К. И. Куштанин

МАТЕМАТИКИ ОРГАНИЗУЮТ ОБЩЕСТВО?

Об авторе:

Куштанин Кобальт Ильич — инженер-разработчик оптических приборов, автор более 30 изобретений, книги по лазерной и волоконной оптике. Печатался в журнале «Инженер».

Математика является локомотивом прогресса науки и общества. Макс Планк в 1918 г. написал работу по философии развития. В ней он высказал следующее: новое возникает в математике. Из нее переходит в физику. Из физики — в химию, из химии — в биологию, из биологии — в экономику.

Рассматривая историю развития, можно найти ученых, которые делали открытия в математике, затем проводили исследования в физике, делали в ней открытия и переходили к химии. Так работал И. Ньютон. Однако назначение его начальником монетного двора Англии оборвало его научные исследования. Черновики его химических работ не сохранились. Вслед за Ньютоном физические исследования вели другие математики. Например, К. Гаусс, Д. Гильберт. Работы математиков прошлого нашли применение во многих отраслях техники, которых не было при их жизни. Ряд современных математиков с успехом работали в нескольких науках, от физики до биологии, и разных отраслях техники.

Здесь речь пойдет об идеях математиков, которые нашли применение в организации других наук и общественном производстве.

Летом 1900 г. Д. Гильберт выступил на конференции математиков в Париже с первой в мире программой развития науки. Она известна как «23 математические проблемы Гильберта».

Эта программа оказалась плодотворной. Многие математики направили свои усилия на решение задач, записанных в ней. Значение программы для развития математики была таково, что через десятилетия некоторые ученые ценили ее выше остальных математических достижений Гильберта. Программы Д. Гильберта нашли продолжателей в других областях человеческого бытия.

Программу Д. Гильберта можно рассматривать как первое практическое воплощение идеи К. Маркса о плановом ведении общественного производства.

В десятые годы XX века в США были приняты первые государственные программы научного решения проблем в сфере здравоохранения и сельского хозяйства.

В 1915–1917 гг. В. Ратенау создал в Германии первую плановую организацию народного хозяйства. В нашей стране программы развития отраслей и всего народного хозяйства начали составлять с первых лет советской власти. В период 1918–1920 гг. в стране были опубликованы, разработаны, предложены и приняты Совнаркомом следующие программы:

— план ГОЭЛРО электрификации страны, основанный на книге. В. И. Гриневецкого «Производительные силы России»;

— программа развития семеноводства, предложенная Н. И. Вавиловым;

— создание авиационной промышленности, основанное на письме в Совнарком Н. Е. Жуковского;

— создание оптической промышленности, основанное на работе Д. С. Рождественского «Слово об оптических приборах», направленной в Совнарком.

В Госплане, созданном в 1921 г., начали разрабатывать методы планирования народного хозяйства.

В 1910-х годах Д. Гильберт выдвинул новую идею: «Физика слишком сложна для физиков». Д. Гильберт полагал, что математики владеют более мощным математическим аппаратом, чем тот, которым пользуются физики. Опираясь на него, математики способны успешнее физиков решать задачи физики. Физики с пониманием и без ревности встретили эту идею. На протяжении XX века тысячи математиков работали над решением многих сложных научных и научно-технических проблем, стоявших перед физикой.

Однако новая идея Гильберта оказалась больше ее первоначального замысла. Каждая наука формирует свои исходные понятия, методы исследования, круг знаний. Опираюсь на них, она успешно развивается. Однако со временем сложившиеся в данной науке знания становятся ее оковами. Дальнейшее развитие требует качественно новых знаний, которых у нее нет. Их надо было создавать или заимствовать готовыми из других наук. Из этого возникли два направления дальнейшего развития науки. Первое: наука для создания новых знаний стала привлекать мощные технические средства. Физики заказывали для экспериментов дорогие и сложные машины, конструирование и изготовление которых было под силу передовым заводам. Второе: заимствование знаний привело к возникновению новых наук на стыке существующих: физической химии, химической физики, биофизики, биохимии.

Создание новых наук происходило в определенной, общей для многих из них последовательности. Сначала определялись на основе знаний данной науки необходимость и потребность в новых знаниях, их место в существующих. Затем знания новой науки вносили в существующие, формировали новую науку и дальше вели ее развитие, корректируя и обогащая знания исходных наук.

Важным применением идеи Гильберта является общественное производство. Утверждение «экономика слишком сложна для экономистов» еще более справедливо, чем «физика слишком сложна для физиков». Общественное производство является полем действия двух групп сил: одни действуют по законам естественных наук, вторые — по законам экономической науки. Общественное производство применяет в своих объектах производства и технологических процессах их создания знания всех естественных наук. Совокупность естественных наук необозрима, многообразна и сложна. Сложно действия законов естественных наук в каждом конкретном виде техники, внутри каждой отрасли производства и в огромном разнообразии природных условий. Деятельность людей в общественном производстве необходимо подчинять действию законов естественных наук. Для этого необходимо создать организацию труда, отвечающую этим законам. В то же время необходимо организовывать соответствие общественного производства экономическим законам, что также требует создания управления.

Объективные свойства общественного производства превращают применение экономических законов для сознательного управления общественным производством в труднейшую проблему. Она неразрешима в рамках одной экономической науки. Но она была решена согласованным применением экономической и естественной наук при развитии многих отраслей производства.

Применение знаний экономической науки для сознательного управления общественным производством и его развития возможно только в самой начальной стадии такой работы. Экономическая наука определила цели общественного производства, структуру механизма управления им. Но дальнейшую работу по конкретизации экономических целей в каждом виде техники и развитие механизмов управления отраслями производства делают специалисты этих отраслей, согласуя свои действия с экономической теорией и существующими экономическими механизмами. Так развивались в XIX веке судостроение в Англии, химическая и оптическая промышленности в Германии. Так начиналось научное развитие производства в СССР.

Б. Рассел открыл важную особенность развития общества на современном этапе, которой дал название «научно-техническая революция» (НТР). НТР возникла в середине XX века под влиянием крупнейших научных и технических открытий, возросшего взаимодействия науки с техникой и производством. НТР резко ускорила научно-технический прогресс и оказывает воздействие на все стороны жизни общества. Она предъявляет возрастающие требования к уровню образования, квалификации, культуры, организации производства, ответственности работников.

Н. Винер в 1948 г. опубликовал книгу «Кибернетика». В ней как самостоятельная наука были изложены общие законы получения, хранения, передачи информации и годы оптимального управления. На основе идей кибернетики были созданы несколько научных направлений и методов управления общественным производством, реализация которых дала огромный полезный эффект.

В ряду этих ученых стоят и советские математики.

Л. В. Канторович с 1938 г. опубликовал цикл работ по экономико-математическим моделям оптимизации экономических и производственных процессов: раскроя материалов, работы промышленного оборудования, организации перевозок, планирования и управления народным хозяйством.

А. А. Дородницын и П. Д. Медведев с разрывом в полтора десятка лет исследовали советскую практику составления народнохозяйственных планов и пришли к выводу о ее несоответствии решаемой задаче. Первый из них показал, что в стране делается только 1/10000 часть плановых расчетов, необходимых для составления сбалансированного народнохозяйственного плана (А. Дородницын. Народное хозяйство и вычислительная техника. — М.: Правда, 1969, № 341). Второй показал, что сбалансированный народнохозяйственный план невозможно составить применяемыми балансовыми методами (Экономико-математические методы в планировании. — М.: Вопросы экономики, № 12, 1985, с. 42–51).

Н. Н. Моисеев сделал три работы, имевшие важное значение для жизни общества и организации общественного производства. Он разработал метод оптимального размещения сельскохозяйственных культур с привязкой их к потребителям. Он создал теорию «ядерной зимы». Доказательство того, что в термоядерной войне победителей не будет, устранило опасность термоядерного самоуничтожения человечества и прекратило гонку ядерных вооружений.

Он же исследовал проблемы будущего человечества. В книге «Быть или не быть человечеству» исследовано истощение минеральных ресурсов Земли. Подсчитано, что известных запасов хватит на 30–40 лет. Здесь же Моисеев констатировал, что в результате перестроечных и рыночных реформ страна откатилась в число отсталых государств. Н. Н. Моисеев утверждал, что отсталое государство остается им навсегда.

В. М. Глушков проделал огромную работу по созданию автоматизированных систем управления производством разного уровня: заводских, отраслевых и общегосударственных.

В. В. Струминский исследовал устойчивость плановой и рыночной форм организации производства. Он доказал, что плановая форма организации производства в три раза устойчивее рыночной.

Экономическая наука рассматривает указанные работы математиков как высшую форму полезного труда — «всеобщий труд». «Всеобщим трудом является всякий научный труд, всякое открытие, всякое изобретение». (К. Маркс. Капитал, т. 3 — К. Маркс и Ф. Энгельс. Сочинения. — М.: Госполитиздат, т. 25, ч. 1, с. 116.)

Однако у работ советских и частично зарубежных математиков по организации общественного производства в СССР и РФ была общая трагическая судьба: они не нашли применения в практике.

Причина неприменения работ математиков в советской экономике лежит в деградации системы советского управления общественным производством, которое произошло в ходе развития в СССР.

Общественное производство является самым большим, сложным, самым протяженным во времени и пространстве и самым мощным по действующим силам из процессов природы, с которыми взаимодействуют люди в своей практике. Естественно, что механизм управления общественным производством должен быть самым большим, точным, сложным и мощным среди механизмов управления, применяемых людьми. Он сложнее механизмов управления машинами и сложными техническими системами. Это рассуждение привело к идее научного ведения общественного производства.

Ее реализация началась еще в капиталистическом обществе. Научное ведение общественного производства требовало объективных, точных и чувствительных инструментов оценки его объектов, явлений и процессов. С такой целью создавались технические средства, прикладные технико-экономические специальности и организационные формы оценки и контроля производства. Теоретические представления политической экономии о мере труда и товароведении были развернуты в систему прикладных теорий, измерительных средств, исследовательских организаций, информационных служб, связывавших между собой все мировое хозяйство по отраслям и между отраслями. Достижения практики и теории закреплялись юридическими законами и вновь созданными механизмами управления общественным производством. Описание этих новшеств было в работах А. Н. Крылова, А. В. Чаянова. Н. Д. Кондратьева, Д. С. Рождественского, В. В. Леонтьева и других. Попали они в энциклопедии.

Научное ведение общественного производства было положено в основу общественного строя СССР. Реализация идеи началась с первых лет советской власти. Работа велась как обычная крупная научно-исследовательская разработка: поиском на широком фронте. Велись исследования, развивалась экономическая наука, заимствовался и осваивался организационный и технический опыт капитализма.

Но от идеи до ее реализации большая дистанция. На создание научной организации социалистического общественного производства требовались десятилетия. В стране на процесс создания механизма управления общественным производством наложился произвол власти. Сталин в конце 20-х годов произвел пересмотр существовавшей практики планового ведения общественного производства, марксизма, экономической науки, потребности в ученых-экономистах. Он изменил объективные цели производства в СССР. Он приспособил плановую организацию производства под свой интеллект, свои потребности, пороки и амбиции. Плановое управление общественным производством на деле стало конгломератом научных знаний, опыта капиталистического производства и произвола. Причем произвол власти был главным. Знание увеличивает силы людей и ограничивает произвол. В СССР власть противостояла науке. Власть поставила себя выше науки и ограничила применение научных знаний.

Суть новой организации производства сформулировал А. Рыбаков в «Детях Арбата»: «Техника: решает все Сталин». Свирепый критик Сталина Н. С. Хрущев оставил эту формулу, заменив фамилию. Замена фамилии стала постоянной.

Сложившаяся в стране к началу 30-х годов организация планового управления производством была объявлена идеальным воплощением социализма. Власть объявила себя непогрешимой и последовательно воплотила эту идею в юридические и политические нормы производственной деятельности. Улучшение существующей организации производства на основе накопленного опыта и научных достижений превратилось из естественного процесса развития в политическое преступление.

Новая советская плановая организация производства была построена на отказе от экономических законов стоимости и пропорциональности. В стране была заменена объективная цель производства — создание богатства. Вместо нее приняли другие. Когда признали действие в плановой экономике СССР закона стоимости, то его определение фальсифицировали (К. Куштанин. Алгебраический просчет интеллигенции. — М., Инженер, № 7, 2001, с. 10–11).

Одним из введенных Сталиным в экономические знания новшеств было отрицание представлений о полезности в общественном производстве: полезности труда и его продуктов, полезности работы отрасли и предприятия. Экономические понятия, которые описывают полезность в экономической науке, инструменты и критерии ее оценки, такие, как потребительная стоимость, полезный труд, спектр полезного труда, мера труда, в советской экономической теории отрицались и не использовались в плановой практике. Сначала потому, что эти механизмы и критерии не успели создать, а затем, потому что их отменили. Полезность в советском производстве существовала как чужеродный элемент, который вносили в нее извне. Сначала это делали сознательно и систематически, потом эпизодически и случайно.

Вместо меры труда и построенных на ней инструментов и механизмов управления производством в начале 30-х годов была введена «временная политика цен», которая сохранилась и по сей день. На ней была построена практика советской организации производства, ее экономическая идеология, правила, методики и нормативы. Нормативы советского планирования были основаны на уровне техники и производства страны, существовавшими в первую пятилетку. Развитие техники порождало новые нормативы. Но пересмотр нормативов в стране не производился.

Необъективность и неточность советских оценок нового привели к появлению двух направлений развития производства. Одно соответствовало экономической идеологии советского производства. Его реализация давала производству выполнение плана и развивалось. Второе направление вело к невыполнению плана. Здесь при внедрении нового один из плановых показателей производства или одна из пропорций, заложенных в плановых показателях, нарушались. Было известно, что любое увеличение затрат труда на обработку единицы материала ведет к невыполнению плана. Поэтому готовые конструкции машин, более совершенных, чем существующие, в серийное производство не запускали.

Новые идеи математиков, которые мы перечисляли, плановым нормам не соответствовали. Они требовали пересмотра норм, пересмотра политической и экономической идеологии, пересмотра организации производства. А это было прерогативой власти. Но власть была заражена старой экономической идеологией, нового не понимала и ничего не делала.

Кибернетика, которую в СССР отвергли сразу после появления и признали после смерти Сталина, была разрешена только в естественных науках и технике. В управление народным хозяйством ее так и не признали.

Идеи научно-технической революции и ее требования к обновлению знаний и специальностей, повышению профессиональной культуры были реализованы в естественных науках и технике. Экономической науки и советской организации производства они не коснулись. Одни и те же знания и методы работы остались неизменными при переходе к планированию на основе закона стоимости. Не тронули большинства из них при переходе к рыночной экономике.

Безотходный раскрой материала по методике Л. В. Канторовича, попытку внедрения которого сделали на вагоностроительном заводе им. Егорова, привел к невыполнению заводом плана по стоимости и к перерасходу фонда зарплаты, так как стоимость сэкономленного сырья из планового объема производства вычиталась. Реализация такого раскроя требовала пересмотра лежащего в основе планов норм метода учета объема производства и соотношения между стоимостью сырья и фондом зарплаты не только на заводе, но и в отрасли. Организация перевозок на крупном строительстве по теории Канторовича потребовала пересмотра 35 документов (инструкций, ГОСТов и нормативов). Но эти работы не делали.

Выход из тупика при составления планов, который обнаружили Дородницын и Медведев, заключался в переходе планирования на использование закона пропорциональности Д. Рикардо и организации производства на предложенную Г. Фордом систему зон сбыта. В ней можно было реализовать идею Медведева об использовании при плановых расчетах не полной информации, а только ее части — об изменениях в производстве. В 20-е годы об этой идее Г. Форда писали специалисты по научной организации труда (НОТ). Затем НОТ запретили. В начале 60-х годов по инициативе академика-химика А. Н. Фрумкина на основе зон сбыта реализовали производство и сбыт химреактивов («Союзхимреактив»). Новая организация дала большой экономический эффект: многократное сокращение объема плановых расчетов, концентрацию производства каждого вида продукции на меньшем числе предприятий, межведомственную координацию производства, упрощение снабжения и ликвидацию дефицита.

Параллельно с созданием «Союзхим-реактива» в стране восстановили НОТ как разрешенную науку. Создалась прекрасная ситуация для улучшения организации производства: прогрессивная теория и воплощение ее на практике. На опыте «Союзхимреактива» можно было модернизировать организацию производства в стране. Но дело заглохло, ограничившись одной отраслью.

Показательна судьба работ В. М. Глушкова. Его АСУ для промышленных предприятий работали на многих заводах страны и принесли большой экономический эффект. Работы по автоматическому управлению отраслями производства (АСУП) внедрялись, но не прижились. АСУ для народного хозяйства остались только на стадии теории.

Теория «ядерной зимы» Н. Н. Моисеева была принята, так как затрагивала интересы многих стран. Остальные его работы по организации производства применения не нашли.

Интересен вопрос об отношении математиков к непризнанию государством их работ в экономике и организации производства.

Судя по публикациям и мемуарам, они боролись за реализацию самих идей, но прогибались перед политической властью и ее ударным отрядом невежественных экономистов. Работа Л. В. Канторовича по безотходному раскрою материала была издана математически редакцией ЛГУ и проскочила экономическую цензуру. В 1942 г. он написал вторую книгу по экономике. В этой работе, помимо новых математических методов решения задач планирования, была выдвинуты две экономические идеи.

Математика всегда строго относится к выбору оснований своих теорий. Известно выражение Гекели: математика подобна жернову. Засыпав в жернова лебеду, нельзя получить муку. Так и при неверных посылках с помощью математики нельзя получить правильный результат. Канторович в книге предложил осуществить концентрацию производства, сосредоточив производство одного изделия на одном предприятии. Это совпало с известной формулой Г. Форда, что одна фабрика недостаточно велика, чтобы производить два продукта.

Канторович поставил под сомнение научную достоверность плановых показателей. Вместо них были предложены новые, которые он назвал объективно обоснованными оценками (ООО). ООО можно рассматривать как одну из первых попыток преодолеть противоречие между понятиями сталинской экономической теории и теорией стоимости К. Маркса.

Рукопись встретила яростное неприятие советских экономистов. Обсуждение неумолимо шло к оргвыводам против автора. Перед последним заседанием редколлегии профессор-экономист Новожилов уговорил автора не ходить на него. На заседании Новожилов принял огонь на себя. Книгу отвергли, Канторовича не тронули, а Новожилова сняли с работы. Через полтора десятилетия книгу издали. Причиной издания стало обычное в СССР явление: аналогичная работа появилась в США. На этот раз ООО снова стали объектом свирепого разноса. Теперь публичного.

Разнос шел после признания действия закона стоимости в советской экономике. Возникла абсурдная ситуация: экономисты не могли привести планирование в соответствие с законом стоимости и отвергли попытку математика сделать за них эту работу.

Многие свидетели расправы восхищалась тем, что Канторович выдержал и не сломался. Но в экономические основания советского планирования он больше не вмешивался.

Кибернетики приняли предложенные властью правила, согласно которым в управлении государством сохраняется иерархическая система управления, а система отрицательных обратных связей применению не подлежит.

В. М. Глушков строил АСУПы, зная, что советское планирование является внеэкономическим. Но он не покушался на изменение этой основы.

 

А. В. Кирдин

ВВЕДЕНИЕ В «НОВУЮ АРИФМЕТИКУ»

Известный русский ученый академик Е. С. Федоров проявил себя как новатор «новой геометрии». Сущность «новой геометрии» состоит в том, что понятие точки заменяется понятием образа, который может представлять многоугольник, многогранник или какое-либо другое тело. В статьях, которые были опубликованы в научно-популярной серии «Знак вопроса» № 1/2004 на стр. 107 и № 3/2004 на стр. 125, было показано, что геометрический образ представляется числом П. Вспомним, что окружность, шар, сферу определяет число П = π = 3,141592654. Через число П (фактор пи, числовое выражение формы, модуль) можно моделировать натуральный ряд чисел: 1; 2; 3; 4… ∞ до бесконечности в визуальных образах и различных видеорядах. Такой факт наводит на мысль, что наряду с «новой геометрией» может быть создана «новая арифметика», в которой число будет выражать не только количественное, но и системно-структурное понятие образа. Это может иметь определенное значение в модульной координации отношений части и целого, при проектировании, в архитектуре, строительстве, стандартизации, ресурсосбережении и унификации объектов реальной действительности. Перейдем к рассмотрению отображения и обучению рефлексии на конкретных примерах:

1. Натуральный ряд чисел начинается с единицы. Единица представляется боковой поверхностью прямого кругового конуса, у которого образующая r = 1, длина периметра основания Р = 2, длина полупериметра L = 0,5 Р = 1, площадь поверхности А = 1 и число П = L2/A = L/r = 1. Мы не будем изображать визуальный образ конуса, так как это легко может сделать каждый сам по себе, скажем лишь, что радиус его основания R = 1 /π, а высота h = √1–1 /π2. Запомним равенство: II = L = A = r = 1. Данное равенство определяет визуальный образ числа один.

2. Число два следует представить боковой поверхностью прямого кругового цилиндра, у которого образующая (высота) r = 1, суммарная длина колец верхнего и нижнего периметра Р = 4, длина полупериметра L = 0,5 Р = 2, площадь поверхности А = 2 и число П = L2/A = L/r = 2. Мы не будем изображать цилиндр, так как каждый может изобразить его сам, скажем лишь, что его радиус основания и верха R = 1 /π, а высота равна образующей, т. е. h = r. Число два может быть представлено боковой поверхностью призмы с любым количеством граней. Запомним подчеркнутое равенство (при условии r = 1): II = L = А = 2. Данное равенство определяет визуальный образ числа два.

3. Число три представляется «полукубом», у которого стороны (ребра) равны единице, т. е. r = 1, длина периметра Р = 6, длина полупериметра L = 0,5 Р = 3, площадь поверхности А = 3 и число П = L2/A = L/r = 3. Визуальный образ «полукуба» представлен на рисунке 1. Запомним подчеркнутое равенство: (при условии r=1) П = L = A=3. Данное равенство определяет визуальный образ числа три.

4. Число четыре представляет собой квадрат со стороной, равной двум и радиусом вписанной окружности r = 1.

Длиной периметра Р = 8, длиной полу-периметра L = 0,5 Р = 4, площадь поверхности А = 4 и число П = L2/A = L/r = 4. Визуальный образ квадрата представлен на нижеследующем рисунке 2. Запомним подчеркнутое равенство: (при условии r=1) П = L = A = 4. Данное равенство определяет визуальный образ числа четыре.

5. Число пять представляет собой ромб, у которого диагонали относятся как 1:2, или трапецию у которой периметр Р = 10. У обеих фигур радиус вписанной окружности г = 1, полупериметр L = 0,5 Р = 5, площадь поверхности А = 5. У ромба А = 0,5 (2 √5) (√5) = 5, у трапеции А = 0,5 (1 + 4) 2 = 5. Число П = L2/A= = L/r = 5. Визуальный образ фигур представлен на рисунках 3 и 4. Запомним подчеркнутое равенство: (при условии г = 1) П = L = А = 5. Данное равенство определяет визуальный образ числа пять.

6. Число шесть представляет собой египетский треугольник, с отношением сторон 3: 4: 5, или куб, состоящий из двух «полукубов», разделенных длиной сети — L. Длина сети или полупериметр L = 0,5 Р = 6; площадь поверхности А = 6; число П = 6. В данном случае числовое выражение объемного образа куба определяется по формуле Шварца П = А3 : 36 V2, где V — объем куба. Визуальный образ фигур представлен на рисунках 5 и 6. Запомним подчеркнутое равенство: (при условии r = 1) II = L = А = 6. Данное равенство определяет визуальный образ числа шесть.

7. Число семь представляет собой замкнутую прямоугольную полосу с отношением сторон 2,5 × 3,0 и вырезанным центром в форме прямоугольника с отношением сторон отверстия 1,0:0,5. Число семь может быть представлено двумя шестиугольниками с отношением сторон 1,25: 1,25: 1,00: 1,25: 1,25: 1,0, откуда Р = 7; L = 3,5; А = 1,5 + 2 = 3,5. Шестиугольник с таким соотношением сторон имеет единичную масштабность контура и плотности сети, т. е. г = A/L = d = L/A = 1. Шестиугольник модулируется четырьмя египетскими треугольниками с площадью А = 0,375 × 4 и двумя квадратами с площадью 1,0 × 2 = = 2,0. Визуальный образ описанных фигур представлен на рисунках 7 и 8. Запомним подчеркнутое равенство (при условии r=1) П = L = A = 7. Данное равенство определяет визуальный образ числа семь.

8. Число восемь можно представить визуально состоящим из двух квадратов каждый из которых имеет стороны 2 × 2, вписаны названные квадраты в прямоугольник с отношением сторон 1:2. Число восемь можно представить квадратом 3 × 3, у которого вырезан в центре квадрат со сторонами 1 x 1, точнее это квадратная полоса шириной r = 1 и с нейтральной зоной в центре. Кроме того, число восемь может быть представлено ромбом, у которого два угла острые и определяются величиной 30° = π l/6, и два утла тупые с величиной 150° = 5 π/6. Все названные фигуры изображены на рисунках 9, 10, 11. Они имеют единичную масштабность и плотность сети. Запомним подчеркнутое равенство (при условии r = 1) П = L = А = 8. Данное равенство определяет визуальный образ числа восемь.

9. Число девять визуально представляется двумя прямоугольниками с отношением сторон 1:2, вписанными в квадрат со сторонами 3 x 3. Такую фигуру можно отобразить тремя прямоугольниками с отношением сторон 1: 2 каждый, и вписанными в прямоугольник со сторонами 2 × 4,5. Кроме того, число девять изображается буквой «мягкий знак» с шириной полосы r = 1. Все описанные фигуры имеют следующие параметры: П = L = А = 9 при масштабности r = 1 и плотности сети d = 1, т. е. r = A/L = d = L/A = 1. Описанные фигуры видны на рисунках 12, 13, 14. Запомним подчеркнутое равенство (при условии r=l) П = L = A = 9. Данное равенство определяет визуальный образ числа девять.

10. Число десять изображено как две трапеции, вписанные в шестиугольник со сторонами 2,5; 1,0; 2,5; 2,5; 1,0; 2,5. Две трапеции, вписанные в шестиугольник, могут отображаться двумя квадратами со сторонами 1,0 × 1,0 и одним прямоугольником со сторонами 2,0 × 4,0. Названные элементы структуры вписаны в прямоугольник со сторонами 2,0 × 5,0. Кроме того, число десять изображается буквами «Р» и «О». Все названные фигуры имеют следующие параметры: П = L = А = 10 при масштабности контура r = 1 и плотности сети d = 1, т. е. r = A/L = d = L/A = 1. Описанные фигуры видны на рисунках 15, 16, 17, 18. Запомним подчеркнутое равенство (при условии г = 1) П = L = А= 10. Данное равенство определяет визуальный образ числа десять.

11. Число одиннадцать представляется несколькими структурами, однако на рисунке 19 и 20 даны две конфигурации. Первая структура из одного контура дана в форме буквы «Р», другая структура состоит из пяти контуров, вписанных в прямоугольник со сторонами 5,5 × 2,0. Площадь фигур и полупериметр равны числу П = 11 при масштабности структуры r = 1 и плотности сети d = 1, т. е. r = = A/L = d = L/A = 1. Описанные фигуры представлены на следующих рисунках:

На рисунке 19 изображен один контур (N = 1), а на рисунке 20 изображены пять контуров (N = 5). Структуры с промежуточным числом контуров, т. е. N = 2; 3, 4 предлагается читателям определить самостоятельно и направить в банк объемно-планировочных структур и брэндов. Если структуры и брэнды получают высокую качественную и эстетическую оценку, то они будут занесены в банк под именем или псевдонимом автора. Брэнд (от английского слова brand) находит в наше время очень широкое применение и включает такие понятия, как марка; символ; эмблема; клеймо; тавро; лайб; этикетка; ярлык. Закрепление брэнда в форме визуального и вербального символа укрепляет авторское право разработчика брэнда и его владельца. Запомним подчеркнутое равенство (при условии r=l): П = L = А = 11. Данное равенство определяет визуальный образ числа одиннадцать.

12. Число двенадцать рассмотрим в качестве последнего примера «отображения». Это объясняется тем, что оно (число 12) может быть представлено структурами из одного, двух, трех и четырех контуров, которые изображены на рисунках 21, 22, 23, 24, 25, 26.

У всех структур периметр Р = 24, площадь, полупериметр, числовое выражение формы равны числу двенадцать, т. е. П = L = А = 12. Представленные рисунки иллюстрируют сам факт произведенного отображения. Так, например, одноконтурная структура на рисунках 21 и 25 отображается в структуру из двух египетских треугольников, такое отображение называется триангуляцией. Далее на рисунке 23 представлены три квадратных контура, которые можно назвать ортогональной структурой. Все структуры, изображенные на рисунках 22, 23, 26, меняют свою форму, при отображении, но не меняют масштабности и плотности. На рисунке 24, хотя общая масштабность и плотность равны единице, но у малого квадрата г = 0,5; d = 2. Большой квадрат имеет r=0,5; d = 2/3 = 0,6 (6). Иными словами, отображение на рисунке 24 происходит не изменением форм контуров, как это было на других рисунках, а изменением плотности и масштабности части структуры и ее целого при сохранении квадратной формы элементов структуры. Рисунок 24 иллюстрирует предмет «новой арифметики», которая изучает соотношение части (три малых квадрата) и целого (один большой квадрат). Традиционная же арифметика изучает соотношение малого и большого. В первом случае, изучая часть и целое, мы имеем дело преимущественно с качественным анализом. В традиционной же арифметике мы имеем дело чаще с количественными преобразованиями.

В заключение пожелаем визуальными образами чисел натурального ряда: 13; 14; 15; 16 ∞ заняться людям интеллектуального досуга, а с другой стороны, «отображением» и «рефлексией» в «новой арифметике» и «новой геометрии» необходимо заняться профессиональным специалистам в области модульной координации части и целого: дизайнерам; архитекторам; проектировщикам; методологам системно-структурного анализа и синтеза; специалистам по вопросам унификации и ресурсосбережения параметров объектов при их конструировании. Большое значение данная работа должна иметь при межевании территорий местного самоуправления, в муниципальном, градостроительном и землеустроительном проектировании.