Определение умозаключения

§ 1. Некоторые истины устанавливаются прямо, без всяких рассуждений, путём простого усмотрения того, что показывает наблюдение, или того, что представляется очевидным для мысли. Таковы суждения: «сейчас небо пасмурно»; «эта книга стоит на полке»; «целое больше своей части» и т. д. Истинность подобных суждений не приходится доказывать, так как она очевидна.

Но очевидные утверждения составляют лишь небольшую часть всех истин. В огромном большинстве случаев истина не есть положение, прямо видное или само собой разумеющееся. Обычно для установления истины приходится произвести в каждом случае особое исследование: отчётливо поставить вопрос, принять во внимание другие, уже ранее установленные истины, собрать все необходимые для решения вопроса факты и наблюдения, поставить опыты, обдумать их результат, проверить на практике справедливость возникшей догадки и т. д.

Логическое мышление осуществляется и тогда, когда высказываются очевидные истины, и тогда, когда истины не очевидны, а добываются более сложным путём. В последнем случае логическое мышление принимает форму рассуждения. Рассуждением называется ряд суждений, которые все относятся к определённому предмету или вопросу и которые идут одно за другим таким образом, что из предшествующих суждений необходимо вытекают или следуют другие, а в результате получается ответ на поставленный вопрос. Что организм состоит из клеток, что площадь треугольника равняется половине произведения основания на высоту, что Пётр I был одним из величайших русских государственных деятелей — все эти и многие другие суждения не просто провозглашаются в качестве истин, но обосновываются при помощи особых рассуждений.

§ 2. Уже рассматривая суждение и различные формы преобразования суждений, мы видели, что суждение редко мыслится отдельно от других суждений. Чтобы правильно понять смысл данного суждения, нам часто приходится рассматривать не только одно это суждение, но также и другие суждения, с которыми оно связано отношением противоположности или подчинения.

Во множестве случаев мы даже не можем убедиться в истинности данного суждения до тех пор, пока мы не рассмотрим его отношения к другим суждениям. Предположим, например, что мы не знаем, какая связь существует между понятием «бамбуки» и понятием «растения, цветущие колосками». Цветут ли бамбуки так же, как цветут рожь, пшеница, или же формой соцветия бамбуков не являются колоски?

До тех пор, пока мы рассматриваем только отношение между понятием «бамбуки» и понятием «цветущие колосками», мы не можем ответить на поставленный вопрос и, следовательно, не можем сказать, в каком отношении находятся «бамбуки» к «цветущим колосками». Станем теперь поступать иначе. Рассмотрим, до того ещё как отвечать на поставленный вопрос, два другие суждения: «все бамбуки — злаки» и «все злаки цветут колосками». Предположим, что мы уже убедились ранее в истинности этих двух суждений. Но если нам известно, что все бамбуки — злаки и что все злаки цветут колосками, то можем ли мы сказать что-нибудь об отношении понятия «бамбуки» к понятию «цветущие колосками»? — Очевидно, можем. Основываясь на том, что все бамбуки — злаки и что все злаки цветут колосками, мы можем высказать суждение: «все бамбуки цветут колосками». Суждение это будет истинным. Но истинность этого суждения мы усмотрели не прямо. Из понятий «бамбуки» и «цветущие колосками» мы не могли сразу видеть, каким будет отношение между этими понятиями.

Отношение это, выраженное в суждении «все бамбуки цветут колосками», мы получили посредством умозаключения, или вывода. Связь между понятиями «бамбуки» и «цветущие колосками», не видную сразу или непосредственно, мы вывели, т. е. уяснили через отношение каждого из этих понятий к некоторому третьему понятию — к понятию «злаки». Именно поэтому нам для обоснования вывода понадобились два суждения. В одном из них мы рассмотрели отношение понятия «бамбуки» к понятию «злаки», в другом — отношение понятия «цветущие колосками» к тому же понятию «злаки». Это понятие «злаки» оказалось тем посредствующим, или третьим, понятием, при помощи которого нам удалось уяснить не видную до того связь между понятием «бамбуки» и понятием «цветущие колосками».

§ 3. Признав, что данные суждения истинны, мы должны признать истинными вытекающие из них суждения. То логическое действие, посредством которого обнаруживается истинность этих новых суждений, называется умозаключением. Иначе говоря, умозаключением называется форма мышления, состоящая в том, что истинность некоторого суждения выводится из истинности двух или нескольких других суждений.

Суждения, из которых можно получить вывод и из которых, раз они признаны истинными, с необходимостью следует какой-либо вывод, называются посылками или предпосылками умозаключения. В нашем примере посылками умозаключения являются суждения: «все бамбуки — злаки» и «все злаки цветут колосками».

Суждение, которое признаётся истинным путём умозаключения, т. е. путём сопоставления посылок, называется заключением, или выводом, в узком смысле слова. В нашем примере заключением будет суждение «все бамбуки цветут колосками».

Иногда всё умозаключение в целом, т. е. все посылки и заключение, вместе взятые, также называется выводом — на этот раз в широком смысле слова. Так, в нашем примере («все бамбуки — злаки, все злаки цветут колосками, следовательно, все бамбуки цветут колосками») выводом в широком смысле слова будет всё это умозаключение в целом, т. е. и его посылки и его заключение.

§ 4. Целью умозаключения является выведение новой истины из истин, нам уже ранее известных. Всякое истинное умозаключение не просто повторяет в выводе то, что нам уже известно из посылок. Истинное умозаключение ведёт нашу мысль дальше того, что мы знаем из посылок, присоединяет к ранее установленным истинам истину новую. В посылке «все бамбуки — злаки», отдельно взятой, не содержится ещё мысль о том, что «все бамбуки цветут колосками». Мысль эта не содержится в посылке, так как в число существенных признаков понятия «злаки» не входит необходимо понятие «цветения колосками». Хотя все злаки цветут «колосками», я тем не менее могу мыслить понятие «злаки», не мысля при этом непременно об этом свойстве злаков. Я могу образовать понятие «злаки» посредством такой группы существенных признаков, в которую вовсе не будет входить признак «цветения колосками».

И точно также в посылке «все злаки цветут колосками», отдельно взятой, ещё не содержится необходимо мысль о том, что «все бамбуки цветут колосками». Мысль эта не содержится в посылке, так как из посылки «все злаки цветут колосками» ещё не видно, что бамбуки принадлежат к числу злаков. Хотя все бамбуки входят в число злаков, я тем не менее могу мыслить понятие «злаки», не зная о том, что к числу злаков принадлежат также и бамбуки.

Но как только мы сопоставим оба эти суждения — «все бамбуки — злаки» и «все злаки цветут колосками», — сопоставление их приводит нас к новой истине — к выводу, что «все-бамбуки цветут колосками». Вывод этот есть мысль иная сравнительно с каждой из посылок, в отдельности взятой. Вывод не есть простое повторение истин, которые я уже мыслил в посылках. Вывод не есть и простое преобразование формы посылок, не меняющее их логического смысла, — вроде обращения или превращения.

Умозаключение есть извлечение новой истины из истин, уже признанных ранее и уже известных.

§ 5. Но умозаключение не просто присоединяет новую истину к истинам, уже ранее установленным или известным. Новая истина выводится из посылок таким образом, что её присоединение к посылкам сознаётся нами как совершенно необходимое и обязательное для нашей мысли.

Мы можем не знать того, что все бамбуки — злаки и что все злаки цветут колосками, и не соглашаться поэтому с тем, кто нам говорит, что все бамбуки — злаки и что все злаки цветут колосками. Но если мы согласимся с тем, что все бамбуки — злаки и что все злаки цветут колосками, то, соглашаясь с обеими этими посылками, уже нельзя не соглашаться с тем, что все бамбуки цветут колосками. Согласие с посылками здесь необходимо ведёт к согласию с заключением. Заключение не просто присоединяется к посылкам как мысль новая сравнительно с посылками. Заключение следует из посылок как мысль, связанная с посылками необходимой логической связью.

Связь эта, во-первых, опирается на закон достаточного основания. Только то заключение истинно и принимается в качестве истинного, которое имеет достаточное основание в истинности посылок и в правильности логического хода умозаключения. Во-вторых, связь эта опирается на закон противоречия. Мысля посылки и заключение, мы понимаем, что нельзя, соглашаясь с посылками, не соглашаться с заключением. Если бы, согласившись с тем, что все бамбуки — злаки и что все злаки цветут колосками, наш собеседник стал бы отрицать, что все бамбуки цветут колосками, он тем самым показал бы, что в данном случае он противоречит самому себе, т.е. мыслит непоследовательно, нелогично.

Согласившись, что бамбуки — злаки и что все злаки цветут колосками, но утверждая вместе с тем, будто бамбуки не цветут колосками, наш собеседник тем самым допустил бы то положение, будто существуют злаки, не цветущие колосками. Но это значит, что он признал бы истинным суждение, противоречащее той самой посылке, с которой он уже согласился и которая гласит, что «все злаки цветут колосками». Такой собеседник утверждал бы сразу и то, что «все злаки цветут колосками», и то, что «некоторые злаки не цветут колосками», т. е. нарушил бы закон противоречия.

Логическая связь заключения с посылками опирается, в-третьих, на закон исключённого третьего. И действительно: если собеседник отрицает то, что все бамбуки цветут колосками, то, так как, в силу закона исключённого третьего, кроме суждений «все бамбуки цветут колосками» и «некоторые бамбуки не цветут колосками» невозможно никакое третье суждение об отношении «бамбуков» к «цветущим колосками». Но так как такое третье суждение невозможно, то отрицание истинности суждения «все бамбуки цветут колосками» равносильно утверждению истинности суждения «некоторые бамбуки не цветут колосками». Однако признать истинными наши посылки («бамбуки — злаки», «все злаки цветут колосками») и вместе с тем признать истинным, будто «некоторые бамбуки не цветут колосками», значит нарушить закон противоречия.

Таким образом, закон противоречия и сам по себе и в соединении с законом исключённого третьего действительно обусловливает в умозаключении логическую связь между посылками и заключением. Но связь эта опирается также и на закон тождества. Заключение, выведенное из посылок, не могло бы быть истинным, если бы термины «бамбуки», «злаки», «цветущие колосками», появляющиеся в умозаключении каждый дважды, мыслились не в тождественном смысле, т. е. если бы в умозаключении был бы где-нибудь нарушен закон тождества. Если бы, например, под «злаками» в одной из посылок мыслилось одно содержание, а в другой — иное, то заключение об отношении между «злаками» и «цветущими колосками» из таких посылок не могло бы быть выведено. Заключение это возможно только на основе раскрытого в посылках отношения каждого из этих понятий к понятию «злаки». Но совершенно очевидно, что если понятие «злаки» в обеих посылках не тождественно, то невозможно установить посредством этого понятия никакой логической связи между понятием «бамбуки» и понятием «цветущие колосками».

Таким образом, все четыре логических закона мышления — закон тождества, закон противоречия, закон исключённого третьего и закон достаточного основания — применяются во всех умозаключениях. Без этих законов в умозаключениях не могла бы быть усмотрена логическая связь между посылками и заключением.

Всякое правильное умозаключение раскрывает для нашей мысли необходимое отношение между предметами, которые мыслятся в посылках и в выводе. Так, посылка «все злаки цветут колосками» выражает мысль о том, что свойство цветения колосками есть необходимое свойство всех злаков; поэтому все предметы, называемые злаками, необходимо входят в число «цветущих колосками» (см. рис. 34).

 

Рис. 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Рис. 35

На этом рисунке объём понятия «злаки» изображён посредством круга М, объём понятия «цветущие колосками» — посредством круга Р. Из рисунка видно, что все злаки необходимо принадлежат к цветущим колосками, т. е. что все М необходимо принадлежат к Р. Посылка «все бамбуки — злаки» выражает мысль о том, что свойства злаков необходимо являются свойствами бамбуков; поэтому все предметы, называемые «бамбуками», необходимо входят в число злаков (см. рис. 35).

На этом рисунке объём понятия «бамбуки» изображён посредством круга S, объём понятия «злаки» — посредством круга М. Из рисунка видно, что все бамбуки необходимо принадлежат к злакам, т. е. что все S необходимо принадлежат к М. Сопоставляя обе эти посылки, получаем вывод: «все бамбуки цветут колосками». Вывод этот выражает мысль о том, что свойство всех злаков цвести колосками необходимо является также свойством всех бамбуков; поэтому все предметы, называемые «бамбуками», необходимо входят в число «цветущих колосками» (см. рис. 36).

 

Рис. 36

Из этого рисунка ясно, что не только все злаки необходимо цветут колосками, как это было видно из первой посылки, и что не только все бамбуки — необходимо злаки, как это было видно из второй посылки, но что, кроме того, все бамбуки необходимо цветут колосками. Необходимость вывода непреложно следует из истинности посылок: так как, согласно уже разъяснённым отношениям между свойствами бамбуков, злаков и цветущих колосками, весь объём понятия «злаки» (круг М) входит в объём понятия «цветущие колосками» (круг Р) и так как весь объём понятия «бамбуки» (круг S) входит в объём понятия «злаки» (тот же круг М), то весь объём понятия «бамбуки» необходимо должен входить в объём понятия «цветущие колосками» (весь круг S необходимо должен быть внутри круга Р).

Если бы кто, признавая, что «все бамбуки — злаки» и что «все злаки цветут колосками», стал бы в то же время отрицать, что «все бамбуки цветут колосками», то это было бы равносильно тому, как если бы кто, признав, что круг М помещается весь внутри круга Р и что круг S помещается весь внутри круга М, стал бы в то же время отрицать то, что круг S весь помещается внутри круга Р. Человек, мыслящий таким образом, оказался бы в противоречии с собственной мыслью: соглашаясь с посылками, он мыслил бы круг S целиком внутри круга Р (см. рис. 36а); в это же время, отрицая вывод, он мыслил бы круг S вне круга Р (см. рис. 37).

 

Рис. 36а . . . . . . . . . . . . . . . . . Рис. 37

§ 6. Так как умозаключение 1) даёт в выводе мысль новую сравнительно с мыслями, выраженными в посылках, и 2) раскрывает необходимость связи между посылками и выводом, то умозаключение есть очень важная форма логического мышления. Там, где мы сразу непосредственно не видим связи между двумя понятиями, мы можем найти эту связь посредством третьего понятия, если нам только известно, в каком отношении это третье понятие стоит к каждому из наших двух понятий, связь между которыми мы стремимся выяснить. Именно эту задачу и решает умозаключение. Два понятия, отношение между которыми не видно непосредственно, умозаключение связывает посредством третьего понятия, зная отношение этого третьего понятия к каждому из них в отдельности.

Особенно важно, что связь между понятиями, раскрываемая умозаключением, есть связь необходимая. Если посылки истинны и если в ходе умозаключения мы не сделали никакой логической ошибки, то вывод всегда будет необходимо истинным. Умозаключение раскрывает не такую связь между посылками и выводом, которая может быть истинной, но может и не быть истинной. Умозаключение раскрывает необходимость связи, существующей между посылками и выводом. Кто убедился в истинности посылок, тот должен согласиться, тот не может не согласиться с истинностью вывода.

Это свойство умозаключений — логическая необходимость всякого правильного вывода, полученного из истинных посылок, — делает умозаключение важным звеном в доказательстве и в опровержении, во всякого рода спорах и дискуссиях. Умозаключение — могучее средство убеждения. Так, получив в беседе или в споре согласие противника с посылками, мы легко можем заставить его согласиться и с выводом, как только мы покажем, что принятые им посылки необходимо вынуждают к согласию также и с выводом. Рассматривая ранее доказанные теоремы как посылки умозаключения, мы можем показать, что новая теорема, которую мы взялись доказать, есть не что иное, как вывод, необходимо вытекающий из истинности этих посылок, и т. д.

Ввиду важности умозаключения для логического мышления логика систематически рассматривает все формы умозаключений. Логика исследует, какие существуют виды умозаключений, какую ценность представляет каждый из них для знания, каково строение каждой формы умозаключения, согласно каким логическим правилам делаем мы умозаключения и какие логические ошибки возможны в умозаключениях.

 

Деление умозаключений на силлогистические и несиллогистические

§ 7. В практике логического мышления встречаются различные виды умозаключений. Чтобы распределить умозаключения по видам, необходимо исходить из анализа посылок, т. е. суждений.

Мы уже знаем, что всякое суждение есть утверждение некоторого отношения между понятиями субъекта и предиката. В зависимости от вида отношения между субъектом и предикатом все суждения делятся: 1) на суждения о принадлежности свойства предмету; 2) на суждения о принадлежности предмета классу предметов (или одного класса другому классу предметов) и 3) на суждения об отношениях величины, пространства, времени, причины и действия, силы, родства и т. д.

Всякое умозаключение основывается на рассмотрении отношений между понятиями посылок. Так как посылки по своей логической форме являются суждениями, то очевидно, что отношения между понятиями, входящими в посылки, должны быть, вообще говоря, те же, что и в суждениях.

Отсюда следует, что умозаключения, так же как и суждения, делятся на виды в зависимости от вида отношений, существующих между понятиями, входящими в посылки суждения.

Первую группу умозаключений составляют умозаключения, посылки которых выражают отношения принадлежности (а) свойства предмету и (б) предмета классу предметов (или одного класса другому классу предметов). Пример умозаключения о принадлежности одного класса предметов другому классу — рассмотренное нами умозаключение: «все бамбуки — злаки, все злаки цветут колосками, следовательно, все бамбуки цветут колосками». Умозаключения, посылки которых выражают отношения принадлежности предметов классу предметов или класса другому классу, называются силлогистическими, или силлогизмами. Название «силлогизм» введено в логику древним греческим философом Аристотелем (384—322 до н. э.) и происходит от слова συλλογισμός, означающего «заключение».

Вторую группу умозаключений составляют умозаключения, посылки которых выражают не отношения принадлежности, а отношения величины, пространства, времени, причины и действия, силы, родства и т. д. Пример такого умозаключения: «Москва восточнее Смоленска, Казань восточнее Москвы, следовательно, Казань восточнее Смоленска». В этом умозаключении посылки выражают уже не отношение принадлежности, а относительное положение предметов в пространстве.

Умозаключения, посылки которых выражают отношения величины, пространства и времени, причины и действия, силы и т. д., называются несиллогистическими.

§ 8. Различие между силлогистическими и несиллогистическими умозаключениями зависит от различия между посылками, т. е. между суждениями, обосновывающими вывод. В суждениях о принадлежности предмета классу предметов отношение между содержанием субъекта и содержанием предиката, естественно, определяет отношение между объёмами субъекта и предиката. Все суждения этого рода связаны не только с операциями определения понятия, посредством которых выясняется содержание понятий субъекта и предиката, но также и с операциями деления понятия, посредством которых родовые понятия делятся на видовые, а видовые включаются в родовые.

В соответствии с этим силлогизмы, т. е. умозаключения, посылки которых представляют суждения о принадлежности предмета классу предметов, дают в выводе также суждения о принадлежности предмета классу предметов. В силлогизмах рассматриваются такие отношения между понятиями по содержанию, из которых сразу и легко могут, быть выводимы отношения между теми же понятиями по объёму.

Поэтому отношения между понятиями по содержанию, выражаемые в посылках силлогизма и обосновывающие его заключение, легко могут быть изображены посредством кругов или других фигур, взаимное положение которых представляет отношение между объёмами тех же понятий. Мы могли убедиться в этом, рассматривая пример силлогизма: «все бамбуки — злаки, все злаки цветут колосками; следовательно, все бамбуки цветут колосками».

Но силлогизмы составляют только часть всех видов умозаключений. Существуют умозаключения, формы которых не могут быть сведены к формам силлогизмов. В этих умозаключениях решается вопрос не о том, принадлежит ли известный класс предметов другому классу предметов. В этих умозаключениях решаются вопросы об отношении между предметами по величине, по положению в пространстве, по одновременности или последовательности во времени, по причине и действию, по силе, по родству и т. д. Уже в посылках этих умозаключений предметом мысли является не отношение принадлежности предмета классу предметов, но иные виды отношений. В соответствии с этим и в выводах этих умозаключений предметом мысли оказываются не отношения принадлежности предмета классу предметов, а отношения по величине, по положению в пространстве, по времени и т. д.

Но именно поэтому для несиллогистических умозаключений вовсе не характерны отношения между объёмами понятий, входящих в посылки и выводы. Правда, и в случае несиллогистических умозаключений, как и в случае силлогизмов, известное отношение между содержанием субъекта и содержанием предиката в посылках и выводе необходимо определяет известное отношение между объёмами этих понятий. Так, в нашем примере несиллогистического умозаключения в посылке «Москва лежит к востоку от Смоленска» отношение между понятиями «положение Москвы по долготе» и «положение Смоленска по долготе» определяет также и отношение между объёмами обоих понятий. Согласно этому отношению весь объём понятия «Москва» входит как часть в объём понятия «все города, лежащие к востоку от Смоленска». Подобные отношения объёмов выражает также и вторая посылка и вывод нашего умозаключения «Казань лежит к востоку от Москвы», «Казань лежит к востоку от Смоленска».

Но хотя, таким образом, и в случае несиллогистических умозаключений отношения между содержанием понятий, входящих в посылки и в вывод, определяют отношения также и между их объёмами, отношения эти в несиллогистических умозаключениях не отвечают на тот вопрос, какой решается в умозаключении.

Когда мы утверждаем, что «все бамбуки — злаки», суждение это отвечает на вопрос об отношении между объёмами понятий «бамбуки» и «злаки». Здесь мы действительно мыслим принадлежность класса предметов к другому классу.

Напротив, суждение «Москва лежит к востоку от Смоленска» отвечает не на вопрос об отношении между объёмами понятий «Москва» и «города, лежащие к востоку от Смоленска». Правда, из суждения «Москва лежит к востоку от Смоленска» бесспорно следует, что объём понятия «Москва» есть часть объёма понятия «все города, лежащие к востоку от Смоленска». Но не это отношение между объёмами понятий составляет ответ на запрос нашей мысли, когда мы утверждаем, что Москва лежит к востоку от Смоленска. Даже преобразовав это суждение в суждение об отношении между объёмами, мы под видом отношения между объёмами мыслим отношение по положению в пространстве. Сущность этого отношения не зависит от того, включается ли понятие «Москва» в более обширный класс «все города, лежащие к востоку от Смоленска».

Говоря «Москва лежит к востоку от Смоленска», я в сущности вовсе не мыслю отношение Москвы к классу городов, лежащих к востоку от Смоленска. В этом случае суждение высказывается не об отношении Москвы к целому классу других городов, а о положении одного единственного города Москвы по долготе относительно другого — тоже единственного — города Смоленска.

 

Простой категорический силлогизм

§ 9. Цель силлогизма, как и всякого другого умозаключения, состоит в получении из посылок нового суждения, или вывода. При этом мыслимое в выводе отношение между субъектом и предикатом вывода устанавливается не прямо. Отношение это не видно непосредственно ни из первой, ни из второй посылки, отдельно взятых. Отношение это выясняется для мысли только после сопоставления обеих посылок силлогизма. Сопоставляя посылки, мы рассматриваем отношение субъекта и предиката вывода к некоторому третьему понятию. Только через отношение этого третьего понятия к субъекту вывода и к предикату вывода выясняется отношение между субъектом и предикатом вывода.

Для удобства анализа обозначим все составные части силлогизма особыми знаками. С этой целью запишем силлогизм, расположив одну посылку под другой, а заключение, или вывод, — под второй посылкой. Отделим заключение от посылок горизонтальной чертой.

Пример силлогизма:

Рассмотрим сначала заключение, или вывод. В нём понятие предиката обозначим буквой Р, понятие субъекта — буквой S. Так как посылки выражают отношения принадлежности, то и вывод также выражает отношение принадлежности. Поэтому все отношения между понятиями, входящими в посылки и в вывод, будучи отношениями между содержанием понятий, будут в то же время и отношениями их объёмов. Очевидно, объём предиката в выводе больше объёма субъекта (объём понятия «позвоночные» больше объёма понятия «амфибии»).

На этом основании предикат вывода (Р) называется бо́льшим понятием, или бо́льшим термином силлогизма, а субъект вывода (S) — меньшим термином. Та посылка, в которую входит больший термин (Р), называется большей посылкой силлогизма. В нашем примере больший термин — понятие «позвоночные», меньший термин — понятие «лягушки», бо́льшая посылка — суждение «все амфибии —позвоночные». Та посылка, в которую входит меньший термин (S), называется меньшей посылкой силлогизма. В нашем примере меньшая посылка — суждение «все лягушки — амфибии».

Вывод «все лягушки — позвоночные» действительно обоснован данными посылками. Признав, что «все амфибии — позвоночные» и что «все лягушки — амфибии», мы не можем не признать, что «все лягушки — позвоночные».

Как же обоснован этот вывод? — В меньшей посылке мы установили отношение меньшего термина к некоторому третьему понятию — к понятию «амфибии». Меньшая посылка установила, что «все лягушки — амфибии», т. е. что весь объём понятия «лягушки» полностью входит в объём понятия «амфибии». В большей посылке мы установили отношение этого же самого третьего понятия к большему термину — к понятию «позвоночные». Бо́льшая посылка установила, что «все амфибии — позвоночные», т. е. что весь объём понятия «амфибии» полностью входит в объём понятия «позвоночные». В результате оказалось возможным установить — через третье понятие (понятие «амфибии») — связь между понятием «лягушки» и понятием «позвоночные»: так как все лягушки входят в число амфибий, а все амфибии, в свою очередь, входят в число позвоночных, то все лягушки должны также входить в число позвоночных. Или иначе: так как в число позвоночных входят все амфибии, а в число амфибий — все лягушки, то в число позвоночных должны входить все лягушки.

Третье понятие, посредством которого в выводе выясняется отношение между меньшим и бо́льшим терминами, называется средним термином силлогизма.

Как видно из примера, средний термин входит в каждую из посылок, но не входит в заключение, или в вывод, силлогизма. Нетрудно понять, почему это так. Цель силлогизма, как мы уже знаем, состоит в выяснении отношения между двумя понятиями S и Р. Средний термин появляется в силлогизме не потому, что средний термин нас интересует сам по себе. Он появляется потому, что только через отношение среднего термина к S и Р может, быть выяснено не видное непосредственно отношение между S и Р. Но выяснение отношения среднего термина к S и Р достигается уже в посылках силлогизма: бо́льшая посылка раскрывает отношение среднего термина к Р, меньшая — к S. Как только задача выяснения этих отношений выполнена, как только отношение между S и Р стало ясным из отношения каждого из них в отдельности к среднему термину, средний термин перестаёт быть предметом нашей мысли. Наша мысль направляется уже не на средний термин, а на то отношение между S и Р, которое было выяснено с помощью среднего термина. Поэтому в выводе, или в заключении, силлогизма выступают только S и Р.

Обозначим средний термин буквой М. Тогда наш силлогизм может быть представлен следующей схемой, или, как говорят в логике, «фигурой»:

Как ⁣⁣⁣⁣видно из примера и из его схемы, порядок посылок никакой роли не играет: бо́льшая посылка может быть первой, а меньшая — второй и наоборот. От порядка посылок в силлогизме вывод, т. е. логическая связь между субъектом и предикатом, не зависит.

Обстоятельство это необходимо запомнить, чтобы не связывать названия «бо́льшая посылка» и «меньшая посылка» с тем порядком, в каком посылки следуют одна за другой. Независимо от этого порядка большей будет только та посылка, в которую входит больший термин, т. е. предикат вывода (Р), а меньшей — только та, в которую входит меньший термин, т. е. субъект вывода (S).

Силлогизмы могут иметь различное строение посылок, и потому самые выводы в них могут стоять в зависимости от различных правил. Логика устанавливает все эти правила и изучает все разновидности силлогизмов.

§ 10. Первая группа силлогизмов — так называемые простые категорические силлогизмы. Так называются силлогизмы, в которых вывод получается из двух посылок и в которых обе посылки суть суждения категорические.

Рассматривая встречающиеся в практике мышления простые категорические силлогизмы, можно заметить, что расположение понятий, или терминов, в посылках этих силлогизмов может быть различным.

Рассмотрим следующий силлогизм:

В нём средний термин в большей посылке является субъектом, а в меньшей — предикатом.

Силлогизм, в котором понятия, или термины, расположены таким образом, называется силлогизмом первой фигуры.

В нашем примере силлогизма первой фигуры меньшая посылка («все лягушки — амфибии») выясняет, что весь объём класса S входит как часть в более обширный объём класса М (см. рис. 38).

 

Рис. 38

Бо́льшая посылка («все амфибии — позвоночные») выясняет, что этот более обширный объём класса М весь входит как часть в ещё более обширный объём класса Р (см. рис. 39).

 

Рис. 39

Сопоставляя эти отношения понятий, выяснившиеся из посылок, устанавливаем в выводе («все лягушки — позвоночные») принадлежность класса S, имеющего наименьший объём, к классу Р, имеющему наибольший объём (см. рис. 40).

 

Рис. 40

§ 11. Рассмотрим теперь другой пример силлогизма:

Вывод этот — силлогизм. В нём заключение, или вывод («ни одна планета не есть звезда»), получено из двух посылок. В посылках этих устанавливается отношение субъекта вывода («планета») и предиката вывода («звезда») к третьему, или среднему, понятию («тело, светящее собственным светом»). Именно через отношение среднего понятия к понятиям «планета» и «звезда» выясняется отношение этих последних между собой.

И действительно: бо́льшая посылка («все звёзды светят собственным светом») устанавливает, что весь объём класса Р входит в объём класса М (см. рис. 41).

 

Рис. 41

Меньшая посылка («ни одна планета не светит собственным светом»)устанавливает, что класс не принадлежит к классу М, т. е. что весь объём класса S целиком находится вне объёма класса М (см. рис. 42).

 

Рис. 42

Сопоставляя эти отношения понятий, выяснившиеся из посылок, заключаем в выводе («ни одна планета не есть звезда»), что класс S не принадлежит к классу Р, т. е. что весь объём класса S находится вне всего объёма класса Р (см. рис. 43).

 

Рис. 43

Присматриваясь к расположению терминов в посылках и в выводе этого силлогизма, замечаем, что это расположение

отличается от расположения терминов в силлогизме первой фигуры:

А именно: во втором силлогизме средний термин в обеих посылках — большей и меньшей — является предикатом. Силлогизм с таким расположением терминов называется силлогизмом второй фигуры.

§ 12. Рассмотрим третий пример силлогизма:

И этот вывод —силлогизм. И в нём на основе устанавливаемого в двух посылках отношения понятия «млекопитающие» и понятия «животные, кладущие яйца» к третьему понятию («утконосы») устанавливается отношение субъекта к предикату в заключении.

Бо́льшая посылка («все утконосы — животные, кладущие яйца») устанавливает, что класс М принадлежит к классу Р, т.е. что весь объём класса М входит как часть в объём класса Р (см. рис. 44).

 

Рис. 44

Меньшая посылка («все утконосы — млекопитающие») устанавливает, что класс М принадлежит к классу S, т. е., что весь объём класса М входит как часть в объём класса S (см. рис. 45).

 

Рис. 45

Сопоставляя эти отношения понятий, выяснившиеся из посылок, заключаем в выводе («некоторые млекопитающие — животные, кладущие яйца»), что какая-то часть класса S принадлежит к классу Р, т. е. объём S в какой-то своей части совпадает с объёмом Р (см. рис. 46).

 

Рис. 46

И действительно, так как весь объём М целиком помещается как внутри объёма S, так и внутри объёма Р, то все те части объёма S, которые заняты объёмом М, будут в то же время и частями объёма Р. И наоборот: все те части объёма Р, которые заняты объёмом М, будут в то же время и частями объёма S.

Рассмотрим расположение терминов в последнем силлогизме:

Здесь расположение терминов отличается от их расположения в силлогизмах первой и второй фигуры:

А именно: в третьем силлогизме средний термин в обеих посылках оказывается субъектом. Силлогизм с таким расположением терминов называется силлогизмом третьей фигуры.

Различия между тремя фигурами простого категорического силлогизма представляют интерес не только потому, что термины в посылках этих силлогизмов размещены различным образом. Различное расположение терминов в посылках связано с различным отношением между содержанием и объёмом понятий, входящих в посылки и в выводы. И действительно: от того, будет ли, например, средний термин субъектом посылки или её предикатом, зависит распределённость среднего термина в посылках, т. е. возможность мыслить средний термин во всём объёме или только в части его объёма. То же справедливо и относительно большего и меньшего термина. В свою очередь от отношения между содержанием и объёмом понятий, входящих в посылки и в выводы, зависит различная ценность фигур силлогизма для логического мышления и знания, а потому различная роль, какую каждая из фигур играет в доказательствах и рассуждениях.

§ 13. Чтобы выяснить роль каждой фигуры, т. е. характер выводов, которые могут быть получены посредством этой фигуры, необходимо познакомиться с разновидностями фигур, или модусами.

Сравнивая различные выводы, сделанные по одной и той же фигуре, замечаем, что силлогизмы одной и той же фигуры могут различаться между собой качеством и количеством посылок и вывода.

Сравним два силлогизма:

Оба эти силлогизма — силлогизмы первой фигуры, так как в обоих средний термин является субъектом в большей и предикатом в меньшей посылке. Но в то же время между этими двумя силлогизмами первой фигуры имеется и различие. Состоит оно в различном качестве посылок и вывода. В первом силлогизме обе посылки и вывод — суждения общеутвердительные. Схема этого силлогизма:

Во втором силлогизме бо́льшая посылка есть суждение общеотрицательное, меньшая — общеутвердительное, вывод — суждение общеотрицательное. Схема этого силлогизма:

Сравним ещё два силлогизма:

Оба эти силлогизма — также силлогизмы первой фигуры, так как в обоих средний термин является субъектом в большей и предикатом в меньшей посылке. Но в то же время между этими двумя силлогизмами первой фигуры имеется и различие. Состоит оно в различном качестве и количестве посылок и вывода. В первом силлогизме и посылки и вывод по качеству — суждения утвердительные. По количеству же большая посылка — суждение общее, меньшая — частное, вывод — также частное. Схема этого силлогизма:

Во втором силлогизме бо́льшая посылка есть суждение общеотрицательное, меньшая — частноутвердительное, вывод — суждение частноотрицательное. Схема этого силлогизма:

Сравнивая качество и количество выводов во всех четырёх примерах силлогизма первой фигуры, приведённых выше, видим, что в первом примере вывод — общеутвердительный («все бамбуковые — однодольные растения»), во втором — общеотрицательный («ни одно бамбуковое не есть двудольное растение»), в третьем - частноутвердительный («некоторые бесцветковые — споровые растения»), в четвёртом — частноотрицательный («некоторые светила — не звёзды»).

Разновидности силлогизмов одной и той же фигуры, обусловленные различным качеством и количеством посылок и выводов, называются модусами (от латинского слова, «modus», означающего «способ», «вид»).

§ 14. Итак, среди выводов простого категорического силлогизма могут встретиться выводы всех возможных видов качества и количества: А, Е, I и О. Но мы уже знаем, что различные по качеству и по количеству суждения имеют различное применение в знании и различную ценность для знания. Поэтому при изучении силлогизмов всех трёх фигур большой интерес представляет вопрос, какие именно модусы может дать каждая фигура силлогизма, иначе говоря, какими могут быть выводы этой фигуры по качеству и по количеству.

Для ответа на этот вопрос необходимо прежде всего исследовать, все ли теоретически возможные модусы, т. е. все ли сочетания посылок, отличающиеся только качеством и количеством, способны давать правильные выводы.

Исследование показывает, что не всякий теоретически возможный модус, т. е. не всякое сочетание качества и количества в посылках силлогизма, даёт правильный вывод.

В этих суждениях налицо три понятия, расположенные по схеме первой фигуры простого категорического силлогизма. Термин «студенты» в одной из посылок является субъектом, в другой — предикатом. В одной посылке устанавливается отношение терминй «студенты» к одному понятию, в другой — отношение того же термина к другому понятию.

Итак, расположение терминов в суждениях как будто в точности соответствует схеме первой фигуры:

Первое суждение будет общеутвердительное, второе — общеотрицательное.

Схематически количество и качество этих суждений будет следующее:

Но хотя расположение терминов в этом случае как будто отвечает условиям первой фигуры, правильный вывод из этих двух посылок невозможен. Из того, что «все студенты обязаны держать экзамены», и из того, что «все аспиранты — не студенты», никак нельзя вывести в качестве необходимого заключения, что, например, «аспиранты не обязаны держать экзамены». Хотя первая посылка выясняет отношение «студентов» к «лицам, обязанным держать экзамены»; а вторая — отношение «студентов» к «аспирантам», — отношения эти не таковы, чтобы из них видно было, каким должно быть отношение «аспирантов» к «лицам, обязанным держать экзамены». Как видно из рисунка (см. рис. 47), здесь логически возможны — при данных посылках — три случая.

 

Рис. 47

Не будучи студентами (М), аспиранты (S) 1) могут все принадлежать к числу лиц, обязанных держать экзамены (Р), 2) могут принадлежать к числу этих лиц лишь в некоторой своей части и 3) могут вовсе не принадлежать к числу этих лиц.

Итак, некоторые модусы, например модус АЕ первой фигуры силлогизма, невозможны. Это значит, что качество и количество посылок в этих модусах не дают основания для правильного логического вывода. Поэтому для ответа на вопрос, какие модусы даёт каждая из трёх фигур простого категорического силлогизма, необходимо прежде всего выяснить условия или правила, которым должны удовлетворять посылки и входящие в эти посылки термины, чтобы вывод оказался действительно возможным. При этом оказывается, что существуют правила, общие для всех фигур силлогизма. Во всяком простом категорическом силлогизме, какова бы ни была его фигура, каков бы ни был модус этой фигуры, должны выполняться все общие для всех силлогизмов правила. Нарушение хотя бы одного из них делает умозаключение ошибочным.

Кроме правил, общих для всех фигур силлогизма, существуют и такие правила, которые являются особыми правилами для каждой фигуры силлогизма в отдельности. Правила эти обязательны для всех модусов данной фигуры силлогизма и не обязательны для модусов других фигур.

§ 15. Существуют десять правил, общих для всех фигур простого категорического силлогизма. Из этих десяти общих правил два определяют число терминов и число суждений, входящих в состав силлогизма. Два других правила определяют необходимые условия распределённости терминов в посылках и в выводах силлогизма. Остальные общие правила определяют необходимую связь между качеством и количеством посылок и качеством и количеством выводов (заключений) силлогизма.

 

Правила, определяющие число терминов и число суждений в силлогизме

Первое из общих правил состоит в том, что терминов в силлогизме должно быть три — не больше и не меньше. Если терминов только два, то вывод не может дать ничего нового и сведётся к простому повторению одной из посылок. Например, «бамбуки — злаки», «злаки — злаки», следовательно, «бамбуки — злаки». Если терминов четыре, то вывод невозможен, так как в одной из посылок устанавливается отношение субъекта к одному термину, а в другой — отношение предиката к другому термину. Здесь нет посредствующего термина, через который могло бы быть установлено отношение или связь между субъектом и предикатом в выводе. Например, в посылках «все законы публикуются в официальных изданиях» и «всемирное тяготение — закон» понятие о публикации в официальных изданиях поставлено в отношение к понятию закона в смысле политическом, а понятие всемирного тяготения — в отношение к понятию закона природы. Так как слово «закон» обозначает здесь два различных понятия, то в наших посылках оказалось не три, а четыре термина, термин субъекта («всемирное тяготение») оказался никак не связанным с термином предиката («публикация в официальных изданиях»), и вывод, т. е. суждение, которое устанавливало бы связь между понятиями «всемирное тяготение» и «публикация в официальных изданиях», оказался невозможным.

§ 16. Второе общее правило формулируется так: в силлогизме не может быть меньше и не может быть больше трёх суждений. Правило это вытекает из самой сущности силлогизма. Как мы уже знаем, целью силлогизма является выяснение отношения между двумя понятиями из уже известного отношения каждого из них в отдельности к одному и тому же третьему понятию.

Отсюда видно, во-первых, что в силлогизме должно быть не меньше трёх суждений. И действительно, в одном из них (меньшая посылка) раскрывается отношение понятия S к посредствующему третьему понятию М. В другом (бо́льшая посылка) раскрывается отношение другого понятия — Р к тому же посредствующему третьему понятию М. Наконец, в третьем суждении (вывод или заключение силлогизма) выясняется, какое отношение понятия S к понятию Р необходимо следует из уже раскрытого в посылках отношения каждого из них в отдельности к М.

Правда, во многих случаях может показаться, будто силлогизм состоит не из трёх, но всего лишь из двух и даже из одного суждения. Так, в умозаключении «бамбуки, как все злаки, цветут колосками» силлогизм выражен посредством одного сложного предложения. В умозаключении «все злаки цветут колосками, следовательно, все бамбуки цветут колосками» силлогизм выражен посредством двух предложений. Таких примеров можно было бы привести множество.

Однако во всех этих и подобных им случаях нас вводит в заблуждение грамматическая форма высказывания. Мы уже знаем, что грамматические формы предложения далеко не всегда совпадают с логическими формами мышления. То же имеет место и в наших примерах. В действительности силлогизм и в этих примерах состоит из трёх суждений. Однако часть этих суждений — в силу быстроты мышления или стремления к краткости и сжатости выражения — только подразумевается, остаётся невысказанной в форме трёх раздельных предложений, выражающих три раздельные суждения. И всё же каждый из этих силлогизмов может быть — без какого бы то ни было изменения его логического смысла — выражен в обычной и обязательной для всех силлогизмов форме трёх суждений: двух посылок и вывода. Так, сокращённый силлогизм «бамбуки, как все злаки, цветут колосками» легко развёртывается в полный силлогизм: «все бамбуки — злаки, все злаки цветут колосками, следовательно, бамбуки цветут колосками». К той же полной и обязательной для всех силлогизмов форме трёх суждений легко приводится второй силлогизм нашего примера: «все злаки цветут колосками, следовательно, бамбуки цветут колосками».

Но в силлогизме, во-вторых, не может быть и больше трех суждений. Выше уже было доказано, что суждений в силлогизме должно быть не меньше трёх. Из этих обязательных трёх суждений вывод устанавливает искомое отношение между S и Р, бо́льшая посылка — отношение между М и Р, меньшая — отношение между М и S. Вопрос о том, могут ли входить в состав силлогизма ещё какие-либо суждения кроме указанных трёх, сводится к вопросу, возможны ли кроме обязательных для каждого силлогизма трёх сочетаний по два термина из S, М, Р ещё какие-либо сочетания по два термина из тех же трёх терминов S, М и Р. Но таких сочетаний не может быть больше трёх. Поэтому в простом категорическом силлогизме не может быть больше трёх суждений.

 

Правила распределённости терминов в посылках и выводах силлогизма

§ 17. Третье общее правило формулируется так: чтобы вывод был возможен, средний термин (М) должен быть распределён по крайней мере в одной из посылок.

Так, из посылок

нельзя сделать никакого вывода об отношении тюленей к водным животным. В самом деле, средний термин здесь — понятие «млекопитающие». Термин этот не распределён ни в большей, ни в меньшей посылке, т. е. имеется в виду в этих посылках не во всём своём объёме. В большей посылке он не распределён, так как является предикатом утвердительного суждения (см. гл. I, § 25), в меньшей — так как является субъектом частного суждения (см. гл. VI, § 25).

Так как средний термин в обеих посылках не распределён, то в каждой посылке имеется в виду какая-то неопределённая точно часть его объёма. При таком положении вполне возможно, что в одной посылке речь идёт о какой-то одной, а в другой посылке — о какой-то другой части объёма среднего термина (см. рис. 48).

 

Рис. 48

На рисунке изображены отношения понятий, выражаемые посылками. Объём понятия «млекопитающие» изображён кругом М, объём понятия «тюлени» — кругом S, объём понятия «водные животные» — кругом Р. Из рисунка видно, что посылки оставляют нас в неизвестности об отношении между понятиями S и Р. Так как из посылок неизвестно, какую именно часть объёма М составляет объём S и какую именно часть объёма Р составляет объём М, то остаются открытыми три возможности: 1) весь объём S находится вне всего объёма Р; 2) объёмы S и Р совпадают частично; 3) объём S целиком входит как часть в объём Р. Но это значит, что связь между субъектом и предикатом вывода, которая должна была бы быть раскрыта через их отношение к среднему термину, не может быть установлена: в сущности здесь даже нет среднего термина, а есть два означаемые одним словом понятия, из которых одно, возможно, отмечает одну часть объёма, а другое — другую.

§ 18. Четвёртое общее правило формулируется так: если больший или меньший термины не распределены в посылках, они не могут оказаться распределёнными в выводе. Так, из посылок «все великие поэты обладают сильным воображением», «все великие поэты — впечатлительные люди» нельзя вывести, будто «все впечатлительные люди обладают сильным воображением». Здесь правильным будет только частный вывод: «некоторые впечатлительные люди обладают сильным воображением». И действительно, понятие «впечатлительные люди» — меньший термин нашего силлогизма — не распределено в посылке. В суждении «все великие поэты — впечатлительные люди» понятие «впечатлительные люди» мыслится не во всём своём объёме. Совершенно очевидно, что и в выводе, где понятие «впечатлительные люди» становится субъектом, нет достаточного основания брать это понятие во всём его объёме (см. рис. 49).

 

Рис. 49

На рисунке представлены отношения понятий, выражаемые посылками. Объём понятия «великие поэты» представлен кругом М, объём понятия «люди, обладающие сильным воображением»» — кругом Р, объём понятия «впечатлительные люди» — кругом S. Из посылок видно, что в объём Р безусловно входит вся та часть объёма S, которая занята объёмом М. Поэтому посылки дают правильный вывод: «некоторые S принадлежат к объёму Р». Но выводить из посылок больше этого мы не вправе. Только о той части объёма S, которая совпадает с М, достоверно известно из посылок, что она входит в объём Р. А так как эта часть, равная М, не исчерпывает ни всего объёма S, ни всего объёма Р, то отсюда видно, что не все S, но лишь некоторые S принадлежат к объёму Р.

Другой пример: из посылок «все студенты должны держать экзамены» и «аспиранты — не студенты» нельзя сделать вывод, будто «аспиранты не должны держать экзаменов». В самом деле, в выводе «аспиранты не должны держать экзаменов» больший термин как предикат отрицательного суждения был бы распределён. Но в большей посылке — «все студенты должны держать экзамены» — больший термин как предикат утвердительного суждения (ср. гл. VI, § 25) не распределён. Понятно, что, не будучи распределён в посылке, он не может оказаться распределёнными в выводе (см. рис. 50).

 

Рис. 50

На рисунке представлены отношения понятий, выражаемые посылками. Объём понятия «студенты» представлен кругом М, объём понятия «лица, обязанные держать экзамены» — кругом Р и объём понятия «аспиранты» — кругом S. Из рисунка видно, что мы не вправе заключать, будто объём S необходимо будет находиться вне объёма Р. Так как термин Р не распределён, то объём М составляет лишь какую-то часть объёма Р. Поэтому вполне возможно, что весь объём S, о котором из другой посылки нам известно, что он не входит в объём М, окажется всё же целиком внутри объёма Р — как другая, наряду с М, часть этого объёма (1). В нашем примере так оно и есть: аспиранты, не будучи студентами, всё же принадлежат к числу лиц, обязанных держать экзамены.

 

Правила, определяющие связь между качеством и количеством посылок и выводов силлогизма

§ 19. Пятое общее правило формулируется так: если обе посылки отрицательны, то из них нельзя получить никакого вывода. Так, из посылок «киты — не рыбы» и «дельфины — не рыбы» нельзя сделать никакого вывода об отношении дельфинов к китам. И действительно, обе посылки здесь — отрицательные. Из них видно, что весь объём большего и весь объём меньшего термина вне всего объёма среднего термина: ни один кит и ни один дельфин не входят в число рыб. Но зная это, мы ещё ничего не знаем о том, в каком отношении друг к другу находятся объёмы большего и меньшего терминов: они могут стоять вне друг друга, могут частично совпадать и могут оказаться один внутри другого (см. рис. 51).

 

Рис. 51

На рисунке представлены отношения понятий, выражаемые посылками. Объём понятия «рыбы» представлен кругом М, объём понятия «дельфины» — кругом S, объём понятия «киты»— кругом Р. Из рисунка видно, что мы не вправе сделать какое бы то ни было заключение о необходимом отношении объёма S к объёму Р. Из того, что весь объём S находится вне объёма М и весь объём Р также находится вне объёма М, ещё не видно, в каком отношении будет объём S к объёму Р. Рисунок показывает, что здесь остаются открытыми четыре возможности: весь объём S находится вне всего объёма Р; 2) объёмы S и Р частично совпадают между собой; 3) объём S целиком входит как часть в объём Р; 4) объём Р целиком входит как часть в объём S.

§ 20. Шестое общее правило формулируется так: если вывод из данных посылок вообще возможен и если одна из посылок при этом отрицательная, то вывод также будет отрицательный.

Здесь одна из посылок — отрицательная, а другая — утвердительная. Это значит, что объём одного из терминов, входящих в вывод, стоит вне объёма среднего термина, а объём другого термина, входящего в вывод, составляет часть объёма среднего термина (см. рис. 52).

 

Рис. 52

На рисунке изображены отношения понятий, выражаемые посылками. Объём понятия «злаки» изображён кругом М, объём понятия «пшеница» — кругом S, объём понятия «споровые растения» — кругом Р. Из рисунка видно, что так как весь объём М находится вне объёма Р (бо́льшая посылка), то и объём S, входящий целиком как часть в объём М (меньшая посылка), находится весь вне объёма Р (вывод).

§ 21. Седьмое общее правило силлогизма формулируется так: из двух утвердительных посылок никогда нельзя получить отрицательного вывода. И действительно, отрицательный вывод получается при таком отношении между субъектом и предикатом вывода, когда весь объём предиката (Р) находится вне всего объёма субъекта (S) или по крайней мере вне какой-то части объёма субъекта. Для этого в свою очередь необходимо, чтобы весь объём Р оказался находящимся вне всего объёма среднего термина (М). Тогда, даже при условии, что объём S окажется принадлежащим в какой-то своей части к объёму М, весь объём Р будет находиться вне если не всего объёма S, то по крайней мере вне какой-то части объёма S, т. е. вывод будет отрицательный (см. рис. 53).

 

Рис. 53

На рисунке изображены отношения между понятиями силлогизма, обеспечивающие отрицательный вывод. Из рисунка видно, что объём Р во всяком случае должен быть весь вне всего объёма М. Что касается отношения объёма S к объёму М, то вывод может получиться отрицательным и в том случае, когда S входит в М только в известной части своего объёма (1), и — тем более — в случае, когда S входит в М всем своим объёмом (2). В первом случае вывод может получиться частноотрицательный, во втором — вывод всегда будет общеотрицательный.

Итак, объём Р должен быть весь вне всего объёма М, для того чтобы вывод мог получиться отрицательный. Но это значит, что одна из посылок силлогизма (бо́льшая) должна быть отрицательной.

Напротив, в случае, если обе посылки утвердительные, предикат вывода (Р) никак не может оказаться в таком отношении к субъекту вывода (S), при котором весь объём Р мог бы находиться вне всего или хотя бы вне какой-то части объёма S (см. рис. 54).

 

Рис. 54

На рисунке изображены отношения между S и Р в случае, когда обе посылки утвердительные. Из рисунка видно, что в этом случае вывод возможен только утвердительный: общеутвердительный (1) и частноутвердительный (2).

Итак, отрицательный вывод никогда не может быть получен пз двух утвердительных посылок.

§ 22. Восьмое общее правило силлогизма формулируется так: из двух частных посылок ни по какой фигуре силлогизма нельзя получить правильного вывода. И действительно, если обе посылки частноутвердительные (I, I), то это значит, что в них не распределён ни один термин. Так, в посылках «некоторые птицы зерноядны» и «некоторые водные животные — птицы» ни один термин не распределён. Термины субъекта не распределены как субъекты в частных суждениях, термины предиката не распределены как предикаты утвердительных суждений, выражающих подчинение понятий. Так как средний термин должен быть распределён по крайней мере в одной из посылок и так как при двух частных посылках условие это не может быть выполнено, то вывод из двух частных посылок невозможен (см. рис. 55).

 

Рис. 55

На рисунке представлены отношения понятий в двух частноутвердительных посылках. Посылки удостоверяют, что объём S известной частью входит в объём М, а объём М входит известной частью в объём Р. Но так как из посылок не видно, какой именно частью своего объёма входит S в М и какой — М в Р, то остаются открытыми две возможности: 1) объём S входит в объём М и объём М — в объём Р таким образом, что ни одна часть объёма S не оказывается принадлежащей объёму Р; 2) объёмы S, М и Р так относятся между собой, что некоторая часть объёма S оказывается принадлежащей объёму Р. В первом случае вывод будет отрицательный, во втором — частноутвердительный. Так как из посылок не видно, какая именно из обеих возможностей должна иметь место в каждом отдельном случае, то вывод из двух частноутвердительных посылок невозможен.

Но вывод невозможен и в случае, если одна из двух частных посылок утвердительная, а другая — отрицательная (I, О). Рассмотрим посылки «некоторые птицы — животные, вьющие гнёзда» и «некоторые животные, вьющие гнёзда, — не хищники». В таких посылках один термин, а именно предикат, отрицательной посылки распределён. Но мы знаем, что если одна из посылок отрицательная, то и вывод может получиться только отрицательный. Допустим, что вывод будет частноотрицательный. В таком случае в посылках силлогизма должны быть распределены по крайней мере два термина: средний, как во всяком силлогизме, и больший, так как, будучи предикатом отрицательного вывода, больший термин распределён в выводе, а потому должен быть распределён и в посылке. Но так как в наших посылках распределён только один термин, то вывод невозможен.

§ 23. Девятое общее правило формулируется так: если одна из посылок частная и если вывод вообще возможен, то он может быть только частным. Если обе посылки утвердительные и одна из них общая, а другая частная (А, I), то один термин — субъект общеутвердительной посылки — будет распределён. Но чтобы вывод получился общий, необходимо, чтобы в посылках были распределены два термина: средний, как во всех силлогизмах, и меньший, так как меньший термин не может быть распределён в выводе, если он не распределён в посылке. Но так как в нашем случае в посылках распределён всего лишь один термин, то вывод возможен только частный. Так, из посылок «все рыбы — позвоночные животные» и «некоторые водные животные — рыбы» можно получить только частный вывод: «некоторые водные животные суть позвоночные животные».

Если же из двух посылок одна утвердительная, а другая отрицательная, причём одна из них частная (IE, EI, ОА, АО), то в посылках будут распределены два термина: субъект общего суждения и предикат отрицательного. Однако и в этом случае вывод не может быть общим. И действительно, при одной отрицательной посылке вывод может получиться только отрицательный. Так как наши посылки — IE, EI, ОА, АО, то вывод из них может быть лишь отрицательный. Таким образом, наш общий вывод, в случае если бы он был возможен, должен был бы быть отрицательным. Но так как в общеотрицательном выводе распределены и субъект и предикат (субъект как субъект общего, предикат как предикат отрицательного суждения), то они должны быть распределены и в посылках. Кроме того, в одной из посылок должен быть распределён также и средний термин. Итак, для того чтобы вывод из наших посылок мог оказаться общим, в посылках должны быть распределены целых три термина. А так как в наших посылках распределены только два термина, то общий вывод из них невозможен.

§ 24. Десятое правило, общее для всех фигур силлогизма, формулируется так: если бо́льшая посылка — частная, а меньшая — отрицательная, то вывод невозможен. Рассмотрим, например, посылки: «некоторые гвардейцы — орденоносцы», «ни один боец Н-ской части — не гвардеец». Согласно большей посылке отношение между средним термином М («гвардейцы») и бо́льшим термином Р («орденоносцы») таково, что часть объёма М входит в объём Р (см. рис. 56).

 

Рис. 56

Согласно меньшей посылке отношение между меньшим термином S («бойцы Н-ской части») и средним термином М («гвардейцы») таково, что весь объём S целиком находится вне всего объёма М (см. рис. 57).

 

Рис. 57

Сопоставим теперь обе посылки и посмотрим, что можно вывести из них об отношении «бойцов Н-ской части» к «орденоносцам» (S к Р). То, что известно из посылок об отношениях между терминами М, Р и S, оставляет открытыми три возможных отношения между S и Р (см. рис. 58).

 

Рис. 58

Первая из них состоит в том, что, будучи целиком вне объёма М, объём S весь входит в объём Р. В этом случае, не будучи гвардейцами, все бойцы Н-ской части могут быть орденоносцами. Вторая состоит в том, что, будучи целиком вне объёма М, объём S известной своей частью входит в объём Р. В этом случае, не будучи гвардейцами, некоторые бойцы Н-ской части могут быть орденоносцами. Наконец, третья возможность состоит в том, что, будучи целиком вне объёма М, весь объём S находится также и вне всего объёма Р. В этом случае, не принадлежа к гвардейцам, ни один боец Н-ской части не принадлежит в то же время и к орденоносцам. Так как из посылок не видно, какая именно из этих трёх возможностей должна иметь место, то при указанных условиях (когда бо́льшая посылка — частная, а меньшая — утвердительная) вывод невозможен.

§ 25. Из сказанного видно, что различные по качеству и количеству силлогистические выводы требуют различных условий распределённости терминов в посылках.

Для получения частноутвердительного вывода (I) достаточно, если в посылках распределён только один средний термин.

Для получения общеутвердительного вывода (А) кроме среднего термина в посылках должен быть распределён также и меньший термин, так как он будет распределён в качестве субъекта общего суждения в выводе.

Для получения частноотрицательного вывода (О) кроме среднего термина в посылках должен быть распределён также и больший термин, так как он будет распределён в качестве предиката отрицательного суждения в выводе.

Наконец, для получения общеотрицательного вывода (Е) кроме среднего термина в посылках должны быть распределены и меньший и больший термины: меньший, так как он будет распределён в выводе в качестве субъекта общего суждения, и больший, так как он будет распределён в выводе в качестве предиката отрицательного суждения.

§ 26. Изложенные десять правил не должны быть нарушаемы ни в одном силлогизме, какова бы ни была его фигура, каков бы ни был модус его фигуры. Всякое нарушение их уничтожает возможность вывода, ведёт к логически ошибочному выводу.

Именно эта обязательность всех рассмотренных правил для каждого силлогизма объясняет нам, почему некоторые модусы невозможны, т. е. почему при некоторых сочетаниях качества и количества посылок невозможны правильные выводы. Невозможны все те модусы, в которых качество и количество посылок таково, что при этом качестве и количестве по крайней мере одно из правил силлогизма окажется нарушенным.

Почему, например, оказался невозможным рассмотренный нами модус АЕ первой фигуры:

Почему из этих посылок нельзя получить вывода, например, что «ни один аспирант не обязан держать экзамены»? Потому что вывод этот нарушил бы четвёртое общее для всех силлогизмов правило. Согласно этому правилу больший термин не может быть распределён в выводе, если он не распределён в большей посылке. В выводе «ни один аспирант не обязан держать экзамены» больший термин, как во всяком отрицательном суждении, был бы распределён. Поэтому он должен был бы быть распределён и в большей посылке. Но в нашем примере бо́льшая посылка —суждение «все студенты обязаны держать экзамены». Посылка эта — суждение общеутвердительное. А в общеутвердительном суждении, выражающем подчинение понятия субъекта понятию предиката, как нам известно, термин предиката не распределён. Не будучи распределённым в посылке, термин этот не может оказаться распределённым и в выводе. Поэтому вывод здесь — неправильный, и модус АЕ по первой фигуре невозможен.

Таким образом, не все арифметически возможные модусы, т. е. не все арифметически возможные сочетания качества и количества посылок, обосновывают правильные выводы. Из общего числа всех возможных модусов должны быть исключены все, в которых качество и количество посылок не соответствуют изложенным десяти правилам.

§ 27. Но этого мало. Кроме модусов, которые должны быть исключены как не соответствующие правилам, общим для всех фигур силлогизма, исключению подлежат также и все те модусы, которые не соответствуют особым правилам каждой фигуры в отдельности. Поэтому необходимо рассмотреть и эти правила.

Специальные правила каждой фигуры все могут быть выведены из основных правил силлогизма. Но эти же правила могут быть выведены из характера выводов, которые получаются по каждой из фигур силлогизма, т. е. из характера задач, для решения которых применяется каждая фигура.

 

Первая фигура и её особые правила

§ 28. Первая фигура простого категорического силлогизма применяется при решении вопроса о подчинении одного понятия другому. В силлогизмах первой фигуры из заключения мы узнаём, что понятие S или подчинено, или не подчинено понятию Р. В свою очередь подчинение (или неподчинение) понятия S понятию Р может быть или полным, или частичным. В случае полного подчинения понятия S понятию Р вывод получится общеутвердительный (А), в случае частичного — частноутвердительный (I). В случае полного отсутствия отношения подчинения понятия S понятию Р вывод получится общеотрицательный (Е), в случае частичного отсутствия отношения подчинения вывод получится частноотрицательный (О) (см. рис. 59).

 

Рис. 59

На рисунке представлены четыре возможных отношения между объёмами понятий S и Р, которые могут быть выяснены посредством силлогизмов первой фигуры. Во всех этих четырёх случаях изображены отношения между объёмами понятия S и Р. Но эти отношения между объёмами представляют лишь прямой результат отношений между содержанием понятия S и содержанием понятия Р.

Чтобы понятие S могло быть подчинено понятию Р, иными словами, чтобы объём S мог входить как часть в объём Р, необходимо, чтобы содержание понятия Р составляло часть содержания понятия S. Только зная, что все существенные признаки понятия Р входят в число существенных признаков понятия S, мы можем утверждать, что объём S есть часть объёма Р. Зная из меньшей посылки (S—М) о принадлежности предмета S к известному классу М и зная из большей посылки (М—Р) о принадлежности всем предметам этого класса известного свойства Р, мы можем заключить в выводе первой фигуры о принадлежности свойства Р предмету S. Так, зная, что все бамбуки — злаки (меньшая посылка) и что все злаки обладают свойством цвести колосками (бо́льшая посылка), мы, делая вывод по первой фигуре, узнаем, что бамбуки также обладают свойством цвести колосками.

Особенно важной чертой первой фигуры является способ, посредством которого в ней устанавливается вывод. Как во всяком силлогизме, в силлогизме первой фигуры отношение субъекта вывода к его предикату прямо не видно. Отношение это устанавливается через отношения субъекта и предиката вывода к некоторому третьему понятию.

Но эти отношения оказываются здесь отношениями подчинения: подчинение понятия М понятию Р устанавливается большей посылкой, подчинение понятия S понятию М — меньшей посылкой. В результате понятие S не только оказывается подчинённым понятию Р, но всё движение мысли в силлогизме первой фигуры оказывается движением от наиболее общего к наименее общему. Так, зная, что все амфибии — позвоночные и что все лягушки — амфибии, мы заключаем по первой фигуре, что все лягушки — позвоночные. Мы начали с рассмотрения наиболее общего класса — позвоночных, нашли в нём в качестве части его объёма класс амфибий и, наконец, рассмотрев класс амфибий, нашли в нём в качестве части его объёма класс лягушек. Иными словами, мы нашли, что все существенные признаки класса позвоночных, принадлежащие классу амфибий, должны принадлежать также и классу лягушек (см. рис. 60).

 

Рис. 60

Этой особенностью первой фигуры определяется область её применения. Первая фигура простого категорического силлогизма используется во всех операциях мышления, где известное общее правило или закон могут быть применены к частным случаям.

В свою, очередь этим применением первой фигуры определяются её особые правила.

§ 29. Первое из этих правил состоит в том, что меньшая посылка должна быть суждением утвердительным. Правило это необходимо, так как из меньшей посылки мы узнаём, что предмет (субъект вывода) принадлежит к тому самому классу, общее свойство которого раскрывается в большей посылке. Правило это выводится из общих основных правил силлогизма. И действительно, если бы меньшая посылка в первой фигуре была отрицательная, то вывод, согласно шестому общему правилу, также был бы отрицательным. Это значило бы, что больший термин как сказуемое отрицательного суждения был бы распределён. Но, будучи распределённым в выводе, больший термин должен был бы быть распределён и в большей посылке. Однако в нашем случае это невозможно. И действительно, так как мы предположили, что меньшая посылка — отрицательная, и так как при отрицательности меньшей посылки бо́льшая посылка должна быть утвердительной, то больший термин как предикат утвердительного суждения, выражающего подчинение S и Р, не может быть распределён. Итак, при отрицательной меньшей посылке вывод по первой фигуре невозможен.

§ 30. Второе специальное правило первой фигуры состоит в том, что бо́льшая посылка должна быть суждением общим.

И действительно, если бы бо́льшая посылка в первой фигуре была частная, то средний термин как субъект частного суждения не был бы распределён в большей посылке. Но в то же время он не был бы распределён и в меньшей посылке. В самом деле, меньшая посылка первой фигуры, согласно только что доказанному особому правилу первой фигуры, должна быть непременно утвердительной. А так как средний термин является в ней предикатом, то как предикат утвердительного суждения, выражающего отношение подчинения S и Р, он не будет распределён. Таким образом, если бы бо́льшая посылка первой фигуры была частной, то это значило бы, что средний термин оказался бы не распределённым ни в одной из посылок. Но это невозможно. Поэтому бо́льшая посылка должна быть общей.

Правило это необходимо, так как в случае его нарушения бо́льшая посылка не могла бы выражать тот общий закон, в применении которого состоят выводы первой фигуры.

§ 31. Теперь легко установить, какие модусы способны дать правильный вывод по первой фигуре. Для этого исключим из числа всех арифметически возможных модусов, во-первых, те, по которым вывод невозможен в силу правил, общих для всех фигур, и, во-вторых, те, по которым вывод невозможен в силу особых правил первой фигуры. После этого исключения, очевидно, останутся только правильные модусы первой фигуры.

Так как в силлогизме две посылки и так как каждая из них теоретически может иметь любое качество и количество, т. е. может быть общеутвердительной, частноутвердительной, общеотрицательной и частноотрицательной, то, очевидно, в первой фигуре (так же, как и во второй и третьей) арифметически возможны шестнадцать модусов:

Исключим все модусы, в которых качество и количество посылок таковы, что, согласно общим для всех фигур и особым для первой в отдельности правилам, вывод невозможен. Во-первых, отпадут все модусы, в которых обе посылки отрицательные: ЕЕ, ЕО, ОЕ, OO. Во-вторых, отпадут все модусы, в которых обе посылки частные: II, IO, OI, OO. В-третьих, отпадут, согласно особым правилам первой фигуры, все модусы, в которых бо́льшая посылка частная: IA, IE, ОА. В-четвёртых, отпадут, согласно особым правилам первой фигуры, все модусы, в которых меньшая посылка отрицательная: АЕ, АО.

В результате останутся всего четыре модуса первой фигуры: АА, ЕА, AI, EI, в которых количество и качество посылок не противоречат ни общим, ни специальным для первой фигуры правилам силлогизма.

В модусе АА меньшая посылка устанавливает принадлежность всего класса S к классу М, а бо́льшая —принадлежность всего класса М к классу Р. Это отношение терминов даёт основание утверждать в выводе принадлежность всего класса S к классу Р. Таким образом, по модусу АА вывод получается общеутвердительныи (А), и всё строение модуса может быть обозначено ААА.

Пример: «Все амфибии —позвоночные, все лягушки —амфибии, следовательно, все лягушки — позвоночные».

В модусе ЕА меньшая посылка устанавливает принадлежность всего класса S к классу М, а бо́льшая ставит весь объём класса Р вне всего объёма класса М. Это отношение терминов даёт основание исключить в выводе весь класс S из всего класса Р. Таким образом, по модусу ЕА вывод получается общеотрицательный (Е), и всё строение модуса может быть обозначено ЕАЕ.

Пример: «Ни одна планета не есть звезда, все астероиды суть планеты, следовательно, ни один астероид не есть звезда».

В модусе AI меньшая посылка устанавливает принадлежность некоторых S к классу М, а бо́льшая — принадлежность всего класса М к классу Р. Это отношение между терминами даёт основание лишь для частноутвердительного вывода (I), так как меньший термин, не распределённый в посылке, не может оказаться распределённым в выводе. Всё строение этого модуса может быть обозначено AII.

Пример: «Все рыбы — позвоночные животные, некоторые водные животные — рыбы, следовательно, некоторые водные животные — позвоночные животные».

В модусе ЕІ меньшая посылка устанавливает принадлежность некоторых S к классу М, а бо́льшая ставит весь класс Р вне всего класса М. На основании этого отношения терминов в выводе силлогизма из всего класса Р исключаются те самые «некоторые», принадлежность которых к М установлена меньшей посылкой. Иными словами, вывод получается частноотрицательный (О), и всё строение модуса может быть обозначено ЕIO.

Пример: «Ни один гриб не размножается семенами, некоторые растения — грибы, следовательно, некоторые растения не размножаются семенами».

§ 32. Итак, все четыре модуса первой фигуры, оставшиеся после исключения невозможных модусов, дают правильные выводы. Сравнивая качество и количество правильных выводов первой фигуры, замечаем, что по первой фигуре возможны выводы всех видов качества и количества: общеутвердительные (модус ААА), общеотрицательные (модус ЕАЕ), частноутвердительные (модус АII) и частноотрицательные (модус ЕIO). Этой способностью давать выводы любого качества и количества первая фигура отличается от всех остальных.

Ещё важнее способность первой фигуры обосновывать общеутвердительный вывод (модус ААА). Как увидим далее, ни один модус никакой другой фигуры не даёт общеутвердительного вывода. Значение модуса ААА первой фигуры чрезвычайно велико. При помощи этого модуса к целому классу или разряду предметов может быть применён общий закон, выражающий положительное свойство более широкого класса предметов. Так, законы небесной механики, открытые Ньютоном, и сформулированные в общем виде, могут применяться и применяются при изучении движений не только планет, но и орбитальных двойных звёзд.

Особенно широко применение первой фигуры (именно, модуса ААА) в математических доказательствах и при решении математических задач. Так называемые прямые доказательства теорем, представляющих утвердительные суждения, ведутся в подавляющем большинстве случаев по этому модусу.

Рассмотрим как пример применения силлогизмов решение простой геометрической задачи.

 

Рис. 61

В равнобедренном треугольнике ABC известны основание ВС=а и высота AD=h. Чему будет равна сторона АС? Начертим равнобедренный треугольник АВС (см. рис. 61), обозначим в нём известные нам элементы буквами h и а. Обозначим неизвестную нам сторону АС посредством буквы x. Из геометрии известно, что во всяком равнобедренном треугольнике высота его делит основание пополам. Треугольник ABC — равнобедренный. Следовательно, в нём высота АD, опущенная из вершины острого угла А, делит основание а пополам. Следовательно, DC=a/2. Рассмотрим теперь треугольник ADC. В нём сторона АD по условию задачи известна и равняется h, сторона DС только что определена и равняется a/2, а угол ABC — прямой, так как сторона AD есть высота треугольника ABC.Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равняется сумме квадратов катетов. Поэтому в прямоугольном треугольнике ADC, в котором гипотенузаАС=х, а катеты АВ=h и DС=a/2, x 2 =h 2 + (a/2) 2 . Решая квадратное уравнение, получаем: х = √ (h2 + (a/2)2).

Рассмотрим те части нашего рассуждения, которые выделены курсивом. В каждой из них речь идёт о другом предмете, но самый ход мысли — одинаковый. В первой выделенной курсивом части рассуждения доказывается, что в данном треугольнике ABC высота делит основание пополам, во второй доказывается, что искомая сторона АС может быть найдена как гипотенуза прямоугольного треугольника ADC. Но и в первой и во второй части доказываемые положения устанавливаются при помощи силлогизмов. В первой части из посылок, что «во всяком равнобедренном треугольнике высота его делит основание пополам» и что «данный треугольник ABC — равнобедренный», мы заключили, что, «следовательно, и в данном треугольнике ABC высота АD делит основание пополам».

Во второй части рассуждения, после того как было найдено, что DС=a/2 и что треугольник ADC — прямоугольный, мы умозаключали следующим образом: «Так как во всяком прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равняется сумме квадратов катетов и так как треугольник ADC есть прямоугольный, то и в нём квадрат гипотенузы равняется сумме квадратов катетов», или «x2=h2+ (a/2)2».

Рассуждение это также есть силлогизм.

По модусу ААА обычно ведётся умозаключение суда на правильно поставленном судебном процессе. Установление факта преступления образует здесь меньшую посылку: «S—М». Закон, определяющий меру наказания для преступления данного состава, образует бо́льшую посылку: «М—Р». Приговор суда, определяющий для доказанного преступления предусмотренную законом меру наказания, образует вывод: «S—Р».

Умозаключение по модусу ААА первой фигуры силлогизма постоянно применяется и в практике повседневного мышления. Модус этот применяется всюду там, где на основе известного знания или положения, имеющего общее значение, указываются особые, или частные, методы, пригодные для достижения цели. Так, зная общее свойство удобрений повышать урожайность и зная, что апатиты представляют один из видов удобрения, хозяйственник применяет апатиты в земледелии.

С целью облегчить запоминание правильных модусов, каждый правильный модус обозначается особым искусственным, т. е. специально придуманным, латинским словом, в котором первая гласная означает качество и количество большей посылки, вторая гласная — качество и количество меньшей посылки, а третья гласная — качество и количество вывода. Названия модусов первой фигуры следующие:

Barbara, Сelarent, Darii, Ferio.

 

Вторая фигура и её особые правила

§ 33. Перейдём к рассмотрению второй фигуры простого категорического силлогизма:

Вывод по второй фигуре устанавливает, что предметы класса S не могут принадлежать к классу Р, так как они не обладают свойствами, которые принадлежат предметам класса Р и которые удостоверяются в посылках.

Рассмотрим примеры:

Примеры эти представляют две разновидности второй фигуры силлогизма. В первом примере бо́льшая посылка удостоверяет, что известное свойство М принадлежит всем предметам, входящим в класс Р, а меньшая посылка устанавливает, что предметы класса S не обладают свойством М. Из этого отношения терминов следует вывод, что ни один предмет класса S не может входить в класс предметов Р.

 

Рис. 62

Во втором примере бо́льшая посылка удостоверяет, что ни один предмет класса Р не обладает свойством М, а меньшая посылка устанавливает, что все предметы класса S обладают свойством М. Из этого отношения терминов следует, что ни один предмет класса S не может входить в класс предметов Р (см. рис. 62).

На рисунке изображено отношение между понятиями в обоих наших примерах второй фигуры. Из рисунка видно, что в обоих примерах вывод приводит к исключению класса предметов S из класса предметов Р и наоборот.

Но это исключение объёма одного понятия из объёма другого возможно только потому, что, как видно из посылок, существенные признаки обоих понятий, образующие их содержание, оказались несовместимыми.

В первом случае (1) бо́льшая посылка удостоверяет, что все существенные признаки понятия М входят как часть в число существенных признаков понятия Р и потому весь объём Р оказывается частью объёма М. Меньшая посылка удостоверяет, что существенные признаки понятия S несовместимы с существенными признаками понятия М. Но так как все существенные признаки понятия М входят в число существенных признаков понятия Р, то, будучи несовместимыми с существенными признаками М, существенные признаки S и подавно несовместимы с существенными признаками Р. А отсюда следует, что весь объём S находится вне всего объёма Р.

Во втором случае (2) бо́льшая посылка удостоверяет, что существенные признаки понятия Р несовместимы с существенными признаками понятия М и потому весь объём Р находится вне всего объёма М. Меньшая посылка удостоверяет, что все существенные признаки понятия М входят как часть в число существенных признаков понятия S и потому весь объём S есть часть объёма М. Но так как все существенные признаки М входят в число существенных признаков S, то, будучи несовместимы с существенными признаками М, существенные признаки Р будут несовместимы также и с существенными признаками S. А это значит, что весь объём S будет вне всего объёма Р.

Общим для обоих примеров является то, что в них вывод состоит в исключении предмета из класса на основании установленного посылками отличия свойств предмета от свойств класса.

§ 34. Этим значением второй фигуры определяются её особые правила. Согласно первому из них, бо́льшая посылка должна быть суждением общим. И действительно, исключить предмет S из класса предметов Р, основываясь при этом на свойствах предмета S, можно лишь при условии, если все предметы класса Р обладают свойством, противоположным свойству предмета S.

Чтобы исключить класс планет из класса звёзд, основываясь на свойстве планет иметь быстрое видимое движение относительно других светил, необходимо знать, что все звёзды обладают противоположным свойству планет свойством: не имеют быстрого видимого движения относительно других светил. Чтобы исключить класс эгоистов из класса героев, основываясь на неспособности эгоистов подчинять личное общественному, необходимо знать, что все герои обладают противоположным свойству эгоистов свойством: способны подчинять личное общественному.

§ 35. Согласно второму специальному для второй фигуры правилу, одна из посылок должна быть отрицательной. При отсутствии отрицательной посылки, посредством которой выясняется несовместимость свойства предмета и свойств предметов класса, не будет достаточного основания для исключения предмета из класса. Но какая именно из посылок — бо́льшая или меньшая — должна быть отрицательной, правило не указывает. Так, в нашем первом примере отрицательна меньшая посылка, бо́льшая же утвердительна. Во втором примере, наоборот, отрицательна бо́льшая посылка, меньшая же утвердительна. И действительно, исключение предмета из класса может основываться как на том, что предмет S не обладает свойством М, необходимо принадлежащим всем предметам класса Р, так и на том, что ни один предмет класса Р не обладает свойством М, необходимо принадлежащим предмету S. В первом случае отрицательной будет меньшая посылка, во втором случае — бо́льшая.

По второй фигуре могут быть получены только отрицательные выводы. Черта эта следует из основного назначения второй фигуры, состоящего в том, что в выводе предмет S исключается из класса предметов Р.

Отрицательные выводы могут быть получены не только по второй фигуре. Выше мы уже убедились, что из четырёх возможных правильных модусов первой фигуры два (Celarent и Ferio) также дают отрицательные выводы: общеотрицательный и частноотрицательный. С другой стороны, в дальнейшем мы убедимся в том, что и по третьей фигуре возможны отрицательные выводы.

Особенность второй фигуры, отличающая её от остальных, вовсе не в том, что только одна вторая фигура способна давать отрицательные выводы. Особенность второй фигуры состоит, во-первых, в том, что по второй фигуре невозможны никакие другие выводы, кроме отрицательных. Отрицательный вывод — не просто один из возможных для силлогизма второй фигуры случаев. Отрицательный вывод есть основная цель всякого силлогизма второй фигуры. Задача этой фигуры в том и состоит, чтобы, установив несовместимость существенных признаков понятий S и Р, показать, что объёмы этих понятий исключают друг друга.

Поэтому отрицание, выражаемое модусами второй фигуры, отличается от отрицания, выражаемого модусами, например, первой фигуры. В этом отличии — другая особенность второй фигуры. И действительно, в отрицательных модусах первой фигуры отрицательный вывод получается как отрицательный ответ на вопрос о принадлежности класса S к классу Р. Но самый вопрос при этом имеет не отрицательный, а положительный смысл: нас интересует именно принадлежность S к Р; модусы Barbara и Darii выясняют, что отношение этой принадлежности имеет место, модусы Celarent и Ferio,— что отношения этой принадлежности нет налицо.

Напротив, во всех без исключения модусах второй фигуры задачей вывода является именно доказательство несовместимости существенных признаков понятий S и Р, а следовательно, раздельности объёмов этих понятий. Здесь (разумеется, если вывод обоснован) не может быть и речи об утвердительном результате: вывод может быть только отрицательный.

Таким образом, различие между отрицательными модусами первой фигуры и отрицательными модусами второй фигуры выражает различие нашего интереса. В одних случаях нас интересует положительный результат, и отрицание является лишь обнаружением того, что в данном случае положительный результат, каким бы желательным он ни был, всё же невозможен. Так обстоит дело с отрицательными модусами первой фигуры.

В других случаях нас, напротив, интересует отрицательный результат, и вопрос идёт лишь об условиях и о полноте самого отрицания. Так обстоит дело со всеми модусами второй фигуры.

§ 36. Оба специальные правила второй фигуры могут быть выведены и из правил, общих для всех фигур силлогизма. Правило, по которому одна из посылок должна быть отрицательной, легко выводится из условий распределённости терминов. Если бы обе посылки были утвердительные, то средний термин оказался бы как предикат утвердительного суждения, выражающего подчинение понятия S понятию Р, в обеих посылках нераспределённым, и вывод был бы невозможен.

Правило, по которому бо́льшая посылка не может быть частной, также следует из условий распределённости терминов. И действительно, согласно первому специальному правилу второй фигуры, одна из посылок в этой фигуре должна быть отрицательной. Это значит, что и вывод, по шестому общему для всех силлогизмов правилу, будет отрицательный. Но в отрицательных выводах больший термин (как предикат отрицательного суждения) всегда распределён. Будучи распределённым в выводе, больший термин, согласно четвёртому общему правилу, должен быть распределён и в большей посылке. По условиям второй фигуры больший термин в большей посылке есть субъект. Но термин субъекта распределён только в общих суждениях. Итак, бо́льшая посылка не может быть частной.

§ 37. Все возможные правильные модусы второй фигуры устанавливаются тем же способом, что и модусы первой фигуры. Исключив из шестнадцати арифметически возможных модусов все модусы, противоречащие общим правилам всех фигур и особым правилам второй фигуры, получаем четыре правильных модуса второй фигуры: ЕА, АЕ, EI, АО.

В модусе ЕА вывод, как легко показать из условий распределённости терминов, будет общеотрицательный (Е), и всё строение модуса может быть обозначено ЕАЕ.

Пример: «Ни один жир не растворяется в воде, все спирты растворяются в воде; следовательно, ни один спирт не есть жир».

В модусе ЕА вывод получается также общеотрицательный (Е), и всё строение модуса может быть обозначено АЕЕ.

Пример: «Все насекомые — трахейнодышащие, ни один паук — не трахейнодышащий; следовательно, ни один паук не есть насекомое».

В модусе EI вывод получается частноотрицательный (О), и всё строение модуса может быть обозначено ЕIO.

Пример: «Ни одно растение, имеющее корневище, не бывает однолетним, некоторые фиалковые имеют корневище; следовательно, некоторые фиалковые — не однолетние растения».

В модусе АО вывод получается также частноотрицательный (О), и всё строение модуса может быть обозначено АОО.

Пример: «Все раскалённые твёрдые тела дают непрерывный спектр, некоторые туманности не дают непрерывного спектра; следовательно, некоторые туманности не суть раскалённые твёрдые тела».

Условные названия модусов второй фигуры:

Cesare, Camestres, Festino, Ваrосо.

Сравнивая выводы, возможные по второй фигуре, видим, что все они действительно могут быть только отрицательными: общеотрицательными или частноотрицательными.

Отсюда не следует, однако, что отрицательные выводы, единственно возможные по второй фигуре, не имеют ценности для знания.

Уже было показано, что модусы второй фигуры применяются в тех случаях, когда предметом нашего интереса является именно отрицание, а не утверждение. Но такие случаи не редки. И в практической деятельности и в деятельности научного познания наш интерес направлен к выяснению не только того, что соединяет, но и того, что разделяет. Установление различия, неоднородности, несовместимости часто представляет величайший интерес как практический, так и теоретический.

С другой стороны, отрицательные выводы, мало интересные сами по себе, в ряде случаев могут быть использованы как средство, подготовляющее положительное решение вопроса. Многие сложные задачи решаются путём последовательного исключения тех случаев, в которых искомое решение не может быть найдено, пока, наконец, не доходят до единственно оставшегося случая, представляющего положительное решение. В исследованиях такого рода исключение совершается на основе отрицательных выводов до второй фигуре. Допустим, что, исследуя какое-либо газообразное вещество, мы зададимся вопросом, не находится ли в составе этого вещества натрий. Зная, что спектр газообразных веществ, заключающих в своём составе натрий, имеет характерную яркожёлтую линию, и установив, что исследуемое вещество не даёт в спектре этой линии, заключаем по второй фигуре (модус Camestres), что в исследуемом веществе натрий отсутствует.

Другой пример. Если мы знаем, что в данной смеси могут быть только некоторые из веществ m, k, n, 1, р, но не знаем, какие именно, то один из способов решения вопроса состоит в том, что, установив на основе отрицательных выводов по второй фигуре невозможность присутствия, например, веществ k, 1, р, мы приходим к выводу, что в состав смеси входят m и n.

 

Логический ход умозаключения в силлогизмах первой и второй фигур

§ 38. Логический ход умозаключения в силлогизмах второй фигуры существенно отличается от хода умозаключений в силлогизмах первой фигуры.

В силлогизмах первой фигуры умозаключение идёт от группы предметов к отдельным предметам. И действительно: бо́льшая посылка в силлогизме первой фигуры есть суждение о целой группе предметов. Но вместе с тем предикат этого суждения есть не только предикат всей группы, но и предикат каждого её члена порознь. Поэтому, установив в меньшей посылке, что какой-нибудь предмет в действительности есть один из членов группы, мы можем приписать этому отдельному предмету определение всей группы.

Напротив, в силлогизмах второй фигуры умозаключение основывается на сопоставлении предикатов, или, что то же, на сопоставлении определений субъектов обеих посылок. Сопоставление это обнаруживает, что оба определения стоят друг к другу в отношении логической противоположности и что предмет одного определения не может быть тождественным с предметом другого. Поэтому установление логической противоположности двух предикатов оказывается в силлогизмах второй фигуры основанием для утверждения, что субъект одного из них не может быть субъектом другого. Поэтому же все выводы по второй фигуре могут быть только отрицательные.

 

Третья фигура и её особые правила

§ 39. Третья фигура простого категорического силлогизма:

Выводы по третьей фигуре применяются всюду там, где предметом нашего интереса является познание частного. Область интереса к частному чрезвычайно обширна. Было бы неверно думать, будто частное может нас интересовать только как средство к познанию общего. Конечно, в ряде случаев частное привлекает наше внимание именно как такое средство. К познанию общего мы идём через познание частного. В этих случаях мы пользуемся тем, что общее раскрывает свои свойства, проявляясь в частном. Так, мы хотим познать свойства дерева вообще, всякого дерева. Но мы не видим «дерева вообще», мы видим только частные случаи или разновидности дерева — вот этот дуб, вот эту берёзу, вот эту ель и т. д. Изучая свойства дуба, берёзы, ели, мы уясняем свойства не только этих частных пород, но и свойства дерева вообще.

Однако кроме случаев, когда познание частного есть только ступенька к познанию общего, имеется множество случаев, когда частное оказывается предметом нашего интереса и познания уже не в качестве способа познания общего, но и само по себе, т. е. именно в качестве частного. Я могу интересоваться не теми свойствами дуба, из которых видно, что дуб есть только случай, или вид, дерева, но именно теми его свойствами, которыми дуб отличается от всех других деревьев: берёз, елей, сосен, клёнов и т. д.

Когда наша мысль движется от частного к общему так, что интерес к частному есть лишь ступень к познанию общего, мы применяем различные формы так называемых индуктивных умозаключений. Формы эти будут рассмотрены нами в своём месте (см. гл. XI).

Когда предметом нашей мысли оказывается частное само по себе, а не в качестве средства к познанию общего, мы пользуемся различными модусами третьей фигуры силлогизма.

Примеры силлогизмов третьей фигуры:

В первом примере бо́лыпая посылка удостоверяет, что все М принадлежат к классу Р, меньшая — что все М принадлежат к классу S (см. рис. 63).

 

Рис. 63

На рисунке представлены отношения между понятиями в посылках. Из рисунка видно, что весь объём М входит как часть и в объём Р и в объём S. Но так как из посылок не видно, какую именно часть объёма Р и какую именно часть объёма S занимает объём М, то в выводе мы не можем утверждать, что все S принадлежат к Р; мы можем утверждать только то, что некоторые S принадлежат к Р. А именно: общей у S и Р будет та часть объёма каждого из этих понятий, которая занята объёмом М.

Во втором примере бо́льшая посылка устанавливает, что ни одно М не принадлежит к числу Р. Меньшая посылка устанавливает, что все М принадлежат к S (см. рис. 64).

 

Рис. 64

На рисунке изображены отношения между понятиями в посылках. Из рисунка видно, что весь объём класса М находится вне всего объёма класса Р и что тот же весь объём класса М входит как часть в объём класса S. Так как, будучи все членистоногими, пауки в то же время не являются насекомыми, то отсюда следует вывод, что некоторая часть членистоногих (пауки) — не насекомые: некоторые S не принадлежат к Р.

И в том и в другом примере третьей фигуры вывод получается частный: в первом примере частноутвердительный, во втором — частноотрицательный.

Часто третья фигура применяется для доказательства частичной совместимости двух понятий, о которых почему-либо принято думать, будто они вовсе несовместимы. Пусть кто-нибудь полагает, будто ни одно млекопитающее не кладёт яиц. Полагающий таким образом, очевидно, утверждает полную несовместимость понятий «млекопитающее» и «яйцекладущее». Мысль его может быть выражена посредством общего суждения «ни одно млекопитающее не есть яйцекладущее».

Чтобы опровергнуть это общее суждение, достаточно доказать истинность противоречащего ему частного суждения.

Таким частным суждением будет, очевидно, суждение «некоторые млекопитающие — яйцекладущие». Суждение это может быть выведено по третьей фигуре силлогизма:

Так как суждение, противоречащее общему суждению, будет всегда частным и так как частичная совместимость понятий устанавливается в частном суждении, то выводы третьей фигуры, применяемой либо для опровержения общих суждений через противоречащие им частные, либо для доказательства частичной совместимости понятий, могут быть только частными.

§ 40. Из этих задач вытекает особое правило третьей фигуры. Правило это формулируется так: меньшая посылка должна быть утвердительной. И действительно, если бы меньшая посылка третьей фигуры была отрицательной, то вывод также должен был бы быть отрицательным. Но это значит, что больший термин, как сказуемое отрицательного суждения, должен был бы быть распределён в выводе. Однако, чтобы быть распределённым в выводе, больший термин должен быть распределён в большей посылке. Так как мы предположили, что меньшая посылка отрицательная, то бо́льшая должна быть утвердительной. Но так как в третьей фигуре больший термин — предикат, то как предикат утвердительного суждения, выражающего подчинение понятия S понятию Р, он не может быть распределён, и, стало быть, вывод о третьей фигуре в случае отрицательности меньшей посылки невозможен.

§ 41. Исключив из числа шестнадцати арифметически возможных модусов третьей фигуры все модусы, противоречащие общим правилам всех фигур и специальному правилу третьей, получаем шесть модусов третьей фигуры: АА, ЕА, IA, AI, ОА, EI.

В модусе АА вывод получается частноутвердительный (I), и всё строение модуса может быть обозначено AAI.

Пример: «Все киты — млекопитающие, все киты — водные животные, следовательно, некоторые водные животные — млекопитающие».

В модусе ЕА вывод получается частноотрицательный (О), и всё строение модуса может быть обозначено ЕАО.

Пример: «Ни один гриб не имеет хлорофила, все грибы — растения, следовательно, некоторые растения не имеют хлорофила».

В модусе IA вывод получается частноутвердительный (I), и всё строение модуса может быть обозначено IAI.

Пример: «Некоторые планеты имеют спутников, все планеты вращаются вокруг солнца, следовательно, некоторые тела, вращающиеся вокруг солнца, имеют спутников».

В модусе AI вывод получается частноутвердительный (I), и всё строение модуса может быть обозначено AII.

Пример: «Все бобры — водные животные, некоторые бобры строят себе домики для жилья, следовательно, некоторые животные, строящие себе домики для жилья, водные животные».

В модусе ОА вывод получается частноотрицательный (О), и всё строение модуса может быть обозначено ОАО.

Пример: «Некоторые планеты не имеют спутников, все планеты вращаются вокруг солнца, следовательно, некоторые тела, вращающиеся вокруг солнца, не имеют спутников».

Наконец, в модусе EI вывод получается также частноотрицательный (О), и всё строение модуса может быть обозначено ЕIO.

Пример: «Ни один аспирант не есть студент, некоторые аспиранты обязаны слушать лекции, следовательно, некоторые лица, обязанные слушать лекции, — не студенты».

Условные имена шести модусов третьей фигуры следующие: Darapti, Felapton, Disamis, Datisi, Bocardo, Ferison.

Таким образом, все три фигуры простого категорического силлогизма дают всего четырнадцать правильных модусов. Другие модусы в этих фигурах невозможны, т. е. не могут быть основанием для правильного вывода.

 

Логический ход умозаключения по третьей фигуре

§ 42. Умозаключения по третьей фигуре имеют в самом логическом ходе вывода особенности, отличающие их от умозаключений первой и второй фигуры. От умозаключений второй фигуры, в которых логический ход умозаключения основывается на сличении предикатов обеих посылок, умозаключения третьей фигуры отличаются тем, что в них, как и в умозаключениях первой фигуры, сличаются субъекты обеих посылок.

Рассмотрим умозаключение:

Принадлежность части млекопитающих к водным животным выводится из выясненной в посылках принадлежности всех бобров и к водным животным и к млекопитающим.

В то же время умозаключения третьей фигуры отличаются и от умозаключений первой фигуры. В умозаключениях первой фигуры логический ход вывода состоит в том, что, установив в меньшей посылке принадлежность какого-нибудь предмета к известной группе предметов, мы переносим на отдельный предмет, мыслимый в меньшей посылке, предикат, характеризующий группу в целом. Перенесение это основывается на том, что предикат большей посылки есть не только предикат всей группы в целом, но вместе с тем и предикат каждого её члена порознь.

Рассмотрим силлогизм:

Установив в меньшей посылке принадлежность лягушек к амфибиям и установив в большей посылке, что принадлежность к позвоночным есть свойство не только всей группы амфибий в целом, но и каждого члена группы амфибий, мы можем приписать всем лягушкам принадлежность к позвоночным.

В умозаключениях третьей фигуры логический ход вывода другой. Хотя в заключениях этой фигуры общими посылками обосновывается частный вывод, смысл умозаключения состоит не в том только, чтобы высказать предикат относительно некоторых членов группы. Когда из посылок «все бобры — водные животные», «все бобры — млекопитающие» выводят, что «некоторые млекопитающие — водные животные», смысл этого заключения не только в том, чтобы известной части млекопитающих приписать принадлежность к водным животным. Смысл заключения в том, чтобы предикат «водные животные» указать не только в качестве предиката к субъекту «некоторые млекопитающие», но также в качестве возможного предиката, или определения группы млекопитающих.То новое, что мы узнаём из этого силлогизма, заключается не в мысли, что часть млекопитающих — водные животные. Это мы, в сущности, знаем уже из посылки «все бобры — водные животные». Новое, что мы узнаём из этого силлогизма, есть мысль, что млекопитающие могут быть водными животными, иными словами, что принадлежность к водным животным есть возможная характеристика всей группы млекопитающих, хотя в действительности эта характеристика всегда может прилагаться, как видно из заключения силлогизма, только к части членов группы млекопитающих. Иными словами, новое, доставляемое этим силлогизмом, состоит в мысли, что группа млекопитающих как целое, как группа характеризуется тем, что некоторые члены этой группы, например бобры, могут быть водными животными.

То, что заключение силлогизма третьей фигуры может быть только частным суждением, ни в какой мере не противоречит тому, что вывод третьей фигуры есть, в сущности вывод о группе предметов в целом. Частный характер этих выводов показывает только то, что возможность отнесения предиката заключения к целой группе ограничена какой-то, точно не определённой частью группы: хотя принадлежность к водным животным есть возможная принадлежность всей группы млекопитающих и хотя в этом смысле можно сказать, что субъектом в заключении является сама группа млекопитающих в целом, — всё же эта характеристика целой группы остаётся здесь неполной и недостаточной: мы не знаем из заключения, какая именно часть млекопитающих — водные животные.

Применение силлогизмов третьей фигуры для опровержения ошибочных суждений о группе доказывает справедливость сказанного. Так, утверждению «атомизм несовместим с учением о возможности свободы» можно в качестве опровержения противопоставить следующий силлогизм третьей фигуры:

В этом силлогизме субъектом заключения «некоторые атомисты утверждали возможность свободы» является, несмотря на частный характер заключения, именно группа в целом: вся группа атомистов характеризуется как такая, внутри которой как её часть могут быть найдены лица, допускавшие возможность свободы.

 

Четвёртая фигура и её особые правила

§ 43. Рассмотренные четырнадцать правильных модусов были установлены основателем науки логики, древнегреческим философом Аристотелем (384—322 до н. э.). Уже ближайшие продолжатели логических работ Аристотеля обратили внимание на то, что в первой фигуре кроме указанных Аристотелем четырёх модусов возможны ещё пять. Модусы эти возможны в случае, если средний термин является предикатом в большей посылке и субъектом в меньшей. (В аристотелевской первой фигуре средний термин является, напротив, субъектом в большей посылке и предикатом — в меньшей.)

Спустя 500 лет после Аристотеля учёный Гален выделил правильные модусы, получающиеся при таком расположении терминов, в новую — четвёртую — фигуру.

Схема четвёртой фигуры:

Хотя четвёртая фигура теоретически возможна и даёт пять правильных модусов, в действительном мышлении выводы по четвёртой фигуре не встречаются. Искусственность четвёртой фигуры состоит в том, что положение меньшего и большего терминов в выводе обратно положению этих терминов в посылках. Поэтому нельзя придумать ни одного примера вывода по четвёртой фигуре, который не был бы искусственным.

Например:

Здесь естественным был бы, конечно, вывод по первой фигуре:

Ввиду совершенной искусственности четвёртой фигуры отметим только важнейшие её особенности без подробного их рассмотрения и выведения.

Выводы по четвёртой фигуре могут быть частноутвердительные, общеотрицательные и частноотрицательные.Общеутвердительных выводов четвёртая фигура (так же как вторая и третья) не даёт. Общий вывод по четвёртой фигуре может быть только отрицательный. При утвердительности большей посылки меньшая посылка в четвёртой фигуре должна быть общей. При отрицательности одной из посылок большая посылка в четвёртой фигуре должна быть общей.

Правильные модусы четвёртой фигуры: AAI, АЕЕ, IAI, ЕАО, ЕIO. Их искусственные названия — Bramantip, Camenes, Dimaris, Fesapo, Fresison.

Таким образом, учитывая возможность добавочных пяти модусов четвёртой фигуры, получаем всего девятнадцать правильных модусов простого категорического силлогизма.

 

Сведение всех фигур простого категорического силлогизма к первой фигуре

§ 44. Каждая из фигур со всеми своими модусами самостоятельна и имеет свою особую область применения. Но так как отношение между меньшим и бо́льшим терминами, составляющее вывод, определяется отношениями между всеми тремя понятиями силлогизма и так как отношения эти могут раскрываться в различном порядке — смотря по тому, с какого понятия. мы начнём рассмотрение, — то вывод, сделанный по какой-нибудь фигуре силлогизма, может быть сделан и по любой другой (если только этому не противоречит качество и количество вывода). Такое изменение вывода, сделанного по какой-либо фигуре силлогизма, в вывод, сделанный по другой фигуре, называется сведением.

В логике подробно устанавливаются правила сведения всех фигур к первой фигуре — ввиду того значения, какое выводы по первой фигуре, особенно модус Barbara, имеют в научном и повседневном мышлении.

Обычно выводы по третьей фигуре сводятся к выводам по первой фигуре путём обращения одной из посылок.

Например, вывод по третьей фигуре

может быть изменён в вывод по первой фигуре. Для этого, оставив бо́льшую посылку без изменения, обращаем меньшую посылку: «все киты — водные животные». Обращение общеутвердительного суждения, выражающего подчинение понятия S понятию Р даёт, как известно, суждение частноутвердительное: «некоторые водные животные — киты». Теперь соединим оставленную без изменения большую посылку с обращённой меньшей:

В посылках этих термины расположены по схеме уже не третьей, а первой фигуры:

Вывод по первой фигуре (по модусу Darii) будет: «некоторые водные животные — млекопитающие». Как видим, вывод —тот же самый, который в первом случае был сделан по третьей фигуре (по модусу Darapti).

§ 45. Существует более сложный способ сведения. Способ этот применяется при сведении некоторых выводов по второй и по третьей фигуре к выводу по первой.

Рассмотрим силлогизм:

Силлогизм этот, как видно из расположения терминов, есть вывод по второй фигуре (модус Ваrосо). Для сведения его к выводу по первой фигуре будем рассуждать следующим образом. Допустим, что заключение нашего вывода ложно, т. е. допустим, что все светила — планеты. Оставим бо́льшую посылку без изменения и присоединим к ней в качестве меньшей посылки суждение «все светила — планеты», т. е. суждение, противоречащее выводу:

Посылки эти образуют посылки правильного вывода по первой фигуре. Самый вывод получается, очевидно, по модусу Barbara:

Сравним теперь полученный нами новый вывод с меныцей посылкой первоначального силлогизма: «некоторые светила не обращаются вокруг солнца».Очевидно, вывод этот противоречит меньшей посылке.

Отсюда, естественно, заключаем, что наше допущение, будто «все светила — планеты», ложно, так как оно противоречит одной из принятых нами посылок. Но это значит, что должно быть истинным суждение, противоречащее сделанному допущению, т. е. суждение: «некоторые светила — не планеты».

Итак, мы убедились в истинности вывода по второй фигуре посредством сведения этого вывода к выводу по первой. Сведение это было необходимо для того, чтобы убедиться в нелепости суждения, противоречащего выводу.

Этот приём сведения называется «reductio ad absurdum» — «приведением к нелепости». Посредством этого приёма сводятся к выводам по первой фигуре: 1) модус Ваrосо второй фигуры и 2) модус Bocardo третьей. Буква r в названиях этих модусов показывает, что в них сведение к выводу по первой фигуре достигается, посредством reductio ad absurdum. Буквы В, С, D, F в названиях модусов второй и третьей фигур показывают, что после сведения модусы эти превращаются соответственно в модусы Barbara, Celarent, Darii, Ferio первой фигуры. Буквы s и р, стоящие в названиях модусов второй и третьей фигур после гласных, указывают, что для сведения посылка, обозначенная этими гласными, должна быть обращена. При этом буква s показывает, что при обращении количество посылки остаётся прежнее, а буква р — что при обращении общая посылка становится частной.

Например, при сведении модуса Cesare второй фигуры, мы, взглянув на название модуса Cesare, сразу видим, что после сведения должен получиться модус Celarent первой фигуры (на это указывает буква С в слове Cesare), что само сведение должно быть произведено путём обращения большей посылки (на это указывает буква s, поставленная после е, знака большей посылки) и что бо́льшая посылка остаётся после обращения общей (это видно из того, что после е стоит не р, a s). И действительно, вывод по второй фигуре модуса Cesare

сводится к выводу по первой фигуре модуса Celarent:

Сведение достигнуто здесь посредством обращения большей посылки: «споровые растения не имеют цветов». Как общеотрицательное суждение бо́льшая посылка после обращения остаётся общей: «растения, имеющие цветы, — не споровые».

§ 46. Так как условные названия модусов заключают в себе указания на качество и количество посылок и заключения в правильных выводах, а также указания на приёмы сведения выводов по второй, третьей и четвёртой фигурам к выводам по первой, то в целях удобного запоминания и обозрения всех модусов и их особенностей было придумано латинское стихотворение, перечисляющее все эти названия по отдельным фигурам. Вот оно:

 

Аксиома силлогизма и две её формулы

§ 47. Мы рассмотрели все фигуры и все правильные модусы силлогизма. Мы видели, что при соблюдении известных правил, которым должны подчиняться посылки и отношения между входящими в посылки терминами, посылки приводят к правильным выводам. Это значит, другими словами, что, признав такие посылки истинными, мы не можем не признать истинными также и те выводы, которые обосновываются посылками.

Хотя в различных фигурах, а внутри одной и той же фигуры в различных её модусах способы обоснования выводов оказываются, как мы видели, различными, всё же во всех силлогистических выводах есть общее им всем основание, в силу которого, признав истинными посылки, мы необходимо должны признать истинными и вытекающие из них выводы.

Это общее всем силлогизмам основание выражается в следующей формуле: «признак признака некоторой вещи есть признак самой вещи; то, что противоречит признаку некоторой вещи, противоречит самой вещи». Формула эта выражает в наиболее общем виде логическую связь понятий S, М и Р, на которой основывается вывод и которая делает этот вывод необходимым. Рассмотрим, например, силлогизмы:

В первом из этих силлогизмов бо́льшая посылка устанавливает, что принадлежность к солям есть признак галоидов. Меньшая посылка устанавливает, что признак принадлежности к галоидам есть признак хлористых соединений. Из обеих посылок видно, что признак принадлежности к солям оказался признаком признака некоторой вещи. Отсюда необходимо следует вывод, что принадлежность к солям есть вместе с тем признак самой вещи, или что «все хлористые соединения принадлежат к солям».

Во втором силлогизме меньшая посылка выясняет, что «принадлежность к споровым» есть признак вещи, называемой «грибами». Большая посылка выясняет, что «размножение семенами» противоречит этому признаку вещи. Отсюда необходимо следует, что, находясь в противоречии с признаком вещи, признак «размножения семенами» находится в противоречии и с самой вещью, т. е. что «ни один гриб не размножается семенами».

Формула, выражающая общее всем силлогизмам основание, называется аксиомой силлогизма. Название это показывает, что правило, выражаемое аксиомой силлогизма, не доказывается. Оно очевидно и лежит в основе всех силлогистических умозаключений.

Аксиома силлогизма выражает сущность силлогизма. Все изложенные выше правила силлогизма, относящиеся к числу терминов силлогизма, к качеству и количеству посылок, к качеству и количеству заключения, представляют не что иное, как различные применения аксиомы «признак признака некоторой вещи есть признак самой вещи».

§ 48. Но этого мало. Аксиома силлогизма выражает, кроме того, значение, какое для силлогизмов имеют логические законы мышления: закон тождества, закон противоречия, закон исключённого третьего и в особенности закон достаточного основания.

И действительно, предикат Р, высказываемый об М, оказывается в силлогизме тем основанием, которое определяет все вытекающие из него следствия: правильным может быть только вывод, имеющий достаточное основание в посылках; достаточным же основанием для суждения о принадлежности признака предмету является то, что выражающий свойство предмета признак есть, как видно из посылок, признак признака самого предмета.

Далее. Всякая попытка нарушить при мышлении силлогизма закон противоречия и закон исключённого третьего, т. е. попытка, соглашаясь с посылками, отрицать вывод, необходимо вытекающий из этих посылок, есть очевидное нарушение аксиомы силлогизма. Если признак признака некоторой вещи есть признак самой вещи, то невозможно одновременно признавать посылки, т. е. признавать, что мы имеем дело с признаком признака некоторой вещи, и отрицать вывод, т. е. утверждать, будто, оказавшись признаком признака некоторой вещи, признак этот не есть в то же время признак самой вещи.

Наконец, аксиома силлогизма несовместима и с нарушением закона тождества. Всякое нарушение в силлогизме закона тождества, т. е. всякая попытка мыслить во второй раз в посылках или в выводе уже не понятие Р, а некоторое другое понятие Р1, не понятие М, а некоторое другое понятие М1 и не понятие S, а некоторое другое понятие S1, очевидно, означало бы нарушение аксиомы силлогизма. И действительно, всякая подстановка в силлогизме, например, вместо понятия Р некоторого другого понятия P1 означала бы невозможность, согласившись, что мы имеем дело с признаком признака некоторой вещи, утверждать, что признак этот является признаком именно этой самой, а не какой-либо другой вещи.

§ 49. Аксиома силлогизма в рассмотренной нами её форме выражает то значение, которое имеет для мышления содержание наших понятий. Аксиома эта выражает, что необходимая связь понятий, раскрываемая силлогизмом, есть связь между понятиями по их содержанию, т. е. по их существенным признакам: «признак признака некоторой вещи есть признак самой вещи».

Но так как связью между понятиями по их содержанию определяется также и отношение между их объёмами, то аксиома силлогизма может быть выражена и в другой форме, выдвигающей на первый план отношения между объёмами понятий, входящих в посылки и в заключение силлогизма.

В этой форме аксиома силлогизма формулируется так: «Всё, что утверждается относительно целого рода или вида, должно утверждаться и относительно всего подчинённого этому роду или виду, и всё, что отрицается относительно целого рода или вида, должно отрицаться относительно всего подчинённого этому роду или виду.»

§ 50. Каждая из приведённых двух формулировок есть выражение аксиомы силлогизма. Первая раскрывает необходимое отношение между содержанием понятий, составляющих посылки, и содержанием понятий, составляющих вывод. Вторая раскрывает необходимое отношение между объёмами тех же понятий.

Если целью силлогизма является установление принадлежности класса к классу, то логическое основание вывода выражается второй формулой: «Всё, что утверждается относительно целого рода или вида и т. д.»

Но хотя, таким образом, вторая формула так же правильно, как и первая, выражает аксиому силлогизма, а в некоторых случаях (там, где специальным предметом нашего интереса являются отношения объёмов) даже заслуживает предпочтения, основной является первая формула.

И действительно, отношение между объёмами понятий, устанавливаемое в выводе силлогизма, само опирается, как мы неоднократно убеждались в этом, на отношение между теми же понятиями по содержанию.

 

Условия истинности силлогистических выводов

§ 51. До сих пор, рассматривая силлогистические выводы, мы всегда предполагали, что посылки, на основе которых делается вывод, истинны. Если данные посылки истинны, рассуждали мы, и если отношения между понятиями в этих посылках соответствуют условиям правильных выводов, то должны быть истинны и сами выводы.

В практике мышления это условие далеко не всегда выполняется. Далеко не всегда посылки, из которых делают вывод, являются действительно истинными.

Если одна из посылок или обе ложны, то, даже в точности выполнив все правила вывода, определяемые его фигурой, модусом, условиями распределённости терминов в посылках и т. д., мы, вообще говоря, не можем получить правильный вывод.

Рассмотрим следующий вывод:

Делая этот вывод, мы, очевидно, полагаем, что обе посылки истинны. Если бы они действительно были обе истинны, то, так как мы не нарушили при выводе ни одного общего и ни одного специального правила фигур силлогизма, наше заключение в выводе также было бы истинным.

В действительности, однако, бо́льшая посылка ложна по существу своего содержания. Хлорофил имеют не все растения. Это значит, что в большей посылке мы мыслили не то отношение между содержанием понятий, а следовательно, и не то отношение между объёмами понятий, которое существует в действительности. В действительности только часть растений имеет существенные признаки растений, обладающих хлорофилом, и потому только часть растений входит в разряд растений, имеющих хлорофил. Истину выражала бы посылка «некоторые растения имеют хлорофил». Соединив её с другой истинной посылкой «все грибы — растения», мы получили бы систему посылок: «некоторые растения содержат хлорофил», «все грибы— растения», из которой нельзя получить никакого вывода о грибах, так как средний термин («растения») не распределён ни в одной из посылок, и отношение между S и Р остаётся слишком неопределённым для вывода. Вместо этого мы, допустив ложную посылку «все растения содержат хлорофил», получили также ложный вывод: «все грибы содержат хлорофил».

Из сказанного видно, что первое необходимое условие правильного силлогизма составляет истинность посылок, на которых основывается вывод, по существу их содержания. Если посылки ложны, то они не могут быть достаточным основанием для правильного по содержанию вывода.

Таким образом, даже самое точное соблюдение логических правил силлогизма ещё не обеспечивает само по себе истинности заключения. Соблюдение правил силлогизма даёт истинное заключение только при условии истинности посылок, т. е. соответствия посылок действительным фактам.

Всякий силлогизм предполагает (пусть иногда ошибочно) истинность посылок; помня об этом, мы вправе мысленно отвлекаться от вопроса об истинности посылок и сосредоточиваться только на вопросе о логической связи между посылками и выводом, т. е. на вопросе о том, вытекает ли данный вывод из данных (и всегда предполагаемых истинными) посылок или нет.

Рассматриваемые с этой точки зрения выводы могут быть правильными или неправильными. Правильными они будут, если посылки удовлетворяют всем общим и специальным условиям фигур, необходимым для получения из них вывода. Неправильными они будут, если вывод сделан вопреки этим условиям.

 

Логические ошибки, встречающиеся в силлогизмах

§ 52. Некоторые из логических ошибок неправильного вывода, особенно часто встречающиеся в практике мышления, заслуживают быть особо отмеченными.

Одна из наиболее частых здесь ошибок состоит в том, что, умозаключая по первой фигуре, делают вывод при отрицательной меньшей посылке.

Вывод явно ошибочный. Отрицательным вывод может быть лишь при условии, если больший термин будет распределён в большей посылке. Но в большей посылке он, как сказуемое утвердительного суждения, выражающего подчинение понятия S понятию Р, не распределён. Поэтому вывод здесь логически невозможен.

Но если он логически невозможен, то почему же подобная ошибка возможна фактически? — Одним из её источников является неправильное истолкование смысла большей посылки. Если, услышав, что «все студенты обязаны держать экзамены», мы истолкуем это положение в том смысле, будто «одни лишь студенты обязаны держать экзамены», то наш вывод примет следующий вид:

Признав эти посылки истинными, мы сделали из них правильный вывод, т. е. вывод здесь необходимо следует из принятых посылок. Ошибка здесь не в том, что мы игнорировали известное правило о распределённости большего термина, распределённого в выводе, а в том, что, неправильно истолковав смысл большей посылки, мы получили посылку, ложную по существу, а потому получили и ложный вывод.

§ 53. Вторая встречающаяся в практике силлогистических выводов ошибка состоит в том, что делают вывод по второй фигуре из двух утвердительных посылок.

Пример:

Здесь вывод — явно ошибочный. Так как средний термин в обеих посылках является предикатом утвердительного суждения, выражающего подчинение понятий, то он не распределён ни в одной из посылок. Поэтому никакой вывод здесь невозможен. И «рыбы» и «это животное» входят в объём понятия «животные, имеющие плавники». Но так как из посылок неизвестно, в какую именно часть этого объёма входят «рыбы» и в какую —«это животное», то отношение «этого животного» к «рыбам» остаётся совершенно невыясненным; возможно, что «это животное» и есть «рыба», и возможно, что оно не есть «рыба».

Однако и в подобном случае ошибка обычно состоит не столько в нарушении известного правила о распределённости среднего термина, сколько в неправильном истолковании смысла большей посылки. Кто, услышав суждение «все рыбы имеют плавники», поймёт его в смысле «только рыбы имеют плавники», тот, очевидно, сделает следующий вывод:

В этом выводе заключение было бы необходимо истинным, если бы были истинными обе посылки. Но бо́льшая посылка ложна, и потому вывод также ложен.

§ 54. Третья ошибка, часто встречающаяся в практике выводов, называется «учетверением терминов» (quaternio terminorum). Она состоит в том, что делают вывод из двух посылок, в которые входят не три, а четыре термина.

Пример такой ошибки:

Так как связь понятий, входящих в вывод, не видна сразу, то она может быть установлена только через третье понятие, отношение которого к большему и меньшему терминам было бы известно из посылок. Но в нашем примере эта связь не может быть установлена: здесь в посылках устанавливается не отношение большего или меньшего понятия к третьему понятию, а устанавливается в одной посылке отношение большего термина к третьему понятию («сгорание» в химическом смысле, т. е. процесс, который не обязательно сопровождается появлением золы и пепла), а в другой — отношение меньшего термина к четвертому понятию («сгорание» в повседневном ненаучном смысле, означающее процесс, при котором в остатке всегда получаются зола и пепел). Не удивительно, что, не будучи связаны между собой через третье понятие в посылках, больший и меньший термины не могут оказаться связанными в выводе.

И здесь основа ошибки не столько в нарушении правила о количестве терминов, входящих в силлогизм, сколько в двусмысленности слова «сгорание», которое имеет не одно значение, а два, выражает два понятия.

Ошибка здесь состоит в том, что посылки, имеющие строение

мы — вследствие недостаточного различения М1 от М2—принимаем за посылки, имеющие строение обычного силлогизма:

Ошибки возможны не только относительно среднего, но также и относительно большего и меньшего терминов.

Из сказанного видим, что ошибки, встречающиеся в силлогизмах, редко состоят в нарушении одних лишь правил логической связи между посылками и терминами. В последнем счёте основой ошибки вывода обычно является ложность посылок, которые принимаются в качестве истинных.

 

Задачи

1. Определите, какие из следующих умозаключений будут силлогизмами и какие — несиллогистическими умозаключениями:

«Так как а больше b , а b равно c , то, следовательно, а больше с »; «Монблан ниже Эльбруса, Эльбрус ниже пика Сталина, следовательно, Монблан ниже пика Сталина»; «Лермонтов был предшественником Льва Толстого, Лев Толстой был современником Чернышевского, следовательно, Лермонтов был предшественником Чернышевского»; «Так как биолог должен уметь владеть микроскопом, а Иванов не владеет микроскопом, то Иванов — не биолог»; «Так как все равносторонние треугольники равноугольны и так как треугольник ABC — равносторонний, то, следовательно, треугольник АВС — равноугольный»; «Ботвинник как шахматист сильнее Смыслова, Смыслов как шахматист сильнее Рагозина, следовательно, Ботвинник как шахматист сильнее Рагозина»; «Ни одна из европейских гор не выше Эльбруса, Эверест выше Эльбруса, следовательно, Эверест не принадлежит к числу европейских гор».

2. Рассмотрев следующие силлогизмы, определите: а) правильны они или неправильны с точки зрения логической связи между посылками и выводом; б) если они правильны, то по какой фигуре в них сделан вывод; в) если они неправильны, то какие из правил, общих для всех силлогизмов, и какие из правил, специальных для отдельных фигур, в них нарушены:

«Все сильные шахматисты хорошо знают теорию шахматной игры, Николаев — не сильный шахматист, следовательно, Николаев не знает теории шахматной игры»; «Все умеющие играть в хоккей — конькобежцы, Сергеев — не конькобежец, следовательно, Сергеев не умеет играть в хоккей»; «Белые ночи наблюдаются не южнее параллели Полтавы, Киев находится не южнее параллели Полтавы, следовательно, в Киеве наблюдаются белые ночи»; «Некоторые растения размножаются спорами, все папоротники — растения, следовательно, все папоротники размножаются спорами»; «Все папоротники — споровые, все хвощи — споровые, следовательно, некоторые хвощи — папоротники»; «Все герои Советского Союза награждаются орденом Ленина, товарищ N награждён орденом Ленина, следовательно, товарищ N — Герой Советского Союза»; «Тяжёлые бомбардировщики не бывают одномоторные, самолёт Михайлова — одномоторный, следовательно, самолёт Михайлова — не тяжёлый бомбардировщик»; «Все членистоногие — беспозвоночные, все пауки — членистоногие, следовательно, все пауки— беспозвоночные»; «У всех рек нашего полушария, текущих с севера на юг, правый берег гористый, а левый — низменный, река Днепр — одна из рек нашего полушария, текущих с севера на юг, следовательно, правый берег Днепра — гористый, а левый—низменный»; «Во всех древнеиндийских рукописях слова не отделяются одно от другого, в этой рукописи слова не отделяются одно от другого, следовательно, эта рукопись — древнеиндийская»; «Газовые фонтаны являются признаком близких нефтерождений, в посёлке N забил газовый фонтан, следовательно, вблизи посёлка N имеются нефтерождения; «Все великие учёные — глубокомысленные люди, все великие учёные рассеянные люди, следовательно, некоторые рассеянные люди — глубокомысленные люди»; «Все планеты имеют быстрое видимое движение, ни одна планета — не звезда, следовательно, некоторые звёзды не имеют быстрого видимого движения».