа и алгоритмы решения уравнений первой и второй степени. А самое известное открытие математика — числовой ряд, известный как последовательность Фибоначчи.

Элементарные действия. Арифметика и торговля

Первый трактат по арифметике в торговле был опубликован в Тревизо (Италия) в 1470 году, и автор его неизвестен. В течение XV века было издано около 30 книг на эту тему (из них 14 в Италии, 11 — в Германии). Во всех книгах описывалась арабская система счисления по основанию 10 и алгоритмы действий с отрицательными и положительными числами (так называемыми натуральными). В этих книгах также были описаны дробные числа и операции над ними, правило пропорции, прогрессии, алгоритмы решения прикладных задач торговли (например, расчет реальной стоимости товара при обмене), приводились примеры вычисления налогов и таможенных пошлин, решение задач о сплавах и о преобразованиях единиц измерения.

В это время и была сформирована тесная связь между экономикой, которая понималась как наука об управлении ограниченными ресурсами, и математикой — абстрактной наукой, основанной на правилах элементарной арифметики и логических умозаключениях. Эффективные методы сложения и вычитания чисел (которыми обозначались товары в обращении) легли в основу прогресса. Позднее, с развитием коммерции, возникла необходимость в таких же эффективных и простых алгоритмах умножения и деления.

* * *

СТОЛКНОВЕНИЕ АЛГОРИТМОВ

Средневековая наука в христианском мире ограничивалась переводом оригинальных арабских трудов и арабских изданий древнегреческих книг, в частности «Экономики» Аристотеля. За несколько лет до 1000 года монах Герберт Орильякский, будущий папа римский Сильвестр II, обучился у арабов Андалусии использованию цифр и позиционной системы счисления, а также усовершенствовал римский абак, в котором, тем не менее, по-прежнему не использовался ноль. И лишь в XII веке крестоносцы принесли из Иерусалима в Европу индо-арабские цифры, их систему счисления и ноль. Церковь в те годы препятствовала использованию арабских методов вычисления, объясняя их простоту проделками дьявола, и профессиональные вычислители вынуждены были использовать восточные алгоритмы втайне. И все же, несмотря на противодействие духовенства, с началом эпохи Возрождения арабские алгоритмы широко распространились в торговле.

* * *

Для решения этой задачи требовались новые числа, в частности десятичные дроби, с помощью которых можно было бы говорить о частях единиц длины, веса и объема, а также выражать соответствующую стоимость при купле, продаже и обмене. И тут экономике пришлось обратиться к прошлому, ведь впервые дробные числа упоминаются уже в древнеегипетских папирусах.

Важным применением дробей стало представление процентов как частей целого при вычислении скидок и процентного дохода. Позднее эти числа стали использоваться для представления и других дробей, со знаменателем, отличным от 10 и 100.

Эволюционный процесс завершился, когда дробные величины стали записывать в позиционной системе счисления по основанию 10, которую мы используем и сейчас.

36/100 = 3,6/10 = 36 % (процент) = 0,36 (десятичная дробь).

В эпоху Возрождения величина 78, 4/10, 5/100, 6/1000 записывалась как

78 + 4/10 + 5/100 + 6/1000 = 78,456.

Дробные числа используются в математике начиная с XVII века. Они получили название рациональных чисел и могут записываться двумя способами (в двух нотациях): в виде процентов и в виде десятичных дробей с запятой.

Рациональные числа могут иметь конечное (ограниченное) число десятичных знаков. Это происходит, когда результат деления можно определить точно, например, 34/64 = 0,53125.

Однако они могут иметь и бесконечное (неограниченное) число цифр после запятой, которые иногда неким образом повторяются, например 34/70 = 0,4857142857142857142857142857 …

В это же время появились банки, задачей которых было гарантировать безопасность денежного обращения при покупке и продаже товаров и услуг. Первыми банкирами стали средневековые ювелиры, которые чаще всего были иудеями или мусульманами. Церковь считала ростовщичество греховным, поэтому христианам было запрещено давать деньги в рост. Конечно, по прошествии некоторого времени к числу банкиров и ростовщиков присоединились и христиане, но об этом — позже.

«Меняла с женой»,  Квентин Массейс , 1514 год. Считается, что на этой картине отражен типичный для той эпохи конфликт между набожностью и стремлением к достатку: жена менялы откладывает молитвенник в сторону, чтобы посмотреть, как муж считает деньги.

* * *

ИЗОБРЕТЕНИЕ БУХГАЛТЕРСКОГО УЧЕТА

В 1494 году монах-францисканец Лука Пачоли изобрел метод, лежащий в основе современного бухгалтерского учета. Его идея о двойной записи стала поистине гениальной, а кроме того, она еще раз подтверждает, какую помощь математика оказала коммерции. Запись доходов и расходов перестала быть бессмысленной — между ними появились наглядные причинно-следственные связи.

Книга Пачоли «Сумма арифметики, геометрии, дробей, пропорций и пропорциональности» была опубликована в Венеции, в эпоху формирования новых политических и торговых отношений.

В этой книге популярно, простым языком описывается ведение дел до начала непосредственной купли-продажи товаров. Пачоли отмечает, что предприниматель должен подготовить полный перечень всей собственности (активов) и перечень обязательств перед третьими лицами (пассивов).

Активы должны группироваться по принципу ценности и мобильности (наличные деньги должны указываться первыми, имущество — последним), а пассивы — согласно срочности (краткосрочные и долгосрочные). Для соблюдения принципа двойной записи необходимо, чтобы все совершенные торговые операции имели причину, а каждая причина — следствие, что и должно быть отражено в равенстве разделов баланса.

Пачоли писал о бухгалтерии: «Все, что запишешь, будет числиться в твоих книгах как долг, и напротив, все, что извлечешь или получишь от нее, запишешь так, как если бы должник уплатил тебе часть долга». Он рассматривает склад товаров как должника при любых операциях и движении товаров по складу. Для записи операций Пачоли предложил вести четыре книги: inventario (книга с перечнем имущества и балансов), giornale (книга учета операций), cuaderno (главная бухгалтерская книга) и memoriale (в настоящее время не используется). Он также описывает важность ведения бухгалтерского учета в системе счетов и другие понятия бухгалтерии, так как они позволяют оценить рыночную ситуацию и определить, является ли торговое дело выгодным.

* * *

Бухгалтерский учет возник как следствие роста торговли, пережившей упадок в позднее Средневековье и эпоху Возрождения (XV–XVI века), и использовался для того, чтобы оценить оборот и величину доходов, размеры вложенного капитала и личного имущества предпринимателей. Чтобы начать новое дело, требовавшее больше средств, чем имелось у предпринимателя, ему необходимо было взять заем, предварительно точно определив его размеры.

Начиная с этого времени двойная бухгалтерская запись стала обязательной. Возникла необходимость и в применении отрицательных чисел, которые назывались «долговыми», или «абсурдными» числами. И действительно, в то время, когда основной целью человека было выжить и справиться с насущными проблемами, казалось, что отрицательные числа не имеют смысла. И хотя они были открыты в Индии еще в V веке, на Западе их начали использовать лишь в XVI столетии.

Операции с отрицательными числами также выполнялись с помощью абаков — эти числа обозначались табличками или шариками другого цвета. И хотя уже в XV веке торговцы для указания на излишки и недостатки товаров на складе использовали германские знаки + и —, отрицательные числа и в XVI веке по-прежнему назывались «ложными», а их повсеместное применение началось лишь в конце XVIII века.

Дополнить традиционную систему счисления отрицательными числами было очень важно, поскольку это упрощало бухгалтерские расчеты. Кроме того, использование отрицательных и рациональных чисел позволяло найти решение любого уравнения первой степени. Например, уравнение Р + 50 = 32 до введения отрицательных чисел не имело решений: Р + 50–50 = 32–50; Р = 32–50; Р = —18.

С появлением протестантизма в XVI веке лютеране и кальвинисты почувствовали себя свободными от запрета давать деньги в рост. Ростовщичество получило широкое распространение и способствовало накоплению капитала, появилась так называемая денежная этика. К этому времени относится и зарождение капитализма, когда деньги превратились практически в высшую жизненную ценность. Их получение перестало быть средством и стало целью, работать необходимо было так, чтобы как можно больше разбогатеть.

В соответствии с протестантской этикой богатому человеку уготовано спасение и обретение после смерти царства небесного. Набожность, благочестие и аскетизм, свойственные протестантам, достаточно хорошо сочетались с новыми капиталистическими ценностями, и многие церковные приходы становились центрами будущих капиталистических компаний.

Социолог Макс Вебер (на этой фотографии, сделанной в 1917 году, он изображен в центре) в 1904–1905 годах создал фундаментальный труд «Протестантская этика и дух капитализма», в котором выдвинул различные гипотезы, касающиеся взаимосвязи между лютеранской моралью и развитием капитализма.

* * *

ДОЛГОВЫЕ ЧИСЛА

Одно из первых определений отрицательного числа дал святой отец Тома Висенте Тоска в труде «Краткое изложение математики», изданном в 1709 году. В одной из задач в книге он с помощью понятий «имущество», «долг» и «выгода» привел пример использования капитала и пояснил смысл отрицательных величин, показав, что означает число, «меньшее, чем ничего». В одной из глав книги он объясняет: «Предположите, что у некоего человека нет никакого имущества, а его долг составляет 1000 эскудо. У другого человека также нет никакого имущества, но он никому ничего не должен. Безусловно, состояние первого меньше, чем второго, но у второго нет ничего, следовательно, у первого человека есть меньше, чем ничего. Если тому, кто не имеет ничего и должен 1000 эскудо, дать 1000 эскудо, чтобы он выплатил долг, его состояние увеличится. Однако после этого увеличения его состояние есть ничто, следовательно, до этого увеличения его состояние было меньше, чем ничего».

Стандартные системы мер

В XVIII веке, в эпоху Просвещения и революций, развитие коммерции дало толчок совершенствованию денежных систем. В 1791 году Национальное собрание Франции определило метр как одну десятимиллионную часть расстояния от Северного полюса до экватора на долготе Парижа и килограмм — как массу одного литра воды. Так была учреждена десятичная метрическая система — первая система мер и весов, и ее

появление упростило международный товарооборот.

Когда благодаря работам по измерению земного меридиана стало возможным точнее определить размеры Земли и когда свойства воды были изучены лучше, выяснилось, что единицы измерений расходятся с эталонами, определенными ранее.

В 1799 году для системы мер и весов были изготовлены эталоны метра и килограмма из платинового сплава. К этому же времени относится начало промышленной революции. Для нового оборудования было необходимо производить детали стандартных размеров, особенно болты и гайки, а для этого требовались высокоточные измерительные инструменты. В связи с этим пришлось найти другой способ для определения единиц длины и веса, не привязывая их к каким-либо естественным явлениям. С этого момента основой системы мер и весов стали сами эталоны, и такое положение сохранялось до 1960 года.

Огромным преимуществом новой системы было то, что кратные и дробные величины отличались в десять раз, в то время как раньше единицы мер и весов делились на три, двенадцать или шестнадцать частей в зависимости от самой единицы и страны ее происхождения, что усложняло арифметические расчеты в десятичной системе счисления.

Международное использование первой метрической системы было закреплено на Генеральной конференции по мерам и весам в 1889 году. Сто лет спустя, в 1983 году, эта система была преобразована в Международную систему единиц (СИ). В настоящее время примерно 95 % населения Земли живет в странах, где используется метрическая система и ее производные.

Математика и экономические теории

С XVI по XVIII век появились различные научные школы, которые поставили экономику на службу государству. Из-за этого экономическую науку стали называть политической экономией, а в ее рамках появился меркантилизм — доктрина, в соответствии с которой государство обогащается только тогда, когда продает за границу товаров больше, чем покупает из-за рубежа. Иными словами, требовалось поддерживать положительный торговый баланс, увеличивая таким образом государственные запасы драгоценных металлов. Главной заслугой сторонников этой доктрины стало создание количественной теории денег.

В XVIII веке физиократы рассматривали общественные институты сквозь призму «естественного порядка», по аналогии с телом человека. Они очень точно определили структуру экономической системы государства, что можно увидеть на примере «Экономической таблицы» французского экономиста Франсуа Кенэ, посвященной взаимосвязям отраслей экономики. «Экономические таблицы» стали прообразом современных таблиц межотраслевого баланса.

В 1776 году Адам Смит, который считается подлинным создателем политической экономии, опубликовал труд «Исследование о природе и причинах богатства народов». В этой книге были изложены новаторские идеи, касающиеся различий между потребительской и меновой стоимостью, разделение труда, то есть специализация при выполнении конкретных задач, в ней признавалось как способ снизить затраты на производство, предсказывались возможные конфликты между владельцами заводов и высокооплачиваемыми рабочими, накопление капитала считалось источником экономического роста, а рынок — наиболее эффективным механизмом распределения ресурсов. Словом, Смит выступал в защиту экономических свобод.

Карл Маркс, в свою очередь, утверждал, что источником стоимости является только труд. Этот тезис он подробно рассмотрел в своей книге «Капитал» (1864).

Маркс определил четыре разных формы стоимости: отдельную (для сравнения прямой и производственной стоимости), прямую (при ее определении учитывается только межотраслевая конкуренция), производственную (учитывается межотраслевая и внутриотраслевая конкуренция) и действительную (определяемую рынком). Однако Маркс не подвел под свою теорию какой-либо математической основы.

Адам Смит (слева) и  Карл Маркс — два мыслителя, давшие огромный толчок политической экономии, рассмотрев ее с совершенно разных позиций.

На протяжении XIX века вклад в развитие теории цен и стоимости внесли многие экономисты, например Давид Рикардо и Карл Маркс, однако только благодаря трудам более поздних исследователей, в частности Леона Вальраса, Пьеро Сраффа, Карла Менгера, Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна, эти идеи были изложены на языке математики, и родилась математическая экономика. Леон Вальрас критиковал модные в то время либеральные теории, считая, что они не в силах объяснить современные ему экономические проблемы. В «Элементах чистой политической экономии» (1874) он выразил несогласие с трудовой теорией стоимости и теорией ренты Давида Рикардо, а также подверг сомнению классические труды Адама Смита. Вместе с математиком Антуаном Курно Вальрас ввел в экономику математические расчеты.

В его модели цены предложения и спроса описывались посредством взаимосвязанных уравнений с тремя переменными: ценой, величиной спроса и величиной предложения. Требовалось вычислить значения двух неизвестных: стоимости и объема, так как при рыночном равновесии величина спроса должна равняться величине предложения. Вальрас был первым, кто описал общее экономическое равновесие, связав спрос и предложение, на языке математики.

Несмотря на столь важные открытия, идея о том, что для политической экономии вполне пригоден язык математики, с ее функциями, уравнениями и анализом бесконечно малых, вызвала серьезную критику со стороны других великих экономистов XIX столетия. Многие из них использовали исторический анализ и считали абсурдной саму идею — выражать человеческую предприимчивость на языке чисел и математических формул. Сходились с ними и сами математики, ссылавшиеся на то, что использование в экономике математических методов позволило получить весьма немногочисленные результаты. Итогом многолетнего сотрудничества экономистов и математиков стала лишь система уравнений, описывающих равновесие Вальраса.

Большой шаг вперед в изучении ценообразования сделал Пьеро Сраффа, ученик английского ученого Джона Мейнарда Кейнса. В своей книге «Производство товаров посредством товаров» он предложил следующее уравнение:

Р = S + В + R,

в котором уравновешены цена (Р) и переменные зарплата (S), прибыль (В) и рента (R).

Политическая арифметика, или Рождение статистики

В 1642 году молодой французский математик Блез Паскаль изобрел «Паскалину» — первую вычислительную машину с зубчатым механизмом. Машина могла складывать и вычитать любые числа, количество разрядов в которых не превышало восьми.

С помощью своего изобретения Паскаль хотел облегчить труд отца — налогового инспектора. Всего было изготовлено около пятидесяти «Паскалин».

Слева — «Паскалина», справа — вычислительная машина, изобретенная Лейбницем.

В 1694 году Готфрид Вильгельм Лейбниц на основе «Паскалины» создал машину, способную выполнять умножение и деление. Швейцарский математик Якоб Бернулли в 1705 году в книге «Искусство предположений» изложил зачатки теории вероятностей. Он показал, что с ростом числа наблюдений неопределенность уменьшается, и описал такой идеальный эксперимент: «В урне находится 3000 черных шариков и 2000 белых. Если мы будем извлекать шарики из урны, записывать их цвет и опускать их обратно в урну, то убедимся, что с ростом числа наблюдений соотношение белых и черных шариков будет все ближе к 2/3». Сегодня это утверждение известно как закон больших чисел — одна из основ математической статистики.

Антуан Лавуазье, создавший современную систему химических обозначений и формул, использовал свои знания в области вычислений и измерений в администрировании. Он участвовал в работе комиссии по десятичной метрической системе и в 1791 году создал «Краткое изложение различных работ по политической арифметике». Его труд решал насущные для Французской республики задачи, ведь в ту эпоху налоги взимались в зависимости от стоимости имущества, размеров обрабатываемой земли и поголовья скота.

Лавуазье попытался вычислить общую площадь всей обрабатываемой земли во Франции. Для этого он собрал данные о ежегодном потреблении пищи и алкоголя в городах и деревнях и подсчитал, сколько земли необходимо для производства всех этих продуктов. Благодаря Лавуазье известно, что в 1790 году во Франции насчитывалось 25 миллионов жителей, из которых восемь жили в городах, а еще восемь занимались виноградарством. Лавуазье призывал создать учреждение, которое регулярно собирало бы статистические данные о сельском хозяйстве, торговле, численности и составе населения. Ученый был так убежден в возможностях статистики, что полагал: скоро она заменит политическую экономию.

Другой работой, важной для появления статистики, стал «Опыт закона о народонаселении» Томаса Мальтуса. Этот труд, написанный в конце XVIII века, оказал огромное влияние на многих социологов и экономистов. Мальтус отмечал, что производство продуктов питания растет в арифметической прогрессии (1, 2, 3, 4, …), а численность населения — в геометрической (1, 2, 4, 8, …), при этом площадь земли, пригодной для возделывания, ограничена, и производительность труда на ней снижается. Так как население с определенной периодичностью удваивается, мир словно делится снова и снова пополам, и каждый раз для удовлетворения потребностей остается все меньше ресурсов. Наступит момент, когда их окажется недостаточно, и тогда возрастет смертность или же оплата труда установится на минимальном уровне, достаточном для выживания.

В 1799 году было опубликовано объемное «Статистическое описание Шотландии 1791–1799», в 21 томе которого сэр Джон Синклер собрал множество статистических данных, взятых из церковных книг, приводил годовые суммы доходов и расходов домохозяйств и виды деятельности, служившие источниками доходов.

К концу XIX века интерес к количественному измерению социальных и экономических процессов значительно возрос. Государственные учреждения, стремясь выработать эффективную политику, собирали статистические данные и проводили переписи населения. Математические модели позволили получать понятные выводы, пригодные для дальнейшего использования в сфере предпринимательства, политики и исследований.

Демографические таблицы: второе рождение статистики

В 1839 году врач Уильям Фарр с помощью методов статистики провел анализ британской системы здравоохранения. Он работал составителем отчетов в управлении актов регистрации Лондона и в 1864 году опубликовал документ «Таблицы английской жизни», в котором познакомил общество с таблицами, которые заполняют специалисты страховых обществ для расчета рисков и определения стоимости полисов. Основой для таблиц стали записи в книгах регистрации рождений и смертей, а также данные переписей. Таблицы составлялись с помощью сложных численных методов, и для выполнения соответствующих расчетов британское правительство приобрело механическую вычислительную машину с печатающим устройством, разработанную шведом Георгом Шутцем.

Механическая вычислительная машина, созданная Георгом Шутцем в 1856 году.

Фарр сотрудничал с Флоренс Найтингейл — медсестрой, которая видела в статистике инструмент, способный «улучшить условия жизни людей, подсказав правящим кругам наиболее удачные решения». Найтингейл разработала и использовала статистические диаграммы и графики, которые делали огромные таблицы с числами более понятными. Наконец, Фарр совместно с Адольфом Кетле, бельгийским математиком, поклонником статистики и учеником Лапласа, работал над переизданием книги «Социальная физика» (1835), в которой приводились накопленные за много лет разнообразные данные о населении Франции и проводился анализ взаимосвязей между статистическими переменными. Главным изобретением Фарра был так называемый средний человек, измеримые характеристики которого подвергались численному анализу. И хотя сегодня это понятие больше не используется, его можно считать прообразом современных средних величин.

В США решение провести перепись населения было принято на Конституционном Конвенте в Филадельфии в 1787 году, одновременно с принятием конституции.

Первая перепись состоялась в 1790 году, а затем они повторялись каждые десять лет. При проведении переписи 1890 года стало очевидным, что подсчитывать анкеты и составлять таблицы вручную невозможно — этот метод требовал слишком много времени для анализа данных и не позволял правительству принимать своевременные политические и экономические решения.

Чтобы найти выход из этой ситуации, был проведен конкурс на создание машины, которая позволила бы быстро и эффективно обрабатывать данные переписи.

Первое место заняла электрическая машина инженера Германа Холлерита, работающая на перфокартах: она подсчитывала количество отверстий, которыми обозначались значения статистических переменных, полученные при переписи. Отверстия в картах делал оператор на основе данных, зафиксированных в анкетах.

Для классификации и составления таблиц Холлерит сконструировал другие машины, и благодаря ему все расчеты для переписи 1890 года были проведены за два с половиной года — это на пять лет меньше, чем потребовалось при анализе данных переписи 1880 года. Холлерит создал компанию по производству машин для табулирования, классификации и перфорирования карт, имевшую огромный успех на рынке. В 1914 году компания Холлерита Tabulating Machine Company была преобразована в International Business Machines (IBM).

Слева направо и сверху вниз: Brunsviga  (1927), Mercedes Euklid (1935), ANITA  (1961) и персональный компьютер IBM  1980 года демонстрируют головокружительные темпы развития вычислительных машин в XX веке.

В период с 1900 по 1935 год на смену арифмометру Brunsviga пришла вычислительная машина Mercedes Euklid, выполнявшая четыре основные арифметические операции с точностью до 16 цифр. В 1960-е появились электромеханические машины и, наконец, электронные машины на полупроводниках — родоначальники современных компьютеров. В эти же годы появились первые языки программирования, а также программы для управления базами данных, например SAP и DB2, предназначенные для работы с огромными объемами данных, что необходимо крупным корпорациям и государственным структурам.