Автор путешествует по Германии ради того, чтобы стать свидетелем самого быстрого в мире умножения, совершаемого в уме, ищет окольный путь для того, чтобы начать говорить об окружностях и рассказать трансцендентную сказку, приводящую на диван в Нью-Йорке.

В начале XIX столетия до английской королевы Шарлотты дошла молва о вундеркинде Джордже Паркере Биддере — сыне девонширского каменщика. Она задала мальчику такой вопрос: «От мыса Лэндс-энд в Корнуолле до Фаррэтс-хэд в Шотландии 838 миль; сколько времени понадобится улитке, чтобы проползти это расстояние, если она ползет со скоростью 8 футов в день?»

Заданный вопрос и полученный ответ — 553 080 дней — упомянуты в популярной книге того времени «Краткий рассказ о Джордже Биддере, прославленном Чудо-Вычислителе, с приложением множества самых трудных вопросов, заданных ему в главных городах королевства, и его невероятно быстрых ответов». На ее страницах приведен список грандиознейших вычислений, проделанных ребенком, включая такую «классику», как вопросы «Чему равен квадратный корень из 119 550 669 121?» (ответ — 345 761 — последовал через полминуты) и «Сколько фунтов весит сахар, погруженный в 232 бочки, каждая из которых весит 12 центнеров, 1 четверть и 22 фунта?». (Ответ — 323 408 фунтов — также последовал через полминуты.)

Использование арабских цифр существенно упростило операцию сложения, но тут вдруг выяснилось, что некоторые люди отмечены поистине потрясающими арифметическими способностями. Нередко эти чудо-вычислители не преуспевали ни в чем другом, кроме как в действиях с числами. Один из самых ранних известных нам примеров — сельскохозяйственный рабочий из Дербишира Джедедия Бакстон, изумлявший всю округу своими способностями к счету, хотя он никогда не учился ни читать, ни писать. Он мог, например, вычислить, какая сумма получится после 140-кратного удвоения фартинга. (Ответ, выраженный в фунтах, дается числом длиной в 39 цифр, плюс остаются 2 шиллинга и 8 пенсов.) В 1754 году интерес к таланту Бакстона достиг такого уровня, что его позвали в Лондон, где члены Королевского общества его внимательно обследовали. По всей видимости, он страдал некоторой формой высокофункционального аутизма. Например, когда его повели в театр на спектакль «Ричард III», действие на сцене оставило его совершенно равнодушным, он лишь сообщил, что актер совершил 5202 шага и произнес 14 445 слов.

В XIX веке «чудо-вычислители» блистали на сценах всего мира. Некоторые из них проявляли недюжинные способности уже в самом юном возрасте. Зира Колберн из Вермонта впервые выступил на публике в пятилетнем возрасте, а в восемь приплыл в Англию с видами на громкий и прибыльный успех. (Колберн, кстати, имел от рождения 12 пальцев, хотя осталось неизвестным, давало ли ему это какие-либо преимущества при обучении счету.) Девонширский парень Джордж Паркер Биддер был современником Колберна. Пути двух вундеркиндов пересеклись в 1818 году, когда Колберну было 14 лет, а Биддеру — 12, и их встреча в одном лондонском пабе неизбежно привела к математической дуэли.

Колберна спросили, как много времени понадобится, чтобы обогнуть земной шар на воздушном шаре, если шар движется со скоростью 3878 футов в минуту, а Земля имеет в окружности 24 912 миль. То был вопрос, который во всем мире задавали на состязаниях на получение неофициального титула самого всезнайского всезнайки на свете. Однако после девятиминутного размышления Колберн так и не смог дать ответ. Одна лондонская газета опубликовала разгромную статью, в которой говорилось, что оппоненту Колберна, напротив, для решения задачи понадобилось всего две минуты. Ответ — 23 дня, 13 часов и 18 минут — был встречен бурными рукоплесканиями. И на многие другие заданные ему вопросы американский мальчик отвечать отказался, тогда как юный Биддер ответил на все. В своей автобиографии «Воспоминания Зиры Колберна, написанные им самим», американец, желая произвести благоприятное впечатление, излагает несколько иную версию: «Биддер продемонстрировал огромную силу и мощь ума в высших областях арифметики, — сначала пишет он, а затем пренебрежительно добавляет: — Но оказался не в состоянии извлекать корни и разлагать числа на множители». Кто же стал победителем, так и осталось неизвестным.

Некоторое время спустя профессора Эдинбургского университета решили позаботиться об образовании Биддера, и он впоследствии стал сначала одним из лучших инженеров на строительстве железных дорог, а в конце концов — автором проекта и руководителем строительства дока королевы Виктории в Лондоне. Колберн же вернулся в Америку, стал священником методистской церкви и скончался в возрасте 35 лет.

Способности к быстрым вычислениям редко связаны с глубокими математическими озарениями и творческим началом. Мало кто из великих ученых обладал даром молниеносного счета, и более того — многие математики были на удивление слабы в арифметике. Александр Крейг Эйткин был хорошо известен в первой половине XX века как молниеносный вычислитель, а необычным было то, что он занимал при этом должность профессора математики в Эдинбургском университете. В 1954 году, выступая с лекцией в Лондонском обществе инженеров, Эйткин рассказал о некоторых приемах, которыми он пользуется при вычислениях, о различных алгебраических ухищрениях и — что особенно важно — о методах быстрого запоминания числа. В подтверждение своих слов он без запинки выдал десятичное разложение числа 1/97, которое начинает повторяться только после 96 цифр.

Эйткин закончил свою лекцию горестным замечанием о том, что, как только он приобрел свой первый настольный калькулятор, его вычислительные способности стали ухудшаться. «Мастера устного счета, вероятно, как тасманийцы или миориори, обречены на вымирание, — предсказал он. — Поэтому вы вполне можете испытывать почти антропологический интерес к данному занятному экземпляру, и некоторые из здесь присутствующих смогут сказать в 2000 году: „Да, я знал одного такого!“»

Но вот тут Эйткин ошибся.

* * *

«Нейроны! На старт! Внимание! Марш!»

Сгорая от нетерпения, участники посвященного умножению турнира на чемпионате мира по устному счету перевернули свои листочки с заданиями. В аудитории Лейпцигского университета царила полная тишина, а мужчина и две женщины размышляли над первым вопросом:

29 513 736 × 92 842 033.

Арифметика снова вошла в моду. Через тридцать лет после того, как повсеместное распространение первых дешевых электронных калькуляторов привело к утрате навыков устного счета, неожиданно возникла обратная реакция. Газеты начали ежедневно печатать математические головоломки, популярные компьютерные игры с арифметическими задачками оттачивают наши мозги, а молниеносные вычислители соревнуются друг с другом во время регулярных международных турниров. Чемпионат мира по устному счету, основанный в 2004 году немецким прикладным математиком Ральфом Лауэ, проводится каждые два года. Чемпионат явился логической кульминацией двух хобби Ральфа Лауэ: устный арифметический счет и коллекционирование необычных рекордов. (Подобных таким, как наибольшее число виноградин, брошенных с расстояния 15 футов и пойманных ртом за одну минуту, — каковое число составляет 55.) Не обошлось без помощи Интернета, благодаря которому Лауэ познакомился с массой единомышленников — любители устного счета в целом отнюдь не экстроверты. Мировое сообщество вычислителей, или «матлетов», было представлено в Лейпциге довольно широко: туда съехались таланты из самых разных стран, таких как Перу и Иран, Алжир и Австралия.

Как оценить способности человека к вычислениям? Лауэ принял категории, уже предложенные Книгой рекордов Гиннесса: перемножение двух восьмизначных чисел, сложение десяти десятизначных, извлечение квадратного корня из шестизначного числа с восемью значащими цифрами и нахождение дня недели, на который выпадает любая дата между 1600 и 2100 годами. Последнее известно как календарные вычисления и представляет собой отблеск золотого века эстрадных молниеносных вычислителей, когда выступавшие спрашивали зрителей об их дате рождения и немедленно называли день недели, на который приходилась указанная дата.

Установление определенных правил, а также дух соревновательности имели свою цену — в жертву была принесена зрелищность мероприятия. Самый молодой из участников на чемпионате мира, 11-летний мальчик из Индии, проделывал вычисления на «воздушных счетах», — его руки неистово дергались, как будто передвигая воображаемые косточки, все же остальные участники вели себя тихо и спокойно, лишь время от времени быстро записывая свои ответы. (По правилам записывать можно только окончательный ответ.) Через 8 минут и 25 секунд 38-летний Алберто Кото из Испании поднял руку — как сгорающий от нетерпения школьник. Он выполнил за это время десять умножений двух восьмизначных чисел, побив мировой рекорд! Это и правда было фантастическое достижение, но наблюдать за ним было столь же интересно, как наблюдать за ходом рутинного экзамена.

Однако в Лейпциге бросалось в глаза отсутствие самого, быть может, знаменитого в мире матлета — французского студента Алексиса Лемэра, который предпочитал иной критерий для оценки вычислительной силы. В 2007 году имя Лемэра, которому тогда было 27 лет, попало в газеты всего мира, после того как в лондонском Музее науки он за 70,2 секунды извлек корень 13-й степени из числа

85 877 066 894 718 045 602 549 144 850 158 599 202 771 247 748 960 878 023 151 390 314 284 284 465 842 798 373 290 242 826 571 823 153 045 030 300 932 591 615 405 929 429 773 640 895 967 991 430 381 763 526 613 357 308 674 592 650 724 521 841 103 664 923 661 204 223.

Достижение Лемэра было, без сомнения, весьма впечатляющим. В указанном числе 200 цифр, которые за 70,2 секунды едва можно успеть произнести. Но подтверждает ли этот «подвиг» его слова о том, что он — величайший молниеносный вычислитель всех времен и народов? По этому поводу в «вычислительной» среде мнения сильно разнятся, как и почти 200 лет назад, после битвы между Зирой Колберном и Джорджем Биддером.

Выражение «корень 13-й степени из x» означает число, которое при умножении само на себя 13 раз дает x. Лишь ограниченное количество чисел при умножении на себя 13 раз дает 200-значное число. (Это ограниченное количество — довольно большое. Оно находится в пределах около 400 триллионов различных вариантов, каждый из которых имеет длину в 16 цифр и начинается с двойки.) Поскольку число 13 — простое, а кроме того, считается несчастливым, вычисление Лемэра было окутано дополнительной аурой тайны. На самом же деле 13 обладает и некоторым преимуществом. Например, когда число 2 умножается на себя 13 раз, ответ заканчивается на цифру 2. Когда 3 умножается на себя 13 раз, ответ заканчивается на 3. То же верно для 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Другими словами, последняя цифра корня 13-й степени из некоторого числа такова же, что и последняя цифра этого исходного числа. Мы получили ее легко, вообще не прибегая ни к каким вычислениям.

Лемэр разработал алгоритмы, которые он не разглашает, для вычисления остальных 14 цифр в окончательном ответе. Приверженцы строгости утверждают — возможно, и несправедливо, — что его талант — это способность не столько к хитрым вычислениям, сколько к запоминанию жутко длинных последовательностей цифр. При этом они указывают, что Лемэр не может найти корень 13-й степени из любого 200-значного числа, которое ему сообщат. В Музее науки ему предложили несколько сот чисел, из которых он выбрал то, для которого и произвел вычисление.

Тем не менее выступления Лемэра в большей степени продолжают традиции старых эстрадных вычислителей. Зрители желают приобщиться к шоу, а не вникать в процесс. Наоборот, на чемпионате мира по устному счету у Кото не было возможности выбрать задачу для решения и он не пользовался никакими таинственными приемами. Он просто использовал таблицу умножения на числа от 1 до 9.

Беседуя с участниками соревнований в Лейпциге, я обнаружил, что многие из них увлеклись устным счетом благодаря Виму Клайну — голландскому эстрадному вычислителю, знаменитому в 1970-х годах. Клайн уже был ветераном цирков и мюзик-холлов, когда в 1958 году ему предложили работу в ведущем европейском физическом институте — Европейском центре ядерных исследований (ЦЕРН) в Женеве. Он должен был выполнять там различные вычисления для физиков. Вероятно, он был последним человеком-вычислителем, получившим работу по своей специальности. По мере развития компьютеров его искусство становилось ненужным, и, выйдя на пенсию, он вернулся в шоубизнес — снимался на телевидении. (Клайн, кстати, на самом деле был первым, кто популяризировал вычисления корней 13-й степени.)

За столетие до Клайна другой эстрадный вычислитель, Йохан Захария Дазе, также поступил на работу в научное учреждение, чтобы вычислять необходимые суммы. Дазе родился в Гамбурге и начал выступать в качестве эстрадного вычислителя еще подростком. Тогда он и попался на глаза двум видным математикам. В те времена, до изобретения электронных или механических калькуляторов, ученые всякий раз, когда им требовалось выполнить сложное умножение или деление, полагались на таблицы логарифмов. У каждого числа есть свой собственный логарифм (я буду говорить об этом подробнее в следующей главе), который можно вычислить, пользуясь трудоемкой процедурой сложения дробей. Дазе вычислил натуральные логарифмы первых 1 005 000 чисел с точностью до 7 десятичных разрядов каждый. Это заняло у него три года, и, по его словам, работа доставила ему удовольствие. Затем, по совету математика Карла Фридриха Гаусса, Дазе приступил к более масштабному предприятию: составлению таблиц множителей, на которые разлагаются все числа, лежащие между 7 000 000 и 10 000 000. Это означало, что он брал каждое из чисел в указанном диапазоне и вычислял его делители — то есть находил целые числа, на которые данное число делится. Например, у числа 7 877 433 только два делителя: 3 и 2 625 811. К моменту своей смерти в возрасте 37 лет Дазе реализовал значительную часть этой программы.

Однако гораздо чаще Дазе вспоминают совсем за другое вычисление. Еще подростком он вычислил число π с точностью в 200 разрядов, что для того времени было рекордом.

* * *

В окружающем нас мире окружности и круги присутствуют повсюду — и в видимой форме Луны, и в глазах людей и животных, и в срезе яйца, которое вы едите на завтрак. Привяжите собаку к шесту, воткнутому в землю, и путь, по которому она будет бегать вокруг шеста, охраняя территорию на натянутом поводке, будет окружностью. Окружность — это простейшая геометрическая форма. И древнему египтянину, прикидывающему, сколько зерна потребуется, чтобы засеять круглое поле, и римскому мастеровому, отмеряющему, сколько дерева пойдет на колесо, требовались вычисления, связанные с окружностями.

Уже в античные времена люди понимали, что отношение длины окружности к ее диаметру всегда одно и то же, независимо от величины окружности. Это отношение известно как число π, его величина — чуть больше трех. Так что если вы возьмете диаметр окружности и, слегка изогнув, приложите его к самой окружности, то окажется, что он укладывается в ней три с небольшим раза.

Хотя число π и представляет собой простое отношение, если выражать его через свойства окружности, задача нахождения его точного значения оказалась вовсе не простой. Эта неуловимость числа π тысячи лет завораживала математиков. И чего тут удивляться! π — единственное число, одновременно являющееся названием и песни (Кейт Буш), и парфюма (мужской туалетной воды от «Givenchy»). Кстати, из отдела «Givenchy» по связям с общественностью мне прислали следующий текст:

π — Пи

ЗА ПРЕДЕЛАМИ БЕСКОНЕЧНОСТИ

Прошло четыре тысячи лет, а эта тайна

все еще остается тайной.

И хотя каждый школьник изучает π,

этот знакомый символ

по-прежнему скрывает в себе бездны

величайшей сложности.

Почему мы выбрали π как вечный символ

мужского начала?

Все дело в знаках и указателях.

Если π — это история

долгой борьбы за достижение недостижимого,

то это и портрет

легендарного покорителя неизведанного,

идущего вперед в поисках Знания.

Пи говорит нам о мужчинах, обо всех мужчинах,

об их научном гении,

об их тяге к приключению, об их готовности

к действию

и об их стремлении к недостижимому.

* * *

Самые ранние приближения числа π дошли до нас от древних вавилонян, использовавших значение 31/8, и от египтян, которые пользовались значением 4(8/9)2, что в десятичных дробях выражается, соответственно, как 3,125 и 3,160.

Позднее, в Древней Греции, первым в череде гениев с необычайной страстью к числу π был Архимед — мыслитель, предпочитавший иметь дело с миром реальности, в отличие от Евклида, существовавшего в мире абстракций. Среди многочисленных изобретений Архимеда были гигантская катапульта и система зеркал, с помощью которых он сфокусировал солнечные лучи так, что поджег римские корабли во время осады Сиракуз. А кроме того, он оказался первым, кто предложил метод вычисления числа π.

Итак, Архимед нарисовал окружность, а затем построил два шестиугольника: один — вписанный в окружность, а другой — описанный вокруг нее, как указано на рисунке.

Одно это уже говорит нам, что значение числа π должно лежать где-то между 3 и 3,46 — это можно определить, вычисляя периметры двух шестиугольников. Если принять диаметр окружности равным 1, то периметр внутреннего шестиугольника равен 3, что меньше, чем длина окружности, равная π, что в свою очередь меньше, чем периметр внешнего шестиугольника, равный 3√2, то есть с точностью до двух десятичных разрядов — 3,46. (Архимед находил периметр внешнего шестиугольника, используя метод, который по сути был довольно канительным предшественником тригонометрии и который слишком сложен для того, чтобы здесь его приводить.) Итак,

3 < π < 3,46.

Если теперь повторить вычисление, используя два правильных многоугольника с более чем шестью сторонами, то для π получится более узкий интервал. Дело в том, что чем больше у многоугольника сторон, тем ближе его периметр к длине окружности, в чем можно убедиться, глядя на приведенный выше рисунок с двенадцатиугольником. Многоугольники ведут себя подобно стенам, смыкающимися вокруг π, зажимая его снаружи и изнутри, между все более узких пределов. Архимед начал с шестиугольников, а в конце довел дело до многоугольников с 96 сторонами, что позволило ему вычислить π следующим образом:

3 10 / 71 < π < 3 1 / 7 .

Это дает 3,14084 < π < 3,14289 — точность в два десятичных разряда.

Шестиугольники Двенадцатиугольники

Однако охотники за числом π не собирались на этом останавливаться. Все, что требовалось, дабы подобраться поближе к истинному значению этого числа, — это строить многоугольники со все большим числом сторон. Лю Хуэй, живший в Китае в III веке, применил сходный метод, используя площадь многоугольника с 3072 сторонами, и получил пять десятичных разрядов числа π: 3,14159. Два столетия спустя Цзу Чунчжи и его сын Цзу Гэнчжи продвинулись дальше еще на одну цифру, до 3,141592, что потребовало многоугольника с 12 288 сторонами.

Грекам и китайцам мешали неуклюжие обозначения. Когда в конце концов математики стали применять арабские числительные с десятичной запятой, прежние рекорды тут же пали. В 1596 году голландский учитель фехтования Лудольф ван Цейлен, используя метод удвоения, дошел до многоугольника с 60 × 229 сторонами и нашел значение π с точностью до 20 десятичных знаков. Опус, в котором он напечатал свой результат, заканчивался так: «У кого есть охота, пусть подойдет ближе». Он продолжал вычислять и получил число π с точностью до 32 и затем 35 десятичных знаков, каковые и были высечены на его надгробии. В Германии die Ludolphsche Zahl — число Лудольфа, или лудольфово число, — до сих пор допустимо в качестве названия числа π.

* * *

В течение двух тысяч лет единственный способ определить значение числа π состоял в использовании многоугольников.

Но в XVII веке Готфрид Лейбниц и Джон Грегори открыли новую страницу в истории числа π, предложив формулу

Другими словами, четвертая часть π равна единице минус одна треть плюс одна пятая минус одна седьмая плюс одна девятая и т. д.: надо попеременно прибавлять и вычитать дроби с единичным числителем и со знаменателем, последовательно равным нечетным числам, устремляющимся в бесконечность. До этого ученые видели в десятичном разложении числа π лишь случайный набор цифр. И вдруг появилось одно из наиболее изящных, ничем не усложненных уравнений во всей математике. Оказалось, что образцовый представитель беспорядка несет некий порядок в своей ДНК.

Лейбниц пришел к этой формуле, используя «анализ» — мощный раздел математики, в котором для вычисления площадей, кривых и наклонов стали применяться новые представления о бесконечно малых величинах. Формула Лейбница представляет собой так называемый бесконечный ряд — сумму, которая продолжается и продолжается без конца. И эта формула дает способ вычислить число π. Для начала нам надо умножить обе ее части на 4:

Начав с первого члена и прибавляя один за другим остальные, получаем следующую последовательность (записанную в виде десятичных дробей):

4 → 2,667 → 3,467→ 2,895 → 3,340 → …

Сумма подходит к числу π все ближе и ближе, а результат скачет все меньше и меньше. Тем не менее этот метод требует более 300 членов, чтобы ответ имел точность в два десятичных знака, так что он практически непригоден для тех, кто желает найти большее число цифр в десятичном разложении числа π.

В конце концов с помощью анализа удалось получить другие бесконечные ряды для π, менее симпатичные на вид, но более эффективные для действий с числами. В 1705 году астроном Абрахам Шарп применил такой ряд для вычисления π с точностью до 72 десятичных знаков, сокрушив продержавшийся столетие рекорд ван Цейлена, составлявший 35 знаков. Да, это было достойным достижением, но в нем было мало пользы. Решительно нет никаких практических причин для того, чтобы знать число π с точностью до 72 знаков, да, впрочем, и до 35 тоже. Инженерам, имеющим дело с прецизионными инструментами, вполне хватает четырех десятичных знаков, а чтобы вычислить длину окружности Земли с точностью до долей сантиметра, достаточно десяти знаков. Если взять 39 десятичных разрядов, то окажется возможным посчитать длину окружности, охватывающей всю известную нам Вселенную, с точностью порядка радиуса атома водорода. Дело, однако, было вовсе не в практической целесообразности — отнюдь не практические соображения двигали учеными эпохи Просвещения, одержимыми вычислением числа π. Цель охоты за цифрами заключалась в самой охоте, это было романтическое приключение. Через год после предпринятых Шарпом усилий Джон Мэчин добился точности в 100 знаков, а в 1717 году француз Тома де Ланьи прибавил к ним еще 27. К началу следующего столетия вперед вырвался Юрий Вега из Словении со своими 140 знаками.

В 1844 году, с головой погрузившись в работу на два месяца, немецкий молниеносный эстрадный вычислитель Захария Дазе отодвинул рекорд вычисления числа π до отметки 200 десятичных знаков. Дазе использовал ряд, который хотя на вид и сложнее, чем приведенная выше формула для π, но на самом деле гораздо удобнее в употреблении. Во-первых, потому что он сходится к π с неплохой скоростью. Точность в два десятичных знака достигается уже после первых девяти членов. Во-вторых, с дробями 1/2, 1/5 и 1/8, которые все время появляются в каждом третьем члене, удобно иметь дело. Если записать 1/5 как 1/10, a 1/8 — как 1/2 × 1/2 × 1/2, то все необходимые действия с этими членами можно свести к комбинациям удвоения и взятия половины. Дазе выписал справочную таблицу, к которой обращался в ходе вычислений, начиная с 2, 4, 8, 16, 32 и далее по мере надобности. Поскольку он выполнял вычисления числа π с точностью до 200 знаков, полученное в самом конце удвоение будет иметь 200 цифр в длину. Это происходит после 667 последовательных удвоений.

Дазе использовал такое разложение:

#i_064.jpg

Отсюда π = 4(0,825 - 0,0449842 + 0,00632 - …).

Учет одного члена дает 3,3,

учет двух членов — 3,1200

и учет трех — 3,1452.

Дазе недолго почивал на лаврах, поскольку на его рекорд очень скоро нацелились британцы, и по прошествии десяти лет Уильям Резерфорд вычислил π с точностью в 440 знаков. Он побуждал своего протеже Уильяма Шэнкса — математика-любителя, который держал школу с пансионом в графстве Дарэм, — не останавливаться на достигнутом. В 1853 году Шэнкс достиг 607 знаков, а в 1874-м — 707. Его рекорд продержался семьдесят лет, пока Д. Ф. Фергюсон из Королевского морского колледжа в Честере не нашел ошибку в вычислениях Шэнкса. Шэнкс сделал ошибку в 527-м знаке, а потому и все последующие тоже были неправильными. Фергюсон провел последний год Второй мировой войны, вычисляя число π вручную, и к маю 1945 года достиг 530 знаков. К июлю 1946-го он дошел до 620, и более никто никогда не вычислял π с помощью лишь ручки и листа бумаги.

Фергюсон был последним, кто охотился за цифрами вручную, и первым, кто стал делать это, используя технику. Благодаря настольному калькулятору он прибавил почти 200 новых разрядов всего за год, так что в сентябре 1947 года π было известно с точностью до 808 десятичных знаков. А затем компьютеры изменили правила игры. Первым компьютером, сразившимся с π, был Электронный числовой интегратор и вычислитель ENIAC, построенный в последние годы Второй мировой войны по заказу армии США в Лаборатории баллистики в Мэриленде. Размером он был с небольшой дом. В сентябре 1949 года ENIAC за 70 часов работы вычислил π с точностью в 2037 знаков, побив предыдущий рекорд более чем на тысячу десятичных разрядов.

* * *

По мере появления новых знаков в числе π становилось все более ясно, что найденные числа не подчиняются никакому очевидному порядку. Однако только в 1767 году математики смогли доказать, что сумбурная последовательность цифр числа π никогда не повторяется. Это открытие вытекало из рассмотрения вопроса о том, числом какого типа может быть π.

Числа самого простого типа — натуральные. Это числа для счета, начинающиеся с единицы:

1, 2, 3, 4, 5, 6 …

Натуральные числа, однако, имеют некоторое ограничение, поскольку идут только в одном направлении. Более полезны целые числа, которые состоят из натуральных, нуля и отрицательных натуральных чисел:

… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 …

Любое положительное или отрицательное целое число от минус бесконечности до плюс бесконечности входит в целые числа. Если бы нашлась гостиница с неограниченным числом этажей, а также с неограниченным числом все более глубоких подземных уровней, то кнопками в лифте там были бы все целые числа.

Числа другого основного типа — это дроби, которые представляют собой числа, записанные в виде a / b , где а и b — целые, причем b не равно 0. Поскольку дроби эквивалентны отношениям между целыми числами, они также называются рациональными числами, и их бесконечно много. На самом деле имеется бесконечно много рациональных чисел уже между 0 и 1. Давайте, например, возьмем дробь, числитель которой равен 1, а знаменатель — натуральное число, больше или равное 2. Это дает множество, составленное из

Можно пойти дальше и доказать, что имеется бесконечно много рациональных чисел между любыми двумя рациональными числами. Пусть с и d — любые два рациональных числа, причем с меньше d. Точка на полпути между с и d представляет собой рациональное число — оно равно (c + d)/2. Назовем эту точку e. Теперь можно найти точку на полпути между c и e. Это (c + e)/2 — рациональное число, которое также лежит между с и d. Будем продолжать так до бесконечности, каждый раз разбивая расстояние между с и d на все меньшие и меньшие части. Не важно, сколь малым было расстояние между с и d в самый первый раз — между ними всегда найдется бесконечно много рациональных чисел.

Поскольку между любыми двумя рациональными числами всегда можно найти бесконечно много рациональных чисел, можно было бы подумать, что каждое число — рациональное. Без сомнения, именно на это одно время и надеялся Пифагор. Его метафизика основывалась на вере в то, что мир состоит из чисел и гармонических пропорций между ними. Существование числа, которое нельзя описать как отношение, по крайней мере сильно ослабляло его позиции, если не прямо им противоречило. Но, к несчастью для Пифагора, имеются числа, которые нельзя выразить в виде дроби, и к его немалому конфузу, одно из них дает его собственная теорема. Если взять квадрат со стороной, равной единице, то длина его диагонали равна квадратному корню из двух, а это число нельзя записать в виде дроби. (Доказательство — в приложении 2 на веб-сайте, посвященном этой книге.)

Числа, которые нельзя записать в виде дроби, называются иррациональными. Согласно легенде, их существование впервые доказал ученик Пифагора Гиппас, что, однако, не подарило ему симпатии Пифагорейского братства: его объявили отступником и утопили в море.

Когда рациональное число записано в виде десятичной дроби, оно всегда или содержит конечный набор цифр, как, например, 1/2, которая записывается в виде 0,5, или же разложение рано или поздно начинает повторяться, как, например, для числа 1/3, которое записывается в виде 0,3333…, где тройки продолжаются без конца. Иногда число «зацикливается» через более чем одну цифру — так обстоит дело с дробью 1/19, которая записывается как 0,0526315789473684210…, где 18-значный период 526315789473684210 повторяется до бесконечности. Наоборот — и в этом-то все дело! — когда число иррационально, его десятичное разложение никогда не будет повторять само себя.

В 1767 году швейцарский математик Иоганн Генрих Ламберт доказал, что π — именно такое иррациональное число. Его первоисследователи еще могли надеяться, что вслед за начальным хаосом в 3,14159… сумбур уляжется и наконец-то появится закономерность. Однако открытие Ламберта подтвердило, что это невозможно. Десятичное разложение числа π стремится в бесконечность некоторым предопределенным, но с виду совершенно беспорядочным образом.

* * *

Математики, занимавшиеся иррациональностями, страстно желали навести в них какой-то порядок. В XVIII столетии ученые начали размышлять об иррациональностях специального типа, получивших название трансцендентных чисел. То были числа столь таинственные и неуловимые, что получить их в конечной математике было нельзя. Квадратный корень из двух, например, — иррациональное число, но его можно описать как решение уравнения x 2 = 2. Трансцендентное же число — это такое иррациональное, которое нельзя описать никаким уравнением с конечным числом членов. Когда концепция трансцендентных чисел впервые стала обсуждаться, никто не знал даже, существуют ли они вообще.

Оказалось, они действительно существуют, но прошло около ста лет до тех пор, пока были найдены первые их примеры — это сделал французский математик Жозеф Лиувилль. Числа π среди них не было. Только еще спустя 40 лет Фердинанд фон Линдеманн смог доказать, что число π и в самом деле трансцендентно, то есть существует за пределами царства конечной алгебры.

Открытие Линдеманна было ключевым моментом в теории чисел. Оно также раз и навсегда решило проблему, являвшуюся, пожалуй, самой знаменитой нерешенной задачей в математике: можно ли квадрировать круг или этого сделать нельзя. Но чтобы объяснить, как это следовало из результата Линдеманна, надо ввести уравнение, которое гласит, что площадь круга есть πr 2 , где r — радиус. Наглядное доказательство, почему это так, представляет собой тот случай, когда лучшей метафорой для числа π является пирог. Представьте себе, что у вас два круглых пирога одного и того же размера, белый и серый, как на рисунке А. Длина окружности каждого пирога — произведение π и диаметра, то есть π, умноженное на удвоенный радиус, или 2πr. После разрезания на равные сегменты куски можно сложить по-другому, как показано на рисунке В (там взяты четвертинки пирогов) или С (где пироги порезаны на десять кусков каждый). В обоих случаях длина стороны остается равной 2πr. Если делать куски все меньше и меньше, то получившаяся фигура в конце концов станет прямоугольником, как показано на рисунке D, причем стороны прямоугольника будут равны r и 2πr. Площадь прямоугольника — а она равна площади двух пирогов — поэтому равна 2πr 2 , так что площадь одного пирога равна πr 2 .

Как показать, что площадь круга равна πr 2

Чтобы квадрировать круг, нам надо, используя только циркуль и линейку, построить квадрат, который имеет в точности ту же площадь, что и круг, ограниченный заданной окружностью. Мы теперь знаем, что линия длиной r — это радиус окружности, площадь круга внутри которой равна πr 2 , а также что у квадрата с площадью πr 2 сторона должна иметь длину r√π (поскольку (r√π)2 = r 2 (√π) 2 = r 2 π = πr 2 ). Так что превращение окружности в квадрат можно свести к задаче построения длины r по заданной длине r. Или, если для удобства взять r равным 1, то к построению отрезка длины, если дан отрезок длины 1.

Используя координатную геометрию, о которой мы будем говорить в следующей главе, можно выразить процесс построения линии алгебраически, в виде конечного уравнения. Можно показать, что коль скоро x есть решение конечного уравнения, то начиная с отрезка длины 1 можно построить отрезок длины x. Но если x не есть решение какого-либо конечного уравнения — другими словами, если x трансцендентно, — то построить отрезок длины x невозможно. Ну, а тот факт, что π трансцендентно, означает, что квадратный корень из π также трансцендентен (тут вам предстоит поверить мне на слово), и отрезок такой длины построить невозможно. Трансцендентность числа π доказывает, что круг нельзя квадрировать.

Данное Линдеманном доказательство трансцендентности числа π перечеркнуло мечту бессчетного числа математиков. И тем не менее в 1897 году Законодательным собранием штата Индиана был выпущен знаменитый билль, содержавший доказательство квадратуры круга неким Е. Дж. Гудвином, местным сельским врачом, который преподнес свое доказательство в качестве «дара штату Индиана». Разумеется, этот сельский энтузиаст заблуждался. После доказательства Фердинанда фон Линдеманна, представленного им в 1882 году, математики, говоря о ком-то, что «он занимается квадратурой круга», имеют в виду, что он занимается чушью, в общем, чудак.

* * *

В течение двух столетий — XVIII и XIX — выяснилось, что загадочные свойства числа π проявляются не только в самой сердцевине античных геометрических задач, но и глубоко укоренены в новых областях знания, не демонстрирующих никакой очевидной связи с окружностями. «Это таинственное 3,141592…, что появляется из каждой двери и из каждого окна и вылезает из каждой каминной трубы», — писал британский математик Огастес Де Морган. Например, время качания маятника зависит от π. Смертность населения в данном регионе есть функция числа π. Если бросать монету 2n раз, то при очень большом n вероятность получить в точности 50 процентов орлов и 50 процентов решеток есть 1/√nπ.

Вездесущность числа π, однако, сделала его чем-то большим, чем просто знаменитостью в мире чисел. Оно стало в общем смысле культурной иконой. Поскольку цифры, входящие в число π, никогда не повторяются, оно идеально подходит для тех, кто хочет проявить себя на поприще мастеров запоминания. Если запоминание чисел — ваше призвание, то можете считать, что цифры числа π — предел совершенства. Их запоминание стало увлечением по крайней мере с 1838 года, когда журнал «The Scotsman» сообщил, что 12-летний голландский мальчик продекламировал все 155 цифр π, известных на тот момент, перед аудиторией из ученых и особ королевской крови. Сегодня мировой рекорд принадлежит Акире Харагучи — 60-летнему инженеру на пенсии. Имеется запись его публичного выступления в 2006 году в окрестностях Токио, во время которого он продекламировал 100 000 десятичных знаков числа π. Выступление заняло у него 16 часов и 28 минут, включая пятиминутные перерывы каждые два часа, в которые он съедал несколько рисовых шариков. Он объяснил журналистам, что число π символизирует жизнь, поскольку его цифры никогда не повторяются и не следуют никакому порядку. Запоминание цифр числа π, добавил он, — это «религия Вселенной».

Простое заучивание числа π на память может быстро наскучить, но вот заучивание π на память и одновременное жонглирование — уже состязание! Рекорд здесь удерживает швед Матс Бергстен, которому без малого 60 лет и который сумел продекламировать 9778 цифр, жонглируя при этом тремя мячами. Он, правда, сказал мне, что более всего гордится своими успехами в тестировании памяти «Эверест», когда первые 10 000 цифр из разложения числа π разбиваются на 2000 групп по пять начиная с 14 159. Участникам состязания случайным образом зачитываются вслух 50 групп, и они должны сказать по памяти, какие пять чисел идут до и какие пять после прочитанных. Матс Бергстен — один из всего лишь четырех людей в мире, кто может сделать это без ошибок, и показанное им время — 17 минут и 39 секунд — самое быстрое. «Запомнить 10 000 цифр не одно за другим, а в случайном порядке — это куда большая нагрузка для ума», — сказал он мне.

Когда Акира Харагучи декламировал наизусть 100 000 цифр числа π, он использовал мнемонический прием, по которому каждому числу от 0 до 9 приписываются слоги, так что десятичная запись превращается в слова, в свою очередь образующие предложения. Первые пятнадцать цифр звучали так: «жена и дети уехали за границу, а муж не боится». В разных культурах по всему миру школьники используют слова, чтобы запомнить цифры числа π, но, как правило, это делается не с помощью перехода к слогам, а путем придумывания фразы, в которой число букв в каждом слове представляет последовательные цифры в десятичном разложении π. Подобная хорошо известная английская фраза приписывается астрофизику сэру Джеймсу Джинсу: «How I need a drink, alcoholic in nature, after the heavy lectures involving quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard». «How» состоит из трех букв, «I» — из одной, «need» — из четырех и т. д..

Среди чисел только π породило фанов подобного рода. Никто не стремится запомнить квадратный корень из двух, что является в равной степени сложным. π остается также единственным числом, которое вдохновило создание своего собственного поджанра в литературе. Принудительный стиль — это техника, в которой принимается условие, предписывающее литературному произведению следовать определенной схеме или же, наоборот, запрещающее определенные вещи при написании текста. Были написаны целые поэмы — или «пиэмы», — где количество букв в словах определяется цифрами числа π, причем принято, что если в разложении встречается нуль, то это требует слова из десяти букв. Самая впечатляющая пиэма — это «Cadaeic Cadenza», которую написал Майк Кит, и она не отстает от числа π на протяжении 3835 цифр. Начинается она как стилизация под Эдгара Аллана По:

Кит говорит, что написание длинного произведения при наличии сложных условий тренирует как дисциплину, так и творческие возможности. Поскольку цифры в π случайны, условие, как он выразился, «подобно созданию порядка из хаоса». Когда я спросил его: «Почему пи?» — он ответил, что число π было «метафорой для всех вещей бесконечных, или неисповедимых, или непредсказуемых, или полных нескончаемого чуда».

* * *

Число π обрело свое имя только начиная с 1706 года, когда валлиец Уильям Джонс ввел символ π в своей книге, озаглавленной так: «Новое введение в математику для использования некоторыми из друзей, у которых нет ни досуга, ни возможностей, ни, быть может, терпения, дабы вникать в труды столь большого числа различных авторов и переворачивать страницы столь многих нудных томов, что непременно требуется для достижения приемлемого прогресса в математике». Греческая буква, которая скорее всего явилась сокращением слова «периферия», прижилась, однако, не мгновенно, и стала стандартным обозначением для числа π лишь спустя 30 лет, когда ее начал использовать Леонард Эйлер.

Эйлер был наиболее плодовитым математиком всех времен и народов (он опубликовал 886 книг!), и он же, возможно, внес наибольший вклад в понимание числа π. Именно его улучшенные формулы для π позволили охотникам за цифрами в XVIII и XIX столетиях докапываться до все более и более далеких десятичных разрядов. В начале XX века индийский математик Сриниваса Рамануджан изобрел много новых бесконечных рядов для числа π в духе рядов Эйлера.

Рамануджан был по сути математиком-самоучкой. Однажды он написал письмо профессору Кембриджского университета Г. X. Харди. Харди, ошеломленный тем, что Рамануджан сам переоткрыл результаты, получение которых заняло столетия, пригласил его в Англию, где они и работали вместе вплоть до смерти Рамануджана, в возрасте 32 лет. В своих работах Рамануджан продемонстрировал потрясающую интуицию в том, что касается свойств чисел, включая и число π, а его самая знаменитая формула такова:

Символ суммы указывает, что надо складывать целый ряд значений, начиная со значения при n равном нулю, далее прибавить значение при n равном единице, и т. д. до бесконечности. Но, даже не вникая в подробности обозначений, можно оценить, сколь эффектно работает подобное равенство. Формула Рамануджана стремится к π с замечательной скоростью. С самого начала, при n равном 0, формула дает значение числа π с точностью до шести десятичных разрядов. При каждом увеличении значения n формула добавляет к π примерно восемь новых цифр. Это поистине установка для производства числа π в промышленном масштабе.

В духе Рамануджана в 1980-х годах математики Грегори (Григорий) и Дэвид (Давид) Чудновски (урожденные украинцы) сконструировали даже еще более зверскую формулу. Каждый новый член в ней прибавляет примерно 15 цифр:

При своем первом знакомстве с формулой Чудновски я в буквальном смысле стоял на ней. Грегори и Дэвид — братья, и у них общий кабинет в Политехническом университете в Бруклине. В кабинете диван в углу, пара стульев и голубой пол, декорированный десятками формул для числа π. «Мы хотели чем-то украсить пол, а чем еще его можно украсить, как не какой-нибудь штуковиной, имеющей отношение к математике?» — объяснил Грегори.

На самом деле к украшению пола формулами для числа π они пришли со второй попытки. Исходный план состоял в том, чтобы использовать гигантскую репродукцию гравюры «Меланхолия» Альбрехта Дюрера. Математики обожают ее, поскольку она полна лукавых символов со ссылками на числа, геометрию и перспективу.

— Как-то ночью, когда на полу еще ничего не было, мы напечатали «Меланхолию» на двух тысячах листочков и разложили их на полу, — рассказывает Дэвид. — Но попробуй по этому походить — тебя сразу начнет мутить! Дело в том, что угол зрения изменяется слишком резко.

Тогда Дэвид принялся изучать, как устроены полы в соборах и замках Европы; ему хотелось, чтобы пол в офисе был красивым, но не вызывал приступов тошноты у тех, кто по нему ходит.

— И я обнаружил, что все полы по большей части оформлены…

— В простом геометрическом стиле, — перебивает его Грегори.

— Черное и белое, черные и белые квадраты, — продолжает Дэвид.

— Понимаешь, если у тебя на полу действительно сложная картинка, и ты пытаешься по ней ходить, то угол зрения меняется настолько резко, что глаза начинают протестовать, — добавляет Грегори. — Так что единственным способом сделать что-то подобное оказалось…

— Поместить ее на потолок! — восклицает мне в ухо Дэвид, и оба покатываются со смеху.

Когда разговариваешь с братьями Чудновски, кажется, что на тебе стереонаушники, через которые сигналы поступают в разные уши беспорядочно и с перебоями. Они усадили меня на диван, а сами расположились по обеим сторонам. Постоянно перебивая друг друга, подхватывая сказанные другим предложения, они изъяснялись при этом на очень мелодичном английском с большим количеством славянских интонаций. Оба брата родились в Киеве, когда он еще входил в Советскую Украину; в Соединенных Штатах они живут с конца 1970-х годов, братья — граждане этой страны. Вместе они написали так много статей и книг, что хотели бы, чтобы их воспринимали не как двух математиков, а как одного.

И тем не менее, несмотря на все свое генетическое, разговорное и профессиональное единство, братья выглядят очень по-разному. Главная причина этого в том, что Грегори, которому сейчас 56, страдает тяжелой формой миастении, — аутоиммунного заболевания мускулатуры. Он настолько худой и хрупкий, что большую часть своей жизни проводит лежа. Я ни разу не видел, чтобы он вставал с дивана. Однако энергия, которой недостает его телу, в полной мере проявляет себя в неподражаемых выражениях его лица, которое оживает всякий раз, как он заводит речь о математике. У него заостренные черты лица, большие карие глаза, седая борода и клочковатые нечесаные волосы. У Дэвида, который на пять лет его старше, голубые глаза, полноватая фигура и более круглое лицо. Он гладко выбрит, а на его коротко стриженных волосах красуется бейсбольная кепка оливково-зеленого цвета.

Судя по всему, братья Чудновски сделали для популяризации числа π больше всех других современных математиков. В начале 1990-х годов в квартире Грегори на Манхэттене они собрали суперкомпьютер из заказанных по почте деталей, и этот компьютер, используя их собственную формулу, вычислил число π до более чем двух миллиардов десятичных разрядов, что стало рекордом для того времени.

Их потрясающему достижению была посвящена статья в «New Yorker», которая даже привела к появлению в 1998 году фильма «Пи». Главный герой картины — математический гений с непокорными волосами, изучающий скрытые закономерности в данных с фондового рынка на собранном у себя дома суперкомпьютере. Мне было любопытно узнать, смотрели ли братья Чудновски этот фильм, собравший немало положительных откликов и ставший образцом для низкобюджетных черно-белых психо-математических триллеров.

— Нет, нет, не видели, — сказал Грегори.

— Насколько я понимаю, те, кто снимает фильмы, как правило, выражают свое собственное внутреннее состояние, — саркастически заметил Дэвид.

Я заметил, что, возможно, им могло польстить оказанное им внимание.

— Вовсе нет, — ухмыльнулся Грегори.

— Вот что я вам скажу, — встрял Дэвид. — Два года назад я вернулся из Франции. За пару дней до моего отъезда я оказался на огромной книжной ярмарке. Я остановился у стенда, на котором была выставлена книга с детективным сюжетом. Написал ее некий инженер. Это была, знаете ли, история про загадочное убийство. Всех убили, начиная с хозяйки гостиницы, и знаете, кто был источником всех этих ужасов — число пи!

Грегори улыбнулся до ушей и пробурчал себе под нос:

— Да уж, я ни за что не буду читать такую книгу, это наверрррняка!

Но Дэвид не останавливался:

— Так вот, я поговорил с этим парнем, автором. Он оказался довольно образованным человеком. — Он остановился, пожал плечами и повысил тон на целую октаву: — Но я же говорил, что не несу за это никакой ответственности!

Дэвид сказал, что сначала несколько обалдел, когда впервые увидел афиши с рекламой той туалетной воды от Givenchy.

— Во всю улицу, от одной стороны до другой, там было это пи, пи, пи. — Он перешел на вопль: — Пи, пи, пи! Несу ли я какую-нибудь ответственность?

Бросив взгляд на меня, Грегори сказал:

— По некоторым причинам широкая публика тащится от этого дела. Правда, они получают в некотором роде неправильное представление. Кстати, немало профессиональных математиков изучают число пи. — И добавил сухо: — Но, как правило, этих людей и знать-то никто не знает!

* * *

Успехи в компьютерных технологиях в 1950-е и 1960-е годы нашли свое отражение в появлении новых десятичных знаков в числе π. К концу 1970-х годов рекорд был побит девять раз и значительно превысил миллион десятичных разрядов. В 1980-х годах, однако, комбинация еще более быстрых компьютеров и совершенно новых алгоритмов открыла новую эру неистовой охоты за цифрами. Ясумаса Канада, молодой специалист по прикладной математике из Токийского университета, первым вырвался вперед в состязании между Японией и Соединенными Штатами, превратившемся в настоящую гонку. В 1981 году с помощью компьютера NEC за 137 часов он вычислил число π с точностью в два миллиона знаков. Через три года он достиг 16 миллионов.

Затем в лидеры пробился Уильям Госпер, математик из Калифорнии, предложив 17,5 миллиона знаков, а потом Дэвид X. Бейли из NASA обошел его, дойдя до 29 миллионов. В 1986 году Ясумаса Канада обогнал их обоих, получив 33 миллиона знаков, а за последующие два года три раза побил свой собственный рекорд, достигнув 201 миллиона на новом компьютере S-820, вычисление на котором заняло всего шесть часов.

В то время как охота за цифрами числа π была объектом всеобщего внимания, братья Чудновски, оставаясь в тени, продолжали свою кропотливую работу. Используя новое средство коммуникации, получившее название Интернет, Грегори сумел соединить свой домашний компьютер с двумя суперкомпьютерами компании IBM, расположенными в различных местах в Соединенных Штатах. Братья разработали программу для вычисления числа π на основе новой, изобретенной ими супербыстрой формулы. Доступ к компьютерам был для них открыт, только когда никто больше ими не пользовался, то есть по ночам и по выходным.

— Это было здорово, — с ностальгией вспоминает Грегори. Тогда компьютеры еще не могли хранить числа, которые братья вычисляли. — Пи хранилось на магнитной ленте, — говорит он.

— На мини-ленте. Причем требовалось звонить чуваку и просить его, — добавляет Дэвид.

— И говорить: пленка номер такой-то и такой-то, — продолжает Грегори. — А иногда, если появлялось что-то поважнее, твои пленки вытаскивали в самый разгар вычисления. — Он закатил глаза, как будто собираясь всплеснуть руками.

Несмотря на препятствия, Чудновски не прекращали усилий и вышли за предел миллиарда цифр. Затем Канада снова вырвался вперед — ненадолго, пока Чудновски не вернули себе лидерство, вычислив 1,13 миллиардов. После чего Дэвид и Грегори решили, что если они намерены и дальше всерьез заниматься вычислением π, то им нужна своя собственная вычислительная машина.

Суперкомпьютер Чудновски жил в одной из комнат в квартире Грегори. Вся штука была сделана из процессоров, соединенных кабелями, и стоила, по оценке братьев, около 70 000 долларов. Это было разве что не задаром, если сравнить с миллионами долларов, в которые обошлась бы покупка вычислительной машины сравнимой мощности. Однако эта машина серьезно осложнила их жизнь. Компьютер, который они назвали «m-нуль», должен был все время оставаться включенным, случайное выключение могло бы все испортить, так что в комнате пришлось поставить 25 вентиляторов для охлаждения. Братья следили за тем, чтобы не включать в квартире слишком много света, дабы не перегружать электрическую сеть.

В 1991 году домашний питомец Дэвида и Грегори вычислил π с точностью более двух миллиардов знаков. Затем они переключились на другие задачи.

К 1995 году Канада снова оказался впереди, и в 2002 году он достиг 1,2 триллиона цифр; этот рекорд продержался лишь до 2008 года, когда его соотечественники из Университета Цукуба получили 2,6 триллиона знаков. В декабре 2009 года француз Фабрис Белляр объявил о новом рекорде, поставленном с использованием формулы Чудновски: почти 2,7 триллиона знаков. Вычисление на его настольном PC заняло 131 день.

Если записать триллион цифр мелким шрифтом, то они покроют расстояние от Земли до Солнца. Если писать по 5000 цифр на каждой странице (для чего потребуется очень мелкий шрифт) и сложить их стопкой друг на друга, то число π достигнет небес, поднявшись в высоту на 10 километров. В чем же смысл вычисления числа π с таким абсурдно большим числом знаков? Одна причина — очень человеческая: рекорды существуют для того, чтобы их побивать.

Но есть и другая, более важная причина. Нахождение новых цифр в числе π — идеальный тест для проверки того, насколько эффективно считает компьютер. «Уточнение известного значения числа π само по себе не является для меня каким-то специальным пристрастием или хобби, — заметил Канада. — Но меня всерьез интересует, как увеличить скорость вычислений». Вычисление числа π стало важным элементом при проверке качества суперкомпьютеров, потому что это «очень процессороемкая работа, которая требует большого объема основной памяти, оперирует с огромными числами, но при этом легко проверить ответ. Можно использовать и другие математические константы, например, квадратный корень из двух, число e, или число гамма — но π из них самое эффективное».

В истории жизни числа π наблюдается занятная цикличность. Это простейшее и наиболее древнее отношение (длины окружности к диаметру) в математике было изобретено заново в качестве важнейшего инструмента, используемого на самом переднем крае компьютерных технологий.

На самом деле интерес братьев Чудновски к числу π был связан главным образом с их желанием строить суперкомпьютеры — страстью, которая с тех пор и не думала угасать. В настоящее время братья работают над чипом, который, по их утверждению, станет самым быстрым в мире, он будет иметь всего 2,7 сантиметра в ширину, и при этом в него войдут целых 160 000 меньших по размеру чипов и 1,75 километра проводов.

* * *

В написанном Карлом Саганом бестселлере «Контакт» инопланетянин предупреждает женщину на Земле, что после определенного количества цифр случайность в числе π исчезнет и там появится сообщение, записанное нулями и единицами. Это послание появится после десятичного разряда с номером 1020 — что представляет собой единицу с двадцатью нулями. Поскольку к настоящему моменту мы добрались «только» то 2,7 триллиона разрядов (число 27 с и нулями), то надо еще немного постараться, чтобы проверить, действительно ли там есть что-то в этом роде. На самом деле придется продвинуться даже еще чуть дальше, потому что послание, по-видимому, записано в 11-ричной системе.

Мысль о том, что в числе π есть закономерность, способна любому вскружить голову. Математики стали выискивать какие-либо указания на порядок в десятичных разложениях числа π, как только они появились. Иррациональность π означает, что цифры следуют друг за другом без какого-либо повторяющегося порядка, но это не исключает возможности появления упорядоченных кусков — таких, как послание, записанное нулями и единицами. До сих пор, однако, никто не нашел ничего важного. Хотя, надо сказать, у π есть свои причуды. Первый 0 появляется только на 32-м месте, что намного позже, чем можно было бы ожидать, коль скоро цифры распределены случайно. Первый раз, когда какая-либо цифра повторяется шесть раз подряд, наступает на 762-м десятичном знаке (и это 999 999). Вероятность столь раннего повторения шести девяток — если их появление случайно — меньше 0,1 процента. Эта последовательность известна как точка Фейнмана — выдающийся физик Ричард Фейнман однажды заметил, что хотел бы запомнить число π именно до этого места и закончить словами «девять, девять, девять, девять, девять, девять и так далее». Следующий раз, когда последовательно выпадают шесть одинаковых цифр, случается на 193 034-м месте, и цифры эти — снова девятки. Не послание ли это извне, и если да — то о чем оно?

Число считается нормальным, если каждая из его цифр от 0 до 9 появляется в его десятичном разложении с равной частотой. Нормально ли π? Канада изучил первые 200 миллиардов цифр числа π и нашел, что цифры появляются со следующими частотами:

Только цифра 8 кажется несколько избыточной, однако отличие статистически несущественно. Казалось бы, число π нормально, но никто не смог этого доказать. И никто не смог доказать, что такое доказательство невозможно. Поэтому есть шанс, что π не нормально. Быть может, вслед за 1020 знаками и правда идут только 0 и 1?

Другой, но связанный с предыдущим вопрос — это вопрос о положении чисел. Распределены ли они случайно? Стэн Вейгин проанализировал первые 10 миллионов цифр числа π на «покерный тест»: возьмем пять последовательных цифр и рассмотрим их, как если бы это были карты, сданные вам при игре в покер.

В правом столбце показано, сколько раз можно было бы ожидать появления того или иного расклада, если число π нормально и если на каждой десятичной позиции с равным шансом могла бы стоять любая цифра. Результаты оказываются вполне в границах ожидаемого. Видно, что каждый расклад чисел появляется с правильной частотой, как было бы, если бы числа на каждой десятичной позиции генерировались случайным образом.

Имеются веб-сайты, на которых можно узнать, когда в числе π впервые появляется дата вашего рождения. Первое появление последовательности 0123456789 происходит на 17 387 594 880-м месте — что было установлено только после того, как Канада добрался туда в 1997 году.

Я спросил у Грегори, полагал ли он когда-либо, что в числе π может найтись какой-то порядок.

— Нет там никакого порядка, — бросил он довольно презрительно. — А если бы он там и был, то это было бы ненормально и неправильно. Так что нет смысла тратить на это время.

Вместо того чтобы искать закономерности в числе π, некоторые воспринимают его случайную природу как колоссальное выражение математической красоты. Число π — предопределенное, но при этом оно, по-видимому, необычайно хорошо имитирует случайность.

— Это очень хорошее случайное число, — соглашается Грегори.

Вскоре после того знаменательного вычисления числа π братьям Чудновски позвонили из правительства Соединенных Штатов. Дэвид изобразил визгливый голос на другом конце провода: «Не будете ли вы столь любезны прислать нам пи?»

Случайные числа нужны в промышленности и торговле. Пусть, например, некой компании, занимающейся исследованием рынка, требуется сделать опрос среди представительной выборки тысячи людей из населения в миллион. Компания использует генератор случайных чисел, чтобы создать группу выборки. Чем лучше этот генератор производит случайные числа, тем более представительной будет выборка — и тем более точным будет опрос. Подобным же образом последовательности случайных чисел требуются для симуляции непредсказуемых сценариев при тестировании компьютерных моделей. Чем более случайны числа, тем более надежны результаты теста. На самом деле возможны серьезные ошибки, если применяемые для проверки случайные числа недостаточно случайны.

— Ты хорош лишь настолько, насколько хороши твои случайные числа, — замечает Дэвид.

— Ты используешь жуткие случайные числа, но в конце концов все равно оказываешься в жуткой ситуации, — заключает Грегори.

Среди всех множеств доступных случайных чисел десятичное разложение числа π — наилучшее.

Здесь, однако, таится некий философский парадокс. Пи, со всей самоочевидностью, не случайно. Его цифры могут вести себя как будто они случайны, но на самом деле они предопределены. Например, если бы цифры в числе π были случайны, то шанс, что первая цифра после десятичной запятой будет равна 1, был бы равен всего 10 процентам. Однако же мы с абсолютной определенностью знаем, что там стоит 1. π проявляет случайность не случайно — что само по себе и захватывающе, и фатально.

π — это математический концепт, который изучался тысячи лет, и тем не менее хранит в себе множество тайн. В течение почти полутора столетий, прошедших после доказательства его трансцендентности, большого прогресса в понимании природы π не наблюдалось.

— По сути дела большая часть того, что там творится, нам неизвестна, — говорит Грегори.

Я спросил, можно ли ожидать какого-либо прогресса в отношении нашего понимания того, что же такое число π.

— А то как же! — восклицает Грегори. — Прогресс неостановим. Математика движется вперед.

— Это будет что-то совершенно фантастическое, но это будет здорово, — подытоживает Дэвид.