Автор, едва не сменив имя по велению адепта легендарного античного мыслителя, вместо этого последовал рекомендациям другого греческого ученого, сдул пыль со своего циркуля и сложил две визитные карточки в тетраэдр.

Обсуждение дня моего рождения не кажется мне каким-то особо удачным способом завязать разговор. Но это, быть может, происходит оттого, что я недостаточно общался с людьми, подобными Джерому Картеру, — только я сел обедать с ним и его женой Памелой у них дома в Скоттдейле, штат Аризона, как вопрос сразу и возник: 22 ноября.

— Уууууууууууууу! — только и сказала Памела. Ей 57 лет, раньше она работала стюардессой. На Памеле джинсовая юбка и симпатичная розовая кофточка.

Джером поглядел на меня. Серьезным тоном он подтвердил то, что она выразила столь эмоционально:

— У вас очень хорошее число.

53-летний Джером совсем не похож на мистика средней руки. Крепкий, мускулистый, в оранжевой гавайской рубашке и белых шортах, в прошлом он был чемпионом по карате и работал телохранителем в международном агентстве.

— Что же хорошего в дате 22/11, — спросил я?

— Вот смотрите, 22 — это мастер-число. Как и 11. Их всего четыре таких: 11, 22, 33 и 44.

У Джерома на редкость музыкальный голос, словно позаимствованный наполовину от спортивного комментатора, а наполовину — от исполнителя вокала в рэпе.

— Вы родились 22-го, — продолжил он. — Не случайно наш первый президент родился 22-го. Два и два равно чему? Четырем. Мы выбираем наших президентов когда? Каждые четыре года. Мы платим налоги в четвертый месяц. Всё в Соединенных Штатах основано на четверке. Буквально всё. Наш первый военный флот состоял из 13 кораблей, один и три равно четырем. У нас было 13 колоний, один и три равно четырем. На провозглашении Декларации независимости было 13 певчих. Опять четыре. Где все происходило? По адресу Локус-стрит, 1300. Снова четыре!

Число 4 управляет деньгами. Вы родились под этим числом. Это очень мощное число. Число четыре — это квадрат, так что к нему относятся закон, ведомства, правительство, организация, журналистика, устройство.

Его уже было трудно остановить.

— Поэтому я и сказал О. Дж., что его обязательно отпустят. Я посмотрел, кто у него адвокаты. Все его адвокаты родились под числом четыре. Джонни Кокрэн родился 22-го, 2 и 2 равно 4. Ф. Ли Бейли родился 13-го, 1 и 3 равно 4. Барри Шек родился 4-го. Роберт Шапиро родился 31-го, 3 и 1 равно 4. У него не было адвоката, не родившегося под числом 4! А вердикт присяжных был оглашен когда? В четыре пополудни. Смекаете? Тут бы и Гитлера выпустили! Как сказал Майк Тайсон, когда я прикинул для него расклад чисел, — если все числа за тебя, то даже твои ошибки оборачиваются тебе на пользу.

Джером — профессиональный нумеролог. Он верит, что числа выражают свойства, а не просто величины. По его словам, он обладает даром, который позволяет глубоко понимать людей и даже предсказывать будущее. Актеры, музыканты, спортсмены и корпорации неплохо платят за его консультации.

— Большинство нумерологов и экстрасенсов бедны, — говорит он. — Что в общем неправильно.

У самого-то Джерома великолепный дом в роскошном кондоминиуме, а в гараже — три мотоцикла по 25 000 долларов за штуку.

Дни рождения — очевидный источник чисел для определения личностных качеств. Ту же роль играет и наше имя, потому что слова можно разбить на буквы и присвоить каждой числовое значение.

— Пафф Дадди должен был отправиться в тюрьму, — сказал он. — Пафф Дадди кое-кого обидел. Я сменил его имя на П. Дидди. Потом, когда он захотел уладить дело, я сменил ему имя на просто Дидди. Я ему эти имена предложил, и он меня послушался. Джей-Зет хотел жениться на Бейонсе. Я ему сказал, пусть снова возьмет свое старое имя. Он опять стал Шоном Картером.

Я спросил у Джерома, будут ли у него какие-нибудь рекомендации для меня.

— Полное имя у вас какое? — спросил он.

— Александр Беллос, но все зовут меня Алекс.

— Чё за фигня? — Он выдержал театральную паузу.

— А что, Александр лучше? — спросил я.

Он явно был на подъеме.

— Ну, скажем, одного из величайших людей, когда-либо ходивших по земле, звали не Алекс Великий. Слушайте сюда. Мне приходилось беседовать с людьми, которых звали Алекс. Если по-простому: первая буква имени очень важна. «А» означает 1. Из вашего Алекса (Alex) вы это и получаете. Но Александр (Alexander) оканчивается на «r», а «r» — это 9. Так что первая и последняя буквы вашего имени — 1 и 9. Альфа и омега. Начало и конец. А теперь посмотрим, что у нас с первой и последней буквами в имени Alex. Просто звук «кс». — Он произносил «кккссс», скорчившись так, как будто его сейчас стошнит. — И вы намерены такое использовать? Я бы не стал. Я бы никогда не взял имя Алекс (Alex). Бог сказал, что доброе имя дороже золота! Он, правда, не сказал, что уменьшительное имя тоже следует выбирать!

— Алекс — не уменьшительное имя, — запротестовал я. — Это сокращение.

— Чего зря спорить, Александр? — Джером попросил мой блокнотик и набросал такую таблицу:

Эта таблица, объяснил он, показывает, какие числа отвечают каким буквам. Он ткнул в первый столбец:

— Буквы, которые равны 1, — это A, J, S. Аллах, Jehovah (Иегова), Jesus (Иисус), Savior (Спаситель), Salvation (Искупление). 2 — это число дипломатов, послов. 2 дает хорошие советы, вы хороший игрок в команде, и тут буквы В, К и T, вот почему стоит только пойти в «Burger King», как все по-вашему выходит. Число 3 управляет радио, телевидением, эстрадой и нумерологией. Буквы С, L, U. Разумеется, непосвященные пусть идут на радио и телевидение. — Он хитро мне подмигнул. — Но если вы изучили нумерологию, вам откроются главные секреты. Число 4: D, M, и V. Сколько колес у автомобиля? Где вы получили права? В «Department of Motor Vehicles» (Департаменте транспортных средств). Число 5 — посередине между 1 и 10: буквы E, N и W. 5 — это число перемен. Если вы переставите буквы, то получите слово «new» — новый. 6 — это число Венеры, любви, семьи, сообщества. Когда вы видите красивую женщину, что вы видите? — FOX (лисицу). 7 — число духовное. Иисус родился 25-го, а 2 и 5 есть 7. Число 8 отвечает за бизнес, финансы, торговлю, деньги. Где вы держите деньги? В HeadQuarters (Главном офисе). 9 — единственное число, которому отвечают всего две буквы, 1 и R. Не приходилось беседовать с кем-нибудь с Ямайки? Все ништяк, чувак.

Закончив, он опустил ручку, подождал секунду и посмотрел мне прямо в глаза.

— Таков, — в заключение сказал он, — метод Джерома Картера в приложении к Пифагоровой системе.

* * *

Пифагор — самое знаменитое имя в математике, и всё благодаря его теореме о треугольниках. (О ней мы подробнее поговорим ниже.) Однако ему принадлежат и другие достижения, например открытие «квадратных чисел». Представим себе, что, как это часто делали наши предки, мы ведем счет с помощью гальки. (Латинское слово, обозначающее гальку, — calculus — и его производные стали во многих языках обозначать «вычисление» или «исчисление».) Если складывать галечные камушки в квадрат, так чтобы они располагались на равном расстоянии друг от друга по столбцам и строкам, то в квадрате из двух строк и двух столбцов будет четыре камушка, а в квадрате из трех строк и столбцов — девять. Другими словами, умножение числа n само на себя дает число камушков в квадрате из n строк и столбцов. Именно из-за наглядности этой картины и привился термин «квадрат» для обозначения умножения числа само на себя.

Пифагор заметил некоторые интересные закономерности в своих квадратах. Он заметил, что в квадрате два на два число камушков — равное четырем — представляет собой сумму единицы и тройки, а число камушков в квадрате размера три на три — девять — есть сумма чисел 1, 3 и 5. В квадрате размером четыре на четыре их шестнадцать — что есть 1 + 3 + 5 + 7. Другими словами, квадрат числа n есть сумма первых n нечетных чисел. Это можно усмотреть, если строить галечный квадрат следующим образом:

Пифагора зачаровывали численные закономерности, которые он находил в природе, и он верил, что тайны Вселенной доступны для понимания только через математику. При этом великий грек не относился к ней просто как к средству для описания природы, а воспринимал числа как суть мира и предписывал своим последователям почитать числа. Дело в том, что Пифагор был не только ученым. Он был харизматичным главой мистической секты — Пифагорейского братства, цель которого состояла в философском и математическом созерцании. Это братство представляло собой нечто среднее между санаторием, лагерем для новобранцев и коммуной хиппи. От учеников требовалось выполнение строгих правил, например, никогда не мочиться против солнца, не жениться на женщине, носящей золотые украшения, и никогда не проходить мимо лежащего на улице осла. То была группа избранных — желающим вступить в братство требовалось пройти через пять подготовительных периодов, каждый длиною в год, в течение которых им дозволялось смотреть на Пифагора только из-за занавеси.

В спиритуальном Пифагоровом космосе число 10 обожествлялось не по причинам, имеющим какое бы то ни было отношение к числу пальцев, а потому, что оно есть сумма первых четырех чисел (1 + 2 + 3 + 4 = 10), каждое из которых символизирует одну из четырех стихий: огонь, воздух, воду и землю. Число 2 — женское, 3 — мужское, а 5 — их союз — священно. Гербом братства была пятиконечная звезда («пентаграмма»). Хотя мысль о культе чисел может показаться несколько странной, она, вероятно, отражает степень изумления перед открытием первых элементов абстрактного математического знания. Воодушевление и азарт, сопутствующие выявлению закономерностей и порядка в природе, — при том, что до того никакого порядка не было видно вовсе, — должно было ощущаться как религиозное озарение.

Спиритуалистические учения Пифагора не ограничивались нумерологией. Они включали в себя и веру в перевоплощение, а кроме того, по всей видимости, Пифагор был вегетарианцем. На самом деле, его диетические пристрастия были предметом неувядающих дебатов в течение более двух тысяч лет. Говорили, что членам братства запрещалось есть маленькие круглые черные бобы. В одном из рассказов о смерти Пифагора говорится, что, когда он спасался от преследовавших его врагов, перед ним оказалось поле, где росли бобы. Согласно преданию, он предпочел, чтобы преследователи поймали его и убили, чем наступить на бобы. Согласно одному античному источнику, причина, по которой бобы оказались под запретом, состояла в том, что, по Пифагору, люди и бобы произошли из одного и того же изначального перегноя. В качестве доказательства Пифагор утверждал, что если разжевать боб, а затем ненадолго оставить бобовую массу на солнце, то запах будет напоминать запах человеческого семени. Более свежая гипотеза состоит в том, что братство просто представляло собой общину людей, страдающих наследственной аллергией к бобовым.

* * *

Пифагор жил в VI веке до н. э. Он не писал книг, и все наши сведения о нем основаны на записях, сделанных многие годы спустя после его смерти. Пифагорейское братство высмеивалось на сцене афинского театра, но к началу христианской эры самого Пифагора стали воспринимать скорее благосклонно — как единственного в своем роде гения; глубокие математические озарения превратили его в духовного, интеллектуального предшественника целой плеяды великих греческих философов. Ему приписывались чудеса, а некоторые авторы, сколь ни странным такое покажется, утверждали, что бедро у него было сделано из золота. Другие рассказывали, что однажды он переходил через реку и река обратилась к нему — достаточно громко для того, чтобы все услышали: «Приветствую тебя, Пифагор». Подобное посмертное мифотворчество связано с именем другого средиземноморского духовного вождя — и в самом деле, Пифагор и Иисус некоторое время были религиозными соперниками. Во II веке н. э. римская императрица Юлия Домна, желая противодействовать распространению христианства, поощряла среди жителей Римской империи поклонение Аполлонию из Тианы, утверждавшему, что он — воплощение, реинкарнация, Пифагора.

Пифагор оставил двойственное и противоречивое наследие: математику и антиматематику. А может быть даже — как предполагают некоторые ученые, — единственные идеи, которые принадлежат ему, носят мистический характер. Эзотерическая составляющая Пифагорова учения неизменно присутствовала в западной философии со времен Античности, но в особую моду он вошел в эпоху Возрождения, благодаря переоткрытию «Золотых стихов Пифагора» — стихотворений, приписываемых Пифагору и выражавших принципы его учения «самоусовершенствования». Написаны они были примерно в VI веке до н. э. Пифагорейское братство стало образцом для многих оккультных тайных обществ. Повлияло оно и на возникновение масонства — братства с развитой системой ритуалов, восходящих к XVI столетию, причем считается, что в наши дни только в США оно насчитывает около двух миллионов членов. Пифагор также вдохновил «мать-основательницу» современной западной нумерологии миссис Л. Дау Баллиетт — домохозяйку из Атлантик-Сити, написавшую в 1908 году книгу «Философия чисел». «Пифагор говорил, что Небеса и Земля вибрируют в согласии с отдельными числами или с цифрами, из которых числа составлены», — говорила она, предлагая систему предсказания судьбы на основе соотнесения каждой буквы в алфавите с некоторым числом от 1 до 9. Сложение чисел, получаемых из букв, входящих в имя, уверяла своих читателей высокоученая дама, позволяет предсказать личностные особенности. Исключительно ради забавы я испытал эту идею на себе. Из имени Alex получаем 1 + 3 + 5 + 6 = 15. Далее предписание состоит в том, чтобы сложить две цифры, входящие в полученный ответ, что дает 1 + 5 = 6. Итак, вибрация моего имени равна 6, а это, согласно Баллиетт, означает, что мне «всегда следует одеваться тщательно и аккуратно; увлекаться изысканными эффектами и цветами, отдавая особое предпочтение оранжевому, багряному и лиловому более светлых оттенков, никогда при этом не забывая об их истинных тонах». Мои драгоценные камни — топаз, изумруд, оникс и яшма, тогда как мой минерал — бор, а мои цветы — тубероза, лавр и хризантема. Мой аромат — камелия.

Нумерология, конечно, стала постоянным блюдом в меню современного мистицизма, где нет недостатка в специалистах, дающих советы по поводу чисел в лотерее или желающих порассуждать о значимости и знамениях, связанных с предполагаемой датой. На первый взгляд, это вполне безвредная забава — и я получил истинное удовольствие, разговаривая с Джеромом Картером, — однако же приписывание числам спритуального значения может иметь и зловещие последствия. В 1987 году, например, военное правительство в Бирме выпустило в обращение денежные банкноты, значение которых выражалось числами, делящимися на 9. Сделано это было по одной причине — любви к числу 9 генерала, возглавлявшего хунту. Новые банкноты ускорили наступление экономического кризиса, приведшего к восстанию 8 августа 1988 года — восьмого числа восьмого месяца восемьдесят восьмого года, — так что восьмерка оказалась избранным числом антидиктаторского движения. Протестные выступления, впрочем, жестоко подавили 18 сентября: в девятый месяц и в число, которое делится на 9.

* * *

Теорема Пифагора утверждает, что в любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Эти слова отпечатаны у меня в мозгу, как один из первых детских стишков или как рождественский гимн; эта фраза вызывает ностальгическое ощущение и умиротворяет независимо от содержащегося в ней смысла.

Гипотенуза — это сторона, противолежащая прямому углу, а прямой угол — это четверть полного оборота. Теорема Пифагора — абсолютный чемпион по популярности во всех начальных курсах по геометрии, первая действительно наводящая на размышление математическая концепция, изучаемая в школе. Меня в ней восхищает, насколько глубокую связь она вскрывает между числами и пространством. Не у всех треугольников имеется прямой угол, но, когда такой угол есть, сумма квадратов двух сторон должна быть равна квадрату третьей. Теорема верна и в противоположном направлении: возьмем любые три числа. Если сумма квадратов двух из них равна квадрату третьего, то можно построить прямоугольный треугольник, длины сторон которого будут как раз заданными числами.

Теорема Пифагора

В ряде комментариев о Пифагоре говорится, что до основания братства он предпринял путешествие в Египет с целью сбора фактов. Если бы он заглянул на египетскую строительную площадку, то наверняка бы заметил, что для создания прямого угла рабочие использовали прием, представляющий собой применение теоремы, позднее названной его именем. На веревке делались отметки в виде завязанных узлов на расстояниях, равных 3, 4 и 5 единицам. Поскольку 32 + 42 = 52, когда веревкурастягивали между тремя колышками так, чтобы у каждого колышка оказывался узел, она образовывала треугольник, один из углов которого был прямым.

Натягивание веревки — самый удобный способ получения прямых углов, необходимых для того, чтобы кирпичи или гигантские каменные блоки, подобные тем, что использовались при строительстве пирамид, можно было слой за слоем класть друг на друга. (Слово «гипотенуза» происходит из греческого слова, означающего «протянутая, растянутая снизу».) Чтобы получить настоящий прямой угол, египтяне могли использовать и много других чисел, кроме 3, 4 и 5. В действительности имеется бесконечное количество чисел а, b и с, таких что а 2 + b 2 = с 2 . Египтяне могли бы отметить на своих веревках, например, длины в 5, 12 и 13 единиц, потому что 25 + 144 = 169, или длины 8, 15 и 17, потому что 64 + 225 = 289, или даже 2772, 9605 и 9997, потому что 7 683 984 + 92 256 025 = 99 940 009, хотя это едва ли удобно на практике. Числа 3, 4, и 5 подходят для решения задачи лучше всего. Помимо того что это наименьшая такая тройка чисел, это еще и единственная тройка, в которой целые числа идут подряд. Из-за наследия, оставшегося от натягивания веревок, прямоугольный треугольник со сторонами, находящимися в отношении 3:4:5, известен как «египетский треугольник». Это карманная машина для построения прямых углов — жемчужина нашего математического достояния, интеллектуальный продукт колоссальной мощи, элегантности и точности.

* * *

Квадраты, фигурирующие в теореме Пифагора, можно понимать как числа, а можно и как картинки — буквально, как квадраты, нарисованные на сторонах треугольника. Представим себе, что квадраты на сторонах треугольника, изображенного на рисунке, сделаны из золота. Предлагается или выбрать два меньших квадрата, или взять самый большой. Что лучше?

Учитель математики Реймонд Смулльян говорит, что, когда он задает этот вопрос своим ученикам, половина класса желает взять один большой квадрат, а другая половина — два меньших квадрата. И те и другие очень удивляются, когда он сообщает им, что никакой разницы нет.

Это так потому, что, как утверждает теорема, общая площадь двух меньших квадратов равна площади большего квадрата. На каждом прямоугольном треугольнике можно построить таким способом три квадрата, так что площадь большего можно в точности разделить на площади двух меньших. И так получается всегда.

Неизвестно, действительно ли честь открытия этой теоремы принадлежит Пифагору, однако еще с античных времен имя его прочно связано с ней. Эта теорема подтверждает его мировоззрение, демонстрируя замечательную гармонию математической вселенной. И действительно, теорема выявляет связь более глубинную, чем просто между квадратами, построенными на сторонах прямоугольного треугольника. Площадь полуокружности, построенной на гипотенузе, например, равна сумме площадей полуокружностей, построенных на двух других сторонах. Площадь пятиугольника, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей пятиугольников, построенных на двух других сторонах; то же верно для шестиугольников, восьмиугольников и вообще для любых правильных или неправильных фигур. Если, скажем, к сторонам прямоугольного треугольника пририсовать три портрета Моны Лизы, то площадь большой Моны будет равна площади двух меньших.

Больше всего меня восхищает в теореме Пифагора то, что я понимаю, почему она верна. Простейшее доказательство таково. Оно восходит к древним китайцам, возможно к тем временам, когда Пифагор еще не родился, и представляет собой одну из причин, по которой многие подвергают сомнению, что именно он был первым, кто предложил эту теорему.

Прежде чем продолжать чтение, рассмотрим два квадрата. Квадрат А по размеру равен квадрату В, и все прямоугольные треугольники внутри этих двух квадратов тоже имеют одинаковые размеры. Поскольку квадраты равны, площади белых областей внутри них тоже равны. Заметим теперь, что большой белый квадрат внутри квадрата А — это квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника. А меньшие белые квадраты внутри квадрата В — это квадраты, построенные на двух других сторонах треугольника. Другими словами, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон. Готово.

Поскольку мы можем построить квадраты, аналогичные А и В, для прямоугольного треугольника любой формы и размера, теорема должна быть верна во всех случаях.

Захватывающая увлекательность математики коренится в моменте внезапного проявления истины в доказательствах, подобных приведенному выше, когда все вдруг становится ясным. И тогда испытываемое интеллектуальное удовольствие граничит с физическим. В XII столетии это доказательство так потрясло индийского математика Бхаскару, что под иллюстрирующим его рисунком он в своей математической книге «Лиливати» вместо объяснений написал всего одно слово: «Зри!»

* * *

Имеется много других доказательств теоремы Пифагора; одно, особенно милое, приведенное на рисунке, приписывается арабскому математику Аннаиризи, а появилось оно около 900 года. Теорема там извлекается из повторяющегося узора. Улавливаете? (Если нет, то помощь можно почерпнуть в приложении 1 на веб-сайте, посвященном этой книге.)

В книге «Пифагорово предложение» Элиша Скотта Лумиса, изданной в 1940 году, приведено 371 доказательство этой теоремы. Их авторы были на редкость несхожие между собой люди; к примеру, одно доказательство в 1888 году предложила слепая девушка Эмма Кулидж; второе, в 1938 году — Энн Кондит, 16-летняя старшеклассница; авторами других считаются Леонардо да Винчи и американский президент Джеймс А. Гарфилд, правивший страной с марта по сентябрь 1881 года. Гарфилд наткнулся на свое доказательство во время математических развлечений с коллегами в бытность свою конгрессменом от Республиканской партии. «Мы рассматриваем его как нечто, по поводу чего члены обеих палат могут проявить единство, невзирая на партийные различия», — сказал он, когда его доказательство впервые было опубликовано в 1876 году.

Разнообразие доказательств — свидетельство жизненной силы математики. Нет и никогда не было одного-единственного «правильного» способа решения математической задачи, и исключительно интересно наблюдать, какими различными путями различные умы добирались до желанного решения. Возьмем, например, три доказательства теоремы Пифагора из трех различных эпох: одно предложил Лю Хуэй — китайский математик, живший в III веке, другое — Леонардо да Винчи, один из титанов эпохи Возрождения, а третье (в 1917 году) — Генри Дьюдени, самый знаменитый британский изобретатель головоломок. И Лю Хуэй, и Дьюдени дали «доказательства путем разбиения», в которых два малых квадрата разбиваются на фигуры, которые можно собрать в точности в большой квадрат. Вы можете пожелать изучить их доказательства, чтобы понять, как это делается. Доказательство Леонардо более необычно и требует большего напряжения мысли. (Если потребуется помощь, загляните на веб-сайт .)

лю Хуэй

Генри Дьюдени

Леонардо да Винчи

Особо динамичное доказательство придумал в начале XX века нью-йоркский профессор математики Герман фон Баравалле. На рисунке показано, как большой квадрат, подобно амебе, делится на два меньших. Затемненные участки сохраняют свою площадь на каждом шаге. На шаге 4 два параллелограмма «скашиваются» за пределы области, а далее на шаге 5 эти параллелограммы преобразуются в квадраты, и — зри! — теорема доказана.

Доказательство Баравалле подобно наиболее общепринятому в математической литературе — тому, которое пошло от Евклида (около 300 года до н. э.).

Доказательство теоремы Пифагора, предложенное Германом фон Баравалле

Евклид — самый знаменитый греческий математик после Пифагора — жил в Александрии. В его шедевре «Начала» содержится 465 теорем, которые отражали объем знаний, доступных грекам того времени. Греческая математика почти целиком состояла из геометрии — слово это происходит от греческих слов, означавших «земля» и «измерение»,— хотя содержание «Начал» и не имело отношения к устройству реального мира. Евклид действовал в абстрактном мире точек и линий. Средства, которыми он разрешал себе пользоваться, представляли собой лишь карандаш, линейку и циркуль, — по каковой причине именно они стали основным содержимым детских пеналов на протяжении столетий.

Первая задача Евклида — книга 1, предложение 1 — состояла в том, чтобы показать, что по любому заданному отрезку можно построить равносторонний треугольник (то есть треугольник с тремя равными сторонами), причем со стороной, равной заданному отрезку. Он использовал следующий метод:

Шаг 1

Поставим острие циркуля в один из концов заданного отрезка и нарисуем окружность, проходящую через другой его конец.

Шаг 2

Повторим предыдущий шаг, поставив циркуль в другой конец отрезка. Получатся две пересекающиеся окружности.

Шаг 3

Проведем два отрезка, соединяющие одну из точек пересечения двух окружностей с концами исходного отрезка.

Затем Евклид методично продвигается от предложения к предложению, для чего требуется установление немалого числа свойств линий, треугольников и окружностей. Например, предложение 9 показывает, как провести «биссектрису» угла — построить угол, который есть в точности половина данного угла. Предложение 32 утверждает, что внутренние углы треугольника в сумме всегда дают два прямых угла, или 180 градусов. «Начала» — это гимн педантичности и строгости. Ничто никогда не принимается на веру. Каждая строчка логически следует из предыдущих. И тем не менее, исходя из всего нескольких основных аксиом (о них мы будем говорить позже), Евклид приводит впечатляющий набор неопровержимых результатов.

Первая книга завершается великолепным предложением 47. В издании 1570 года — первом английском переводе — имеется такой комментарий: «Эту самую замечательную и знаменитую теорему впервые открыл великий философ Пифагор, который так оттого возрадовался, что принес в жертву быка, как о том пишут Гиерон, Прокл, Дикий и Витрувий. И позднейшие варварские авторы называли ее Дулкарнон». «Дулкарнон» означает «двурогий», или «зашел ум за разум» — возможно, потому что рисунок, иллюстрирующий доказательство, содержит два похожих на рога квадрата, а быть может, потому что понять его действительно очень и очень непросто.

«Начала», книга 1, предложение 1.

Евклидово доказательство теоремы Пифагора лишено намека на изящество. Оно длинное, методичное, извилистое и требует рисунка, изобилующего линиями и наложенными друг на друга треугольниками. Выдающийся немецкий философ XIX века Артур Шопенгауэр заметил, что оно настолько неоправданно сложно, что представляет собой «блестящий образчик извращенности». Справедливости ради скажем, что Евклид не ставил перед собой задачу превратить доказательство в игру (как Дьюдени), или сделать его эстетским (как Аннаиризи), или интуитивным (как Баравалле). Евклида волновала — зато всерьез — одна только строгость его дедуктивной системы.

Тогда как Пифагор усматривал чудесное в числах, Евклид в своих «Началах» выявил более глубокую красоту — неопровержимую систему математических истин. Страница за страницей он демонстрирует, что математическое знание радикально отличается от любого другого. Предложения, доказанные в «Началах», не имеют срока давности. Они не становятся менее верными или даже менее актуальными с течением времени (это — причина, по которой Евклида изучают во всех школах мира, а греческих драматургов, поэтов и историков — нет). Мощь Евклидова метода внушает трепет. Про Томаса Гоббса — разносторонне одаренного человека, жившего в Англии в XVII веке, — говорят, что, когда ему было уже 40 лет, взгляд его как-то упал на «Начала», лежавшие открытыми в библиотеке. Он прочитал одно предложение и воскликнул: «Боже мой, не может быть!» Тогда ему пришлось прочитать предыдущее предложение, затем вернуться еще на одно назад, и так далее, пока он не убедился, что все верно. В результате он влюбился в геометрию из-за определенности, которую она предписывает, и дедуктивный подход оказал влияние на его самые знаменитые работы по политической философии. Начиная с «Начал» логическая аргументация стала золотым стандартом всех научных изысканий.

* * *

Евклид принялся за нарезание двумерного пространства на семейство фигур, известных как многоугольники — фигуры, построенные лишь из отрезков прямых линий. С помощью циркуля и линейки он сумел построить не только равносторонний треугольник, но и квадрат, пятиугольник и шестиугольник. Многоугольники, в которых все стороны имеют одну и ту же длину, а все углы между сторонами одинаковы, называются правильными. Интересно, что метод Евклида работает не для всех правильных многоугольников. Семиугольник, например, нельзя построить циркулем и линейкой, зато восьмиугольник — можно, но девятиугольник снова нельзя. Между тем сумасшедше сложный правильный многоугольник с 65 537 сторонами построить можно — более того, он был реально построен. (Такое число сторон выбрано потому, что оно равно 216 + 1.) Немецкий математик Иоган Густав Гермес, начав в 1894 году, потратил на эту работу десять лет.

Одна из задач, которые ставил перед собой Евклид, заключалась в исследовании трехмерных фигур, которые можно создать, соединяя друг с другом одинаковые правильные многоугольники. Оказывается, вариантов всего пять: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр — пятерка тел, известных как Платоновы тела с тех пор, как Платон написал о них в одном из своих важнейших трактатов «Тимей» (360 до н. э.). Платон соотнес их с четырьмя стихиями, составляющими Вселенную, добавив к ним божественное пространство, которое всех их окружает. Тетраэдру отвечал огонь, кубу — земля, октаэдру — воздух, икосаэдру — вода, а додекаэдру — охватывающий купол. Платоновы тела особо интересны тем, что они полностью симметричны. Их можно крутить, вертеть или как угодно переворачивать, и они всегда будут оставаться неизменными.

Платоновы тела

В тринадцатой, заключительной, книге «Начал» Евклид доказал, почему имеется только пять Платоновых тел. Он рассмотрел все объемные объекты, которые можно собрать из правильных многоугольников: сначала равносторонний треугольник, затем квадраты, пятиугольники, шестиугольники и т. д. На рисунке показано, как он пришел к своему выводу. Чтобы построить объемный объект из многоугольников, необходима точка, в которой сходятся три стороны: такой угол называется вершиной. При соединении в вершине, например, трех равносторонних треугольников получается тетраэдр (А). При соединении четырех — пирамида (В). Такая пирамида — не платоново тело, потому что не все стороны у нее одинаковы, но, приклеив к ее дну отраженную пирамиду, получаем октаэдр — платоново тело. Соединение вместе пяти равносторонних треугольников дает начало икосаэдру (С), а вот соединение шести — плоский лист бумаги (D). Не удается сконструировать телесный угол из шести равносторонних треугольников, так что нет других способов сделать из них какие-либо Платоновы тела. Повторение той же процедуры с квадратами показывает, что есть только один способ соединить три квадрата в угол (E). Это построение приведет к кубу. Соединение четырех квадратов дает плоский лист бумаги (F). Из квадратов более не удается построить Платоновых тел. Аналогичным образом, три пятиугольника образуют телесный угол, который можно достроить до додекаэдра (G). Невозможно соединить четыре пятиугольника. Три шестиугольника, соединяющиеся в одной точке, уже лежат в одной плоскости (H), так что из них невозможно создать объемный объект. Больше Платоновых тел нет, поскольку невозможно соединить в вершине три правильных многоугольника с более чем шестью сторонами.

Доказательство того, что имеется только пять Платоновых тел

* * *

Математики продолжили работу Евклида, и это позволило им решить множество проблем, относящихся к реальному миру. Например, в 1471 году немецкий математик и астроном Региомонтанус (Иоанн Мюллер) написал своему другу письмо, в котором задал такую задачу: «Из какой точки на земле перпендикулярно стоящий стержень кажется самым большим?» То была перефразировка «задачи о статуе». Представьте себе, что перед вами на пьедестале установлена статуя. Когда вы подходите к ней слишком близко, приходится задирать голову, и угол, под которым она видна, очень узкий. Когда же вы отошли далеко, приходится напрягать глаза, и статуя, опять же, видна под очень малым углом. Где расположено наилучшее место для обзора статуи?

Взглянем на статую сбоку, как показано на рисунке. Нам нужно найти точку на пунктирной линии, отвечающей уровню глаз, так, чтобы угол, под которым видна статуя, был бы наибольшим. Решение можно извлечь из третьей книги «Начал», посвященной окружностям. Угол максимален, когда окружность, проходящая через верх и низ статуи, касается пунктирной линии.

Задача о статуе

Однако самый, быть может, ошеломляющий результат в евклидовой геометрии — это тот, в котором выявляется потрясающее свойство треугольников. Для начала найдем, где находится центр треугольника. Это на удивление неочевидное понятие. Имеется четыре способа определить центр треугольника, и все они представляют собой различные точки (за исключением случая, когда треугольник равносторонний, — тогда эти точки совпадают друг с другом). Первый называется ортоцентром — это пересечение перпендикуляров, проведенных из каждой вершины к противолежащей ей стороне (сами эти линии называются высотами). Уже довольно занятен тот факт, что в любом треугольнике его высоты всегда пересекаются в одной и той же точке. Второй кандидат на центр треугольника — это центр описанной окружности, лежащий на пересечении перпендикуляров, проведенных из середины каждой стороны. Опять же, очень мило, что эти линии всегда пересекаются, какой бы треугольник вы ни выбрали. Третий кандидат — центроид, представляющий собой пересечение линий, идущих от вершин к серединам противолежащих сторон. Они тоже всегда пересекаются. И наконец, имеется окружность шести точек — это окружность, проходящая через середину каждой стороны, а также через пересечения сторон и высот. У каждого треугольника есть окружность шести точек, и ее центр — четвертый кандидат на среднюю точку треугольника. В 1767 году Леонард Эйлер доказал, что у каждого треугольника его ортоцентр, центр описанной окружности, центроид и центр окружности шести точек всегда лежат на одной прямой. Полный улет — независимо от вида треугольника эти четыре точки сохраняют ослепительно единообразное взаимоотношение друг с другом! Присутствующая здесь гармония поистине чудесна. Пифагор, надо думать, просто ликовал бы.

Построение прямой Эйлера

* * *

Сейчас даже трудно оценить важность Евклидовых «Начал» для всей античной культуры. Не теряют они своего значения и по сей день. Появившись около 300 года до н. э., вплоть до XX века эта книга была второй после Библии по числу переизданий. И тем не менее, сколь бы виртуозным ни был Евклидов метод, он не решал все проблемы; ответ некоторых задач, порой совсем простых, не получишь с помощью циркуля и линейки. Это глубоко огорчало греков. В 430 году до н. э. Афины поразила эпидемия брюшного тифа. Афиняне отправились за советом к делосскому оракулу, который предложил им в два раза увеличить размер посвященного Аполлону алтаря, имевшего форму куба. Радуясь, что столь простое дело принесет им избавление, афиняне построили новый алтарь (тоже в форме куба), стороны которого были вдвое длиннее сторон исходного алтаря. Однако при удвоении стороны куба объем его увеличивается в два в кубе, то есть в восемь раз. Аполлон не возрадовался и только усугубил заразу. Задача, заданная богом, об удвоении куба, — по заданному кубу построить куб вдвое большего объема — называется делийской задачей и представляет собой одну из трех классических задач Античности, не разрешимых евклидовыми средствами. Две другие — это квадратура круга, то есть построение квадрата, имеющего ту же площадь, что и заданный круг, и трисекция угла, то есть построение угла, представляющего собой треть заданного. Почему евклидова геометрия не позволяет решить эти задачи, а другие методы позволяют? Этот вопрос на долгие годы стал главной проблемой математики.

* * *

Не одних только греков интриговали чудеса, скрытые в математических формах. Самый священный объект в исламе представляет собой платоново тело. Это Кааба, черный куб, стоящий в центре мечети Харам Бейт-Уллах в Мекке, который паломники обходят против часовой стрелки во время хаджа. (Истинные размеры Каабы таковы, что чуть недотягивают до идеального куба.) Кааба также служит ориентиром — той точкой, к которой должны быть обращены лицом правоверные мусульмане, совершающие дневную молитву, где бы они ни находились. Математика играет более значимую роль в исламе, чем в какой-либо другой из основных религий. За более чем тысячу лет до появления GPS-технологий необходимость обращаться лицом к Мекке требовала сложных астрономических вычислений — в этом, по-видимому, заключается одна из причин, по которым исламская наука не знала себе равных на протяжении почти тысячи лет.

В исламе запрещалось изображение людей и животных, а потому стены, потолки и полы священных зданий украшали затейливые геометрические мозаики. Предполагалось, что геометрия выражает истину, выходящую за пределы человеческого бытия, и это было вполне созвучно идеям Пифагора, утверждавшего, что Вселенная раскрывает себя через математические формы. Симметричные формы и бесконечные петли, которые исламские мастера использовали в своих узорах, были аллегорией бесконечного и выражением священного, математического миропорядка.

Исламская паркетная мозаика из дворца Альгамбра в Гранаде (Испания)

* * *

Если отправиться еще дальше на восток, то мы окажемся в другой цивилизации, которая давно восприняла красоту геометрических форм. В Японии все знают оригами. Это искусство складывания бумаги возникло из обычая крестьян воздавать благодарность богам во время уборки урожая, предлагая им на листке бумаги богатые приношения. Предназначенное богам располагалось не на плоском листе, а на сложенном по диагонали, дабы сделать дар более теплым, душевным. Оригами расцвело в Японии за последние несколько сотен лет в качестве досуга, как нечто вроде игры, в которую родители играют с детьми ради развлечения. Оригами как нельзя лучше отвечает любви японцев к художественной сдержанности, вниманию к деталям и экономии формы.

На первый взгляд складывание оригами из визитных карточек кажется сугубо японским изобретением, объединяющим два этих национальных пристрастия. На самом же деле такая практика японцам претит. Они воспринимают визитные карточки как продолжение личности, поэтому забавы с ними рассматриваются как серьезное оскорбление, пусть даже это оригами. Когда я попытался сложить визитную карточку в ресторане в Токио, меня едва не выставили на улицу за такое антиобщественное поведение. В остальном мире, однако, оригами с визитными карточками — некий современный поджанр в искусстве складывания бумаги. Ему более сотни лет, со времен (ныне позабытой) практики оригами с карточками, использовавшимися при нанесении визитов.

Примером может служить складывание карточки так, чтобы правый нижний угол пересекся с левым верхним углом, а затем сложение нахлестов. Повторите то же с другой карточкой, только на этот раз сложите левый нижний угол с правым верхним. Получатся две половинки тетраэдра.

Как сложить тетраэдр из карточек

Октаэдр можно сделать из четырех карточек, а икосаэдр — из десяти. Несложно также сделать четвертое платоново тело — куб. Сложим две карточки друг на друга в виде знака плюс и загнем выступающие части. Получившееся имеет форму квадрата. Шесть карточек, сложенных таким образом, собираются в куб, хотя загнутые части и остаются снаружи. Требуется еще шесть карточек, чтобы, надвинув их на грани, сделать куб гладким.

Как сложить куб из карточек

* * *

Жанин Мозли, программистка из Массачусетса, — настоящий дзен-мастер оригами из карточек. Несколько лет назад она обнаружила, что у нее в гараже скопились 100 000 карточек — они достались ей от коллег по работе: первый комплект она получила, когда компания сменила название, второй — когда компания поменяла адрес, а затем еще один, когда выяснилось, что во всех новых карточках имеется опечатка. При наличии таких ресурсов она готова была бросить вызов самому сложному объекту в искусстве оригами — губке Менгера.

Прежде чем мы подойдем к губке Менгера, мне следует познакомить вас с ковром Серпинского. Эту замысловатую фигуру изобрел в 1916 году польский математик Вацлав Серпинский. Начнем с черного квадрата. Представим себе, что он сделан из девяти одинаковых подквадратиков, и удалим центральный (рис. А). Далее для каждого из оставшихся подквадратиков повторим эту операцию — то есть представим себе, что они сделаны из девяти подквадратиков каждый, и удалим центральные (рис. В). Снова повторим тот же процесс (рис. С). Ковер Серпинского — это то, что получится, если продолжать подобные действия до бесконечности.

В 1926 году австрийский математик Карл Менгер предложил трехмерный вариант ковра Серпинского, получивший известность как губка Менгера. Начнем с куба. Представим себе, что он сделан из 27 одинаковых подкубов, и удалим подкуб, расположенный в самом центре, а заодно и шесть подкубов в центре каждой грани исходного куба. Получается куб, в котором просверлили три квадратные дырки (рис. D). Поступим с каждым из оставшихся 20 подкубов как с исходным кубом и удалим 7 из 27 подкубов из каждого (рис. E). Повторим этот процесс еще раз (рис. F), после чего наш куб примет такой вид, будто в нем пировал целый выводок геометрически озабоченных древесных червей.

Губка Менгера

Губка Менгера — поразительный, парадоксальный объект. При продолжении итераций, в ходе которых удаляются все меньшие и меньшие кубы, объем губки все уменьшается, и в конце концов она становится невидимой — как если бы древесные черви съели ее целиком. Однако при каждой итерации, состоящей в удалении кубиков, площадь поверхности губки возрастает. Совершая все больше и больше итераций, можно сделать площадь его поверхности больше любого наперед заданного значения, а это означает, что, когда число итераций стремится к бесконечности, площадь поверхности губки также стремится к бесконечности. В пределе губка Менгера — это объект с бесконечно большой площадью поверхности, но при этом невидимый.

Мозли построила губку Менгера третьего уровня — другими словами, губку, получаемую за три итерации удаления кубиков (рис. F). На это у нее ушло десять лет. Она прибегла к помощи около 200 человек и использовала 66 048 карточек. Построенная ею губка имеет высоту, ширину и глубину по четыре фута и восемь дюймов.

«Я долгое время размышляла над вопросом, делаю ли я нечто совершенно нелепое, — сказала она мне. — Но когда я закончила работу и взглянула на эту штуку, я осознала, что ее масштаб придал всему делу великолепие. Особенно чудесно, что в модель можно засунуть голову и плечи и посмотреть на эту изумительную фигуру с такой точки зрения, с которой раньше никто на нее не смотрел. Это было бесконечно пленительно, потому что чем глубже в нее погружаешься, тем больше видишь повторяющих самих себя структур. Просто смотришь на все это, и ничего объяснять не требуется. Это идея, воплощенная в материале; математика, ставшая наглядной».

* * *

Хотя оригами — исходно японское изобретение, приемы складывания бумаги развивались — причем совершенно независимо — и в других странах. В Европе пионером оригами был немецкий преподаватель Фридрих Фрёбель, в середине XIX столетия использовавший складывание объектов из бумаги как метод обучения маленьких детишек началам геометрии. Оригами обладало тем преимуществом, что позволяло его подопечным в детском садике наблюдать за тем, как геометрические объекты создаются в пространстве, а не просто рассматривать их плоские изображения на рисунках. Пример Фрёбеля перенял другой математик — индиец Сундара Роу, написавший в 1901 году книгу «Геометрические упражнения со складыванием бумаги», в которой он утверждал, что оригами — математический метод, в ряде случаев оказывающийся более мощным, чем Евклидов. Он говорил, что «несколько важных геометрических процессов можно осуществить намного проще, чем с циркулем и линейкой». Но даже Роу не мог предвидеть, насколько это мощный метод — оригами.

В 1936 году итальянка Маргерита Пьяццола Белок из Университета Феррары опубликовала статью, где доказала, что, взяв лист бумаги с отмеченной на нем длиной L, можно сложить его так, чтобы получить длину, равную кубическому корню из L. Может быть, тогда она этого и не осознавала, но из ее утверждения следовало, что с помощью оригами решалась задача, поставленная перед афинянами делосским оракулом, когда он потребовал, чтобы афиняне удвоили объем куба. Делосская задача переформулируется как задача построения куба со стороной в кубический корень из двух — раз большей стороны заданного куба. С использованием оригами задача сводилась к складыванию длины , исходя из длины 1. Поскольку мы можем удвоить 1 и получить 2 путем складывания 1 самой на себя, а кроме того, можем найти кубический корень из 2, следуя предписанию Белок, значит, задача решена. Из доказательства Белок также следовало, что любой угол можно разделить на три равные части — и тем самым была побеждена вторая великая нерешаемая задача Античности. Статья Белок, однако, пребывала в безвестности десятилетия, пока в 1970-х годах математики не занялись оригами всерьез.

Первое, опубликованное в 1980 году оригами-доказательство делосской задачи было дано японским математиком; затем один американец в 1986 году предложил трисекцию угла. Всплеск интереса происходил отчасти от усталости — математикам изрядно надоело более чем двухтысячелетнее господство евклидовой ортодоксии. Ограничения, налагаемые Евклидом, — работа только с циркулем и линейкой — сузили границы математических изысканий. Как оказалось, оригами дает гораздо больше возможностей, чем циркуль и линейка, например при построении правильных многоугольников. Евклид смог построить равносторонний треугольник, квадрат, пятиугольник и шестиугольник, однако семиугольник, как мы помним, и девятиугольник ему не покорились. Оригами позволяет относительно легко получать семиугольники и девятиугольники с помощью складывания, хотя по-настоящему серьезным делом оказывается построение 11-угольника. (Строго говоря, здесь речь идет об оригами, где допустимы только однократные складывания. Если разрешить многократные складывания, то в принципе можно построить любой многоугольник, хотя физическое построение из-за своей сложности может оказаться практически невозможным.)

Так, далеко уйдя от детской забавы, оригами вышло на передний край математики.

И это действительно так. Когда Эрику Демейну было 17 лет, он с соавторами доказал возможность создания любой геометрической фигуры с прямолинейными сторонами путем складывания листа бумаги и проведения всего одного разреза. Определившись с тем, какую именно фигуру хотите получить, вы разрабатываете схему складывания, затем складываете лист, проводите единственный разрез, разворачиваете то, что получилось, и оттуда выпадает желанная фигура. С первого взгляда может показаться, что подобный результат представляет интерес только для школьников, занятых созданием рождественских украшений всевозрастающей сложности. Однако работа Демейна нашла применение в промышленности, в частности при проектировании автомобильных подушек безопасности. Оригами находит применение в самых неожиданных сферах: в робототехнике, при создании артериальных стентов и солнечных батарей на искусственных спутниках Земли.

Гуру современного оригами — Роберт Лэнг, который кроме развития теории, лежащей в основе складывания бумаги, превратил это занятие в раздел скульптуры. В прошлом физик из NASA, Лэнг был пионером в использовании компьютеров при разработке схем складывания с целью создания все более сложных фигур. Среди созданных им фигур — жуки, скорпионы, динозавры и человек, играющий на рояле. Надо заметить, что схемы складывания почти всегда столь же прекрасны, как и готовые изделия.

Оригами скорпион Роберта Лэнга и соответствующая схема складывания

Сегодня США претендуют на первенство в исследовании оригами ничуть не меньше, чем Япония, — отчасти потому, что оригами настолько вплелось в ткань японского общества в качестве вида досуга, что японцам оказалось не так легко воспринимать это занятие серьезно, как науку. Делу не слишком помогает и произошедшее в Японии разделение на фракции между различными организациями, каждая из которых оставляет только за собой исключительное право олицетворять оригами. Меня удивило, когда Кадзуо Кобаяши — председатель Международной ассоциации оригами — отверг работу Роберта Лэнга как элитарную. «Он делает это для себя, — пробурчал Кобаяши. — Мое же оригами способствует реабилитации больных и помогает обучению детей».

Тем не менее множество японских любителей оригами создают новые интересные вещи, и я отправился в Цукубу, современный университетский город немного к северу от Токио, чтобы встретиться с одним из таких мастеров оригами. Кадзуо Хага — энтомолог на пенсии, его профессиональная специализация — эмбриональное развитие яиц насекомых. Малюсенький офис Хаги завален книгами и заставлен витринами с бабочками. Хага, которому сейчас 74 года, носит большие очки с тонкой черной оправой — она придает его лицу геометрические очертания. У Хаги высокий лоб и мягкие седые волосы, а вид — профессорский. Он довольно застенчивый человек, и поэтому заметно волновался по поводу моих предстоящих расспросов.

Но застенчивость Хаги касается только общения с другими людьми, а в оригами он — настоящий бунтарь. Определившись для себя с принадлежностью к основному течению оригами, он тем не менее никогда не чувствовал себя связанным какими-либо условностями. Например, согласно правилам традиционного японского оригами, имеется только два способа сделать первое складывание. Оба представляют собой складывание пополам — или по диагонали, так что соединяются два противоположных угла, или по средней линии, из-за чего вместе оказываются соседние углы. Называются они «первичными складками».

Хага решил нарушить традиции. Что, если сложить угол на середину стороны? Не безумная ли идея?! Первый раз он сделал такое в 1978 году, и эта простая операция открыла двери в грандиозный новый мир. Хага получил три прямоугольных треугольника, но то были не просто прямоугольные треугольники. Все они оказались египетскими — самыми известными в истории и самыми каноническими треугольниками в мире.

Подстегиваемый трепетом сделанного открытия, он написал письмо о новом складывании профессору Коджи Фушими — физику-теоретику, известному своим интересом к оригами. «Я так и не получил ответа, — сказал Хага, — но затем он внезапно опубликовал статью в журнале „Mathematics Seminar“, ссылаясь там на теорему Хаги. Вот что получилось вместо ответа». С тех пор имя Хаги получили две другие «оригами-теоремы», а по его словам, у него таких еще с полсотни.

Теорема Хаги: треугольники А, В и С — египетские

Другая теорема Хаги

В теореме Хаги угол складывается на середину стороны. Хага задался вопросом, возникнет ли что-нибудь интересное, если сложить угол на случайную точку на стороне. Решив это продемонстрировать мне, он взял синий квадратный листок из набора бумаги для оригами и красной ручкой отметил произвольную точку на одной из сторон, сложил листок так, чтобы один из противоположных углов попал на эту отметку, и сделал складку, а потом развернул листок. Затем он сложил его так, чтобы другой противоположный угол попал на ту же отметку, и сделал вторую складку, — получился квадрат с двумя пересекающимися линиями.

Хага показал мне, что пересечение двух складок всегда происходит на средней линии листа бумаги и что расстояние от выбранной произвольной точки до пересечения всегда равно расстоянию от пересечения до противолежащих углов. Меня это просто потрясло. Точка выбиралась случайным образом и вовсе не по центру. И тем не менее процесс складывания подобен самокорректируемому механизму!

Мне пришло в голову, что если про кого-то и можно сказать, что этот человек воплощает в современном мире душу Пифагора, то это определенно Кадзуо Хага. И у него, и у Пифагора одна и та же страсть к математическим открытиям, в основе которых — искреннее восхищение гармонией геометрии. И это восхищение, судя по всему, повлияло на Хагу в духовном плане аналогично тому, как это случилось с Пифагором две тысячи лет назад. «Большинство японцев пытаются в оригами создавать новые фигуры, — говорит Хага. — Моя же цель — уйти от идеи создания чего-то физического, а вместо этого открывать новые математические феномены. Вот почему я нахожу оригами таким интересным. Оказывается, в очень, очень простом мире все еще можно обнаружить захватывающие вещи».