Автор отправляется на поиск математических головоломок. Он изучает наследие двух китайцев — один из которых туповатый затворник, а другой свалился с Земли, — а затем летит в Оклахому ради встречи с волшебником.

Маки Кадзи издает японский журнал, специализирующийся на числовых головоломках. Кадзи считает себя кем-то вроде шоумена или эстрадного артиста, использующего в своем ремесле числа. «Я ощущаю себя скорее режиссером фильма или спектакля, чем математиком», — объясняет он. Я познакомился с Кадзи в его офисе в Токио. Он не вел себя эксцентрично, но и не держался чересчур официально, хотя именно эти два качества можно было бы ожидать от того, кто некогда был одержим числами, а потом превратился в успешного бизнесмена. Кадзи был одет в черную футболку, а поверх нее — в модный бежевый кардиган, на его носу сидели очки в стиле Джона Леннона. Ему 57 лет, у него короткая козлиная бородка и бакенбарды, и он часто и заразительно смеется. Кадзи с удовольствием поведал мне о том, что помимо числовых головоломок у него есть и другие хобби. Например, он собирает канцелярские резинки и из своего недавнего путешествия в Лондон привез про запас 25-граммовую упаковку фирменных резинок из книжного магазина «WH Smith» и еще одну 100-граммовую упаковку от независимого торговца канцелярскими товарами. Еще он на досуге развлекается тем, что фотографирует содержательные с арифметической точки зрения номерные знаки на автомобилях. В Японии номерные знаки состоят из двух пар чисел. Кадзи постоянно носит с собой небольшой фотоаппарат и старается не пропустить ни одного знака, на котором перемножение чисел из первой пары дает число, равное второй.

Если предположить, что ни на одном номере ни одного японского автомобиля во второй паре цифр не стоят 00, то каждый номерной знак, сфотографированный Кадзи, — это строка в таблице умножения от 1 до 9. Например, знак 1101 можно воспринимать как 1 × 1 = 1. Подобным же образом, 1202 — это 1 × 2 = 2. Если продвигаться дальше по списку, то получится, что всего имеется 81 возможная комбинация. Кадзи уже собрал более 50. Когда у него будет полная таблица умножения, он намеревается устроить выставку своих фотографий.

* * *

Идее о том, что числа могут пригодиться для развлечения, столько же лет, сколько и самой математике. Например, древнеегипетский папирус Ринда содержит следующий список, составляющий часть ответа на задачу № 79. Данная задача, в отличие от других задач из этого папируса, не имеет никакого очевидного практического применения:

Этот список — описание семи домов, в каждом из которых семь кошек, каждая из которых съела семь мышей, каждая из которых съела семь зерен спельты, каждое из которых взято из отдельного геката. Эти числа образуют геометрическую прогрессию — то есть последовательность, каждый член в которой вычисляется путем умножения предыдущего члена на одно и то же число (в данном случае — семь). Кошек в семь раз больше, чем домов, мышей в семь раз больше, чем кошек, зерен спельты в семь раз больше, чем мышей, а гекатов в семь раз больше, чем зерен спельты. Полное число объектов можно записать в виде суммы 7 + 72 + 73 + 74 + 75.

Впрочем, не только древним египтянам такая последовательность казалась неотразимой. Почти точно та же сумма фигурирует в книжке «Стихи Матушки Гусыни» — детском сборнике начала XIX века:

Это стихотворение — одна из наиболее известных в английской литературе задачек с подвохом, потому что, как можно сообразить, весь отряд женщин и путешествующих поневоле представителей семейства кошачьих, двигались из Сент-Айвс. Впрочем, каким бы ни было направление их движения, полное число котят, кошек, корзинок и жен составляет 7 + 72 + 73 + 74, что равно 2800.

Другое — не столь широко известное — изложение этой загадки содержится в одной из задач в написанной в XIII столетии книге Леонардо Фибоначчи «Liber Abaci». В этом варианте участвуют семь женщин, а далее все возрастающие количества мулов, мешков, ломтей хлеба, ножей и ножен. Сделанное добавление доводит последовательность до 76, так что полное число предметов равно 137 256.

В чем же привлекательность степеней числа семь, обусловливающая их появление в столь различные времена в столь различных контекстах? Каждый из примеров демонстрирует все возрастающее ускорение, характерное для геометрической прогрессии. Стихотворение — это поэтический способ выразить, сколь быстро малые числа способны приводить к большим. При первом чтении вы можете подумать, что там какое-то разумное число котят, кошек, корзинок и жен, — но в действительности их почти три тысячи! Точно так же занимательные задачи из папируса Ринда и «Liber Abaci» выражают то же самое глубокое математическое наблюдение. Причем число 7 — пусть иногда и кажется, что оно уж очень часто возникает в подобных задачах из-за каких-то своих особенных свойств, — само по себе не важно. Стоит несколько раз умножить любое число само на себя, как ответ быстро выходит за пределы ожидаемого.

Даже при перемножении на себя самого меньшего из возможных чисел — числа 2 — ответ устремляется в небеса с головокружительной скоростью. Положим одно пшеничное зернышко на клетку шахматной доски, на соседнюю клетку — два зерна и далее примемся заполнять всю доску, каждый раз удваивая число зерен. Сколько пшеницы тогда окажется на последней клетке? Быть может, несколько грузовиков? Или контейнер? На шахматной доске 64 клетки, так что нам надо выполнить удвоение 63 раза, что означает число 2, умноженное само на себя 63 раза, или 263. В терминах пшеничных зерен это число примерно в сто раз превосходит все годовое производство пшеницы в мире. А можно посмотреть и по-другому: если пересчитывать зерна так, чтобы на каждое зерно уходила одна секунда, и при этом начать счет в момент Большого взрыва, случившегося около 13 миллиардов лет назад, то к настоящему моменту вы не дойдете и до десятой доли числа 263.

* * *

Математические загадки, стихи и игры очень популярны в наши дни. Занимательная математика — широкая и живая область, важнейшее достоинство которой состоит в том, что она доступна целеустремленному непрофессионалу, но при этом может порой затрагивать достаточно сложные элементы теории. Теоретической составляющей может и не быть вовсе, но вместо нее должно присутствовать восхищение перед чудом чисел — подобно нервной дрожи, сопутствующей коллекционированию номерных знаков.

Ключевое событие в истории занимательной математики, как считается, произошло на берегах Желтой реки, Хуанхэ, около 2000 года до н. э. Однажды китайский император наблюдал, как черепаха выползает из воды. То была священная черепаха, с черными и белыми пятнышками на брюхе, которые соответствовали первым девяти числам и образовывали на черепашьем брюхе табличку, которая (если вместо точек подставить арабские цифры) выглядела следующим образом:

Квадрат, который, подобно данному, содержит последовательные числа начиная от 1, причем они расставлены так, что все их суммы по всем строкам, столбцам и диагоналям равны друг другу, называется «магическим». Китайцы называют этот квадрат «ло шу». (В нем все суммы по строкам, столбцам и диагоналям равны 15.) Китайцы верили, что «ло шу» символизирует внутреннюю гармонию Вселенной. Они использовали его для предсказаний будущего и отправлений религиозных обрядов. Например, если начать с 1 и провести линию, соединяющую стоящие в квадрате числа по порядку, то получится узор (см. рисунок), изображающий схему передвижения даосистского жреца по храму. Этот узор, называемый «юбу», также лежит в основе некоторых правил фэн шуй — китайской философии эстетики.

Движение по узору ло шу и даосистское руководство сюбу

Мистическую сторону ло шу разглядели не только в Китае. Магические квадраты представляли объекты большой духовной значимости для индуистов, мусульман, иудеев и христиан. В исламской культуре им нашли наиболее творческое использование. В Турции и Индии девственницам предписывалось вышивать магические квадраты на рубашках воинов. Кроме того, считалось, что если магический квадрат положить на живот роженицы, то это облегчит роды. Индуисты носили амулеты с изображениями магических квадратов в качестве защиты от злых чар, а астрологи эпохи Возрождения сопоставляли их с планетами нашей Солнечной системы. Легко смеяться над склонностью наших предков к оккультизму, однако и современному человеку их очарованность магическими квадратами совершенно понятна. Простые, но при этом со сложной структурой, они подобны числовым мантрам, некоему объекту бесконечного созерцания и сдержанного выражения порядка в нашем совершенно неупорядоченном мире.

Одна из привлекательных черт магических квадратов состоит в том, что они могут иметь любой размер, не обязательно только 3 × 3. Знаменитый пример — квадрат 4 × 4, который использовал в своем творчестве Альбрехт Дюрер. В композицию гравюры «Меланхолия I» он включил квадрат 4 × 4, получивший такую известность потому, что в него встроен год создания гравюры — 1514. На самом деле это сверхмагический квадрат — в нем не только строки, столбцы и диагонали дают в сумме 34, но также и все комбинации из четырех чисел, отмеченных точками и соединенных в квадратах на рисунке.

Структуры, связанные с этим квадратом, вызывают изумление, и чем дольше смотришь, тем больше их видишь. Сумма квадратов чисел из первой и второй строчек равна 748. То же самое число получается путем сложения квадратов чисел в строках 3 и 4, или квадратов чисел в строках 1 и 3, или же квадратов чисел в строках 2 и 4, или, наконец, квадратов чисел на каждой из диагоналей. Ничего себе!

Не меньшее изумление вызывает то, что получается, если повернуть магический квадрат Дюрера на 180 градусов, а затем вычесть 1 из клеток, содержащих числа 11, 12, 15 и 16. Результат будет таким:

Квадрат, показанный на рисунке, расположен на стене кафедрального собора Саграда Фамилия в Барселоне, построенного по проекту Антонио Гауди. Квадрат Гауди не магический, поскольку два числа в нем повторяются, но и столбцы, и строки, и диагонали в нем все суммируются к числу 33 — возрасту Христа к моменту его смерти.

Немало времени можно провести, забавляясь с магическими квадратами и восхищаясь их структурой и гармонией. На самом деле ни одна другая область непрактической математики не привлекала столько любителей математики на протяжении столь многих лет. В XVIII и XIX веках литература по магическим квадратам расцвела пышным цветом. Одним из самых именитых энтузиастов был Бенджамин Франклин. В молодости он забавлялся составлением магических квадратов, пытаясь скрасить скучные часы на службе в Законодательном собрании штата Пенсильвания. Самый известный его квадрат имеет размер 8 × 8 (см. рис.), и считается, что он придумал его еще мальчишкой.

В этом квадрате Франклин воплотил одно из своих собственных изобретений, касающееся развития теории магических квадратов: «ломаную диагональ», которая учитывает суммы чисел в черных клетках и суммы чисел в серых клетках, как показано на рисунках А и В ниже. Хотя квадрат Франклина не является собственно магическим, поскольку сумма чисел по основным диагоналям не составляет 260, его новое изобретение — половинные диагонали — суммируются именно таким образом. Суммы чисел по черным клеткам на рисунках С, D и E, сумма чисел по серым клеткам на рисунке E и, конечно, суммы по каждой строке и каждому столбцу — все они равны 260.

Квадрат Франклина содержит и еще более хитроумные симметрии. Сумма чисел в каждом из подквадратов 2 × 2 равна 130, и такова же сумма любых из четырех чисел, расположенных равноудаленно от центра. Считается, что Франклин изобрел еще один квадрат, когда ему было уже за сорок. Потратив всего один вечер, он составил невероятный квадрат размером 16 × 16, который, по его утверждению, был «самым магически магическим из всех магических квадратов, когда-либо созданных магами». (Он приведен в приложении 3 на веб-сайте, посвященном данной книге.)

Одна из причин непреходящей популярности составления магических квадратов заключается в том, что их оказывается неожиданно много. Попробуем пересчитать их, начиная с наименьшего: имеется ровно один магический квадрат размера 1 × 1 — это просто число 1. Магических квадратов, составленных из четырех чисел в формате 2 × 2, нет. Далее имеется восемь способов расположить цифры от 1 до 9 так, чтобы получился магический квадрат 3 × 3, но каждый из этих восьми квадратов на самом деле получен из одного-единственного квадрата операциями поворота или отражения, так что разумно считать, что имеется лишь один магический квадрат 3 × 3. На рисунке показаны все имеющиеся возможности.

После тройки число возможных магических квадратов возрастает невероятно быстро. Даже после редукции, учитывающей вращения и отражения, оказывается возможным построить 880 магических квадратов размером 4 × 4. В формате 5 × 5 число магических квадратов равно 275 305 224 — этот результат был получен только в 1973 году с использованием компьютера. И хотя число это кажется астрономически большим, на самом деле оно ничтожно по сравнению с числом всех возможных расстановок цифр от 1 до 25 в магическом квадрате размером 5 × 5. Полное количество возможных расположений можно вычислить, умножая 25 на 24, потом на 23 и т. д. до 1, что примерно составляет число, записываемое как 1,5 с 25 нулями, то есть 15 септилионов.

Число магических квадратов 6 × 6 неизвестно, хотя вероятно, что оно есть нечто близкое к 1 с 19 нулями. Это число настолько огромно, что превосходит даже полное число пшеничных зерен на шахматной доске в задаче, рассмотренной выше.

* * *

Надо сказать, что не только математики-любители увлекались магическими квадратами. В конце своей жизни ими заинтересовался и выдающийся швейцарский математик Леонард Эйлер. (Он к тому времени практически полностью ослеп, из-за чего его исследования в области, существенным образом использующей пространственное расположение чисел, представляются особенно впечатляющими.) В частности, он изучал модифицированный вариант магического квадрата, в котором каждое число или символ появляется только один раз в каждой строке и каждом столбце. Он назвал такие квадраты «латинскими».

Латинские квадраты

В отличие от магических квадратов латинские квадраты имеют несколько практических применений. Их можно использовать для составления графика спортивных турниров, проводимых по круговой системе, когда каждая команда должна сыграть с каждой, а также в сельском хозяйстве в качестве удобного средства, позволяющего фермеру испытать, например, несколько различных удобрений на участке земли и узнать, какое из них дает наилучшие результаты. Если у фермера, скажем, пять продуктов, подлежащих проверке, и он разбивает землю в квадрат 5 × 5, то размещение каждого из продуктов по латинскому квадрату гарантирует, что всякое изменение в характере почвы окажет одинаковое влияние на каждое средство.

* * *

Маки Кадзи — представленный мною в начале главы японец, который занимается созданием головоломок, — открыл новую эру в играх с числовыми квадратами. Идея посетила его, когда он просматривал один американский журнал головоломок. Поскольку английский — не его родной язык, он пролистывал страницы малопонятных игр, использующих слова, пока не наткнулся на загадочно выглядевшую сетку из чисел. То была головоломка под названием «Поставь числа на место». Она представляла собой частично заполненный латинский квадрат 9 × 9, в котором использовались цифры от 1 до 9. Рассуждая логически, игрок должен был заполнить пустые места числами, помня, что каждое число может появиться в каждой строке и каждом столбце только один раз. Задача облегчалась дополнительным условием: квадрат был разбит на девять подквадратов 3 × 3, выделенных жирным шрифтом. Каждое из чисел от 1 до 9 могло появляться в подквадрате лишь единожды. Кадзи решил головоломку «Поставь числа на место» и очень воодушевился — именно головоломки подобного типа он и хотел размещать в своем новом журнале.

Головоломка «Поставь число на место», впервые появившаяся в 1979 году, была творением Говарда Гарнса, в прошлом архитектора из Индии, на пенсии увлекшегося головоломками. Хотя Кадзи понравилось решать головоломку Гарнса, он решил переделать ее таким образом, чтобы заданные числа были распределены в симметричную структуру по сетке, подобно тому, как это имеет место в кроссвордах. Он назвал свой вариант судоку, что по-японски означает «число должно появляться только один раз».

Судоку

Кадзи поместил судоку в первых же номерах своего журнала головоломок, который начал выходить в 1980 году, но, по его словам, никто не обратил тогда на них никакого внимания. Лишь после того, как судоку пересекли границу Японии, они стали распространяться подобно лесному пожару.

Точно так же, как говорящие по-японски, но не знавшие английского люди могли понять, что требуется в головоломке «Поставь числа на место», говорившие по-английски, но не знавшие японского могли играть в судоку.

В 1997 году новозеландец по имени Уэйн Гоулд зашел в один из книжных магазинов в Токио. Увидев на полках только книги на японском языке, он поначалу слегка растерялся, но вдруг его глаз зацепился за что-то знакомое. Ему бросилась в глаза обложка книги, которая выглядела как кроссворд с расставленными в нем числами. Очевидно, это было нечто вроде головоломки, подумал он, но вот как она решается? Гоулд решил купить книжку и разобраться с ней потом. Во время отпуска, который он проводил на юге Италии, Гоулд наконец решил головоломку. Незадолго до того он вышел на пенсию — ранее он был судьей в Гонконге — и увлекся программированием на компьютере. Гоулд решил, что попробует написать программу, которая будет генерировать различные судоку. Программисту высшего класса для этого понадобилась бы пара дней, у Гоулда же на решение задачи ушло шесть лет.

Однако затраченные усилия стоили того, и в сентябре 2004 он смог убедить редакцию нью-гэмпширской газеты «Conway Daily Sun» опубликовать одну из своих головоломок. Успех превзошел все ожидания. В следующем месяце Гоулд решил попробовать силы в британской национальной прессе. Он полагал, что самый эффективный способ продвинуть свою идею состоит в том, чтобы предложить редакции готовый макет их газеты с уже помещенным в него судоку. Судебная практика в Гонконге многому его научила, так что изготовить хорошую подделку не составило большого труда. Он подготовил выглядевший достаточно убедительно «макет» приложения к «Times» и принес его с собой в главную редакцию этой газеты. Гоулду пришлось прождать несколько часов в приемной, но он все-таки сумел продемонстрировать свой самодельный номер кое-кому из сотрудников. Идея всем понравилась. Более того, не успел Гоулд уйти из редакции, как один из топ-менеджеров «Times» послал ему имейл с просьбой никому больше не показывать судоку. Первая головоломка была напечатана через две недели, а уже через три дня газета «Daily Mail» предложила свой собственный вариант. В январе 2005 года в игру вступила и «Daily Telegraph». Прошло совсем немного времени, и уже каждая британская газета считала своим долгом ежедневно публиковать подобную головоломку, чтобы не отставать от конкурентов. В тот год, по данным газеты «Independent», продажи карандашей в Великобритании возросли в 7 раз — по мнению газеты, это было связано с массовым помешательством на судоку. К лету в книжных магазинах, газетных киосках и в аэропортах появились отдельные полки со сборниками судоку, причем это наблюдалось не только в Соединенном Королевстве, но и по всему миру. По данным «USA Today» в 2005 году шесть из 50 наиболее популярных книг в списке бестселлеров были книгами по судоку. К концу года судоку распространились уже в 30 странах, а журнал «Time» назвал Уэйна Гоулда в числе 100 наиболее влиятельных людей года — он оказался в этом списке в компании Билла Гейтса, Опры Уинфри и Джорджа Клуни. К концу 2006 года головоломки судоку публиковались в 60 странах, а к концу 2007-го — в 90. По оценкам Маки Кадзи, число людей, регулярно решающих судоку, превышает ныне 100 миллионов.

* * *

Успешное решение всякой головоломки оказывает важное позитивное влияние на ваше эго, но дополнительное очарование в решении задачек судоку состоит отчасти во внутренней красоте и уравновешенности идеального латинского квадрата, определяющего их форму. Успех судоку — свидетельство уходящего в века и существующего в самых различных культурах фетиша в виде числовых квадратов. И в отличие от массы всяких других головоломок успех судоку — это одновременно и замечательная победа математики. Хотя в судоку нет никакой арифметики, решение требует абстрактного мышления, распознавания образов, логической дедукции и построения алгоритмов.

Например, как только вы поняли правила судоку, становится полностью ясной идея единственности решения. Для каждой числовой структуры в таблице имеется только одно возможное окончательное расположение для чисел в пустых клетках. Однако при этом не верно, что всякая частично заполненная таблица будет иметь единственное решение. Вполне может случиться, что некий квадрат 9 × 9 с расставленными в нем числами не имеет решения, как может случиться и то, что у данного квадрата будет много решений. Когда британский спутниковый канал «Sky TV» запустил Судоку-шоу, продюсеры нарисовали таблицу размером 275 на 275 футов на известняковом холме, расположенном где-то в сельской местности в Англии. Это, по их утверждению, было самое большое судоку в мире. Однако предложенные ими числа позволяли заполнить квадрат 1905 различными способами. Таким образом, разрекламированное самое большое судоку не имело единственного решения, а потому и не могло классифицироваться как судоку.

Область математики, имеющая дело с перечислением комбинаций (таких, например, как упомянутые 1905 решений фальшивого судоку, предложенного «Sky TV»), называется комбинаторикой. Она состоит из изучения перестановок и комбинаций предметов, подобных числам из таблицы. Кроме того, к комбинаторике относится и знаменитая задача о коммивояжере. Пусть, скажем, я — коммивояжер, и мне надо заехать в 20 магазинов. В каком порядке мне надо в них заезжать, чтобы полный путь, который я проделаю, оказался минимальным? Решение требует рассмотрения всех перестановок путей между всеми магазинами, и представляет собой классическую (и исключительно сложную) комбинаторную задачу. Подобные задачи постоянно возникают в бизнесе и промышленности; например, при составлении расписания вылета самолетов из аэропорта или при проектировании эффективной системы сортировки почты.

Комбинаторика — это область математики, которая имеет дело с исключительно большими числами. Как мы видели на примере магических квадратов, уже небольшое количество чисел можно расположить на удивление большим количеством способов. Хотя и латинские, и магические квадраты образуют квадратные таблицы, при их одинаковом размере латинских квадратов меньше, чем магических, однако латинских квадратов все равно очень много. Например, количество латинских квадратов размером 9 × 9 выражается числом из 28 цифр. Сколько среди них различных судоку? Число латинских квадратов, представляющих собой судоку, — то есть таблиц размером 9 × 9, в которых 9 подквадратов содержат все цифры, — меньше полного числа примерно в сто тысяч раз и равно 6 670 903 752 021 072 936 960. Впрочем, многие из этих таблиц представляют собой различные варианты одного и того же квадрата, получаемые отражением или вращением (что мы видели выше для магического квадрата 3 × 3). Если не считать квадраты, получаемые вращениями и отражениями, то искомое количество заметно уменьшается: общее число различных возможностей для целиком заполненных таблиц судоку оказывается равным примерно 5,5 миллиарда.

Это, впрочем, не равно полному числу возможных судоку, которое намного больше данного числа, потому что каждая заполненная сетка будет решением многих разных судоку. Скажем, напечатанное в газете судоку имеет одно-единственное решение. Но как только вы заполните один из квадратов, вы немедленно тем самым создадите новую таблицу с новым набором данных, другими словами — новое судоку с тем же единственным решением, и т. д. для каждого из квадратов, которые вы будете заполнять. Так что если в данном судоку имеется, скажем, 30 исходно заданных чисел, то у вас есть возможность создать еще 50 других судоку с тем же единственным решением — до тех пор, пока не будет заполнена вся таблица. (Это означает новое судоку для каждого дополнительного числа, до тех пор пока в таблице из 81 квадрата не окажется 80 заполненных.) Нахождение полного числа судоку не слишком интересно, поскольку большинство таблиц для них имеют лишь очень небольшое число незаполненных клеток, что не отвечает духу этих головоломок. Математиков гораздо более привлекает задача нахождения минимального числа цифр, исходно расставленных по таблице. Самый главный комбинаторный вопрос касательно судоку звучит так: каково наименьшее количество чисел, которые можно оставить, чтобы имелся только один способ заполнения всей таблицы?

Те судоку, которые печатают в газетах, обычно содержат около 25 заданных чисел. К настоящему моменту никому не удалось найти судоку, которая имела бы единственное решение при менее чем 17 заданных числах. На самом деле судоку с 17 подсказками привели к появлению некоторого комбинаторного культа. Гордон Ройл из Университета Западной Австралии поддерживает базу данных по судоку с 17 подсказками, и от создателей головоломок по всему миру ему ежедневно приходят три или четыре новые. К настоящему моменту он собрал их почти 50 000 штук. Но несмотря на то, что он — признанный во всем мире специалист по судоку с 17 подсказками, он говорит, что не знает, сколь близко подошел к нахождению полного числа возможных головоломок. «Некоторое время назад я бы сказал, что дело близится к концу, но потом один анонимный участник прислал мне почти 5000 новых, — говорит он. — Мы так толком и не поняли, как же этот человек под ником „anon17“ смог их найти, но несомненно, он использовал какой-то хитрый алгоритм».

По мнению Ройла, барьер из 17 заданных чисел пока не преодолен, потому что «или мы недостаточно умные, или наши компьютеры недостаточно мощные». Скорее всего, участник «anon17» не обнародовал свой метод потому, что тайком использовал чей-то очень большой компьютер. Ответы на комбинаторные задачи нередко опираются на серьезную работу компьютера по перебору чисел. «Полное возможное пространство допустимых головоломок с 16 подсказками настолько обширно, что нам остается лишь исследовать его маленький уголок, если мы не будем привлекать какие-то новые теоретические идеи», — утверждает Ройл. Однако чутье подсказывает ему, что судоку с 16 под сказками никогда не будут найдены. Он добавляет: «Сейчас имеется так много головоломок с 17 подсказками, что было бы крайне странно, если бы вдруг нашлась какая-нибудь с 16-ю, на которую мы до сих пор случайно не наткнулись».

* * *

Мне всегда казалось, что одна из причин успеха судоку — это экзотическое название, апеллирующее к романтическому увлечению высшей восточной мудростью, несмотря на то что эту идею предложил американский архитектор Говард Гарнс. На самом деле существует традиция головоломок, имеющая свои корни на Востоке. Самый первый международный бум головоломок относится к началу XIX века, когда европейские и американские моряки, вернувшиеся из Китая, привезли наборы геометрических фигур из семи элементов, как правило изготовленных из дерева или слоновой кости, — двух больших и двух маленьких треугольников, треугольника среднего размера, ромба и квадрата. Сложенные вместе, эти кусочки образовывали большой квадрат. К фигурам прилагались буклеты, изображавшие десятки вариантов различных геометрических или человеческих фигур и других объектов. В головоломке требовалось сложить каждую из них, используя все семь деталей.

Эта головоломка ведет свое происхождение из китайской традиции расстановки столов на званых обедах в виде различных фигур. В одной китайской книге XII века показаны 76 вариантов расположения столов, причем многие из этих вариантов были задуманы так, чтобы напоминать различные объекты, к примеру развевающийся флаг, горный хребет и цветы. В начале XIX столетия китайский писатель с забавным прозвищем Отупелый Отшельник приспособил эту церемониальную хореографию к миниатюрным геометрическим фигурам (размером с палец), которые поместил в книгу под названием «Картинки, составленные из семи дощечек мастерства».

Исходно названные китайской головоломкой, эти наборы позднее приобрели название «танграм». Первая книга по головоломкам-танграмам, вышедшая за пределами Китая, увидела свет в Лондоне в 1817 году. Она сразу же породила повальное увлечение танграмами. В последующие два года десятки подобных книг вышли во Франции, Германии, Италии, Нидерландах и в Скандинавии. Карикатуристы тех времен высмеивали массовое помешательство, изображая людей, отказывающихся спать с женами, шеф-поваров, разучившихся готовить, и докторов, забывших про своих больных, — все время эти люди были заняты складыванием треугольников.

Мне нравятся танграмы. В них волшебным образом оживают люди и животные. В результате перестановки всего одного элемента характер фигуры может полностью поменяться. У танграммов угловатые и нередко гротескные очертания, удивительным образом наводящие на самые разнообразные мысли…

Насколько всепоглощающа эта головоломка, понять нелегко, пока вы сами не попробовали. Несмотря на кажущуюся простоту, решение головоломок с танграмами бывает порой делом довольно сложным. Фигуры, которые предлагается собрать, часто оказываются с подвохом; например, два весьма сходных по виду силуэта могут иметь абсолютно различную внутреннюю структуру. Танграмы — это предупреждение против беспечности, напоминание о том, что сущность вещей не всегда обнаруживается с первого взгляда. Присмотритесь к приведенным на рисунке фигурам. Кажется, что вторая получена из первой удалением маленького треугольника. На самом деле в обеих фигурах использованы все детали, и собраны они двумя совершенно различными способами.

* * *

В 1817 году увлечение танграмами пошло на спад. Их сменило другое повальное помешательство, вызванное второй международной эпидемией головоломок. Начиная с самого первого дня — в декабре 1879 года, — когда игра в пятнашки появилась в продаже в магазине игрушек в Бостоне, производители не могли угнаться за спросом. «Ни умудренные годами старцы, ни ангельски невинные младенцы не смогут избежать этой заразы», — предупреждала газета «Boston Post». Игра в пятнашки состоит из 15 деревянных квадратиков — фишек, помещенных в квадратную картонную коробку так, что они составляют большой квадрат размером 4 × 4, при этом одно место остается незанятым. На фишках написаны числа от 1 до 15, и они расставлены по коробке случайным образом. Цель состоит в том, чтобы, используя единственное пустое место для передвижения фишек по квадрату 4 × 4, выстроить все номера по порядку. Игра в пятнашки оказалась столь затягивающей и при этом столь забавной, что вскоре повальное увлечение ею распространилось из Массачусетса в Нью-Йорк, а затем и по всей стране. «Подобно мощнейшему сирокко, она пронеслась над землей с востока на запад, иссушая мозги и вызывая временное помешательство», — возбужденно свидетельствовала «Chicago Tribune». A «New York Times» добавляла, что никакая другая эпидемия «из всех, когда-либо случавшихся в этой или какой бы то ни было другой стране, не распространялась с такой чудовищной скоростью и проворством».

Игру в пятнашки изобрел Ной Чепмэн — почтовый служащий из штата Нью-Йорк. До этого он в течение почти двух десятилетий пытался создать физическую модель магического квадрата 4 × 4. Ради удобства работы он сделал маленькие деревянные квадратики для чисел от 1 до 16 и плотно посадил их в квадратную коробку. Когда же оказалось, что удаление одного квадратика освобождает место, на которое можно сдвинуть любой из соседних квадратиков, выяснилось, что задача переупорядочения чисел может превратиться в забавную игру. Чепмэн сделал несколько экземпляров игры для членов своей семьи и для друзей, но никогда не пытался извлечь из своего изобретения прибыль. Дело приняло масштабный оборот, только когда один смекалистый бостонский плотник решил поставить производство головоломок на коммерческую основу.

Игра в пятнашки способна стать сущим мучением — это знает всякий, кто пробовал в нее играть. Дело в том, что иногда задача решается, а иногда — нет. Оказалось, при случайной расстановке фишек есть только два исхода: или все фишки удается расположить в правильном порядке, или же получаются только первые три ряда, а в последнем числа располагаются как 13-15-14. Массовое безумие игроков подогревалось отчасти желанием понять, возможно ли из расположения 13-15-14 получить расположение 13-14-15. В январе 1890 года — через несколько недель после появления в продаже первой головоломки — некий дантист из Рочестера, штат Нью-Йорк, поместил в местной газете объявление, в котором обещал награду в 100 долларов и комплект вставных зубов всякому, кто ответит на этот вопрос. Сам он, считая, что это невозможно, не сумел справиться с соответствующей математикой.

Из гостиных задачка пришла в залы научных учреждений, и, коль скоро в дело вступили профессионалы, вскоре она была решена. В апреле 1890 года Герман Шуберт, один из выдающихся математиков того времени, опубликовал в немецкой газете самое первое доказательство того, что порядок 13-15-14 представляет собой нерешаемое положение. Вскоре доказательство было опубликовано и в «American Journal of Mathematics». Это подтверждало, что половина всех начальных расположений фишек в игре в пятнашки приведет в конце игры к расположению 13-14-15, а половина — к расположению 13-15-14. Игра в пятнашки — единственная головоломка, которая не всегда имеет решение. Неудивительно, что она вызывала натуральное помешательство во всем мире — люди порой просто сходили с ума.

Как и танграмы, игра в пятнашки и сегодня не забыта. До сих пор ее можно найти в магазинах игрушек, пятнашки кладут в рождественские хлопушки и корпоративные подарочные наборы. В 1974 году один венгр задумал усовершенствовать эту головоломку — ему пришла в голову мысль перенести ее в три измерения. Этот человек — Эрнё Рубик — сделал опытный образец, кубик Рубика, не подозревая, что впоследствии он станет одной из самых успешных головоломок в истории.

* * *

В 2002 году специалист по семиотике Марсель Данези писал в своей книге «Головоломный инстинкт», что интуитивная способность к решению головоломок представляет собой одно из необходимых человеку свойств. Когда нам предъявляют какую-либо головоломку, объясняет он, наши инстинкты заставляют нас искать решение до тех пор, пока мы не будем удовлетворены. Начиная с загадок Сфинкса и кончая тайнами современных детективов, головоломки представляют собой важный элемент человеческой культуры. Данези утверждает, что головоломки — некий вид экзистенциальной терапии, демонстрирующий нам, что сложные вопросы могут иметь точные решения. Великий создатель головоломок англичанин Генри Эрнест Дьюдени утверждал, что процесс решения головоломок лежит в основе человеческой природы: «Вся наша жизнь по большей части проходит в решении головоломок, ибо что такое головоломка, как не вопрос, ставящий нас в тупик? С детских лет мы беспрестанно задаем вопросы или пытаемся найти на них ответы».

Головоломки — это, кроме того, чудесный способ сделать математику более привлекательной. Решение их нередко требует нестандартного мышления или опирается на факты, на первый взгляд противоречащие интуиции. Ощущение достигнутого успеха, испытываемое при решении головоломок, — удовольствие, которое хочется переживать вновь и вновь; когда же задачка не решается, от тоски просто лезешь на стенку. Чувство поражения почти непереносимо.

Издатели быстро осознали, что рынок математических забав огромен. В 1612 году во Франции вышла книга Клода Гаспара Баше «Занимательные и приятные задачи (очень полезные для всех любопытных людей, использующих арифметику)». Один из ее разделов был посвящен магическим квадратам, фокусам с картами, вопросам, относящимся к системам счисления с основанием, отличным от десяти, а также задачкам из серии «задумай число». Баше был серьезным исследователем, он перевел Диофантову «Арифметику» с греческого на латынь и снабдил текст своими комментариями. Однако его популярная книга по математике оказалась, пожалуй, гораздо более заметной, чем его научные труды. Она сохраняла свою актуальность в течение столетий, а сравнительно недавно — в 1959 году — выдержала еще одно издание. Мы уже говорили, что определяющая черта математики — пусть даже развлекательной — состоит в том, что она никогда не устаревает.

В середине XIX века американские газеты начали печатать шахматные задачи. Одним из первых, и к тому же самым молодым из изобретателей таких задач был ньюйоркец Сэм Лойд. В возрасте всего 14 лет опубликовал свою первую задачку в местной газете. В 17 лет он был уже одним из наиболее успешных и известных изобретателей шахматных задач в Соединенных Штатах. От шахмат Лойд перешел к математическим головоломкам и к концу столетия стал первым в мире профессиональным составителем головоломок и импресарио. Он часто публиковался в американских изданиях и утверждал, что получал от читателей до 100 000 писем в день. Эту цифру, впрочем, следует воспринимать с известной долей скептицизма. Лойд призывал людей относиться к истине как к некой забавной игре — что можно ждать от профессионального загадочника! Для начала Ллойд заявил, что именно он изобрел игру в пятнашки, и ему поверили! И только в 2006 году, когда историки Джерри Слонам и Дик Соннвелд проследили происхождение этой игры, выяснилось, что на самом деле ее придумал Ной Чепмэн. Лойд также возродил интерес к танграмам, опубликовав «Восьмую книгу о тан, Часть I», якобы являвшуюся вариантом древнего текста, посвященного 4000-летней истории этой головоломки. Книга оказалась мистификацией, хотя сначала ее всерьез восприняли даже ученые.

Лойд обладал феноменальной способностью к превращению математических задач в забавные, ярко иллюстрированные головоломки. Самой гениальной из них была головоломка, изобретенная Лойдом в 1896 году для газеты «Brooklyn Daily Eagle». Эта головоломка, называвшаяся «Таинственное исчезновение с Земли», приобрела такую популярность, что позднее ее идеей воспользовались в качестве рекламных приемов несколько известных брендов, таких как «The Young Ladies Ноше Journal» и «Большая Атлантическая & Тихоокеанская чайная компания»; кроме того, ее использовали республиканцы для своей политической программы на президентских выборах 1896 года (хотя содержащееся в ней послание вовсе не походило на политический манифест). На этой головоломке изображены китайские воины, расположенные вокруг Земли, нарисованной на картонном круге, который может вращаться вокруг своего центра. Когда нарисованная на круге стрелка указывает на северо-восток, на картинке нарисовано 13 воинов, но стоит повернуть круг так, чтобы стрелка указывала на северо-запад, как один из них исчезает, и воинов остается только 12. Эта головоломка сбивает с толка. Только что перед вами было 13 воинов, а через секунду — уже только 12. Кто именно исчез и куда он делся?

Фокус, используемый в данной головоломке, известен как геометрическое исчезновение. Его можно продемонстрировать и так: на рисунке изображен лист бумаги с нанесенными на него десятью вертикальными отрезками. При разрезании листа по диагонали получаются два куска, которые можно сложить по-другому — так, что получится только девять отрезков. Куда делся десятый? А происходит следующее: отрезки сложились таким образом, что их получилось девять, но они оказались длиннее первоначальных. Если отрезки на первом рисунке имели длину 10 единиц, то на втором их длина равна 111/9, поскольку один из исходных отрезков распределился среди девяти остальных.

В своей головоломке «Таинственное исчезновение с Земли» Сэм Лойд использовал геометрическое исчезновение на окружности, а вместо отрезков — китайских воинов. В его головоломке имеется 13 позиций воинов, аналогично наличию 10 отрезков в разобранном выше примере. В левом нижнем углу исходно имеются два воина, что соответствует исходному положению крайних отрезков в фокусе с геометрическим исчезновением. Когда стрелка переводится с северо-востока на северо-запад, части воинов соединяются по-другому — ко всем, кроме двух, немножко «добавляется», а два крайних при этом радикально «ужимаются» — создается впечатление, что целый воин исчез. На самом деле он просто перераспределился среди остальных. Сэм Лойд заявлял, что произведено десять миллионов экземпляров «Таинственного исчезновения с Земли». Он стал богатым и знаменитым и наслаждался репутацией американского короля головоломок.

«Таинственное исчезновение с Земли»

Тем временем в Великобритании Генри Эрнест Дьюдени также приобретал аналогичную репутацию. Если капиталистическая нагловатость Лойда и его талант к саморекламе отражали оживленную атмосферу соперничества, царившую в Нью-Йорке на рубеже столетий, то Дьюдени был воплощением сдержанного английского стиля. Он происходил из фермерской семьи, занимавшейся разведением овец в Сассексе. Уже в 13-летнем возрасте он начал работать — клерком в одном из государственных учреждений в Лондоне. Однако эта работа ему быстро наскучила, и он принялся публиковать небольшие задачки и головоломки в различных изданиях. В конце концов он полностью посвятил себя журналистике. Его жена Элис писала пользовавшиеся успехом романтические повести о деревенской жизни в Сассексе — где, благодаря ее авторским гонорарам, они с мужем могли жить в их поместье, ни в чем не нуждаясь. Супруги Дьюдени часто бывали и в Лондоне, вращались в высокообразованных литературных кругах, куда также входил сэр Артур Конан Дойл — создатель Шерлока Холмса, самого знаменитого разгадывателя головоломок во всей литературе.

В 1894 году Лойд опубликовал очередную шахматную задачу, которая решалась в 53 хода. Он был уверен, что никто никогда не найдет известное ему одному решение. Однако Дьюдени, который был на 17 лет младше Лойда, нашел решение в 50 ходов. После этого они некоторое время сотрудничали, но разругались, когда Дьюдени узнал, что Лойд не гнушается плагиатом. Дьюдени презирал Лойда столь глубоко, что сравнивал его с дьяволом.

И Лойд, и Дьюдени были самоучками, но Дьюдени обладал гораздо более ясным математическим складом ума. Многие из его головоломок затрагивают глубокие математические проблемы, причем нередко предвосхищая интерес к ним со стороны ученых. Например, в 1962 году математик Мейко Кван исследовал задачу о дороге, которую должен выбрать почтальон, чтобы пройти по каждой улице и притом кратчайшим путем. Дьюдени же почти на 50 лет ранее сформулировал — и решил — ту же задачу в виде головоломки об инспекторе шахт, которому надо пройти по всем подземным туннелям.

Особого искусства Дьюдени достиг в решении геометрических задач на разбиение, в которых фигура некоторой определенной формы разрезается на куски, после чего они собираются в фигуру другой формы, по тому же принципу, что и танграмы. Дьюдени нашел способ превращения квадрата в правильный пятиугольник путем разбиения его на шесть частей. Его метод стал популярной классикой, ведь ранее, в течение многих лет, считалось, что минимальное разбиение, превращающее квадрат в пятиугольник, требует семи частей.

Разбиение, превращающее квадрат в пятиугольник

Дьюдени также открыл новый способ разбиения правильного треугольника на четыре куска, из которых собирается квадрат. Более того, он придумал, что если эти четыре куска соединить шарнирами, то их можно складывать одним способом в треугольник, а другим — в квадрат. Он назвал получившуюся конструкцию «Головоломкой галантерейщика», потому что формы фигур выглядели как обрезки материи в лавке галантерейщика. Эта головоломка ввела в обиход идею «шарнирного разбиения» и вызвала такой интерес, что Дьюдени изготовил ее из красного дерева с медными шарнирами и в 1905 году выступил с докладом об этой задаче на заседании Королевского математического общества в Лондоне. «Головоломка галантерейщика», жемчужина наследия Дьюдени, до сих пор вызывает восторг математиков.

Головоломка галантерейщика

* * *

Юный канадец Эрик Демейн был одним из тех, на кого «Головоломка галантерейщика» произвела неизгладимое впечатление. Он рос вункеркиндом, и к 20 годам уже стал профессором Массачусетского технологического института. Особенно Демейна заинтересовала «универсальность» проблемы. Он задался вопросом, возможно ли всякую фигуру с прямолинейными сторонами разбить на части, а затем шарнирно соединить эти части друг с другом так, чтобы они сворачивались в любую другую заданную фигуру той же площади с прямолинейными сторонами. Он посвятил работе над этой задачей десять лет и в марте 2008 года (в возрасте 27 лет) объявил о полученном решении перед очень восприимчивой аудиторией — в бальном зале одной из гостиниц в Атланте, где он делал доклад, собрались истинные любители головоломок.

Демейн — высокий и тощий, с пушистой бородкой и собранными в хвост вьющимися темно-русыми волосами — вывел изображение «Головоломки галантерейщика» на большой экран за своей спиной. Он сообщил слушателям, что недавно принял решение взяться за эту задачу вместе со своими аспирантами. «Я не верил, что все это правда», — сказал он. Вопреки ожиданиям, однако, он и его ученики обнаружили, что можно преобразовать любой многоугольник в любой другой многоугольник той же площади, выполняя разбиения в духе «Головоломки галантерейщика». Аудитория зааплодировала — что не так часто случается в высших кругах вычислительной геометрии. Ведь слушатели Демейна стали свидетелями того, как была решена поистине культовая задача! И сделал это блестящий Демейн!

Та конференция в Атланте, называвшаяся «Gathering for Gardner», «Собрание для Гарднера», представляла собой собрание, где в максимальной степени были способны оценить доклад Демейна. Она проводится раз в два года, дабы отдать дань уважения человеку, который во второй половине XX столетия революционизировал занимательную математику. Мартин Гарднер, умерший совсем недавно, в 2010 году, в возрасте 95 лет, вел в 1957–1981 годах ежемесячную математическую колонку в журнале «Scientific American». То был период колоссального научного прогресса — космических полетов, новых информационных технологий, достижений в генетике, — и несмотря на это, внимание читателя неизменно привлекали написанные живым и ясным языком гарднеровские заметки. «По-моему, Гарднер проявлял уважение к веселой стороне математики, на которую редко обращают внимание в математических кругах, — сказал мне Демейн, когда я подошел к нему после его доклада. — Люди все время стараются быть уж очень серьезными. А вот моя цель — найти элемент забавы во всем, что я делаю».

Тогда в Атланте Демейн не стал объяснять подробности своего доказательства универсальности разбиений в стиле «Головоломки галантерейщика», но сказал, что разбиение одного многоугольника, позволяющее сложить из него другой, поворачивая куски на шарнирах, выглядит далеко не всегда симпатично — и часто оказывается малопригодным с практической точки зрения. Демейн сейчас занят приложением своей теоретической работы по шарнирным разбиениям к созданию роботов, которые смогут изменять свою форму, складываясь и раскладываясь, подобно героям книги комиксов и киносериала «Трансформеры», где роботы превращаются в различные машины.

* * *

Та конференция была восьмым по счету «Собранием для Гарднера», или G4G, и ее логотип, придуманный дизайнером Скоттом Кимом, представляет собой перевертыш, или амбиграмму.

После переворачивания вверх ногами она не меняется. Ким — специалист по прикладной математике, переквалифицировавшийся в изобретателя головоломок, — создал стиль симметричной каллиграфии в 1970-х годах. (Одновременно, и совершенно независимо, с художником Лэнгдоном.) Амбиграммы не обязательно должны оставаться неизменными при повороте именно на 180 градусов — подойдет любая симметрия или тайнопись. Математики питают особую любовь к записям такого типа, поскольку они перекликаются с их собственными поисками скрытых структур и симметрий.

На конференции G4G невозможно было отделаться от мысли, что математика отвращает наступление старческого слабоумия. Многим из приглашенных было более 70 лет, а некоторым — за 80 и даже за 90. В течение более полувека Гарднер переписывался с тысячами читателей, многие из них были знаменитыми математиками, а некоторые стали его близкими друзьями. Реймонд Смулльян, которому 88 лет, является ведущим мировым специалистом по логическим парадоксам. Он предварил свое выступление такой фразой: «Прежде чем я начну говорить, позвольте мне кое-что сказать». Стройный, одетый с изящной небрежностью, с мягкими белыми волосами и воздушной бородой, Смулльян часто развлекал гостей конференции, играя на фортепиано в отеле. Кроме того, он показывал волшебные фокусы ничего не подозревающим прохожим, а однажды вечером за ужином заслужил овации, исполнив экспромтом комедийную сценку.

Другой участник конференции — Иван Москович. Ему 82, и он поразительно похож на постаревшего Винсента Прайса — в безупречно строгом темном костюме, со сверкающими глазами, торчащими карандашом усами и шевелюрой зачесанных назад седых волос. Москович — тоже изобретатель головоломок. Он показал мне свое самое последнее творение, получившее название «Ты и Эйнштейн». Его мечта — как и каждого, кто увлечен этим занятием, — состоит в том, чтобы придумать головоломку, которая вызовет новую волну массового помешательства. До сих пор имели место всего четыре всемирных волны лихорадки по поводу головоломок с математическим уклоном: танграмы, игра в пятнашки, кубик Рубика и судоку. Сегодня первенство по прибыльности держит кубик Рубика. С момента его изобретения Эрнё Рубиком в 1974 году было продано более 300 миллионов штук! Помимо чисто коммерческого успеха, этот ярко раскрашенный разноцветный куб оказался неувядающим элементом массовой культуры. Он занимает беспрецедентное положение в мире головоломок, и нет ничего удивительного в том, что его популярность ощущалась и на конференции G4G в 2008 году. Доклад о кубике Рубика в четырех измерениях вызвал бурю аплодисментов.

* * *

Исходно кубик Рубика представлял собой конструкцию из 26 меньших кубиков, собранных в большой куб размером 3 × 3 × 3. Каждый горизонтальный и вертикальный «срез» может независимо вращаться. После того как все цвета граней перемешаны, задача состоит в том, чтобы вращением «срезов» добиться, чтобы каждая сторона куба состояла целиком из квадратиков одного цвета. Всего имеется шесть цветов, по одному для каждой стороны. По мнению Московича, Эрнё Рубик проявил гениальность дважды. Не только сама идея куба была гениальной, но и способ, которым отдельные элементы соединены друг с другом, — выдающееся инженерное решение. Если разобрать кубик Рубика, то оказывается, что внутри нет никаких специальных механических приспособлений, удерживающих отдельные детали вместе, — каждый из кубиков содержит часть центральной сцепляющей сферы.

Кубик Рубика обладает притягательностью и сам по себе. Это платоново тело, то есть трехмерная фигура, обладающая культовым, мистическим статусом по крайней мере со времен Древней Греции. Другое слагаемое успеха состоит в том, что даже достаточная сложность решения этой головоломки не отпугивает людей. Грэм Паркер, строитель из Хэмпшира, трудился без устали на протяжении 26 лет, пока наконец не реализовал свою мечту. «Я пренебрегал многими важными делами ради того, чтобы не выключаться из процесса и продолжать искать решение. Нередко я даже просыпался среди ночи с мыслями об этом, — рассказывал он о проведенных им примерно 27 400 часах за складыванием кубика Рубика. — Когда я наконец поставил последний кусочек на место и каждая грань оказалась окрашена в свой цвет, я разрыдался. Не могу даже передать вам, какое облегчение я испытал». Те, кто решал задачу за более приемлемый отрезок времени, неизменно желали сделать то же самое еще раз, но быстрее. Установление очередного рекорда по складыванию кубика Рубика превратилось в состязание.

После 2000 года соревнования по складыванию кубика Рубика на скорость стали настоящим бумом, и ныне официальные турниры проводятся по всему миру каждую неделю. Чтобы обеспечить достаточную сложность исходного положения, правилами предписано, что кубики должны быть «перемешаны» в соответствии со случайной последовательностью вращений, которая генерируется компьютерной программой. Текущий рекорд в 7,08 секунды был установлен в 2008 году Эриком Аккерсдайком — 19-летним голландским студентом. Аккерсдайк также удерживает рекорд для кубика 2 × 2 × 2 (0,96 секунды), для кубика 4 × 4 × 4 (40,05 секунды) и для кубика 5 × 5 × 5 (1 минута и 16,21 секунды). Он также может собрать кубик Рубика ногами — показанное им время составляет 51,36 секунды и является четвертым результатом в мире. Однако Аккерсдайк далеко не так силен в соревнованиях по сборке кубика Рубика одной рукой (всего лишь 33-е место в мире) или с завязанными глазами (43-е место). Правила для манипуляции с завязанными глазами таковы: время отсчитывается от того момента, как кубик покажут участнику. Он должен изучить его, а затем уже вращать грани с завязанными глазами. Когда, по его мнению, задача решена, он просит судью остановить секундомер. Текущий рекорд в 48,05 секунды установил в 2008 году Вилле Сеппянен из Финляндии. Другие спортивные дисциплины в скоростном складывании кубика Рубика включают решение этой задачи на американских горках, под водой, палочками для еды, во время езды на велосипеде и в свободном падении.

С математической точки зрения наиболее интересно решение задачи за минимально возможное число ходов. Участникам соревнований дают кубик с официально перемешанными цветами и предоставляют 60 минут, чтобы изучить расположение, после чего требуется найти кратчайшую последовательность, ведущую к цели. В 2009 году Джимми Колл из Бельгии установил мировой рекорд — 22 хода. Заметим, что такое число ходов сумел найти очень проницательный человек, которому дали 60 минут на осмотр перепутанного кубика Рубика. Смог бы он предложить решение, состоящее из меньшего числа ходов для той же самой начальной конфигурации, если бы у него было 60 часов? Вопрос по поводу кубика Рубика, который занимал математиков более всего, таков: каково наименьшее n, такое что каждую конфигурацию можно привести в порядок за n или меньшее число ходов? Заметим попутно, что такое n получило прозвище «числа Бога». Нахождение «числа Бога» необычайно сложно потому, что в дело вовлечены очень большие числа. Имеется около 43 × 1018 (то есть 43 с 18 нулями) конфигураций кубика Рубика.

Если кубики в каждой из возможных конфигураций водрузить друг на друга, то получится башня, высота которой в восемь миллионов раз больше расстояния от Земли до Солнца и обратно. Анализ всех конфигураций одной за другой занял бы слишком много времени. Вместо этого математики стали рассматривать подгруппы конфигураций. Томас Рокицки, занимавшийся исследованием этой задачи около 20 лет, проанализировал набор из 19,5 миллиарда конфигураций и нашел способы решения их за 20 или меньшее число ходов. Затем он изучил около миллиона подобных наборов, каждый из которых содержит 19,5 миллиарда конфигураций, и снова нашел, что для решения достаточно 20 ходов. В 2008 году он доказал, что все оставшиеся конфигурации кубика Рубика приводятся к конфигурациям из этих наборов не более чем за два хода, а это значит, что верхняя граница для «числа Бога» равна 22.

Рокицки убежден, что «число Бога» равно 20. «На данный момент я разобрался примерно с 9 процентами всех конфигураций куба, и ни одно из них не потребовало 21 хода. Если и имеются конфигурации, требующие 21 или более ходов, то они исключительно редки». Проблема, стоящая перед Рокицки, не столько теоретическая, сколько логистическая. Просмотр всех возможных конфигураций куба требует невероятного количества компьютерной памяти и компьютерного времени. «Если использовать имеющиеся на данный момент методы, то понадобится около года работы 1000 современных компьютеров, чтобы доказать, что „число Бога“ равно 20», — говорит он.

Математика, присутствующая в кубике Рубика, долгое время была хобби Рокицки. Когда я спросил его, не думал ли он о том, чтобы исследовать математические аспекты других головоломок, например судоку, он отшутился: «И не пытайтесь отвлечь меня всякими другими заманчивыми проблемами. Математика этого кубика — уже достаточно серьезная задача!»

* * *

В один из дней, после обеда, участники конференции перебрались в дом Тома Роджерса, в пригород Атланты. Роджерс — бизнесмен, которому сейчас уже не так мало лет, — организовал первую G4G в 1993 году, а все свое детство был почитателем Гарднера. Исходная идея Роджерса состояла в том, чтобы организовать мероприятие, на котором славившийся своей застенчивостью Гарднер мог бы встречаться со своими поклонниками. Роджерс решил пригласить почитателей трех областей интересов Гарднера — математики, фокусов и головоломок. Конференция имела такой успех, что в 1996 году была организована вторая. Гарднер присутствовал на первых двух, однако впоследствии ухудшившееся здоровье уже не позволяло ему принимать в них участие. Роджерс живет в одноэтажном доме, построенном в японском стиле и окруженном зарослями бамбука, соснами и садом с плодовыми деревьями, которые, когда я туда приехал, утопали в цвету. В саду некоторые гости собирались в команды, чтобы строить геометрические скульптуры из дерева и металла. Другие пытались разгадать головоломки, подсказки к которым были прикреплены к наружным стенам дома.

В доме я встретил Колина Райта — австралийца, который живет в городке Порт-Санлайт на полуострове Уиррал. Мальчишечьи рыжие, непослушные волосы и очки делают его похожим на типичного математика. Райт — жонглер.

— После того как я научился ездить на одноколесном велосипеде, мне показалось совершенно естественным заняться жонглированием, — говорит он.

Райт также поучаствовал в разработке системы математических обозначений для жонглирования. С первого взгляда это может показаться вещью не слишком важной, однако эта система привела международное жонглерское сообщество в сильное возбуждение. Оказалось, что, используя специальный язык, жонглеры смогли придумать новые трюки, которые раньше — на протяжении тысяч лет — даже не приходили им в голову.

— Коль скоро у вас есть язык, на котором вы можете говорить о проблеме, ваш мыслительный процесс сильно облегчается, — замечает Райт, доставая несколько шариков для демонстрации недавно изобретенного фокуса. — Математика — это не только примеры, вычисления и формулы. Математика занимается тем, что разбирает вещи на части, чтобы понять, как они работают.

Я спросил его, не является ли это просто потворством собственным прихотям, нет ли чего-то бесцельного или даже расточительного в том, что лучшие математические умы тратят время, работая над такими несущественными проблемами, как жонглирование, пересчитывание чешуек в сосновых шишках или решение головоломок.

— Математикам нужно предоставить возможность делать то, что они делают, — ответил он. — Даже гений не всегда может предугадать, что и когда окажется полезным.

Он приводит пример кембриджского профессора Г. X. Харди, который в 1940 году громогласно (и с гордостью) заявил, что теория чисел лишена каких бы то ни было практических применений; на самом же деле в наше время эта теория лежит в основе множества программ, обеспечивающих безопасность в Интернете. Райт считает, что математикам часто сопутствует «несуразный успех» — когда они находят применение для с виду бесполезных теорем, причем нередко это случается годы спустя после их открытия.

* * *

Один из самых очаровательных аспектов конференции G4G состоит в том, что всех приглашенных (их 300 человек) просят привезти подарок — «нечто, что вы подарили бы Мартину». На самом деле всех просят привезти подарки в количестве 300 экземпляров, потому что каждый в конце получает мешок, в котором лежат подарки от всех остальных участников. В тот год, когда я был участником конференции, в моем мешке оказались головоломки, приспособления для фокусов, книги, компакт-диски и кусок пластика, издававший звуки, подобные тем, что издает человек, выпивший слишком много кока-колы. Один мешок предназначался Мартину Гарднеру, и я взялся доставить ему его.

Гарднер жил в Нормане, штат Оклахома. В тот день, когда я приехал, в штате свирепствовали ураганные ветры. Съехав с федеральной трассы, я немного поплутал, но наконец нашел нужное место — дом, где живут старики, нуждающиеся в уходе. Рядом располагалась забегаловка, торгующая техасским фастфудом. Дверь в комнату Гарднера была всего в нескольких шагах от входа, нужно было лишь пересечь общий холл, где беседовали несколько престарелых обитателей дома. Рядом с гарднеровской дверью стоял ящик для корреспонденции. Он не пользуется электронной почтой, но посылает и получает писем больше, чем все остальные его соседи, вместе взятые.

Гарднер открыл дверь и пригласил меня войти. На стене висел его портрет, выполненный из домино, большая фотография Эйнштейна и картина Эшера (оригинал). Гарднер был одет в обычную зеленую рубашку и свободные брюки. Мягкое, открытое лицо, на голове — клочья седых волос, а за большими очками в черепаховой оправе притаились внимательные глаза. Было в нем нечто неземное. Он был худощав и сохранил идеальную осанку, потому что работал каждый день, стоя за конторкой.

Я передал ему мешок с подарками от участников G4G и спросил, каково это — чувствовать себя темой конференции.

— Это большая честь для меня, и, признаюсь, я удивлен, — ответил он. — Меня изумляет, насколько она разрослась.

Довольно скоро я понял, что он стесняется говорить о том, насколько он знаменит среди математиков.

— Я не математик, — сказал он. — Я главным образом журналист. За пределами математического анализа я совершенно теряюсь. В этом-то и был секрет успеха моей колонки. Понимание того, о чем я пишу, занимало у меня так много времени, что мне удавалось изложить вопрос так, что большинство читателей тоже были в состоянии это понять.

Любимый предмет Гарднера — фокусы. Он говорил о них как о своем главном хобби. Он выписывал журналы, посвященные фокусам, и — насколько ему позволял его артрит — разучивал их и показывал всем желающим. Он предложил и мне показать фокус, который, по его словам, был единственным изобретенным им самим карточным фокусом, требующим ловкости рук. Фокус назывался «мгновенная перемена цвета», поскольку во время этого фокуса цвет карты меняется моментально. Гарднер взял колоду карт, положил черную карту на ладонь и накрыл колодой. Черная карта немедленно стала красной. Математика увлекла Гарднера через «математические» фокусы, и в молодости он больше общался именно с фокусниками, а не с математиками.

Гарднер сказал, что фокусы нравятся ему потому, что благодаря им люди не перестают испытывать чувство удивления окружающим миром.

— Вы смотрите на левитирующую женщину и понимаете, что это явление столь же чудесно, как и то, что она падает на землю под действием силы тяготения. Ведь сила гравитации столь же таинственна, как и парящая в воздухе женщина.

Я спросил, заставляла ли его математика испытывать такое же чувство удивления.

— Без сомнения, — ответил он, — конечно же да.

Гарднер, вероятно, более всего известен своими книгами, посвященными занимательной математике, но они составляют лишь часть его литературного наследия. Его первая книга называлась «Фантазии и заблуждения» — то была первая популярная книга, посвященная разоблачению псевдонауки. Он много писал на философские темы, а также опубликовал серьезный роман о религии. Созданный им бестселлер — неустаревающий сборник комментариев к книгам Л. Кэрролла «Алиса в Стране чудес» и «Алиса в Зазеркалье». В 93 года он не производил на меня впечатления человека, полностью отошедшего от дел. В планах у него было издание сборника эссе о творчестве Г. К. Честертона и большая книга об играх со словами и в слова.

Благодаря Гарднеру занимательная математика до сих пор пребывает в прекрасной форме. Она восхитительна и разнообразна, а потому по-прежнему дарит радость людям всех возрастов и национальностей, вдохновляя на весьма серьезные свершения и весьма серьезных ученых. Поначалу меня несколько расстроила фраза Гарднера о том, что он не математик, но потом, уже покидая Оклахому, я вдруг подумал о том, насколько блестяще отвечает духу занимательной математики тот факт, что человек, который является ее воплощением, — всего лишь продвинутый любитель.