МАШИНА УМНОЖЕНИЯ
Утверждение. Для того чтобы умножить a × b, необходимо построить на параболе y = x2 прямую из точки x = −а до точки x = b, как показано на рисунке. Прямая линия, соединяющая эти две точки, пересекает ось y в точке a × b.
Доказательство. Примем за истинное следующее утверждение: уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (p, q), имеет вид y – q = (x – p)m, где m — градиент.
Прямая на графике проходит через точки с координатами (−a, a2) и (b, b2).
Градиент этой прямой, который представляет собой отношение расстояния по вертикали к расстоянию по горизонтали, рассчитывается по формуле
, которую можно преобразовать к виду
, затем это выражение можно сократить до (b – a).
Следовательно, уравнение прямой выглядит так:
y – a2 = (x + a) (b – a)
Его можно преобразовать следующим образом:
y – a2 = xb – xa + ab – a2
Члены –a2 можно сократить, после чего останется такое уравнение:
y = xb – xa + ab
Если прямая пересекает вертикальную ось, тогда x = 0, а значит,
y = ab
Другими словами, прямая пересекает ось в точке ab, что равно a × b.