Глава 6

Нужно учитывать природу человека

За очень короткий срок основные математические открытия Кардано и Паскаля стали применять там, где это прежде считалось немыслимым. Сначала Грант, Петти и Галлей использовали понятие вероятности для анализа необработанных данных. Примерно в это же время автор «Логики» Пор-Рояля внес в измерения субъективные элементы, когда написал: «Страх перед ущербом должен быть пропорционален не только величине ущерба, но и вероятности его нанесения».

В 1738 году в «Известиях Императорской Санкт-Петербургской Академии наук» появилась статья с интересным тезисом: «Ценность чего-либо должна иметь основанием не цену, но скорее полезность (utility)». Первоначально статья была представлена Академии в 1731 году под названием «Specimen Theoriae Novae de Mensura Sortis» («Изложение новой теории об измерении риска»).   Автор любил выделять слова курсивом. Это касается и отрывков, приводимых далее.

Можно только гадать, читал ли автор «Логику» Пор-Рояля, но концептуальная связь между двумя текстами бросается в глаза. Это неудивительно: в XVIII веке интерес к «Логике» охватил всю Западную Европу.

Авторы обеих работ исходят из предположения, что процесс принятия любого решения, связанного с риском, имеет два разных, но неразделимых аспекта: объективные факты и субъективные представления относительно желательности выигрыша или проигрыша. И объективные результаты измерения, и субъективная позиция одинаково важны и в отрыве друг от друга не являются самодостаточными.

У каждого из двух авторов свои предпочтения. Автор из Пор-Рояля убежден, что лишь питающий патологическое отвращение к риску человек принимает решения, учитывая только последствия и пренебрегая их вероятностью. Автор «Новой теории» доказывает, что только безумец может основывать свой выбор исключительно на анализе вероятности, не учитывая возможные последствия.

***

Автором санкт-петербургской публикации был швейцарский математик Даниил Бернулли, которому в ту пору исполнилось 38 лет. Хотя имя Даниила Бернулли известно в основном только ученым, его статья является одним из наиболее значительных из когда-либо написанных текстов по проблемам как риска, так и человеческого поведения вообще. Сложные взаимосвязи между измерением и волевыми предпочтениями, на которые он впервые обратил внимание, затрагивают почти все аспекты жизни.

Даниил Бернулли был членом знаменитого семейства. С конца XVII по конец XVIII века восемь Бернулли стали прославленными математиками. Эти люди, как пишет историк Эрик Белл (Bell), произвели «уйму потомков... и большая часть их потомства получила известность, а многие достигли высокого положения — в юриспруденции, литературе, науке, на поприще административной деятельности и в искусстве. В их роду неудачников не было».

Основателем этого клана был Николай Бернулли из Базеля, богатый купец, чьи протестантские предки бежали из католического Антверпена около 1585 года. Николай прожил долгую жизнь с 1623-го по 1708 год и имел троих сыновей: Якоба, Николая (известного как Николай I) и Иоганна. С Якобом мы вскоре встретимся, когда пойдет речь об открытом им законе больших чисел и его книге «Ars Conjectandi» («Искусство предположений»). Стоит добавить, что он был одновременно и крупным педагогом, поучиться у которого стремились студенты со всей Европы, и выдающимся математиком, инженером и астрономом. Статистик Викторианской эпохи Фрэнсис Гальтон описывает его как человека с «желчным и меланхоличным характером... уверенного, но медлительного». Его отношения с отцом были настолько скверными, что он взял себе девиз Invito patre sidera verso (Среди звезд вопреки отцу).

Гальтон не ограничивается язвительной характеристикой одного Якоба. Хотя семья Бернулли служила замечательным подтверждением его теории евгеники, в своей книге «Наследственная одаренность» («Hereditary Genius») он характеризует семью Бернулли в целом как людей «преимущественно сварливых и завистливых».

Похоже, что этими чертами действительно обладало большинство представителей семейства. Младшего брата Якоба, Иоганна, тоже математика и отца Даниила, историк науки Джеймс Ньюмен описывает как «вспыльчивого, бестактного... и при случае нечестного» человека.  Когда Даниил получил премию Французской Академии наук за работу об орбитах планет, отец, сам претендовавший на эту премию, выбросил его из дома. Ньюмер сообщает, что Иоганн дожил до 80 лет, «до конца сохранив и силы, и мерзкий характер».

А ведь был еще сын среднего брата, Николая I, известный как Николай II. Когда дядя Николая II Якоб в 1705 году умер после тяжелой болезни, не успев завершить работу над «Ars Conjectandi», Николай II, которому было в ту пору только восемнадцать, получил предложение подготовить работу к опубликованию. На это ушло восемь лет! В предисловии к изданию Николай II признал, что сильно затянул с изданием книги, и приводил в качестве оправдания «постоянные разъезды» и тот факт, что он был «слишком молод и неопытен для завершения этой работы».

Возможно, промедление пошло на пользу делу — за эти восемь лет он собрал мнения ведущих математиков того времени, включая Исаака Ньютона. Он не только вел активную переписку, но и ездил в Лондон и Париж для личных консультаций с известными учеными. Кроме того, он внес ряд собственных конструктивных математических дополнений, включая анализ использования предположений и теории вероятностей в применении, к юриспруденции.

Для полноты картины отметим, что у Даниила Бернулли был брат пятью годами старше, тоже Николай, которого принято называть Николаем III, считая его деда Николаем без номера, его дядю Николаем I, а его первого старшего кузена Николаем И. Этот Николай III сам был выдающимся ученым и обучал математике Даниила, когда тому было одиннадцать лет. Иоганн поощрял занятия математикой своего старшего сына, Николая III, который к восьми годам говорил на четырех языках, а к девятнадцати уже получил степень доктора философии в Базеле; в 1725 году, когда ему исполнилось тридцать, он стал профессором математики в Санкт-Петербурге и через год умер от какой-то лихорадки.

Даниил Бернулли получил приглашение в Санкт-Петербург одновременно со своим братом Николаем III и оставался там до 1733 года, после чего возвратился в родной Базель и стал профессором физики и философии. Он входил в число первых выдающихся ученых, которых Петр Великий пригласил в Россию в надежде превратить свою новую столицу в интеллектуальный центр Европы. По свидетельству Гальтона, он был «врачом, ботаником, анатомом, специалистом по гидродинамике; не по годам развитым». Кроме того, он был выдающимся математиком и статистиком, проявлявшим особый интерес к теории вероятностей.

Бернулли был типичным представителем своего времени. XVIII век стал веком разума, сменившего страсти бесконечных религиозных войн предыдущего столетия. Когда кровавые войны затихли, на смену неистовству Контрреформации и характерной для искусства барокко эмоциональности пришла тяга к порядку и классическим формам. Уравновешенность и уважение к разуму были отличительными чертами эпохи Просвещения. Совершенно в духе своего времени Бернулли трансформировал мистицизм «Логики» Пор-Рояля в логическую конструкцию, адресованную людям, решениями которых руководит разум.

***

Санкт-петербургская статья Даниила Бернулли начинается с изложения тезиса, который он намеревается атаковать:

«С тех пор как математики занялись измерением риска, было общепринятым следующее предположение: ожидаемое значение случайной величины вычисляется умножением всех возможных значений на число случаев, в которых эти значения могут иметь место, и делением суммы этих произведений на общее число случаев » [10]

Бернулли находит это предположение недостаточным для описания процесса принятия решения в реальной жизни, потому что оно учитывает только факты и игнорирует отношение к вероятным исходам личности, которая должна принять решение в условиях неопределенности. Знания цены и вероятности еще недостаточно для определения ценности исхода. Хотя факты для всех одинаковы, «полезность... в каждом отдельном случае зависит от личности, делающей оценку... Нет оснований предполагать, что... риск, воспринимаемый каждым по-своему, может оцениваться одинаково». Каждому свое.

Понятие полезности постигается интуитивно. Оно ассоциируется с пользой, желательностью или удовлетворением. Понятие, вызывающее неприязнь Бернулли, — «ожидаемое значение» — носит скорее технический характер. Как указывает Бернулли, ожидаемое значение равно сумме произведений значений величины в некотором числе возможных исходов на вероятности этих исходов, деленной на общее число всех возможных исходов. Отметим, что математики вместо термина «ожидаемое значение» до сих пор иногда используют термин «математическое ожидание».

У монеты две стороны, орел и решка, каждая может выпасть с вероятностью 50%, поскольку не могут обе стороны одновременно смотреть вверх. Каков ожидаемый результат бросания монеты? Мы умножаем 50% на один для орла, делаем то же самое для решки, берем сумму — 100% — и делим на два. Ожидаемое значение при бросании монеты равно 50%. Орел и решка выпадают с одинаковой вероятностью.

Каково ожидаемое значение при бросании двух костей? Если мы сложим 11 возможных чисел — 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12, то в сумме получим 77. Ожидаемое значение от бросания двух костей равно 77/11, или ровно 7.

Однако эти 11 чисел выпадают не с одинаковой вероятностью. Как показал Кардано, некоторые числа должны появляться чаще других, потому что при бросании двух костей возможны 36 разных комбинаций двух чисел, которые в сумме дают 11 возможных значений от 2 до 12; например, два получается только при варианте дубль-один, а четыре — в результате трех исходов, а именно: 3 + 1, 1 + З и 2 + 2. Полезная таблица Кардано (с. 70) показывает число комбинаций, дающих каждый из 11 исходов:

Ожидаемое значение, или математическое ожидание, при бросании двух костей равно 7, что соответствует результату нашего предыдущего подсчета 77/11. Теперь ясно, почему семерка играет такую важную роль в игре в крепс.

Бернулли согласен, что такие расчеты хороши для случайных игр, но настаивает на том, что в повседневной жизни дело обстоит иначе. Даже если вероятности известны (упрощение, впоследствии отвергнутое математиками), разумный человек, принимая решение, постарается максимизировать скорее ожидаемую полезность (или степень удовлетворения), чем ожидаемое значение. Ожидаемая полезность вычисляется с использованием тех же методов, что и ожидаемое значение, но оценивается с учетом весомости фактора полезности.

Например, Антуан Арно, почтенный автор «Логики» Пор-Рояля, обвинял людей, боящихся раскатов грома, в переоценке того, насколько мала вероятность попадания в них молнии. Он был не прав. Не они, а он кое-что игнорирует. Факты одни и те же для всех, и даже тот, кто приходит в ужас от первого раската грома, прекрасно осознаёт, насколько мала вероятность попадания молнии именно в то место, где он находится. Ситуацию прояснил Бернулли: люди, боящиеся попадания в них молнии, придают такой вес последствиям этого исхода, что, сколь бы мала ни была его вероятность, само ее наличие способно ужаснуть.

Оценка исхода превалирует над измерением. Порасспросите-ка пассажиров самолета, попавшего несколько раз подряд в воздушные ямы, одинакова ли у них степень беспокойства. Большинство людей прекрасно знают, что в наше время полет на самолете безопаснее езды на автомобиле, но некоторые пассажиры доставят немало хлопот стюардессам, в то время как другие в это время спокойно вздремнут.

И это хорошо. Если бы все стали оценивать риск одинаково, многие благоприятные возможности были бы упущены. Азартные люди предпочитают большую и маловероятную выгоду более вероятной, но малой выгоде. Других мало привлекает вероятность выигрыша, потому что их заветной целью является сохранение того, что у них есть. Один видит солнце, другой ждет грозы. Без авантюристов Земля вращалась бы медленнее. Представьте себе, во что превратилась бы наша жизнь, если бы каждый боялся выходить во время грозы, летать на самолете или вкладывать деньги в новые предприятия. Нам повезло, что люди по-разному относятся к риску.

***

Стоило Бернулли высказать свой основной тезис о том, что люди по-разному оценивают одни и те же значения риска, как он пришел к кардинальной идее: «Польза от небольшого увеличения богатства обратно пропорциональна величине уже имеющегося богатства». Далее он замечает: «Что касается человеческой природы, мне кажется, что предлагаемую гипотезу можно счесть пригодной для понимания поведения многих людей, в отношении которых это сравнение имеет смысл».

Гипотеза о том, что польза от прироста обратно пропорциональна величине уже имеющегося богатства, является одним из величайших интеллектуальных достижений в истории идей. Меньше чем на одной странице процесс вычисления вероятностей превращен в процедуру подключения субъективных соображений к процессу принятия решений в ситуациях с неопределенными исходами.

Бернулли блистательно сформулировал мысль о том, что в отличие от фактов, дающих однозначный ответ на вопрос об ожидаемом значении (факты для всех одни и те же), субъективный процесс оценки этого значения приводит к такому же количеству ответов, сколько людей в нем участвуют. Но и это еще не всё; дальше он предлагает методику подхода к определению того, насколько сильно и много или мало чего-то хочет каждый, принимающий решение: объем и степень пожеланий обратно пропорциональны количеству того, что уже есть.

Впервые в истории Бернулли применил измерение к чему-то, чего нельзя сосчитать. Он обвенчал интуицию с измерением. Кар-дано, Паскаль и Ферма создали метод вычисления риска при бросании костей, но Бернулли подвел нас к рискующему, к игроку, решающему, сколько поставить и ставить ли вообще. Если теория вероятностей рационализирует выбор, то Бернулли определяет мотивацию личности, которая выбирает. Фактически он указал на новый предмет изучения и заложил интеллектуальные основы того, что позднее нашло применение не только в экономической теории, но и в общей теории принятия решений в разных жизненных ситуациях.

***

В своей статье Бернулли приводит ряд интересных примеров, иллюстрирующих его идеи. Самым интригующим и знаменитым из них стал так называемый петербургский парадокс, предложенный его «глубоко почитаемым кузеном, славным Николаем Бернулли» — медлительным издателем «Ars Conjectandi». Николай предложил игру между Петром и Павлом, в которой Петр бросает монету до тех пор, пока не выпадет орел. Петр должен заплатить Павлу один дукат, если орел выпадет в первом броске, два дуката, если орел выпадет во втором броске, четыре — в третьем броске, и так далее. С каждым следующим броском число дукатов, которые Петр должен заплатить Павлу, удваивается. Сколько должен заплатить Павлу за право занять его место в этой игре тот, кто захочет загрести порядочную сумму?

Причину парадокса Бернулли усматривает в том, что «принятый метод вычисления [ожидаемого значения] на деле делает оценку перспектив Павла бесконечно большой, [но] никто не захочет купить [эти перспективы] за достаточно высокую цену... Каждый сколько-нибудь разумный человек с большим удовольствием продаст свой шанс за двадцать дукатов».

Бернулли провел подробный математический анализ проблемы, основанный на предположении, что польза от приращения богатства обратно пропорциональна первоначальному богатству. В соответствии с этим предположением сумма, которую Павел может выиграть на двухсотом броске, принесет ему бесконечно малую добавочную пользу по сравнению с тем, что он должен был накопить к сто первому броску; даже к пятьдесят первому броску у него уже должно быть более 1 000 000 000 000 000 дукатов. (Для сравнения отметим, что национальный долг правительства США составляет ныне в долларах сумму, представляемую четверкой с двенадцатью нулями.)

В дукатах или в долларах, оценка ожиданий Павла долгое время привлекала внимание ведущих математиков, философов и экономистов. В истории математики англичанина Исаака Тодхантера, опубликованной в 1865 году, содержатся многочисленные ссылки на петербургский парадокс и обсуждаются некоторые решения, предложенные математиками за годы, прошедшие после опубликования статьи Бернулли. Между тем многие годы статью Бернулли можно было прочесть только в оригинале на латыни, пока в 1896 году не появился первый немецкий перевод. Внимание математиков к петербургскому парадоксу резко возросло после того, как Джон Мейнард Кейнс сослался на него в своем «Курсе теории вероятности» («A Treatise of Probability»), опубликованном в 1921 году. Но только в 1954 году — через 216 лет после первой публикации — статья Бернулли появилась в английском переводе.

Петербургский парадокс — это нечто большее, чем академическое упражнение в описании и истолковании вероятностных аспектов бросания монеты. Представьте себе крупную растущую компанию со столь блестящими перспективами роста, что они представляются бесконечными. Даже при абсурдном предположении, что мы сможем точно предсказать прибыли компании в бесконечно далеком будущем — обычно мы радуемся, когда это удается на квартал вперед, — какой должна быть цена акций этой компании? Бесконечной?

Бывают моменты, когда серьезные, трезвые, опытные инвесторы подпадают под власть подобных несбыточных надежд, — моменты, когда о вероятностных законах забывают. В конце 60-х и начале 70-х годов нынешнего столетия портфельные менеджеры крупнейших корпораций настолько соблазнились идеей общего роста курсов, и прежде всего роста так называемых акций Nifty-Fifty, что готовы были платить любые деньги за право владения акциями таких компаний, как Xerox, Coca-Cola, IBM и Polaroid. Эти менеджеры усматривали риск не в возможности переплатить за акции Nifty-Fifty, a в опасности их упустить: перспективы роста казались настолько бесспорными, что считалось, что уровень грядущих прибылей и дивидендов, Бог даст, всегда оправдает любую цену. Они считали риск переплаты мизерным по сравнению с риском при покупке акций таких компаний, как Union Carbide или General Motors, чьи перспективы казались неопределенными из-за цикличности котировок и жесткой конкуренции.

Ажиотаж дошел до того, что в конце концов рыночная цена таких мелких компаний, как International Flavors и Flagrances, с объемом годовых продаж всего 138 миллионов долларов сравнялась с ценой «менее обаятельных» гигантов типа U.S. Steel с годовым объемом сбыта в 5 миллиардов долларов. В декабре 1972 года акции Polaroid шли по цене, в 96 раз превышающей прибыль на акцию за 1972 год, акции McDonald's — в 80 раз, акции IFF — в 73 раза; в то же время акции индекса Standard & Poor's 500 в целом шли по цене, только в 19 раз превышающей величину прибыли на акцию. При этом в среднем дивиденды на акцию Nifty-Fifty не достигали и половины среднего уровня дивидендов на акции индекса Standard & Poor's 500.

Этот специфический пудинг надо было съесть, чтобы понять, насколько он горек на вкус. На деле ослепительные перспективы оказались весьма скромными. К 1976 году цены на акции IFF снизились на 40% , а котировка акций U. S. Steel выросла в два с лишним раза. Доход акционеров компаний, входящих в индекс S&Р 500, к концу 1976 года превысил предыдущее пиковое значение, а акции компаний Nifty-Fifty до июля 1980 года не могли обеспечить уровень доходов, достигнутый в 1972 году. Хуже того, с 1976-го по 1990 год эффективность равновзвешенного портфеля акций Nifty-Fifty была значительно ниже, чем у индекса S&Р 500.

Но как можно инвестировать с расчетом на бесконечность? Джереми Сигел (Siegel), профессор Уортонской школы бизнеса в Пенсильванском университете, подробно просчитал эффективность акций Nifty-Fifty с конца 1970 года по конец 1993-го. Равновзвешенный портфель из пятидесяти акций Nifty-Fifty, даже купленных в момент пика в декабре 1972 года, принес к концу 1993 года совокупный доход, почти на один процентный пункт меньший, чем индекс S&Р 500. Если бы этот портфель купили двумя годами раньше, в декабре 1970 года, доходность портфеля опережала бы доходность индекса S&Р 500 на один процентный пункт в год. Да и в нижней точке спада в 1974 году отрицательный разрыв между внутренней стоимостью и рыночной ценой был бы меньше.

Для поистине терпеливых людей, которые лучше всего себя чувствуют, имея акции известных и солидных компаний, с чьей продукцией они сталкиваются в быту, инвестиции в Nifty-Fifty могли бы принести известную пользу. Но этот портфель показался бы малопривлекательным для не столь терпеливых инвесторов, кому не понравилось бы иметь портфель из 50 акций, 5 из которых в течение двадцати одного года приносили бы только убытки, 20 приносили бы меньше, чем можно заработать на 90-дневных казначейских векселях, и только 11 приносили бы больше, чем индекс S&Р 500. Но, как сказал бы за стаканом вина сам Бернулли, человек получает то, на что он ставит.

***

Бернулли ввел еще одно новое понятие, которое современные экономисты считают движущей силой экономического развития, — человеческий капитал. Понятие выросло из определения богатства как «чего угодно, что может содействовать адекватному удовлетворению каких-либо желаний... В этом смысле никто не может сказать, что у него ничего нет, пока он не умер от голода».

Какие формы принимает богатство большинства людей? Бернулли говорит, что материальные активы и финансовые права представляют собой меньшую ценность, чем способность к продуктивной деятельности, даже если это умение нищенствовать. Он утверждает, что человек, умеющий добыть 10 дукатов в год за счет подаяния, по-видимому, отказался бы от вознаграждения в 50 дукатов в обмен на отказ от сбора милостыни в будущем: потратив эти 50 дукатов, он не знал бы, на что жить. Но должна же быть какая-то сумма, за которую он согласился бы навсегда отказаться от сбора милостыни? Если для этого достаточно, к примеру, 100 дукатов, «мы можем сказать, что состояние нищего оценивается в 100 дукатов».

Сегодня мы рассматриваем идею человеческого капитала — совокупность образования, природных талантов, квалификации и опыта, являющуюся источником будущего заработка, — как основополагающую для понимания важнейших аспектов мировой экономики. Человеческий капитал играет ту же роль для наемного работника, какую семена и сельскохозяйственные орудия для фермера. Несмотря на огромный прирост материального богатства с 1738 года, для огромного большинства людей человеческий капитал все еще остается главным источником дохода. Если бы это было не так, к чему столь многим кормильцам вкладывать заработанные тяжелым трудом деньги в страхование жизни?

Для Бернулли случайные игры и абстрактные проблемы были только средствами для иллюстрации его основного довода, касающегося стремления к богатству и использованию благоприятных возможностей. Он акцентирует внимание скорее на процессе принятия решений, чем на математических тонкостях теории вероятностей. Он сразу провозглашает, что хочет установить «правила, которыми сможет руководствоваться всякий, желающий уяснить свои перспективы в рискованных предприятиях, связанных с определенными финансовыми обстоятельствами». Эти слова являются зерном для мельницы любого современного финансиста, менеджера и инвестора. Риск перестал быть просто столкновением с независящими от нас обстоятельствами; теперь его понимают как набор возможностей, открытых для выбора.

Используемое Бернулли понятие пользы наряду с его утверждением об обратной зависимости между степенью удовлетворенности определенным приращением богатства и объемом наличного богатства было настолько здравым, что оказало весомое влияние на работы крупных мыслителей последующих поколений. Понятие полезности легло в основу закона спроса и предложения — впечатляющего достижения экономистов Викторианской эпохи, которое стало исходным пунктом для понимания того, как функционируют рынки и как покупатели и продавцы договариваются о цене. Понятие полезности оказалась столь продуктивным, что в последующие двести лет превратилось в основной инструмент объяснения процесса принятия решения и теории выбора в областях, весьма далеких от финансовых операций. Теория игр — изобретенный в XX веке подход к принятию решений в войне, политике и бизнесе — сделала понятие полезности неотъемлемой частью единого системного подхода.

Понятие полезности оказало решающее влияние на психологию и философию, потому что Бернулли предложил стандарт для оценки разумности человеческого поведения. Например, люди, для которых полезность богатства растет вместе с его ростом, считаются большинством психологов и моралистов невротиками; алчность не привлекала Бернулли, не вписывается она и в современные представления о рациональности.

Теория полезности требует от разумного человека способности оценивать полезность при любых обстоятельствах и, руководствуясь этой оценкой, делать выбор и принимать соответствующие решения — высокая планка, если учесть, что нам всю жизнь приходится действовать в условиях неопределенности. Работа явно нелегкая, даже если, как предполагал Бернулли, факты для всех одни. Но во многих случаях факты все-таки не для всех одинаковы. У каждого своя информация, и к тому же каждый склонен окрашивать ее по-своему. Даже самые разумные люди часто не могут договориться о том, что значат те или иные факты.

Каким бы современным ни казался Бернулли, он был типичным представителем своего времени. Его понимание разумности человеческого поведения прекрасно вписывается в интеллектуальную обстановку эпохи Просвещения. Это было время, когда писатели, художники, композиторы и политические философы обратились к классическим формам и идее порядка и утверждали, что накопление знаний поможет человечеству проникнуть в тайны бытия. В 1738 году, когда появилась статья Бернулли, Александр Поп был на вершине славы. Его поэмы полны ссылок на классиков и предостережений, что «невежество опасно» и что «для понимания человечества нужно изучать человека». Вскоре Дени Дидро начал работу над 28-томной энциклопедией, а Сэмюэл Джонсон уже завершал создание первого словаря английского языка. Неромантические взгляды Вольтера на общество завоевывали умы европейцев, а Гайдн в 1750 году определил классические формы симфонии и сонаты.

Безудержный оптимизм философии Просвещения ярко проявился в Декларации независимости и оказал решающее влияние на Конституцию Соединенных Штатов Америки. Но, увы, их пример и идеи эпохи Просвещения подвигли народ Франции на казнь королевской семьи и на коронацию в алтаре собора Нотр-Дам идола Разума.

***

Мысль о том, что каждый из нас, даже самый разумный, имеет собственный набор ценностей и реагирует на ситуации в соответствии с этим набором, была смелой новацией Бернулли, но его одаренность проявилась и в понимании необходимости пойти дальше. Сформулировав тезис о том, что полезность благ обратно пропорциональна их наличному количеству, он открыл нам поразительный путь к пониманию того, как человек в условиях риска делает выбор и принимает решения.

По мнению Бернулли, наши решения имеют определенную и предсказуемую структуру. В рациональном мире мы все хотели бы быть не бедными, а богатыми, но интенсивность нашего желания разбогатеть определяется тем, насколько мы богаты в данный момент. Много лет назад один из моих клиентов, которого я консультировал по поводу инвестиций, при первой же встрече погрозил мне пальцем и предупредил: «Помните, молодой человек, Вы не должны делать меня богатым. Я уже богат!»

Логическим следствием прозрений Бернулли явилось совершенно новое восприятие риска. Если удовлетворение, получаемое от каждого последующего приращения богатства, меньше, чем от первого, то ущерб от проигрыша будет всегда превышать полезность от равного по размерам выигрыша. Мой клиент имел в виду именно это.

Представьте себе богатство в виде штабеля, в основании которого большой брусок, а поверх него чем выше, тем всё меньшие бруски. Каждый брусок, снятый с вершины, будет больше, чем брусок, который вы могли бы на него положить. Ущерб от потери бруска больше, чем польза от добавления еще одного.

Бернулли приводит такой пример: два человека, у каждого по 100 дукатов, решили сыграть в азартную игру, скажем в орлянку, с шансами выигрыша или проигрыша 50 на 50. Каждый ставит на кон 50 дукатов, то есть у каждого равные шансы закончить игру со 150 или с 50 дукатами.

Станет ли разумный человек играть в такую игру? Математическое ожидание для суммы, которой будет обладать каждый после такой игры с равными шансами, те же 100 дукатов (сумма 150 + 50, деленная на 2), с которыми каждый игрок начинал игру. Для каждого ожидаемое значение такое же, как если бы они вообще не садились играть.

Предложенная Бернулли концепция полезности выявляет асимметрию, объясняющую непривлекательность такой игры. Весомость потери 50 дукатов в случае проигрыша выше, чем весомость приобретения 50 дукатов в случае выигрыша. Так же как с кучей брусков, огорчений от потери 50 дукатов больше, чем радости от выигрыша такой же суммы. . В математическом смысле, если оценивать игру с нулевой суммой с позиций полезности, — это проигрышная игра. Обоим было бы лучше отказаться от такой игры.

Бернулли использует пример, чтобы убедить игроков в том, что они окажутся в убытке даже при честной игре. Этот пессимистический вывод он выражает следующими словами:

«Разумнее вообще не играть в кости... Каждый, участвующий частью своего состояния в случайной игре с равными шансами, поступает неразумно... Опрометчивость игрока возрастает с возрастанием части его состояния, на которую он ставит в случайной игре»

Большинство из нас согласится с Бернулли, что с точки зрения полезности азартная игра всегда проигрышна. Мы, как говорят психологи, «не предрасположены» или «не склонны» к риску. Смысл этого выражения достаточно любопытен.

Вообразите, что вам нужно сделать выбор: получить в подарок 25 долларов или сыграть в игру, в которой вы имеете равные шансы или выиграть 50 долларов, или не выиграть ничего. Математическое ожидание результата игры равно 25 долларам, то есть равноценно подарку, но результат не определен. Нерасположенный к риску человек предпочтет игре подарок. Впрочем, у каждого свое отношение к риску.

Вы можете оценить степень собственной предрасположенности к риску, узнав свой «эквивалент определенности». Каким должно быть математическое ожидание в игре, которую вы предпочли бы подарку? Может быть, 30 долларов, что означало бы, что вы имели бы равные шансы выиграть 60 долларов или ничего? Тогда математическое ожидание выигрыша в 30 долларов будет эквивалентно подарку в 25 долларов. Но может быть, вы согласитесь играть, когда математическое ожидание равно только 26 долларам. Вы можете оказаться в душе рисковым человеком и предпочесть игру с математическим ожиданием, меньшим 25 долларов, т. е. меньшим, чем гарантированная ценность подарка. Такое возможно, например, в игре, в которой вы можете выиграть 40 долларов, если выпадет решка, или остаться ни с чем, если выпадет орел, а математическое ожидание составит только 20. Но большинство людей все-таки предпочло бы игру, в которой ожидаемый выигрыш несколько превышал бы предложенные в примере 50 долларов. Популярные лотереи представляют собой интересное исключение из этого правила, потому что в большинстве лотерей установленная прибыль устроителей настолько велика, что они оказываются чудовищно несправедливыми по отношению к игрокам.

Здесь вступает в действие важный принцип. Предположим, ваш биржевой маклер рекомендовал вам вложить деньги во взаимный инвестиционный фонд, который инвестирует в самые мелкие компании рынка. За последние 69 лет акции 20% самых мелких компаний фондового рынка давали в среднем 18% ежегодного дохода (рост котировок плюс дивиденды). Вообще говоря, это неплохо. Но зато эта часть рынка отличается нестабильностью: для двух третей акций в этом сегменте рынка прибыльность колебалась от -23% до +59%; почти каждый третий год случались убытки и составляли в среднем 20%. Поэтому, несмотря на высокую среднюю прибыльность этих акций в длительной перспективе, для каждого отдельно взятого года ситуация представляется в высшей степени неопределенной.

Предположим теперь, что другой маклер предложил в качестве альтернативы покупку 500 акций Standart & Poor's Composite Index. Средний годовой доход по этим акциям за последние 69 лет составил 13%, но две трети времени его колебания были ограничены более узким диапазоном от -11% до +36%, причем отрицательные значения в соответствующие годы составили в среднем 13%. Предполагая, что в будущем все будет происходить приблизительно так же, как в прошлом, и учитывая, что у вас может не оказаться 70 лет, чтобы оценить свой выбор, удовлетворит ли вас первый вариант с более высоким ожидаемым средним доходом, но и более сильными колебаниями? Какой из двух вариантов вы выберете?

***

Даниил Бернулли преобразил сцену, на которой разыгрывается драма взаимодействия с риском. Предложенное им описание того, как люди используют измерения и собственный темперамент в процессе принятия решений в условиях неопределенности, явилось впечатляющим достижением. Как он сам с удовлетворением отметил в своей статье, «поскольку все наши предположения полностью согласуются с опытом, было бы ошибкой отвергнуть их как абстракции, опирающиеся на сомнительные гипотезы».

Спустя два столетия мощная критическая атака доказала, что в своих предположениях Бернулли все-таки не достиг полного соответствия опыту, главным образом потому, что его гипотезы о разумности человека оказались более произвольными, чем мог предположить этот человек эпохи Просвещения. Но до этого последнего критического натиска на протяжении двух столетий после опубликования статьи Бернулли понятие полезности оставалось в центре философских дебатов о разумности человеческого поведения. Сам он вряд ли мог предположить, как долго это понятие будет занимать представителей последующих поколений. Правда, в этом была заслуга ученых, которые пришли к нему самостоятельно, не подозревая о новаторской работе Бернулли.

 

Глава 7

В поисках практической достоверности

Шла Вторая мировая война. Зимней ночью во время одного из налетов немецкой авиации на Москву известный советский профессор статистики неожиданно появился в своем дворовом бомбоубежище. До тех пор он никогда туда не спускался. «В Москве семь миллионов жителей, — говаривал он. — Почему я должен ожидать, что попадут именно в меня?» Удивленные друзья поинтересовались, что заставило его изменить свою точку зрения. «Подумать только! — воскликнул он. — В Москве семь миллионов жителей и один слон. Прошлой ночью они убили слона».

Это современный вариант рассматриваемого в «Логике» Пор-Рояля примера с боязнью грозы, хотя и отличается от него мотивацией личностной установки в условиях риска. Здесь профессор превосходно понимал, насколько мала математическая вероятность попасть под бомбу. Его поведение наглядно иллюстрирует двойственный характер всего, что связано с вероятностью: частота события в прошлом вступает в конфликт с эмоциональной оценкой действительности и влияет на выбор поведения в условиях риска.

Смысл истории этим не исчерпывается. Она перекликается с подходом Гранта, Петти и Галлея: если точное знание будущего и даже прошлого недостижимо, какова достоверность имеющейся у нас информации? Что важнее для принятия решения: семь миллионов москвичей или погибший слон? Как мы должны оценивать добавочную информацию и как включать ее в оценки, базирующиеся на исходной информации? Является ли теория вероятностей математической забавой или серьезным инструментом прогнозирования?

Теория вероятностей является серьезным инструментом прогнозирования, но при пользовании им нельзя забывать о том, что, как говорится, дьявол в мелочах, что все зависит от качества информации, на основе которой вероятность оценивается. Эта глава посвящена осуществленной в течение XVIII столетия последовательности гигантских шагов, революционизировавших использование информации и определивших методологию применения теории вероятностей в задачах выбора и принятия решений в современном мире.

***

Впервые изучением связей между вероятностью события и качеством исходной информации занялся второй из старших Бернулли — Якоб (1654-1705), дядя известного Даниила Бернулли. Он был еще ребенком, когда Паскаль и Ферма высказали свои замечательные математические идеи, и умер, когда его племяннику Даниилу едва исполнилось пять лет. Талантливый, как все Бернулли, он был современником Исаака Ньютона и, обладая свойственным всем Бернулли сложным и самолюбивым характером, считал себя соперником великого английского ученого.

Сама по себе постановка Якобом обсуждаемого вопроса, даже если отвлечься от предложенных им ответов, была научным подвигом. По его признанию, он размышлял над этой проблемой двадцать лет и окончил посвященный ей труд незадолго до смерти, последовавшей в 1705 году.

Якоб был самым мрачным из Бернулли, особенно к концу жизни, несмотря на то что он жил в веселые и легкомысленные времена, наступившие в Англии после реставрации монархии в 1660 году и восшествия на престол Карла II, когда, например, один из его весьма известных современников Джон Арбутнот, лекарь королевы Анны, член Королевского общества и математик-дилетант, занимавшийся проблемами вероятности, считал уместным для иллюстрации содержащихся в своих опусах положений сдабривать их фривольными примерами, обсуждая вероятность того, что «женщина в двадцатилетнем возрасте сохранила девственность» или что «лондонский щеголь того же возраста не болен триппером».

В 1703 году Якоб Бернулли впервые поставил вопрос о зависимости получаемого значения вероятности от выборки. В письме к своему другу Лейбницу он заметил, что ему кажется странным, что нам известна вероятность выпадения семи, а не восьми очков при игре в кости, но мы не знаем, с какой вероятностью двадцатилетний переживет шестидесятилетнего. Не следует ли нам, спрашивает он, для ответа на этот вопрос подвергнуть исследованию множество пар людей всех возрастов?

Отвечая Бернулли, Лейбниц пессимистически оценил этот подход. «Природа установила шаблоны, имеющие причиной повторяемость событий, — пишет он, — но только в большинстве случаев. Новые болезни захлестнули человечество, так что не имеет значения, сколько опытов вы провели над трупами, — на их основе вам не установить таких границ природы событий, чтобы в будущем не осталось места вариациям». Хотя письмо Лейбница написано на латыни, выражение «но только в большинстве случаев» он написал по-гречески: ως επι το πολυ. Очевидно, этим он хотел подчеркнуть, что конечное число опытов, предлагаемое Якобом, с неизбежностью окажется недостаточным для точного исчисления замыслов природы .

Реакция Лейбница не обескуражила Якоба, но внесла коррективы в его подход к решению проблемы. Лейбницево предупреждение по-гречески не прошло даром.

Усилия Якоба определить вероятность на основе обследования выборки данных нашли отражение в его «Ars Conjectandi», работе, которую его племянник Николай полностью опубликовал через восемь лет после смерти автора в 1713 году. Интерес Якоба сосредоточен на том, чтобы показать, где метод логического вывода — объективный анализ данных — кончается и начинается другой метод — прогнозирование на основе вероятностных законов. В известном смысле здесь прогнозирование рассматривается как процесс восстановления целого по части.

Якоб начинает свой анализ с констатации того, что в теории вероятностей для принятия гипотезы о возможности события «необходимо только подсчитать точное число возможных событий и затем определить, насколько наступление одного события более вероятно, нежели наступление другого». Трудность, на которую он постоянно указывает, заключается в том, что использование вероятности ограничено почти исключительно случайными играми. С этой точки зрения достижения Паскаля представляются не более как интеллектуальной забавой.

Для Якоба это ограничение имеет принципиальное значение, о чем свидетельствует его рассуждение, созвучное Лейбницеву предупреждению:

«Но кто из смертных... может установить число болезней, подсчитав все, причиняющие страдания человеческому телу... и насколько фатальный исход от одной болезни более вероятен, чем от другой — от чумы или от водянки... от водянки или от лихорадки, — и на этой основе сделать предсказания о соотношении жизни и смерти для будущих поколений?

...Кто может претендовать на столь глубокое проникновение в природу человеческого духа и изумительную структуру тела, чтобы в играх, результат которых зависит от... остроты ума или физической ловкости игроков, рискнуть предсказать, кто из игроков выиграет и кто проиграет?»

Якоб указывает на принципиальное отличие между реальностью и абстракцией при использовании вероятностных законов. Например, предложенное Пацциоли рассмотрение незавершенной игры в balla, как и пример с гипотетическим неоконченным турниром на первенство по бейсболу, о котором у нас шла речь при обсуждении треугольника Паскаля, не имеет ничего общего с реальными жизненными ситуациями. В реальной жизни игроки в balla, как и участники бейсбольного турнира, обладают различной «остротой ума и физической ловкостью» — качествами, которые я игнорировал в приведенных ранее упрощенных примерах использования законов вероятности для предсказания событий. Треугольник Паскаля дает только намек на исход игры в реальных условиях.

Теория может определить вероятность тех или иных исходов для игры в казино или лотереи — здесь нет необходимости вращать колесо рулетки или считать лотерейные билеты, чтобы определить характер результата, но в реальной жизни важна относящаяся к делу информация. Беда в том, что мы никогда не обладаем ей в нужном объеме. Природа устанавливает шаблоны, но «только в большинстве случаев». В теории, которая абстрагируется от природы, дело обстоит проще: мы или имеем необходимую информацию, или не нуждаемся в ней. Как сказал цитированный в введении Фишер Блэк, мир выглядит более упорядоченным с территории Массачусетского технологического института, чем в перспективе хаотического бурления Уолл-стрит.

В нашем обсуждении гипотетической игры в balla и воображаемого бейсбольного турнира статистика игр, физические способности и интеллектуальное развитие игроков не имели отношения к делу. Игнорировалась даже сама природа игры. Теоретический подход полностью подменял конкретную информацию.

В реальности фанатики бейсбола, как и брокеры фондовой биржи, собирают массу статистических данных, потому что эта информация необходима им для оценки класса игроков и команд или для оценки будущей прибыльности акций. И даже заключения экспертов с вероятностными оценками конечных результатов, полученные на основе обработки тысяч фактов, и в спорте и в финансах оставляют место сомнениям и неопределенности.

Треугольник Паскаля и все предшествующие работы по теории вероятностей отвечали только на один вопрос: какова вероятность того или иного отдельного события. Ответ на этот вопрос в большинстве случаев имеет ограниченную ценность, поскольку чаще всего он мало что дает для оценки ситуации. Что на деле даст нам знание того, что игрок А имеет 60% шансов победить в отдельной партии в balla? Можно ли на этом основании утверждать, что он способен победить игрока В в 60% партий? Ведь победы в одном турнире недостаточно для этого утверждения. Сколько раз должны сыграть А и В, чтобы мы могли убедиться, что А играет лучше, чем В? Что говорит нам результат бейсбольного турнира этого года о вероятности того, что победившая команда является самой сильной вообще, а не только в этом году? Что говорит высокий процент смертности от рака легких среди курильщиков о вероятности того, что курение раньше срока сведет в могилу именно вас? Свидетельствует ли смерть слона о целесообразности спускаться в бомбоубежище при налетах?

Реальные жизненные ситуации часто требуют от нас определения вероятности вполне определенного исхода на пути заключения от частного к общему. В жизни очень редко встречаются задачи, сводящиеся к чистой игре случая, для которых можно определить вероятность исхода до изучения ряда событий — a priori, как сказал бы Якоб Бернулли. В большинстве случаев мы вынуждены определять вероятности на основе имеющихся данных после ряда происшедших событий — a posteriori. Само понятие a posteriori предполагает эксперимент и измерение степени уверенности. В Москве семь миллионов жителей, но после гибели слона от фашистской бомбы профессор решил, что пришло время спускаться в бомбоубежище.

***

Вклад Якоба Бернулли в решение проблемы определения вероятности на основе информации об ограниченном наборе реальных событий был двояким. С одной стороны, он сформулировал задачу в этом виде в то время, когда никто еще даже не усматривал необходимости ее постановки. С другой — он предложил решение, зависящее только от одного необходимого условия: мы должны предположить, что «при равных условиях наступление (или не наступление) события в будущем будет следовать тем же закономерностям, какие наблюдались в прошлом».

Это допущение чрезвычайно важно. Якоб мог сетовать на то, что в реальной жизни информация очень редко оказывается достаточно полной, чтобы применять простые вероятностные законы для предсказания результатов. Но он признаёт, что оценка вероятностей постфактум также невозможна, пока мы не примем предположения, что прошлое является прообразом будущего. Трудность этого предположения не требует пояснений.

Какие бы данные мы ни отбирали для анализа, прошлое остается лишь фрагментом реальности. Эта фрагментарность играет решающую роль при переходе от ограниченного набора данных к обобщению. Мы никогда не имеем (или не можем позволить себе собрать) всей информации, в которой нуждаемся, чтобы обладать той же уверенностью, с какой без тени сомнения утверждаем, что у игральной кости шесть граней с нанесенными на каждую разными цифрами или что у колеса европейской рулетки 37 лунок (у американской 38) с разными числами против каждой. Реальность представляет собой серию взаимосвязанных событий, зависимых друг от друга, и принципиально отличается от случайных игр, в которых результат каждой отдельной игры не влияет на результат последующей. В случайных играх все сводится к определенным числам, а в реальной жизни мы чаще используем приблизительные оценки — «мало», «много» или «не очень много», а не точные количественные величины.

Якоб Бернулли невольно определил содержание оставшейся части моей книги. С этого момента разговор об управлении риском будет сводиться к использованию трех его основополагающих предположений — полнота информации, независимость испытаний и надежность количественных оценок. В каждом отдельном случае вопрос о правомерности этих предположений является главным для решения вопроса о том, насколько успешно мы можем использовать измерения и информацию для прогнозирования будущего. По существу, эти предположения определяют наш взгляд на прошлое: можем ли мы объяснить происшедшее, или при описании события следует прибегнуть к понятию чистой случайности (что, иначе говоря, означало бы, что мы не имеем объяснения)?

***

Несмотря на все трудности, нам приходится иногда осознанно, чаще неосознанно предполагать, что перечисленные Якобом необходимые условия выполняются, даже если нам достаточно хорошо известны отличия реальности от идеального случая. Наши ответы могут быть неточными, но описанная в этой главе методология, разработанная Якобом Бернулли и другими математиками, просто принуждает нас заняться определением вероятности будущих событий на основе ограниченных наборов данных о прошлых событиях.

Теорема Якоба Бернулли о вычислении вероятности a postetiori известна как закон больших чисел. Вопреки распространенной точке зрения этот закон не дает метода оценки наблюдаемых фактов, которые являются лишь несовершенным отображением явления в целом. Не следует из него и утверждение, будто увеличение числа наблюдений влечет за собой возрастание вероятности совпадения того, что мы видим, с тем, что мы исследуем. Закон не является и средством улучшения качества тестов: Якоб не забыл замечание Лейбница и отверг свои первоначальные идеи о поиске четких ответов на основе эмпирических тестов.

Якоба интересовало другое определение вероятности. Предположим, вы подбрасываете монету. Закон больших чисел не утверждает, что среднее число выпадений орла будет приближаться к 50% при увеличении числа бросков; простые вычисления дадут вам этот ответ и избавят от утомительного подбрасывания монеты. Закон, скорее, утверждает, что при увеличении числа бросков будет возрастать вероятность того, что процент появлений орла в общем числе бросков будет отличаться от 50% на величину, меньшую сколь угодно малой заданной величины. В слове «отличаться» все дело. Речь идет не об истинности значения 50%, а о вероятности того, что отклонение наблюдаемого среднего значения вероятности от расчетного будет меньше, чем, скажем, 2%, — другими словами, что с увеличением числа бросков эта вероятность будет возрастать.

Это не означает, что при бесконечном числе бросков отклонений не будет; Якоб явным образом исключает этот случай. Не означает это и того, что отклонение будет с необходимостью становиться пренебрежимо малым. Закон лишь утверждает, что среднее значение при большом числе бросков будет с большей, чем при малом числе бросков, вероятностью отличаться от истинного среднего на величину, меньшую наперед заданной. Но всегда останется возможность того, что наблюдаемый результат будет отличаться от истинного среднего на величину, большую некоей заданной. Семи миллионов жителей Москвы оказалось недостаточно для профессора статистики.

Закон больших чисел не надо путать с законом о среднем. Математики говорят нам, что вероятность выпадения орла при одном бросании монеты составляет 50%, — но результат каждого броска не зависит от всех остальных. Он не зависит от результата предшествующих бросков и не влияет на результаты последующих. Следовательно, закон больших чисел не утверждает, что вероятность выпадения орла для отдельного броска станет выше 50%, если в первых ста или миллионе бросков только в 40% случаев выпал орел. Закон больших чисел отнюдь не обещает, что вы отыграетесь после серии проигрышей.

Для иллюстрации закона больших чисел Якоб предложил мысленный эксперимент с кувшином, наполненным 3000 белых камешков и 2000 черных, ставший с тех пор очень популярным среди специалистов по теории вероятностей и авторов математических головоломок. Он оговаривает, что нам должно быть неизвестно, сколько камешков каждого цвета в кувшине. Мы по одному вынимаем камешки из кувшина, фиксируем цвет каждого из них и возвращаем обратно в кувшин. Из факта, что по мере возрастания числа обследованных таким образом камешков мы получаем «практическую достоверность» (moral certainty) — имеется в виду достоверность в обыденном смысле слова, а не абсолютная достоверность — того, что число белых и число черных камешков будут соотноситься как 3:2, Якоб заключает, что «мы можем определить это соотношение a posteriori с почти той же точностью, как если бы оно было известно нам a priori» [6] . Его расчеты показывают, что 25 550-кратного вытаскивания камешков из кувшина будет достаточно, чтобы с вероятностью, превышающей 1000/1001, утверждать, что результат будет 3/2 с точностью 2%. Это и есть ваша практическая достоверность.

Якоб не использует выражение «практическая достоверность» необдуманно. Оно покоится на его определении вероятности, позаимствованном из одной ранней работы Лейбница. «Вероятность, — утверждает он, — это степень достоверности и отличается от абсолютной достоверности как часть отличается от целого».

Но Якоб идет дальше Лейбница в обсуждении того, что означает понятие «достоверность». Наше индивидуальное суждение о достоверности — вот что привлекает внимание Якоба: условие практической достоверности имеет место, если мы почти абсолютно убеждены в верности суждения. Когда Лейбниц вводил это понятие, он определил его как «бесконечную вероятность». Сам Якоб удовлетворяется вероятностью 1000/1001, но он хочет подстраховаться: «Было бы полезным, если бы должностные лица установили пределы практической достоверности».

***

Якоб торжествует. Отныне, утверждает он, мы можем делать предсказания о любых неопределенных величинах с той же степенью научной обоснованности, как и предсказания в случайных играх. Он перевел вероятность из сферы теории в мир реальности:

«Если вместо кувшина мы обратимся, например, к атмосфере или человеческому телу, в котором таится множество самых разных процессов или болезней, как камешков в кувшине, то на основе наблюдений мы сможем определить, насколько наступление одного события более вероятно, чем наступление другого» [9]

Однако, как оказалось, с кувшином у Якоба не обошлось без хлопот. Расчет, показавший необходимость 25 550 испытаний для получения практической достоверности, должен был ужаснуть его неприемлемой величиной этого числа; в те времена население его родного города Базеля было меньше 25 550 человек. Судя по тому, что именно на этом месте его книга обрывается, можно предположить, что он растерялся и не знал, как быть дальше. Приходилось делать вывод, что трудно найти в реальной жизни случаи, в которых все наблюдения удовлетворяли бы требованию независимости друг от друга:

«Таким образом, если все события вечно повторяются, приходится признать, что всё в мире происходит по определенным причинам в соответствии с определенными правилами, и мы вынуждены предположить относительно наиболее явно случайных вещей наличие некоей необходимости, или, иначе говоря, РОКА» [10]

Тем не менее его кувшин с камешками заслужил бессмертие. Эти камешки стали инструментом в первой попытке измерить неопределенность — точнее, определить ее — и вычислить вероятность того, что эмпирически определенное значение случайной величины близко к истинному, даже если истинное значение неизвестно.

***

Якоб Бернулли умер в 1705 году. Его племянник Николай — Николай Медлительный — продолжил исследования дяди, связанные с определением вероятностей на основе наблюдений, одновременно медленно, но верно завершая подготовку к изданию «Ars Conjectandi». Его результаты были опубликованы в том же 1713 году, в котором наконец вышла в свет книга Якоба.

Якоб для начала задает вероятность того, что отклонение наблюдаемого значения от истинного окажется в некоем определенном интервале, а затем вычисляет число наблюдений, необходимое для получения именно этого заданного значения. Николай поставил перед собой обратную задачу. Считая число наблюдений заданным, он вычислял вероятность того, что отклонение наблюдаемого среднего от истинного окажется в заданных пределах. Он использовал пример, в котором предполагал, что отношение числа рождающихся мальчиков к числу рождающихся девочек равно 18:17. Если общее число рождений составляет, скажем, 14000, ожидаемое число рождений мальчиков должно быть 7200. Затем он рассчитал, что с шансами по меньшей мере 43,58 к 1 действительное число родившихся мальчиков окажется в интервале 7200 + 163 и 7200 - 163, то есть между 7363 и 7037.

В 1718 году Николай предложил французскому математику Абрахаму де Муавру присоединиться к его исследованиям, но де Муавр отверг это предложение: «Я хотел бы оказаться способным... применить теорию случайностей (Doctrine of Chances) к решению экономических и политических задач, [но] с готовностью передаю мою часть работы в лучшие руки». Из этого ответа де Муавра Николаю следует, что исследования по использованию вероятности и прогнозированию быстро продвигались вперед.

Де Муавр родился в 1667 году — через 13 лет после Якоба Бернулли — в протестантской семье во Франции, в обстановке возрастающей враждебности ко всем некатоликам. В 1685 году, когда ему было 18 лет, король Людовик XIV отменил Нантский эдикт, провозглашенный в 1598 году родившимся в протестантской вере королем Генрихом IV и предоставивший протестантам, называемым гугенотами, равные политические права с католиками. После отмены эдикта исповедование реформатской религии было запрещено, дети гугенотов должны были воспитываться в католической вере, эмиграцию запретили. Де Муавр свыше двух лет провел в тюрьме за свои религиозные убеждения. Ненавидя Францию и все с нею связанное, он в 1688 году бежал в Лондон, где Славная революция как раз покончила с остатками государственного католицизма. На родину он так и не вернулся.

В Англии де Муавр вел печальную и неустроенную жизнь. Несмотря на все усилия, ему не удалось добиться приличной академической должности. Он зарабатывал на жизнь уроками математики и консультациями по применению теории вероятностей для игроков и страховых брокеров. С этой целью он держал неофициальную приемную в кофейне Слайтера, что на улице Святого Мартина, где большей частью и проводил остаток дня по окончании занятий с учениками. Хотя он был другом Ньютона и стал членом Королевского общества уже в тридцать лет, он так и остался едким, ушедшим в себя, асоциальным человеком. Умер он в 1754 году в бедности и слепоте в возрасте 87-ми лет.

В 1725 году де Муавр опубликовал работу, озаглавленную «Пожизненная рента» («Annuities upon Lives»), с анализом таблиц Галлея о продолжительности жизни и смертности в Бреслау. Хотя книга посвящена главным образом научным проблемам, в ней обсуждаются многие вопросы, относящиеся к головоломкам, которые пытались решить Бернулли и которые позднее де Муавр детально исследовал.

Историк статистики Стивен Стиглер (Stigler) приводит интересный пример, рассмотренный в работе де Муавра о ренте. Таблицы Галлея свидетельствовали, что в Бреслау из 346 человек пятидесятилетнего возраста только 142, то есть 41%, дожили до семидесяти лет. Это очень маленькая выборка. В какой мере можно использовать этот результат для выводов об ожидаемой продолжительности жизни пятидесятилетних? Де Муавр не мог использовать эти числа для определения вероятности того, что человек в возрасте пятидесяти лет имеет меньше 50% шансов дожить до семидесяти, но он мог бы ответить вот на какой вопрос: «Если в действительности шансы равны, какова вероятность того, что выборка покажет величину не более 142/346?»

Первая прямо посвященная теории вероятностей работа де Муавра озаглавлена «De Mensura Sortis» (буквально «Об измерении случайных величин»). Работа была впервые опубликована в 1711 году в журнале Королевского общества «Philosophical Transactions». В 1718 году де Муавр предпринял значительно расширенное издание этой работы на английском языке, озаглавленное «Теория случайностей» («The Doctrine of Chances»), с посвящением своему близкому другу Исааку Ньютону. Книга имела огромный успех и выдержала еще два издания в 1738-м и 1756 годах. Работа, видимо, произвела сильное впечатление на Ньютона, который при случае говорил своим студентам: «Обратитесь к мистеру де Муавру, он знает эти вещи лучше меня». «De Mensura Sortis», по-видимому, первая работа, в которой риск определен как шанс проигрыша: «Риск проиграть некую сумму обратен ожиданию выигрыша, и истинной мерой его является произведение поставленной на кон суммы на вероятность проигрыша».

В 1730 году де Муавр в конце концов обратился к предложенной Николаем Бернулли теме — насколько хорошо реальная выборка отображает свойства совокупности, на основе которой она построена. В 1733 году он опубликовал полное решение задачи и включил его во второе и третье издания «Теории случайностей». Он начинает с признания, что Якоб и Николай Бернулли «показали очень большое искусство... Однако некоторые вещи нуждаются в дальнейшей разработке». В частности, подход обоих Бернулли «представляется настолько трудоемким и связан с такими сложностями, что до сих пор мало кто соглашался их преодолевать».

Действительно, необходимость проведения 25 550 испытаний делала решение задачи практически неосуществимым. Даже если бы, как утверждал Джеймс Ньюмен, Якоб Бернулли в приведенном им примере был бы готов удовлетвориться «практической достоверностью», не большей, чем в пари с равными шансами, — вероятностью 50/100 того, что результат будет с точностью до 2% равен 3/2, — и то понадобилось бы 8 400 испытаний. По нынешним стандартам требование Якобом вероятности 1000/1001 курьезно само по себе. Сегодня большинство статистиков принимают несовпадение не более чем в 1 из 20 случаев как основание признания значимости (так сегодня называют практическую достоверность) результата с более чем достаточной степенью вероятности.

Достижения де Муавра в решении этой проблемы стоят в ряду наиболее важных математических открытий. Используя вычисления и основные свойства треугольника Паскаля, составляющие содержание биномиальной теоремы, де Муавр демонстрирует, как ряд случайных испытаний, подобных опытам Бернулли с кувшином, приводит к распределению результата вокруг среднего значения. К примеру, предположим, вы вытащили сто камешков подряд из кувшина Якоба, каждый раз возвращая камешек в кувшин и фиксируя отношение числа черных и белых камешков. Теперь предположим, вы выполнили серию таких опытов по сто испытаний в каждом. Де Муавр смог бы заранее приблизительно сказать вам, сколько из этих отношений будут близки к среднему отношению в суммарном числе испытаний и как эти отдельные отношения будут распределены относительно этого среднего.

Распределение де Муавра ныне известно как нормальная, или, в соответствии с ее формой, колоколообразная кривая. Эта кривая показывает, что наибольшее число наблюдений группируется в центре, вблизи среднего значения, вычисленного для суммарного числа наблюдений. Она симметрично спускается по обе стороны от среднего значения, вблизи его круто, а затем все более полого. Другими словами, результаты наблюдений, далекие от среднего значения, менее вероятны, чем близкие к нему.

Форма кривой де Муавра позволила ему вычислить статистическую меру ее дисперсии относительно среднего значения. Эта мера, известная как стандартное или среднее квадратичное отклонение, чрезвычайно важна для решения вопроса о том, включает ли в себя совокупность наблюдений достаточно репрезентативную для изучаемой совокупности выборку. В нормальном распределении приблизительно 68% результатов наблюдений оказываются в пределах одного среднего квадратичного отклонения от среднего значения и 98% — в пределах двух средних квадратичных отклонений.

Среднее квадратичное отклонение может сказать нам, не имеем ли мы дело со случаем «голова-в-духовке-ноги-в-холодильнике», когда любые рассуждения о среднем являются бессмысленными. Среднее квадратичное отклонение может также сказать нам, что 25 550 манипуляций с камешками Якоба позволяют весьма точно оценить соотношение числа черных и белых камешков в кувшине, поскольку относительно малое число наблюдений будет сильно отличаться от среднего значения.

Де Муавр был поражен закономерностью, которая проявлялась с увеличением числа случайных и независимых наблюдений; он относил эту упорядоченность к предписаниям Всемогущего. Это приводит к мысли, что при правильно выбранных условиях измерения можно в самом деле преодолеть неопределенность и приручить риск. Используя курсив, чтобы подчеркнуть значение сказанного, де Муавр так подытожил свои исследования:

«Случай порождает Отклонения от закономерности, однако бесконечно велики Шансы, что с течением Времени эти Отклонения окажутся пренебрежимо ничтожными относительно повторяемости того Порядка, который естественным образом является результатом БОЖЕСТВЕННОГО ПРЕДНАЧЕРТАНИЯ». [13]

***

Вкладом де Муавра в математику был инструмент, который сделал возможной оценку вероятности того, что заданное число наблюдений попадет в некоторую область вокруг истинного отношения. Этот результат нашел широкое практическое применение.

Например, все производители опасаются того, что результатом сборки может оказаться бракованная продукция, которая дойдет до потребителей. Стопроцентное качество в большинстве случаев практически невозможно — наш мир, похоже, непоправимо враждебен совершенству.

Представьте себе директора булавочной фабрики, который старается добиться, чтобы бракованные булавки встречались не чаще, чем в 10 случаях из 100 000, то есть чтобы брак составлял не более 0,01% от объема производства. Для контроля дел он проводит обследование произвольной выборки из 100 000 сошедших с конвейера булавок и выясняет, что у 12 нет головок — на 2 больше, чем он надеялся получить в среднем по всей производимой продукции. Насколько значима эта разница? Какова вероятность найти 12 бракованных булавок из выборки объемом в 100 000, если средний процент брака составляет 10 бракованных булавок на каждый 1 000 000? Нормальное распределение и среднее квадратичное отклонение де Муавра дают ответ на этот вопрос.

Но обычно вопрос ставится по-иному. Чаще никто точно не знает, сколько именно бракованных изделий в среднем выпускает фабрика. Вопреки благим намерениям действительная доля брака может оказаться в среднем выше, чем 10 из 100000. Что скажет выборка из 100000 булавок о вероятности того, что для всей выпускаемой продукции брак в среднем составляет 0,01%? Насколько более точные сведения можно получить из выборки объемом в 200 000 булавок? Какова вероятность того, что процент брака окажется в пределах от 0,009% до 0,011%? А в пределах от 0,007% до 0,013%? Какова вероятность того, что одна наугад взятая булавка окажется бракованной?

Здесь исходными данными являются 10 булавок, 12 булавок, 1 булавка, а вероятность оказывается искомой величиной. В такой постановке задача сводится к вычислению так называемой обратной вероятности: какова вероятность того, что по всей произведенной продукции брак составляет в среднем 0,01%, если в выборке из 100000 булавок оказалось 12 бракованных?

***

Одно из наиболее эффективных решений этой задачи было предложено пастором Томасом Байесом, который родился в 1701 году и жил в Кенте. Байес был нонконформистом. Он отвергал большинство обрядов англиканской церкви, перенятых ею от католической после отделения от Рима во время правления Генриха VIII.

Хоть Байес и был членом Королевского общества, известно о нем немного. В одном довольно скучном и безликом учебнике статистики он характеризуется как «загадочная личность». При жизни он не издал ни одного сочинения по математике и оставил только две работы, которые были опубликованы после его смерти, но не смогли обратить на себя должного внимания.

Тем не менее одна из этих работ, «О решении проблемы в теории случайностей» («Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances»), оказалась замечательно оригинальным произведением, которое обессмертило имя Байеса среди статистиков, экономистов и других представителей социальных наук. В нем заложены основы современных методов статистического анализа, начало работы над которыми было положено трудами Якоба Бернулли.

После смерти Байеса в 1761 году, согласно составленному за год до того завещанию, рукопись этой работы и сто фунтов стерлингов достались «Ричарду Прайсу, в настоящее время, как я полагаю, пастору в Ньюингтон-Грин». Любопытно, что у Байеса были столь неверные сведения о Прайсе, фигуре тогда намного более важной, чем простой священник в маленьком городке графства Кент.

Ричард Прайс был человеком высоких нравственных принципов, страстным поборником свободы вообще и свободы вероисповедания в частности. Он был убежден, что свобода дана человеку Богом и поэтому является непременным условием нравственного поведения, и утверждал, что лучше быть свободным грешником, чем рабом. В 1780 году он написал книгу об американской революции с чрезвычайно длинным названием: «Соображения о значении американской революции и путях превращения ее во всемирное благо» («Observations on the Importance of the American Revolution and the Means of Making it a Benefit to the World»), в которой выразил свою веру в то, что революция была предначертана Богом. Рискуя собой, он заботился о перемещенных в Англию американских военнопленных. Он был другом Бенджамина Франклина и хорошо знал Адама Смита. Смит отсылал Франклину и Прайсу некоторые главы книги «О богатстве народов» («The Wealth of Nations») для чтения и критических замечаний.

Одна разновидность свободы беспокоила Прайса: свобода заимствования. Он был глубоко озабочен величиной национального долга Британии, выросшего в результате войн с Францией и с колонистами Северной Америки. Он сетовал по поводу непрекращающегося накопления государственного долга и называл его «величайшим национальным злом».

Но Прайс был не просто священником и страстным поборником свободы. Он известен также как математик, который за работы в области теории вероятностей был принят в члены Королевского общества.

В 1765 году три человека из страховой компании, носящей название «Общество справедливости» (Equitable Society), пригласили Прайса помочь им в составлении таблиц смертности, на основе которых должны были определяться размеры сборов при страховании жизни и продаже пожизненной ренты. После изучения среди прочих трудов Галлея и де Муавра Прайс опубликовал по этому вопросу две статьи в «Philosophical Transactions»; его биограф Карл Кон сообщает, что голова Прайса поседела за одну ночь от напряжения при работе над второй из этих статей.

Прайс начал с изучения записей в лондонских регистрационных книгах, но математическое ожидание продолжительности жизни, получаемое на основе этих записей, оказалось значительно ниже имевшихся данных о смертности. Тогда он обратился в графство Нортгемптон, где записи велись более аккуратно, чем в Лондоне. Он опубликовал результаты своих изысканий в 1771 году в книге, озаглавленной «Заметки о страховых выплатах» («Observations on Reversionary Payments»), которая оставалась катехизисом страховщиков до конца XIX столетия. Эта работа принесла ему славу основоположника страховой статистики как комплекса вероятностных методов, применяемых ныне всеми страховыми компаниями в качестве основы исчисления сборов и выплат.

Однако в работе Прайса были серьезные, весьма дорогостоящие ошибки, частично обусловленные погрешностями исходных данных, которые не охватывали большое число незарегистрированных рождений. Более того, он завысил коэффициенты смертности для ранних возрастов и занизил их для старших, а его оценки величины миграции населения в Нортгемптон и из него оказались неточными. Наиболее серьезные последствия имело занижение ожидаемой продолжительности жизни, что привело к значительному завышению сборов при страховании жизни. «Общество справедливости» обогатилось на этой ошибке, а британское правительство, использовавшее те же таблицы для определения выплат покупателям пожизненной ренты, понесло значительные убытки.

***

Через два года после смерти Байеса Прайс послал копию его «очень остроумной» работы некоему Джону Кантону, другому члену Королевского общества, с сопроводительным письмом, дающим представление о намерениях, с которыми Байес ее писал. Впоследствии в 1764 году Королевское общество опубликовало ее в «Philosophical Transactions», но и это не помешало новаторской работе Байеса прозябать в безвестности в течение двадцати лет.

Здесь приводится постановка Байесом задачи, которую он пытался решить:

ЗАДАЧА

Дано: число случаев [в выборке], в которых некое событие наступило, и число случаев, в которых оно не наступило.

Требуется определить: вероятность того, что вероятность наступления события в одном испытании [в генеральной совокупности] находится в некоем заданном интервале значений [21] .

Поставленная здесь задача в точности обратна задаче, поставленной Якобом Бернулли примерно шестьюдесятью годами ранее (с. 136). Байес задается вопросом, как определить вероятность того, что событие будет иметь место, при том что мы знаем только, что оно в определенном числе случаев наступило и в некоем другом числе случаев не наступило. Другими словами, булавка может оказаться бракованной или качественной. Если мы обнаружим десять бракованных булавок в выборке из ста, какова вероятность, что во всей совокупности булавок — не только в выборке из ста — процент брака окажется в интервале между 9 и 11%?

Сопроводительное письмо Прайса Кантону показывает, как далеко за одно столетие продвинулся анализ вероятности в практике принятия решений. «Каждый здравомыслящий человек, — пишет Прайс, — поймет, что поставленная здесь задача ни в коем случае не является простым упражнением в области теории случайностей, но требует решения в целях построения прочного основания для всех наших суждений относительно предыдущих событий и выяснения вероятности последующих». Он далее указывает, что ни Якоб Бернулли, ни де Муавр не поставили вопрос именно таким образом, хотя де Муавр и охарактеризовал трудности в получении своего собственного решения как «наибольшие из всех, какие можно ожидать в теории случайностей ».

Для доказательства своей точки зрения Байес использовал не очень подходящий для диссидентствующего священника пример — бильярд. Запущенный по бильярдному столу шар где-то останавливается и остается на месте. Затем другой шар многократно запускается таким же образом, и подсчитывается число случаев, когда он останавливается справа от первого. Это «число случаев, когда неопределенное событие наступило», — успех. Неуспех — это число случаев, когда событие не наступило, то есть шар оказался слева от первого. Вероятность местонахождения первого шара — единичное испытание — следует вывести из «успеха» или «неуспеха» второго.

Важнейшее применение подхода Байеса заключается в использовании новой информации для уточнения вероятности, основанной на старой информации, или, пользуясь языком статистики, сравнении апостериорной вероятности с априорной. В случае с бильярдными шарами положение первого шара представляет собой априорную, а многократные оценки его местонахождения повторяющимися запусками второго шара — апостериорную вероятность.

Процедура пересмотра выводов относительно старой информации по мере получения новой имеет источником философскую точку зрения, делающую достижения Байеса чрезвычайно современными: в динамичном мире в условиях неопределенности нет однозначных ответов. Математик А. Ф. М. Смит (Smith) это очень хорошо сформулировал: «Каждая попытка научно обосновать ответы, возникающие в ситуации сложной неопределенности, является, на мой вкус, тоталитарной пародией на считающийся разумным процесс познания».

Хотя из-за сложности байесовского подхода детальное рассмотрение его здесь неуместно, пример типичного применения его приведен в конце этой главы.

***

Важнейшей отличительной особенностью всех описанных в этой главе научных достижений является смелая мысль, что неопределенность может быть измерена. Неопределенность означает, что значение вероятности неизвестно; перефразируя высказывание Хакинга об определенности, можно сказать, что нечто является неопределенным, если наша информация верна, а событие не происходит или если наша информация неверна, а событие происходит.

Якоб Бернулли, Абрахам де Муавр и Томас Байес показали, как вычислять величину вероятности на основании эмпирических фактов. В этих достижениях впечатляют живость ума, проявленная в постановке вопросов, и смелость, с которой он дерзко атакует неизвестное. Де Муавр не скрывал восхищенного удивления перед собственными результатами, когда сослался на БОЖЕСТВЕННОЕ ПРЕДНАЧЕРТАНИЕ. Он любил такого рода выражения. В другом месте у него читаем:

«Если бы мы не ослепляли себя метафизической пылью, то могли бы коротким и очевидным путем прийти к познанию великого СОЗДАТЕЛЯ и ВСЕДЕРЖИТЕЛЯ всего сущего» [25] .

Мы уже основательно углубились в XVIII столетие, когда англичане считали познание высшей формой человеческой деятельности. Это действительно было время, когда ученые стряхнули со своих глаз метафизическую пыль. Не было больше препятствий для исследования непознанного и созидания нового. Огромные успехи в освоении природы риска, достигнутые до 1800 года, дали мощный толчок науке наступающего столетия, и в Викторианскую эпоху исследования в этом направлении получили дальнейшее развитие.

Приложение

Пример практического применения Байесова подхода к статистическим задачам

Обратимся вновь к булавочной компании. Компания имеет две фабрики, причем старая выпускает 40% продукции. Это означает, что взятая наугад булавка, бракованная или нет, с вероятностью 40% выпущена на старой фабрике; это исходная вероятность. Известно, что на старой фабрике процент брака вдвое больше, чем на новой. Если клиент звонит и сообщает о купленной им бракованной булавке, на какую из двух фабрик должен звонить менеджер по сбыту?

Исходная вероятность побуждает утверждать, что, скорее всего, бракованная булавка сделана на новой фабрике, выпускающей 60% продукции компании. С другой стороны, частота появления брака на этой фабрике вдвое меньше, чем на старой. Пересмотрев исходную вероятность с учетом этой дополнительной информации, получаем, что вероятность выпуска бракованной булавки новой фабрикой равна только 42,8%; это значит, что с вероятностью 57,2% виновата старая фабрика. Эта новая оценка становится апостериорной вероятностью.

 

Глава 8

Предельный закон хаоса

В 1855 году в Гёттингене в возрасте 78 лет скончался Карл Фридрих Гаусс. За последние 27 лет жизни он только однажды не ночевал дома и, надо думать, из неприязни к путешествиям категорически отказывался от предложений самых известных университетов Европы занять место профессора.

Подобно многим математикам до и после него, Гаусс уже в раннем детстве проявил гениальные способности, чем в равной степени огорчил отца и обрадовал мать. Его отец был простым рабочим, презирал заумные увлечения своего гениального сына и всячески портил ему жизнь. Мать, напротив, как могла, старалась защитить своего мальчика и всемерно поощряла его увлечение математикой, за что Гаусс до конца дней вспоминал о ней с глубокой благодарностью.

Биографы, как обычно в таких случаях, сообщают всевозможные истории о математических головоломках, которые будущий великий математик решал в том возрасте, когда большинство детей с трудом делят 24 на 12. Он обладал феноменальной памятью и помнил всю логарифмическую таблицу назубок. В восемнадцать лет он сделал удивительное открытие, касающееся свойств семнадцатиугольника; такого в математике не случалось уже 2000 лет со времен древних греков. Его докторская диссертация на тему «Новое доказательство того, что каждая целая рациональная функция одной переменной может быть представлена произведением действительных чисел первой и второй степени» посвящена решению основной теоремы алгебры. Сама теорема была известна и раньше, но он предложил совершенно новое доказательство.

Слава Гаусса была столь велика, что, когда в 1807 году французские войска подошли к Гёттингену, Наполеон приказал поберечь город, в котором живет «величайший математик всех времен». Со стороны Наполеона это было очень любезно, но слава имеет и оборотную сторону. Когда победители наложили на Германию контрибуцию, они потребовали с Гаусса 2000 франков. Это соответствовало примерно 5000 нынешних долларов — довольно крупная сумма для университетского профессора. Друзья предлагали помощь, Гаусс отказывался; пока шли препирательства, выяснилось, что деньги уже уплачены знаменитым французским математиком Морисом Пьером де Лапласом (1749-1827). Лаплас объяснил свой поступок тем, что считает Гаусса, который был на 29 лет моложе его, «величайшим математиком в мире», т. е. оценил его чуть ниже, чем Наполеон. Позднее анонимный почитатель прислал Гауссу 1000 франков, чтобы помочь ему рассчитаться с Лапласом.

Сам Лаплас был весьма колоритной фигурой, о которой стоит сказать здесь несколько слов; подробнее мы поговорим о нем в главе 12.

В детстве он, как и Гаусс, был математическим вундеркиндом, а впоследствии прославился своей космогонической теорией в астрономии. В течение многих лет его внимание привлекали некоторые разделы теории вероятностей, которые исследовал Гаусс. Но на этом сходство кончается. Жизнь Лапласа протекала на фоне Французской революции, Наполеоновских войн и реставрации Бурбонов. Честолюбивому человеку нужно было обладать большой ловкостью, чтобы в этой кутерьме удержаться на поверхности. Лаплас оказался как раз таким человеком.

В 1784 году король сделал его инспектором королевской артиллерии, положив очень приличное жалованье. Однако с установлением республики в Лапласе проснулась «неугасимая ненависть к монархии», а очень скоро после захвата власти Наполеоном он заявил о своей решительной поддержке нового вождя, который дал ему пост министра внутренних дел и титул графа, по-видимому рассчитывая, что сотрудничество всемирно известного ученого укрепит авторитет нового режима. Но уже через шесть недель, уволив Лапласа и посадив на его место своего брата, Наполеон скажет: «Он был хуже самого посредственного чиновника, который во всем видит только хитросплетения. Министерство под его руководством погрязло в трясине бесконечно малой чепухи». Неплохой урок для ученых, которым неймется стать власть имущими!

Правда, позже Лаплас взял реванш. Вышедшее в 1812 году первое издание своей «Theorie analytique des probabilites» («Аналитической теории вероятностей») он еще посвятил «Великому Наполеону», но из второго издания 1814 года это посвящение вычеркнул и связал перемену политических ветров с темой своего трактата. «Падение империй, стремившихся к господству над миром, — написал он, — с очень высокой степенью вероятности мог предсказать каждый сведущий в вычислениях шансов». Людовик XVIII после коронации припомнил это замечание, и Лаплас стал маркизом.

***

В отличие от Лапласа Гаусс был очень замкнутым человеком и вел затворнический образ жизни. Он не опубликовал массу своих открытий, и многие из них были заново сделаны другими математиками. В публикациях он уделял больше внимания результатам, не придавая особого значения методам их получения и часто заставляя других математиков тратить массу сил на доказательство его выводов. Эрик Темпл Белл, один из биографов Гаусса, считает, что его необщительность задержала развитие математики по меньшей мере на пятьдесят лет; полдюжины математиков могли бы прославиться, если бы получили результаты, годами, а то и десятилетиями хранившиеся у него архиве.

Слава и замкнутость сделали Гаусса неисправимым интеллектуальным снобом. Хотя его основные достижения связаны с теорией чисел, в которой прославился Ферма, он почти не использовал результаты знаменитого тулузского адвоката, а от его великой теоремы, остающейся более трех столетий завораживающей загадкой для математиков всего мира, отмахнулся, назвав ее «частным утверждением, для меня малоинтересным, потому что я легко могу выложить множество подобных утверждений, которые никто не сможет ни доказать, ни опровергнуть».

Это не было пустой похвальбой. В 1801 году, когда ему было 24 года, Гаусс опубликовал «Disquisitiones Arithmeticae» («Арифметическое исследование»), написанное на элегантной латыни яркое и значительное историко-научное исследование по теории чисел. Большая часть книги недоступна нематематикам, но для него самого написанное звучало как музыка. Он находил в теории чисел «магическое очарование» и радовался открытию и доказательству всеобщности таких, например, соотношений:

1 = 1 2

1 + 3 = 2 2

1 + 3 + 5 = 3 2

1 + 3 + 5 + 7 = 4 2

Или, в общем виде, сумма п первых нечетных чисел равна п2. Отсюда сумма первых 100 нечетных чисел от 1 до 199 равна 1002, или 10 000, а сумма нечетных чисел от 1 до 999 равна 250 000.

В 1801 году Гаусс снизошел до демонстрации важных практических приложений своих теоретических выкладок. В 1800 году один итальянский астроном открыл маленькую новую планету, на астрономическом языке астероид, и назвал ее Церера. Год спустя Гаусс вычислил ее орбиту; раньше он уже занимался вычислением лунных таблиц, позволяющих в любой год определить дату праздника Пасхи. В те времена он еще руководствовался желанием завоевать признание, и ему очень хотелось попасть в компанию своих выдающихся предшественников — от Птолемея до Галилея и Ньютона — в изучении небесной механики, хотя он был далек от мысли превзойти астрономические достижения своего современника и благодетеля Лапласа. Впрочем, эта частная задача была привлекательна и сама по себе, в особенности учитывая неполноту данных и незнание скорости вращения Цереры вокруг Солнца.

В результате лихорадочных вычислений Гаусс нашел очень точное решение, дающее возможность предсказывать местонахождение Цереры в любой момент. За время этой работы он настолько поднаторел в небесной механике, что научился вычислять орбиты комет в течение одного-двух часов, в то время как у других ученых эта работа отнимала три-четыре дня.

Гаусс особенно гордился своими астрономическими достижениями, ощущая себя последователем Ньютона, который был его идеалом. Восхищенный открытиями великого англичанина, он впадал в бешенство при упоминании об истории с яблоком, падение которого якобы послужило поводом к открытию закона всемирного тяготения, и так отзывался об этой басне:

«Глупость! Какой-то надоедливый дурак пристал к Ньютону с вопросом, как он открыл закон тяготения. Увидев, что имеет дело с несмышленышем, и стараясь избавиться от надоеды, Ньютон сказал, что ему на нос упало яблоко. Удовлетворенный ответом приставала отошел в полной уверенности, что все понял» [11]

Гаусс был невысокого мнения о человечестве, порицал рост националистических настроений, сопровождаемый прославлением воинских доблестей, и считал завоевательную политику «непостижимой глупостью». Из-за своей мизантропии он и просидел дома большую часть жизни.

***

Не питая особого интереса к управлению риском как таковому, он, однако, интересовался теоретическими проблемами, поднятыми в работах по вероятности, теории больших чисел и теории выборки, начатых Якобом Бернулли и продолженных де Муавром и Байесом, и его собственные достижения в этой области легли в основу современных методов контроля риска.

Впервые он обратился к вероятностным проблемам при описании метода определения орбиты на основе множества дискретных наблюдений в книге о движении небесных тел, опубликованной в 1809 году под названием «Theoria Motus» («Теория движения»). Когда в 1810 году «Theoria Motus» попала в руки Лапласу, тот сразу ухватился за нее и занялся выяснением некоторых неясностей, которых Гауссу не удалось избежать.

Но наиболее ценный вклад в теорию вероятностей Гаусс внес в результате работы, к вероятности никакого отношения не имеющей, а именно занимаясь геодезическими измерениями кривизны Земли для определения точности географических наблюдений. Из-за шарообразности Земли расстояние между двумя точками на ее поверхности отличается от расстояния между ними, пролетаемого вороной. Эта разница пренебрежимо мала для расстояния в несколько миль, но при расстоянии более десяти миль она становится ощутимой.

В 1816 году Гаусс получил приглашение руководить геодезическими съемками в Баварии и состыковать их результаты с такими же измерениями, уже выполненными в Дании и Северной Германии. Надо полагать, эта работа была малоинтересна для такого до корней волос теоретика, каким был Гаусс. Ему пришлось покинуть кабинет, работать на пересеченной местности, общаться с чиновниками и прочим людом, включая коллег, интеллектуальный уровень которых был ему неинтересен. Но работа затянулась до 1848 года, и опубликованные в конце концов результаты составили шестнадцать томов.

Поскольку невозможно обмерить каждый квадратный дюйм земной поверхности, геодезическая съемка представляет собой замеры, выполняемые на заданном расстоянии друг от друга. Анализируя распределение результатов этих замеров, Гаусс заметил, что они имеют разброс, но, когда число замеров растет, результаты группируются вокруг некоторой центральной точки. Этой центральной точкой является среднее значение всех результатов измерений, а сами результаты распределяются симметрично по обе стороны от среднего значения. Чем больше измерений выполнялось, тем больше прояснялась картина распределения результатов и тем больше она напоминала колоколообразную кривую, полученную де Муавром 83 годами раньше.

Связь между риском и измерением кривизны земной поверхности оказалась теснее, чем можно было предположить. Пытаясь установить кривизну Земли, Гаусс день за днем осуществлял на баварских холмах одно геодезическое измерение за другим, пока не набралось огромное количество наблюдений. Точно так же, как мы рассматриваем опыт прошлого для вынесения суждений о вероятности того или иного направления развития событий в будущем, Гаусс оценивал накопившиеся результаты и выносил суждение о том, как кривизна земной поверхности влияет на результаты замеров расстояний между разными точками в Баварии. Он мог судить о точности своих наблюдений по распределению массы результатов наблюдений вокруг среднего значения.

Принимая связанные с риском решения, мы на каждом шагу встречаемся с разновидностями вопроса, на который он пытался ответить. Сколько в среднем ливней следует ожидать в Нью-Йорке в апреле и каковы наши шансы остаться сухими, если, уезжая на неделю в Нью-Йорк, мы не захватим плащ? Какова вероятность попасть в автомобильную аварию, если мы собираемся проехать 3000 миль, чтобы пересечь страну? Какова вероятность падения курса акций на 10% в будущем году?

***

Разработанные Гауссом методы получения ответов на подобные вопросы настолько общеизвестны, что мы редко задаемся вопросом об их происхождении. Но без этих методов невозможно оценить степень риска, с которым мы сталкиваемся в жизни, и принимать обоснованные решения о том, стоит или не стоит идти на риск. Без этих методов мы не смогли бы оценивать точность имеющейся информации, как не смогли бы оценивать вероятность того, что некое событие произойдет — дождь, смерть 85-летнего человека или падение курса акций на 20%, победа русских на Кубке Дэвиса или демократического большинства на выборах в конгресс, что сработают ремни безопасности при аварии или при бурении наугад будет открыто месторождение нефти.

Процесс оценки данных начинается с анализа колоколообразной кривой, главным назначением которой является не определение точного значения, а оценка ошибок. Если бы результат каждого измерения точно соответствовал тому, что мы измеряем, не о чем было бы говорить. Если бы люди, слоны, орхидеи или гагарки не отличались друг от друга в пределах своего вида, жизнь на Земле была бы совсем другой. Но в мире господствует не тождество, а сходство; ни одно измерение не является абсолютно точным. При наличии нормального распределения колоколообразная кривая упорядочивает эту путаницу. Фрэнсис Гальтон, с которым мы встретимся в следующей главе, с немалой долей пафоса писал о нормальном распределении:

«"Закон частоты ошибок"... с непоколебимым самообладанием безмятежно царит в немыслимом хаосе. Чем больше толпа... тем больше в ней единства. Это предельный закон хаоса. Чем больше беспорядочных элементов попадает в его руки... тем более неожиданной и прекрасной оказывается скрывающаяся за видимым хаосом форма упорядоченности» [13] .

Большинство из нас сталкивается с колоколообразной кривой еще в школьные годы. Учитель выставляет оценки «по кривой», в случайном порядке, он не начинает с низшей, чтобы закончить высшей. Успеваемость средних студентов вознаграждается средней троечкой. Слабые и сильные получают оценки, распределяющиеся симметрично относительно средней. Даже если все работы выполнены прекрасно или, наоборот, безобразно, в совокупности имеющихся работ лучшая оценивается по высшему баллу, а худшая по низшему.

Многие натуральные показатели, например рост людей в группе или длина среднего пальца, описываются нормальным распределением. По утверждению Гальтона, для того чтобы результаты наблюдений располагались нормально или симметрично относительно среднего значения, необходимы два условия. Во-первых, число наблюдений должно быть достаточно велико, во-вторых, наблюдения должны быть независимыми, как бросание кости. Упорядочить можно только хаос.

Взаимозависимость входящих в выборку данных может стать причиной серьезных ошибок. В 1936 году ныне забытый журнал «Literary Digest» предпринял опрос для предсказания исхода борьбы между кандидатами в президенты Франклином Рузвельтом и Альфредом Лэндоном. Редакция разослала лицам, отобранным с использованием телефонной книги и данных о регистрации автомобилей, около десяти миллионов опросных листов в виде открыток с оплаченным возвратом. Подсчет возвращенных открыток показал, что за Лэндона собираются голосовать 59% избирателей, а за Рузвельта только 41%. Однако в ходе выборов Лэндон получил 19% голосов, .в то время как за Рузвельта проголосовали 61% избирателей. Дело в том, что в середине 30-х годов владельцы автомобилей и телефонов не составляли типичной выборки американских избирателей: их избирательные предпочтения были обусловлены их уровнем жизни, который был тогда не по карману большинству населения.

***

По-настоящему независимые наблюдения дают богатую информацию о вероятностях. Возьмем для примера кости.

Все шесть сторон костяного кубика могут выпасть с равной вероятностью. Если графически представить вероятность получить каждое из шести возможных значений, мы получим горизонтальную прямую на уровне 1/6. График не будет иметь ничего общего с нормальной кривой, как выборка, состоящая из одного броска, ничего не скажет о шансах ожидания того или иного значения кости. Мы окажемся в состоянии слепых, ощупывающих слона.

Бросим теперь кость шесть раз и посмотрим, что получится. (Я моделировал этот опыт на моем компьютере, чтобы быть уверенным в том, что в результате получаются случайные числа.) Первая серия из шести бросков дала четыре пятерки, одну шестерку и одну четверку, в среднем ровно 5,0. Во второй серии получилась смесь из трех шестерок, двух четверок и одной двойки, в среднем 4,7. Информации не намного больше.

После десяти испытаний по шесть бросков каждый средние результаты по шести броскам стали группироваться около значения 3,5, являющегося средним числом очков на поверхности кости: (1 + 2 + + 3 + 4 + 5 + 6):6 = 3,5 — и ровно половиной величины математического ожидания при бросании двух костей. Шесть моих средних были ниже 3,5 и четыре превышали это число. Вторая серия из десяти бросков дала следующие результаты: четыре раза среднее значение было ниже 3,0, четыре раза оно превышало 4,0, было также по одному значению выше 4,5 и ниже 2,5.

Следующим шагом было определение среднего значения первых десяти испытаний по шесть бросков каждый. В то время как распределение в каждом из этих испытаний, рассматриваемых по отдельности, само по себе мало о чем говорило, среднее от средних оказалось равным 3,48! Теперь среднее уточнилось, но среднее квадратичное отклонение оказалось равным 0,82 — значительно большим, чем хотелось бы.

Иными словами, в семи из десяти испытаний среднее значение оказалось в пределах 3,48 + 0,82 и 3,48 - 0,82, или между 4,30 и 2,66; в остальных трех испытаниях разброс результатов был еще большим.

Тогда я заставил компьютер выполнить 256 испытаний по шесть бросков каждое. Первые 256 испытаний дали близкую к ожидаемому значению величину 3,49 со средним квадратичным отклонением 0,69, то есть две трети результатов оказались в интервале между 4,18 и 2,80. Только в 10% испытаний средние значения были меньше 2,5 или больше 4,5, в то время как больше половины значений попало в интервал от 3,0 до 4,0.

Продолжая насиловать компьютер, я повторил серию из 256 испытаний десять раз. Усреднив результаты, полученные в каждой из десяти выборок, я затем усреднил эти средние и получил 3,499 (я привожу результат с точностью до трех знаков после запятой, чтобы показать степень приближения к 3,5). Впечатляющим оказалось уменьшение величины среднего квадратичного отклонения до 0,044. При этом пять средних оказались ниже 3,5 и пять выше, а семь из десяти выборок по 256 испытаний дали значение в пределах от 3,455 до 3,543. Это неплохая точность.

Как выяснил Якоб Бернулли, количества важны. Это он обратил внимание на то, что среднее от средних значений отдельных выборок удивительным образом снижает дисперсию вокруг основного среднего значения, — утверждение, известное как центральная предельная теорема. Эта теорема была впервые сформулирована Лапласом в 1809 году в работе, которую он закончил и опубликовал перед тем, как в 1810 году ознакомился с «Theoria Motus» Гаусса.

Среднее от средних интересно еще и с другой стороны. Мы начали эксперименты с бросанием шестигранной кости, каждая грань которой имеет равные шансы выпасть. Распределение получалось плоским, не имеющим ничего общего с нормальным. По мере того как компьютер моделировал все большее и большее число бросков, накапливая число выборок, мы получали всё больше и больше информации о свойствах кости.

Очень редко среднее значение в испытании из шести бросков оказывалось близким к шести или к единице; большая часть их оказывалась между двумя и тремя или четырьмя и пятью. Структура результатов в точности повторила расчеты Кардано, выполненные им для игры 250 лет назад, когда он начал нащупывать подходы к вероятностным законам. Множество бросков одной кости дают среднее значение 3,5. Отсюда ясно, что многократное бросание двух костей даст в среднем удвоенную величину, то есть 7,0. Как показал Кардано, значения, отличающиеся от 7 в ту или другую сторону, будут встречаться с одинаково убывающей частотой по мере продвижения от 7 к 2 или к 12.

***

Нормальное распределение является основным элементом большинства систем управления риском. На нем целиком основан страховой бизнес, потому что от пожара в Атланте не загораются дома в Чикаго, а смерть определенного человека в одном месте, как правило, не имеет отношения к смерти другого человека в другом месте и в другое время. Когда страховые компании собирают сведения о миллионах людей обоего пола всех возрастов, значения ожидаемой продолжительности жизни оказываются распределенными по нормальной кривой. В силу этого страховые компании способны с большой степенью надежности оценивать продолжительность жизни разных групп населения. Они могут не только определять ожидаемую среднюю продолжительность жизни, но и диапазоны, в которых она может колебаться из года в год. Уточняя эти оценки на основе дополнительных данных, таких, как истории болезней, число курильщиков, постоянные места проживания, профессиональная деятельность, эти компании повышают точность оценки ожидаемой продолжительности жизни .

Порой нормальное распределение дает гораздо больше важной информации, чем простые оценки представительности выборки. Нормальное распределение менее вероятно, хотя и не исключено, когда наблюдения зависимы друг от друга, то есть когда вероятность события определяется предыдущим событием. Например, если у лучника проблемы со зрением, стрелы будут ложиться слева от яблочка, т. е. центр распределения окажется сдвинутым. В подобных ситуациях распределение относительно среднего значения обычно оказывается асимметричным.

В таких случаях мы можем воспользоваться рассуждением наоборот. Если независимость событий является необходимым условием нормального распределения, можно предположить, что данные, распределение которых представлено колоколообразной кривой, получены на основе независимых наблюдений. Теперь мы можем поставить несколько интересных вопросов.

Насколько точно изменения курса акций на бирже подчинены законам нормального распределения? Некоторые знатоки рынка утверждают, что курс подвержен случайным колебаниям, напоминающим пошатывающегося пьяного, пытающегося ухватиться за фонарный столб. Они полагают, что у курса не больше памяти, чем у рулетки или пары костей, и что каждое наблюдение здесь независимо от предыдущего наблюдения. Сегодняшнее движение цен не зависит от того, что произошло минуту назад, вчера или позавчера.

Лучший способ решения вопроса о том, являются ли изменения курса акций независимыми событиями, заключается в сравнении колебаний курса с нормальным распределением. У нас есть веские основания утверждать, что эти колебания подчиняются нормальному закону, и в этом нет ничего удивительного. В условиях постоянной изменчивости и конкурентной борьбы на нашем рынке капитала, когда каждый инвестор стремится переиграть других, новая информация мгновенно отражается на котировках. Когда выясняется падение прибыли у General Motors или Merck объявляет о выпуске нового чудодейственного лекарства, котировки не стоят на месте в ожидании, пока инвесторы переварят информацию. Ни один инвестор не станет ждать, пока начнут действовать другие. На рынке действуют сворой, и новая информация немедленно изменит котировки акций General Motors или Merck. При этом сама новая информация поступает в случайном порядке. В силу этого изменения котировок непредсказуемы.

Интересные данные в поддержку этой точки зрения были приведены в 1950-х годах профессором Чикагского университета Гарри Робертсом (Roberts). Роберте с помощью компьютера брал случайные числа из наборов с тем же средним и тем же средним квадратичным отклонением, какие наблюдались у цен на фондовой бирже. Затем он начертил диаграмму последовательной смены этих случайных чисел. Результаты оказались идентичными с результатами аналитиков рынков ценных бумаг, пытающихся предугадать движение котировок. Реальная динамика цен и динамика случайных чисел, выданных компьютером, оказались практически неразличимыми. Возможно, что и на самом деле биржевые котировки не имеют памяти.

На приведенных диаграммах представлены в процентах месячные, квартальные и годовые изменения котировок столь любимого профессиональными инвесторами индекса Standard & Poor's 500. Данные охватывают период с января 1926-го по декабрь 1995 года и содержат результаты 840 месячных наблюдений, 280 квартальных и 70 годовых .

Хотя диаграммы отличаются друг от друга, у них есть две общие черты. Во-первых, как, по слухам, говаривал Д. П. Морган, «рынок переменчив». Действительно, фондовый рынок непредсказуем, на нем может случиться все что угодно. Во-вторых, большая часть наблюдений попадает вправо от нуля: в среднем рынок чаще рос, чем падал.

Нормальность распределения — это жесткая проверка гипотезы случайных колебаний рынка. Но нужна одна важная оговорка. Даже если гипотеза случайных колебаний адекватно описывает ситуацию на фондовом рынке, даже если изменения котировок описываются нормальным распределением, среднее значение изменений всегда отлично от нуля. Тенденция к повышению котировок не должна нас удивлять. Состояние владельцев акций со временем растет, как и сбережения, доходы и прибыли корпораций. Поскольку по большей части котировки не падают, а растут, среднее значение их изменений оказывается положительным.

Сопоставление годовых данных показывает, что все среднегодовые изменения котировок нетипичны. Котировки беспорядочно растут со средней скоростью 7,7% в год. Среднее квадратичное отклонение равно 19,3%, что означает, что в любой год 2/3 времени котировки изменяются в интервале от +27,0% до -12,1%. Хотя максимальный подъем котировок до 46,4% наблюдался на протяжении только 2,5% лет, то есть раз в сорок лет, утешает то, что и максимальное падение котировок до -31,6% оказалось возможным не чаще чем раз в сорок лет.

На обследуемом отрезке времени котировки росли в течение 47 из 70 лет, или каждые два года из трех. При этом они падали в течение 23 лет, почти половину этого срока, т. е. в течение десяти лет они выходили за пределы среднего квадратичного отклонения, то есть больше, чем на 12,1%. Среднее же падение за эти 22 несчастливых года составило 15,2%.

Достаточно ли 70 наблюдений, чтобы подтвердить вывод о случайном изменении котировок акций? Возможно, нет. Известно, что при бросании кости получаемые результаты случайны, но если бросить кость только шесть раз, то ничего похожего на нормальное распределение мы не увидим. Нужно существенно увеличить число бросков, чтобы результаты стали согласовываться с теорией.

Распределение 280 квартальных наблюдений гораздо ближе к нормальной кривой, чем 70 годовых. Но величина дисперсии очень велика и никоим образом не симметрична, поскольку наличествует небольшое число очень значительных изменений. Величина среднего изменения за квартал равна +2,0%, но значение среднего квадратичного отклонения 12,0% говорит, что это значение (+2,0%) вряд ли типично для квартальных изменений. 45% кварталов показали изменения, меньшие чем 2,0%, а 55% — большие.

Инвестор, который бы купил портфель акций и держал его 70 лет, заработал бы очень неплохие деньги. Но инвестор, который бы рассчитывал на то, что каждый квартал будет зарабатывать на акциях по 2%, был бы дураком. (Заметьте, что я здесь использую только прошлое время — у нас нет гарантий, что в будущем фондовый рынок будет вести себя так же, как в прошлом.)

Распределение 840 помесячных изменений котировок отличается большей упорядоченностью, чем в случае квартальных и годовых изменений. Среднемесячное изменение составило +0,6%. Если мы вычтем 0,6% из каждого наблюдаемого значения, чтобы сделать поправку на постоянный рост котировок за весь рассматриваемый период, то среднее изменение составит +0,00000000000000002%, причем в течение 50,6% месяца оно было положительным, а в течение 49,4% месяца отрицательным. Средняя для первого квартиля составила -2,78%, а для третьего квартиля +2,91%. Почти безупречная симметричность.

Случайный характер месячных колебаний проявляется также в кратковременности периодов с постоянным направлением изменения котировок. Сохранение тенденции в течение двух месяцев наблюдалось не более половины исследуемого отрезка времени, и только 9% времени направление изменения котировок не менялось в течение пяти месяцев.

Итак, изменение котировок акций носит чисто случайный характер, по крайней мере если судить по 840 месячным наблюдениям, — ведь мы не имели бы такой формы распределения данных вокруг средней, если бы изменения цен не были взаимно независимыми — как результат бросания костей. После внесения поправок на долговременную тенденцию роста частота повышения и понижения котировок практически сравнялись; серии однонаправленных изменений встречались редко; значение коэффициентов изменчивости близко к теоретическому.

Считая, что можно руководствоваться предположением Бернулли о сходстве будущего с прошлым, мы вправе использовать эту информацию для вычисления вероятности того, что в некоем месяце котировки изменятся на некую определенную величину. Среднемесячное изменение значения индекса S&P было в этот период 0,6%, а среднее квадратичное отклонение — 5,8%. Если изменения котировок распределены случайно, то мы имеем 68% шансов за то, что в любой месяц изменение котировок окажется в интервале от -5,2% до +6,4%. Предположим, мы хотим узнать вероятность того, что цены в течение какого-то месяца упадут. Ответ — 45%, то есть чуть меньше половины времени. Но вероятность падения курса более чем на 10% равна только 3,5%, иными словами, такое падение возможно в одном месяце из тридцати; изменение курса за месяц на 10% вверх или вниз случалось примерно один раз в пятнадцать месяцев.

В 33 из 840 месячных наблюдений, то есть в 4% наблюдений, наблюдаемые значения оказались за пределами двух стандартных отклонений от среднего значения, равного +0,6%, то есть изменения находились в интервале от -11% до +12,2%. Хотя 33 сильных отклонения — это меньше, чем можно было бы ожидать от совершенно случайной серии наблюдений, 21 из них было в сторону падения; в совершенно случайной серии это число должно было бы быть равно 16 или 17. У рынка с длительной тенденцией к росту курса могло бы быть и меньше неприятностей, чем 16 или 17 месяцев значительного падения из 816.

В пределе рынок — это не случайные колебания. В пределе на рынке с большей вероятностью можно потерять, чем выиграть. Рынок — это опасное место.

***

До сих пор речь шла главным образом о числах. Математика была в центре нашего внимания, когда мы обсуждали многие достижения от древних индусов, арабов и греков до Гаусса и Лапласа в XIX столетии. Нашей главной темой была скорее вероятность, чем неопределенность.

Теперь речь пойдет о другом. Реальная жизнь, в отличие от игры в balla Пацциоли, — это не последовательность взаимно независимых событий. Происходящее на фондовом рынке похоже на чисто случайные изменения цен, но сходство еще не тождество. В некоторых случаях средние полезны, но в других вводят в заблуждение. А бывает и так, что числа вовсе бесполезны, и нам приходится принимать решения исключительно по догадке.

Это не значит, что в реальной жизни числа не нужны. Важно научиться понимать, когда ими можно пользоваться, а когда нельзя. И тут перед нами встает целый ряд вопросов.

Например, чем определяется риск погибнуть от бомбы? Какое из трех средних мы выберем для определения нормального распределения, описывающего ситуацию на фондовом рынке: среднемесячное изменение котировок +0,6% за период с 1926-го по 1995 год, мизерное значение этого же показателя 0,1% за период с 1930-го по 1940 год или привлекательный 1,0% в месяц за период с 1954-го по 1964 год?

Другими словами, что мы называем «нормальным»? Насколько хорошо любое среднее значение соотносится с «нормальным»? Насколько стабильно, насколько исчерпывающе оно характеризует поведение? Если результаты наблюдений сильно отклонялись от среднего в прошлом, какова вероятность их схождения к среднему в будущем? И если схождение будет иметь место, сохранится ли прежнее значение средней?

Как быть с теми редкими случаями, когда фондовый рынок прет вверх пять месяцев подряд? Верно ли, что подъем обязательно сменяется падением? Какова вероятность того, что убыточная компания поправит свои дела? Быстро ли маниакальная фаза психоза сменится депрессией и наоборот? Когда кончится засуха? Не начнется ли процветание прямо завтра?

Для ответа на все эти вопросы нужна способность различать между нормальным и анормальным. Многие рискованные предприятия основываются на благоприятных обстоятельствах, возникших за счет отклонения от нормы. Когда аналитики говорят, что их любимые акции «недооценены», это значит, что инвестор может выиграть, если купит эти акции теперь и дождется возврата их цены к норме. С другой стороны, душевные депрессии и маниакальные состояния иногда длятся всю жизнь. И экономика США в 1932 году отказывалась сама выходить из кризиса, хотя мистер Гувер и его советники были убеждены, что деятельное участие правительства только помешает ей найти выход из этого положения.

На самом деле никто не исследовал понятие «нормальное», равно как и понятие «среднее». Но Фрэнсис Гальтон, ученый-дилетант из викторианской Англии, воспользовался разработанным Гауссом и его предшественниками обоснованием понятия среднего — нормальным распределением — и разработал новые средства, помогающие отличать ситуации с измеримым риском от ситуаций настолько неопределенных, что нам остается только гадать о возможном будущем.

Гальтон не был ученым, погруженным в поиски вечных истин. Он был человеком практичным, хотя и увлеченным наукой, но все же дилетантом. Тем не менее его новшества и достижения оказали весомое влияние и на математику, и на практику принятия решений в повседневной жизни.

 

Глава 9

Человек с вывихнутыми мозгами

Фрэнсис Гальтон (1822-1911) был светским снобом и никогда не зарабатывал на жизнь, если не считать кратковременной службы в больнице, когда ему было около двадцати. Тем не менее трудно представить себе более приятного и привлекательного человека. Он был двоюродным братом Чарлза Дарвина, изобретателем и неутомимым исследователем той части Африки, куда до него не ступала нога белого человека. Он внес плодотворный вклад в развитие стратегии риска, но сделал это за счет упорной приверженности порочным идеям.

Измерения были хобби Гальтона, его навязчивой идеей. Его девизом могло бы быть «Считайте всё, что можно». Он измерял и обсчитывал головы, носы, руки, ноги, фиксировал у разных людей рост и вес, цвет глаз, изменения цвета лица у посетителей лошадиных бегов, бесплодие наследниц и число случаев невнимания на лекциях. Он классифицировал проходящих по улице девушек по степени привлекательности, прокалывая карту в левом кармане, если встречал хорошенькую, и другую карту в правом кармане, встречая дурнушку. В его «Карте красоты» Британии первое место занимают Лондонки, а последнее абердинки. Он проанализировал 10 000 судебных приговоров и заметил, что большинство из них повторяются с интервалами в 3, 6, 9, 12, 15, 18 и 24 года, в то время как нет приговоров, повторяющихся через 17 лет, и очень мало повторяющихся через 11 и 13 лет. На выставке крупного рогатого скота он представил в табличной форме 800 предположений посетителей относительно веса одного быка и нашел, что «в среднем общественное мнение оказалось верным с точностью до одного процента».

Основанная им в 1884 году антропометрическая лаборатория занималась выполнением обмеров и фиксацией всех возможных размеров человеческого тела, включая отпечатки пальцев. Последние особенно заинтересовали Гальтона, потому что, в отличие от других характеристик человеческого тела, они не меняются в процессе старения человека. Опубликованная им в 1893 году книга объемом в 200 страниц, посвященная этому вопросу, вскоре легла в основу использования отпечатков пальцев полицейскими службами.

Страсть Гальтона к измерениям не оставила его и во время предпринятого им в 1849 году путешествия в ту часть Африки, где сейчас находится Намибия. Попав в селение готтентотов, он обнаружил «фигуры, которые довели бы английскую женщину до отчаяния, — фигуры, которые были бы посмешищем в кринолине». Одна из женщин особенно привлекла его внимание. Как человек науки, он, по его словам, был «чрезвычайно заинтересован в точном обмере ее форм». Не имея возможности объясниться с готтентотами и не зная, что предпринять для проведения этого крайне необходимого обследования, он все же нашел выход из положения:

«Случайно мне на глаза попался мой секстант, и тотчас пришла в голову блестящая мысль воспользоваться им для выполнения обмеров. Я провел серию измерений ее фигуры с разных точек... затем нагло вытащил рулетку, измерил расстояние между мной и объектом и, получив таким образом расстояния и углы, вычислил нужные мне величины с помощью тригонометрии и логарифмов»

Гальтон был типичным британцем Викторианской эпохи, шагавшим по земле как по собственным угодьям. Как-то во время охоты в Африке у него возникли опасения, что местный вождь нападет на его бивак. Натянув на себя красную охотничью куртку, шапку и высокие сапоги, он взгромоздился на быка, атаковал самую большую хижину в деревне и принудил быка сунуться головой в хижину. Его бивак стали обходить стороной.

В другой деревне он позволил себе бестактность, отказавшись участвовать в церемонии, в ходе которой хозяин полощет горло и выплевывает остатки в лицо гостю. Как-то король Нангоро подарил ему принцессу Чапангу на вечерок. Когда она пришла к нему, «вымазанная красной охрой и маслом», Гальтон ужаснулся. «Я был в моем единственном приличном белом льняном костюме и выпроводил ее с минимумом церемоний».

Королю Нангоро трудно было поверить, что в мире есть места, населенные людьми с белой кожей. Гальтон и его друзья казались ему редкими кочующими животными или какой-то аномалией. Одному из спутников Гальтона неоднократно приходилось раздеваться перед королем, чтобы убедить его, что у него вся кожа белого цвета. Любопытство Гальтона было ненасытным. Как-то, когда через Кембридж, где он тогда учился, проходил бродячий цирк, он вошел в клетку со львом; за всю историю этого цирка такое позволили себе только четыре человека. В студенческие годы он любил заниматься ночью и, чтобы не спать, надевал себе на голову «соображалку» — сложную конструкцию, время от времени подающую к голове холодную воду. Позднее он изобрел приспособление для чтения под водой и чуть не утонул в собственной ванне, увлекшись книгой.

***

Скоро вы узнаете, какие ужасные последствия имело увлечение Гальтона измерениями и выдумками. Тем не менее ему мы обязаны крупным вкладом в развитие статистики и управления риском. Проверяя, подобно Кардано, свои идеи на опыте, он способствовал созданию новой статистической теории, хотя вовсе не ставил перед собой этой задачи.

Гальтон вводит нас в мир повседневности, где люди дышат, потеют, совокупляются и размышляют о будущем. В отличие от математиков прежних времен мы не анализируем игры и не смотрим на звезды для проверки своих теорий. Гальтон брал уже готовые теории и пускал их в работу.

Хотя он никогда не ссылался на Бернулли, в его работах нашла отражение мысль сварливого швейцарца о том, что вероятность является важнейшим средством анализа болезней, умственных способностей и физической ловкости. Он шел по стопам Гранта и Прайса, которых больше интересовало устройство человеческого общества, нежели исследование природы. То, что сделали эти люди, в конце концов привело к созданию набора средств для контроля за риском и оценки его в бизнесе и финансовой деятельности.

***

Гальтон вырос в обстановке материального благополучия и оживленной интеллектуальной деятельности. Его дед, Эразм Дарвин, был одним из самых известных врачей своего времени, интересы которого отнюдь не ограничивались медициной. Он, в частности, изобрел паром, использующий механическую тягу вместо животной, туалет со сливом, экспериментировал с ветряными мельницами и паровыми двигателями, написал поэму в 2000 строк с детальным описанием процесса воспроизводства множества растений под названием «Любовь растений» («The Loves of Plants»). В 1796 году, когда ему было 65 лет, Эразм опубликовал двухтомный труд под названием «Зоономия, или Теория наследственности» («Zoonomia, or the Theory of Generations»). Хотя эта книга, имевшая сугубо теоретический характер, за семь лет выдержала три издания, она не получила должного отклика в научных кругах из-за скудости содержавшегося в ней фактического материала. Тем не менее «Зоономия» имеет поразительное сходство с «Происхождением видов» («The Origin of the Species»), опубликованным 63 года спустя его более знаменитым внуком Чарлзом Дарвином.

Гальтон рассказывал, что в четыре года он мог читать любую книгу, написанную на английском. Он декламировал наизусть «латинские существительные, прилагательные и все активные глаголы, а кроме того, 52 строки латинских стихов» и умел умножать на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10 .

В 16 лет он начал изучать медицину в Бирмингеме, но описал посещение палат и морга как «ужас-ужас-ужас!». После того как Чарлз Дарвин порекомендовал ему «подзаняться математикой», он направился в Кембридж изучать математику и филологию.

Ему было 22 года, когда умер его отец, оставив своим семерым детям приличное состояние. Решив, что теперь можно делать все, что вздумается, он вскоре бросил учебу и, воодушевленный путешествием Дарвина на Галапагосские острова, предпринял свое первое путешествие в Африку. Он поднялся вверх по Нилу, а затем на верблюдах добрался до Хартума, пройдя в общей сложности более тысячи миль. Вернувшись домой, он четыре года бездельничал, а потом совершил второе путешествие в Африку. В 1853 году он написал книгу об Африке, получившую признание в научных кругах, после чего был принят в члены Королевского Географического общества, наградившего его золотой медалью, а в 1856 году стал членом Королевского общества.

Это предпринятое в 27 лет второе путешествие привело Гальтона к «расстройству здоровья» и приступам депрессии, повторявшимся довольно часто на протяжении всей его жизни. Он говорил, что во время этих приступов у него «вывихнутые мозги».

***

Гальтон был ученым-дилетантом, проявлявшим глубокий интерес к проблемам наследственности, но совершенно равнодушным к экономике и бизнесу. Тем не менее его работы, касающиеся «идеального среднего дочернего типа», «родительского типа» и «усредненного наследственного типа», привели к открытиям в области статистики, имеющим существенное значение для прогнозирования и управления риском.

Наука о наследственности занимается изучением передачи из поколения в поколение таких ключевых характеристик, как умственные способности, цвет глаз, рост, манера поведения и пр. Всегда интересны исключения — индивидуумы, чьи характеристики не соответствуют норме, — но еще интереснее то, что все члены вида в значительной степени похожи друг на друга. Тенденция к усреднению, таящаяся за этой тенденцией к однородности, является важнейшей статистической закономерностью, имеющей отношение ко многим аспектам управления риском.

Гальтон пытался выяснить, как талант упорно сохраняется из поколения в поколение в некоторых семьях, в частности в его семье и в семье Бернулли. Он надеялся на сохранение таланта в собственном потомстве, но они с супругой оказались бездетными, так же как двое из его братьев и одна из сестер. Он очень старался выявить «черты природного благородства» у членов семей, которые он считал наиболее одаренными.

В 1883 году он назвал предмет своих ученых занятий евгеникой; греческий корень этого слова означает 'хорошее' или 'благое'. Использование этого термина полстолетия спустя нацистами ассоциируется с уничтожением миллионов людей, которых они сочли бездарными и малоценными.

Вопрос о том, насколько Гальтон ответствен за эти преступления, был предметом острых дискуссий. Ничто не указывает на то, что он мог бы одобрить столь варварское поведение. Для него хорошее общество — это общество, признающее свою обязанность помогать «высокоодаренным» индивидуумам получать образование вне зависимости от их материального благосостояния, социальной и расовой принадлежности. Он предлагал приглашать и обустраивать в Британии «эмигрантов и спасающихся бегством» и способствовать тому, чтобы их потомки становились гражданами страны. В то же время он размышлял о путях ограничения рождаемости менее способных или больных людей, утверждая, что хорошее общество должно быть обществом, «в котором слабые могут найти приют и убежище в монастырях или сестринских общинах».

Невзирая на спорные трактовки труда Гальтона по евгенике, следует признать, что его значение выходит далеко за пределы прямо поставленных в нем вопросов. В сущности, это очередное подтверждение трюизма, что разнообразие придает вкус. Отдавая должное Клеопатре, римский военачальник Энобарбус заметил: «Возраст не лишает ее свежести, а бесконечное разнообразие делает ее неизменно привлекательной». Оставаясь самой собой, она была попеременно влюбленной, дружелюбной, холодной, горячей, соблазнительной, враждебной, покорной, требовательной. Человек может быть разным.

Каждый из живущих ныне 6 миллиардов людей является индивидуальностью. В вермонтских лесах растет несчетное количество кленов, каждый из которых отличается от других, но ни один из них нельзя спутать с березой или сосной. Акции General Electric, как и акции Biogen, одинаково просто купить на Нью-Йоркской фондовой бирже, но факторы риска для этих акций не имеют между собой ничего общего.

Какой из многочисленных ликов Клеопатры, кто из миллиардов ныне живущих людей, какой клен, какая береза или сосна в вермонтских лесах, какая акция на Нью-Йоркской бирже является типичным представителем своего вида? Насколько представители каждого вида отличаются друг от друга? Насколько младенец из Уганды отличается от старушки из Стокгольма? Есть ли в различиях закономерность, или они являются просто результатом случайных воздействий? Иначе говоря, что мы называем нормой?

В поисках ответов на такие вопросы Гальтон не использовал достижения математики и игнорировал специалистов по социальной статистике, подобных Гранту. Однако он ссылался на серию эмпирических исследований, выполненных в 1820-х и 1830-х годах бельгийским ученым Ламбертом Адольфом Жаком Кветеле (Quetelet), который был на двадцать лет старше Гальтона, приобрел известность как настойчивый исследователь устройства общества и был одержим измерениями не менее самого Гальтона.

***

Кветеле было всего 23 года, когда он получил степень доктора в новом университете в Генте. К этому времени он уже отдал дань изучению искусства, писал стихи и был соавтором оперы.

Он был, пользуясь выражением историка статистики Стивена Стиглера, «в равной степени ученым и организатором науки». Он принял участие в создании нескольких статистических ассоциаций, включая Лондонское Королевское статистическое общество и Международный статистический конгресс, и многие годы был региональным корреспондентом Бельгийского правительственного статистического бюро. Около 1820 года он возглавил кампанию за основание новой обсерватории в Бельгии, хотя его познания в астрономии в то время оставляли желать лучшего. После создания обсерватории он убедил правительство командировать его на три месяца в Париж для изучения астрономии и метеорологии и стажировки в Парижской обсерватории.

Во время пребывания в Париже он встречался со многими ведущими французскими астрономами и математиками, в результате чего приобрел хорошие познания в теории вероятностей. Он мог даже встретиться с завершавшим работу над последним томом своей «Mecanique celeste» («Небесной механики») Лапласом, которому было в ту пору 74 года. Кветеле был очарован теорией вероятностей и написал о ней три книги подряд, последнюю в 1853 году. Кроме того, он нашел хорошее практическое применение своим новым познаниям.

После возвращения из Парижа в 1820 году он, не оставляя работу в Королевской обсерватории в Брюсселе, проводил исследования, касающиеся народонаселения Франции, и готовился к предстоящей переписи 1829 года. В 1827 году была опубликована его монография, озаглавленная «Исследование населения, рождений, смертей, тюрем, приютов для бедных и т. п. в Королевстве Нидерланды» («Researches on population, births, deaths, prisons, and poor houses, etc. in the Kingdom of the Low Countries»), в которой Кветеле провел критический разбор процедур, используемых при сборе и анализе статистических данных. Ему не терпелось применить метод определения численности населения, разработанный Лапласом еще для переписи 1780-х годов во Франции. Этот метод сводился к обследованию случайных выборок из различных групп населения тридцати департаментов и использованию этих выборок в качестве основы для подсчета общей численности населения.

Коллеги скоро отговорили Кветеле от использования этого подхода. Дело в том, что чиновники, проводившие перепись, не знали, насколько репрезентативны эти выборки. В каждой местности были свои условия и обычаи, оказывавшие влияние на рождаемость. Более того, как отмечали еще Галлей и Прайс, на качество переписи даже в небольшом регионе может оказать сильное влияние перемещение населения. В отличие от Энобарбуса Кветеле счел, что структура народонаселения Франции слишком неоднородна, чтобы делать обобщения на основе выборочного обследования. Было решено провести сплошную перепись населения Франции.

Это заставило Кветеле заняться поисками объяснения различий между местностями и группами населения — откуда это разнообразие, придающее вкус жизни? Если различия случайны, данные должны выглядеть одинаково для каждой выборки, если же они закономерны, то выборки должны отличаться одна от другой.

Эта идея побудила Кветеле окунуться в оргию измерений, которую Стиглер описывал следующим образом:

«Он обследовал рождения и смерти по месяцам и городам, в зависимости от температуры воздуха и времени дня... Он исследовал смертность по возрастам, по профессиям, по местностям, по сезонам, в тюрьмах и больницах. Он учитывал рост, вес, скорость роста и физическую силу... [и вел] статистический учет пьянства, сумасшествия, самоубийств и преступности» [13]

В результате в 1835 году появился «Трактат о человеке и развитии его способностей» («A Treatise on Man and the Development of his Faculties»), вскоре переведенный на английский язык. Словом «faculties» ('способности') переведено использованное Кветеле французское выражение physique social. Эта работа составила Кветеле имя. Автор трехчастной статьи в ведущем научном журнале заметил: «Мы рассматриваем появление этого тома как вступление в новую эпоху писаной истории цивилизации».

Книга представляет собой нечто большее, нежели просто набор сухих статистических данных и тяжеловесного текста. Кветеле создал героя, который жив до сих пор: I'homme moyen, или средний человек. Новое понятие покорило воображение публики и принесло огромную известность его создателю.

Кветеле старался определить характеристики среднего мужчины (в некоторых случаях женщины), становившегося затем образом определенной группы, которую он представлял, будь то группа преступников, пьяниц, солдат или мертвецов. Кветеле даже теоретизирует, что, «если бы индивидуум на каком-нибудь этапе развития общества представлял все качества среднего человека, в нем отразилось бы все великое, доброе и прекрасное».

Не все были с этим согласны. Одним из самых суровых критиков книги Кветеле стал Антуан Августин Карно, знаменитый математик и экономист, большой авторитет в области теории вероятностей, утверждавший, что, не принимая во внимание законы вероятности, «мы не можем получить ясной оценки точности измерений, предлагаемых наукой о наблюдениях... или условий, ведущих к успеху коммерческих предприятий». Карно высмеял концепцию среднестатистического человека. Усреднением набора прямоугольных треугольников мы не получим прямоугольного треугольника, заметил он, а средний человек должен бы представлять собой некое чудовище.

Кветеле был непреклонен. Он был убежден, что сможет найти образ среднего человека для любой возрастной группы, рода занятий, места проживания или этнической принадлежности. Более того, он утверждал, что может не только определить, но и объяснить, почему данный индивидуум принадлежит скорее к одной группе, нежели к другой. Это был принципиально новый шаг: до сих пор еще никому не приходило в голову использовать математику и статистику для отделения причины от следствия. «Следствие пропорционально причине, — написал он и продолжил курсивом: — Чем большее число индивидуумов подвергается наблюдению, тем больше проявляются превалирующие характерные качества, физические или моральные, позволяющие выявить общие доминирующие факты, благодаря которым общество существует и сохраняется». К 1836 году Кветеле развил эти идеи в книге о применении теории вероятностей в «моральных и политических науках».

Работа Кветеле о причинах и следствиях представляет собой увлекательное чтиво. Например, в ней можно найти подробный анализ факторов, влияющих на долю осужденных среди тех, кому предъявлено обвинение. В среднем 61,4% всех обвиняемых были осуждены, но вероятность обвинительного приговора в случае преступлений против личности составляла менее 50%, в то время как вероятность осуждения по обвинению в имущественных преступлениях составила свыше 60%. Вероятность осуждения была ниже 61,4%, если обвиняемыми оказывались женщины старше тридцати лет, грамотные и хорошо образованные, которые добровольно являлись в суд, вместо того чтобы уклоняться от него. Кветеле старался определить, являются ли отклонения от среднего значения 61,4% значимыми или случайными: он искал моральной достоверности в процессах над аморальностью.

Что бы ни брался исследовать Кветеле, всюду он видел колоколообразную кривую. Почти всегда «ошибки» или отклонения от среднего послушно распределялись согласно описанному Лапласом и Гауссом нормальному закону, симметрично уменьшаясь по обе стороны от среднего значения. Эта замечательно сбалансированная упорядоченность с пиком, соответствующим среднему значению, убеждала Кветеле в правомерности его излюбленного понятия среднего человека. Оно положено в основу всех его выводов, полученных на основе статистических обследований.

Например, в одном из обследований проводились измерения объема грудной клетки 5738 солдат шотландской армии. Кветеле построил кривую распределения результатов обследования и сравнил его с теоретической нормальной кривой. Они почти идеально совпали.

К этому времени уже было установлено, что нормальное распределение, описываемое формулой Гаусса, имеет широкое распространение в природе; теперь подтвердилось, что оно может быть положено в основу описания социальных явлений и физических характеристик людей. Исходя из этого, Кветеле пришел к заключению, что совпадение нормального распределения с результатами обследования шотландских солдат указывает на то, что отклонения от среднего значения, скорее всего, не отражали систематических различий в исследуемой совокупности, а носили случайный характер. Другими словами, совокупность представлялась в основном однородной, и средний солдат шотландской армии является идеальным представителем всех шотландских солдат. Клеопатра была прежде всего женщиной.

Однако в одной из работ Кветеле совпадение с нормальным распределением оказалось несколько менее выраженным. Анализируя распределение 100 000 французских призывников по росту, он обнаружил большое число малорослых, не позволяющее признать распределение нормальным. Поскольку в то время малый рост служил основанием для освобождения от воинской службы, Кветеле сделал вывод, что в ходе обследования результаты измерений мошеннически искажались с целью получения освобождения.

Замечание Карно о том, что среднестатистический человек должен оказаться монстром, отражало его мнение, что теория вероятностей применима к анализу естественнонаучных данных, но не применима в анализе общества. Он утверждал, что совокупность людей допускает сколь угодно произвольную классификацию. В отличие от него Кветеле верил, что нормальное распределение измерений, относящихся к группе людей, свидетельствует только о случайном характере различий в группе испытуемых. Но Карно подозревал, что различия могут быть не случайными. Рассмотрим, например, как можно классифицировать число рождений мальчиков в течение года: по возрасту родителей, по географическому положению обследуемых регионов, по дням недели, по этнической принадлежности, по весу, по времени беременности, по цвету глаз или длине среднего пальца, и это далеко не исчерпывающий список. Как здесь с уверенностью сказать, какое дитя является среднестатистическим! Карно полагал, что невозможно установить, какие из этих данных следует считать значимыми, а какие случайными: «Одна и та же величина отклонения [от среднего значения] может служить основанием для различных суждений». Карно не учитывал того, что хорошо известно современной науке, а именно что результаты большинства подобных измерений физических данных человека напрямую зависят от питания, то есть что они также являются отражением и социального статуса обследуемых.

Сегодня статистики обозначают то, что вызвало неприятие Карно, «добычей данных». Они говорят, что, если мучить данные достаточно долго, можно доказать что угодно. Карно чувствовал, что Кветеле ступил на опасную почву широких обобщений на основе ограниченного числа наблюдений. Весьма вероятно, что другая серия наблюдений над группой того же размера может дать результаты, существенно отличные от полученных в первой серии.

Несомненно, увлеченность нормальным распределением завела Кветеле слишком далеко. Тем не менее в свое время его работы сыграли огромную роль. Позже знаменитый математик и экономист Фрэнсис Исидор Эджворт употребил термин «кветелизм» для обозначения повального увлечения нахождением нормальных распределений там, где их не было, или идеи считать нормальным любое распределение, далеко не отвечающее требованиям, предъявляемым нормальному распределению.

***

Первая работа Кветеле, с которой Гальтон впервые познакомился в 1863 году, произвела на него неизгладимое впечатление. «Среднее — это всего лишь единичный факт, — писал он, — тогда как при добавлении другого единичного факта начинает проявляться действующая нормальная схема, хорошо согласующаяся с данными наблюдений. Некоторые люди не переносят само упоминание о статистике, я же нахожу в ней бездну красоты и занимательности».

Гальтон был очарован Кветеле, считая, что «самый любопытный теоретический закон об отклонениях от среднего» — нормальное распределение — оказался вездесущим и особенно удобным для описания результатов таких измерений, как измерения роста или грудной клетки. Самому Гальтону понравилась колоколообразная кривая распределения 7634 оценок по математике, которые были проставлены студентам Кембриджского университета на выпускном экзамене, ранжированных от самой высокой до «трудно сказать, насколько плохой». Он обнаружил схожее статистическое распределение экзаменационных оценок на вступительных экзаменах в Королевский военный колледж в Сандхерсте.

Больше всего колоколообразная кривая привлекала Гальтона тем, что выявляла определенные наборы данных, которые могли рассматриваться как относительно однородные. И наоборот, отсутствие нормального распределения свидетельствовало о «неоднородности системы». Гальтон любил сильные высказывания: «Это предположение не может быть опровергнуто».

Но Гальтон искал как раз различия, а не однородность, — ему нужна была Клеопатра, а не среднестатистическая женщина. В рамках создаваемой им евгеники он искал различия даже в пределах групп, где измеряемые качества, казалось, укладывались в нормальное распределение. Гальтон ставил своей целью классификацию людей по «природным способностям», которые он понимал следующим образом:

«...такие качества интеллекта и предрасположенности, которые побуждают человека и делают его способным совершать действия, ведущие к славе... Я имею в виду натуры, которые, будучи предоставлены самим себе, побуждаемые врожденными стимулами, карабкаются по тропе, ведущей на вершину, и имеют достаточно сил добраться до нее... Люди, достигшие вершины, и другие, по природе своей способные на это, в значительной степени идентичны» [25]

Гальтон начал с фактов. С 1866-го по 1869 год он собрал массу фактов для доказательства того, что таланты и достижения являются наследственными качествами. Потом он суммировал результаты поисков в самой значительной из своих работ «Наследственная одаренность», в приложение к которой включил отрывок из работы Кветеле, а также собственные едкие оценки неуживчивости, характерной для мужчин из семьи Бернулли. Книга начинается с оценки доли той части населения, которую Гальтон считает возможным охарактеризовать как «выдающуюся». На основе некрологов из «London Times» и биографического справочника он подсчитал, что в Британии того времени на 4000 или 5000 англичан среднего возраста приходилась одна знаменитость.

Хотя Гальтон говорил, что его не занимают люди со способностями ниже среднего уровня, он все же оценил, что на двенадцать миллионов англичан приходится 50 000 «идиотов и слабоумных», или один на 400, то есть в десять раз больше, чем одаренных граждан. Впрочем, интересовали его только одаренные. «Я уверен, — заключил он, — что никто не может сомневаться в существовании высших человеческих особей, по природе своей наделенных врожденным благородством, рожденных быть королями среди людей». Гальтон не игнорировал «очень одаренных женщин», но считал, что, «может быть, и хорошо для другого пола, что одаренная женщина — это большая редкость».

Гальтон был убежден, что если результаты измерений роста и грудной клетки подтверждают гипотезу Кветеле, то так же обстоит дело и с размерами черепной коробки, весом головного мозга и нервными волокнами, как, впрочем, и с интеллектуальными способностями. Он показал, как хорошо выводы Кветеле согласуются с его собственными оценками распределения способностей британцев: от одаренности с одной стороны до идиотизма с другой. Он пришел к «неоспоримому, но неожиданному заключению, что люди с выдающимися дарованиями настолько же выше людей среднего уровня, насколько последние выше идиотов».

Но кроме всего этого, Гальтон хотел доказать, что источником выдающихся талантов является только наследственность, а не «домашнее воспитание, не школа или университет и не профессиональная карьера». И кажется, действительно дело в наследственности, по крайней мере если речь идет о параметрах, избранных Гальтоном. Он, например, обнаружил, что каждый девятый из близких родственников 286 судей был отцом, сыном или братом другого судьи, в то время как доля судей в общей численности населения несравненно меньше 1/9. Более того, он выяснил, что многие родственники судей являются адмиралами, генералами, писателями, поэтами и врачами. (Гальтон явно исключал служителей церкви из числа одаренных людей.) Он был вынужден с разочарованием отметить, что в его выборке в неразделимой связке оказываются одаренные люди и «конгенитальные идиоты».

Однако Гальтон установил, что высокие способности сохраняются в семье ненадолго, или, как говорят физики, имеют короткий период полураспада. Он обнаружил, что только 36% сыновей именитых людей сами достигали высокого положения, а внукам это удавалось только в 9% случаев. Он пытается объяснить, почему именитые фамилии имеют тенденцию к вымиранию, ссылаясь на общеизвестный обычай жениться на наследницах. Чем они виноваты? Потому что наследницы должны происходить из неплодовитых семей, утверждает Гальтон; если бы они имели большое число братьев и сестер, фамильное состояние делилось бы на всех и они не имели бы статуса «наследниц». Это было неожиданное утверждение в устах человека, который жил в комфорте после того, как поделил наследство своего отца с шестью братьями и сестрами.

***

Прочитав «Наследственную одаренность», Чарлз Дарвин сказал Гальтону: «Не думаю, что мне приходилось читать что-нибудь более интересное и оригинальное... примечательная книга». Дарвин советовал продолжить анализ статистических данных о наследственности, но Гальтона не нужно было подстегивать. Дело по разработке новой науки евгеники шло полным ходом, и он был полон страстного желания выявить и сохранить то, что он называл лучшим в человечестве. Гальтон хотел, чтобы лучшие люди имели больше потомства, а бездарности проявляли сдержанность.

Но на его пути упорно стоял закон об отклонениях от среднего. Нужно было как-то объяснить различия внутри нормального распределения. Гальтон понимал, что прежде всего для этого нужно выяснить, почему данные распределяются по колоколообразной кривой. Поиски ответа на этот вопрос привели его к потрясающему открытию, влияющему ныне на принятие большинства решений, больших и малых.

О первом шаге Гальтон сообщил в статье, которая была опубликована в 1875 году; в ней он высказал предположение, что универсальность симметричного распределения относительно среднего значения может быть результатом влияний факторов, которые сами распределены нормальным образом, выстраиваясь от наиболее редких условий к наиболее частым и затем опять к наиболее редким противоположным условиям. Гальтон предположил, что даже в рамках каждого отдельного фактора влияние распределяется от самого слабого к сильному и затем опять к противоположному слабому. Суть его аргументации сводилась к тому, что «посредственные» влияния встречаются гораздо чаще, чем экстремальные, неважно, плохие или хорошие.

Гальтон продемонстрировал модель своей идеи в Королевском обществе в 1874 году с помощью приспособления, которое он назвал quincunx. Это нечто вроде игры в пинбол: наклонная доска с узкой горловиной вверху, как у песочных часов, с торчащими пониже горловины двенадцатью штырьками. На противоположном широком конце лотка ряд небольших ячеек. Стоит сыпануть дроби, и она, натыкаясь на штырьки, падает вниз, заполняя расположенные внизу ячейки в полном соответствии с распределением Гаусса — большая часть дробинок собирается в средних ячейках, остальные в убывающих количествах заполняют крайние.

В 1877 году во время выступления с большим докладом на тему «Основные законы наследственности» («Typical Laws of Heredity») Гальтон предложил новую модель своего приспособления. (Мы не знаем, построил ли он ее на самом деле.) В этой модели на пути дробинок после горловины устанавливались такие же ячейки, как на дне первой модели, но с отверстием на дне, до поры закрытым. Когда отверстие на дне какой-либо из этих верхних ячеек открывалось, дробинки скатывались в нижние ячейки, где и располагались, как вы уже, наверное, догадались, по закону нормального распределения.

Потрясающее открытие! Свойства любой группы, сколь угодно малой и хоть как-то отличающейся от других групп, имеют тенденцию распределяться в соответствии с колоколообразной кривой, так что большая часть группы попадает близко к центру, или, как принято говорить, к среднему. Когда все группы сливаются в одну, как это было в первом варианте модели, дробинки также располагаются в соответствии с нормальным распределением. Таким образом, нормальное распределение большой группы выявляет среднее от средних значений для малых подгрупп.

Вторая механическая модель была упрощенным воплощением идеи, к которой Гальтон пришел по ходу эксперимента, предложенного Дарвином в 1875 году. В этом эксперименте не использовались кости, звезды и даже люди. Использовался сладкий стручковый горох. Сладкий горох хорошо хранится, плодовит и имеет слабую тенденцию к перекрестному опылению. В каждом стручке горошины почти одинакового размера. Взвесив и пересчитав тысячи сладких горошин, Гальтон разослал десять партий по семь упаковок разного веса, в каждой девяти друзьям, включая Дарвина, жившим в разных концах Британии, с подробными инструкциями, касающимися посадки и выращивания гороха в разных условиях.

Проанализировав результаты, Гальтон сообщил, что потомство от каждой из семи партий по весу в точности повторило распределение, которое предсказало бы его приспособление. Веса горошин, выращенных из каждой из семи упаковок внутри каждой партии, образовывали нормальное распределение, и веса горошин, выращенных из каждой партии, также образовали нормальное распределение. Этот убедительный результат не был, как сказал Гальтон, следствием «разных комбинаций незначительных влияний» [курсив Гальтона. — П.Б.]. Скорее, «процессы наследования... находятся под действием не малых, а очень важных влияний». Подобно тому как немногие индивидуумы в группе людей оказываются одаренными, среди их отпрысков также немногие отличаются заметными талантами; поскольку большинство людей имеют средние способности, их потомки также обречены на средний уровень. Посредственность всегда многочисленнее талантов. Последовательность малых-больших-малых размеров горошин, образующая нормальное распределение, убедила Гальтона, что доминирующим фактором, определяющим свойства потомства, являются качества родителей.

Как свидетельствует приведенная ниже таблица распределения горошин первого и второго поколений по диаметру, эксперимент выявил кое-что еще.

Заметьте, что разброс диаметров среди родительских семян больше, чем у потомства. Средний диаметр родительских горошин был 0,18 дюйма с разбросом от 0,15 до 0,21 дюйма, или по 0,03 дюйма справа и слева от среднего значения. Средний диаметр выращенных горошин оказался равным 0,163 дюйма с разбросом от 0,154 до 0,173 дюйма, или по 0,01 дюйма справа и слева от среднего значения. Потомство распределено в более узком интервале, чем родительское поколение.

На основе этого эксперимента Гальтон предложил общий принцип, получивший название регрессии, или схождения к среднему. «Схождение, — писал Гальтон, — это тенденция идеально среднего второго поколения отойти от родительского типа, возвращаясь к тому, что можно грубовато, но, по-видимому, верно назвать усредненным наследственным типом». Если бы этот процесс схождения не срабатывал, то есть если бы (в нашем случае) большие горошины продуцировали бы еще бóльшие, а малые — еще меньшие, то в мире не осталось бы никого, кроме карликов и гигантов. Природа из поколения в поколение становилась бы все более причудливой, стремясь к абсолютной нестабильности или выходя за такие пределы, о которых не хочется и думать.

Гальтон подытожил результаты этих исследований в одном из своих наиболее красноречивых и выразительных высказываний:

«Ребенок наследует частично от своих родителей, частично от их предков... Чем дальше мы возвращаемся назад по его генеалогическому древу, тем большее число предков и вариаций выявляется в его наследственности, пока они не перестанут отличаться от столь же многочисленной случайной выборки, произвольно взятой из расы... Этот закон наносит сильный удар по представлениям о простом наследовании какого-либо таланта. <...> Закон симметричен: он касается наследования как пороков, так и добродетелей. Охлаждая экстравагантные надежды одаренных родителей на то, что их дети унаследуют все их таланты, он не менее убедительно рассеивает их опасения относительно возможного наследования их слабостей и болезней» [37]

Элегантность формулировки не могла сделать этот вывод приятным для Гальтона, но он стимулировал его усилия по разработке евгеники. Само собой напрашивалось решение усилить влияние «усредненного наследственного типа» за счет ограничения воспроизводства потомства на нижнем конце шкалы; нужно было просто отсечь левую ветвь нормального распределения.

Гальтон нашел еще одно подтверждение схождения к среднему в эксперименте, о котором он рассказал в 1885 году по случаю его избрания президентом Британской ассоциации развития науки. Для этого эксперимента он собрал огромное количество данных о людях, которые он получил в ответ на публичное предложение снабдить его информацией за определенную плату. Он проанализировал данные о 928 взрослых детях, рожденных от 205 родительских пар.

На этот раз Гальтон занялся сравнением роста родителей и детей. Так же как и в эксперименте со сладким горошком, он и в этом обследовании поставил своей целью проверить, как это частное свойство передается по наследству. Чтобы скорректировать для целей анализа различие в росте между мужчинами и женщинами, он умножал рост женщины на 1,08, складывал показатели роста обоих родителей и делил на два. Он назвал эту величину «средним ростом родителей». Ему нужно было также быть уверенным в отсутствии тенденции к женитьбе высоких мужчин на высоких женщинах, а маленьких на маленьких; его вычисления были «достаточно скрупулезны», чтобы исключить наличие такой тенденции

Как видно из таблицы, результат получился великолепный. Структура чисел по диагонали от левого нижнего угла до правого верхнего показывает, что у высоких родителей вырастают высокие дети и наоборот — наследственность имеет значение. Группы больших чисел в центральной части таблицы позволяют сделать вывод, что распределение детей по росту является нормальным и что рост детей, родители которых относятся к одной группе роста, также описывается нормальным распределением. И наконец, сравним самую правую и самую левую колонки. («Медиана» означает, что в половине группы люди были выше, а в половине — ниже этого числа.) Дети всех родителей, средний рост которых был выше 68,5 дюйма, в среднем оказались ниже своих родителей; дети всех родителей, средний рост которых был ниже 68,5 дюйма, в среднем оказались выше своих родителей. Совсем как в эксперименте со сладким горошком.

Упорядоченность нормального распределения и наличие сходимости позволили Гальтону вычислить другие показатели — например, долю высоких родителей, дети которых выше своих сверстников, но ниже родителей. Когда профессиональные математики подтвердили его результаты, Гальтон написал:

«Я еще никогда не испытывал такого глубокого уважения к величественной и непререкаемой власти математического анализа» [39]

Подход Гальтона в конце концов привел к разработке понятия корреляции, которая измеряет, насколько тесно связаны между собой изменения двух величин, будь то размеры родителей и детей, количество осадков и урожай, инфляция и процентные ставки или цены на акции General Motors и Biogen.

***

Карл Пирсон, главный биограф Гальтона и сам выдающийся математик, заметил, что Гальтон совершил «революцию в наших научных представлениях, [которая] изменила философский подход к науке и даже к самой жизни». Это не преувеличение: идея схождения к среднему сработала как динамит. Гальтон превратил статическое понятие вероятности, базирующееся на случайности и законе больших чисел, в динамическую концепцию, описывающую процесс, в котором преемникам крайних предопределено присоединиться к толпе в центре. Изменение и движение от внешних границ к центру постоянно, неизбежно и предсказуемо. Учитывая динамические свойства этого процесса, нельзя и помыслить, что его результатом будет что-либо, кроме нормального распределения. Тенденция всегда направлена к среднему, к восстановлению «нормальности», к среднему, или среднестатистическому, человеку Кветеле.

Принцип схождения к среднему объясняет почти все разнообразие поведения в условиях риска и прогнозирования. Этот принцип сквозит в поговорках типа: «Не всё коту масленица», «С высоты больнее падать», «Карта не лошадь, к утру да придет». Именно эту предопределенность событий имел в виду Иосиф, когда предсказал фараону, что за семью тучными годами последуют семь тощих лет. Об этом же думал Д. П. Морган, когда говаривал, что «рынок переменчив». Это кредо так называемых контрапунктных инвесторов, которые всегда работают в противофазе: когда они говорят, что цена акций завышена или занижена, то имеют в виду, что страх или жадность побудили толпу поддерживать цену на акции, не соответствующую их внутренней ценности, к которой цена непременно вернется со временем. Именно на это уповает проигрывающий игрок — карта не лошадь, к утру да придет. Именно это имеет в виду мой врач, когда говорит, что «потерпи» и всё пройдет. И именно с этой точки зрения воспринимал события Герберт Гувер, когда в 1931 году, ободряя сограждан, говорил, что процветание уже за углом, — к несчастью для него и других, он был не прав, середина находилась не там, где он предполагал.

Фрэнсис Гальтон был гордый человек, правда он ни разу не пережил падения. Его достижения получили широкое признание, и он прожил долгую, насыщенную жизнь. Став вдовцом, он сохранил любовь к путешествиям и продолжал писать, наслаждаясь обществом родственницы, которая была намного моложе его. Он никогда не позволял своему увлечению числами и фактами заслонить прелести жизни, и его чрезвычайно радовало ее разнообразие:

«Трудно понять, почему статистики обычно ограничиваются исследованием Среднего и не наслаждаются более широким взглядом на мир. Их души кажутся такими же закрытыми для прелести разнообразия, как у жителя какого-нибудь английского графства, чьи воспоминания о Швейцарии сводятся к тому, что, если бы ее горы сбросить в озера, швейцарцам удалось бы одним движением избавиться сразу от двух напастей» [41]

 

Глава 10

Стручки и риски

Понятие схождения к среднему значению породило многие системы принятия решений с их философскими обоснованиями. И понятно почему: превращение большего в бесконечно большое или малого в бесконечно малое маловероятно. До небес деревья не растут. Уступая, как водится, искушению экстраполировать тенденции прошлого в будущее, нужно помнить о горошинах Гальтона.

Но если схождение к среднему столь неотвратимо, почему прогнозирование остается таким неблагодарным делом? Почему мы не умеем провидеть грядущее так же, как Иосиф в разговоре с фараоном? Простейший ответ на этот вопрос заключается в том, что силы, управляющие природой, отличаются от сил, управляющих человеческой психологией. Точность большинства предсказаний зависит в большей степени от людей, нежели от матери-природы, которая со всеми ее причудами ведет себя гораздо определеннее, нежели группа людей, пытающихся выработать свое понимание чего бы то ни было.

Можно назвать три причины того, почему схождение к среднему может быть таким ненадежным ориентиром в процессе принятия решений. Во-первых, иногда оно осуществляется так медленно, что любое возмущение снижает очевидность процесса. Во-вторых, оно может быть настолько сильным, что на подходе к среднему значения начинают колебаться вокруг него с повторяющимися нерегулярными отклонениями в обе стороны. Наконец, само среднее может оказаться нестабильным, так что его вчерашнее значение сегодня может быть вытеснено новым, о котором нам ничего не известно. В разгар кризиса рискованно предполагать, что процветание уже за углом, исходя только из того, что до него всегда было рукой подать.

Схождение к среднему описывает поведение большинства игроков на фондовом рынке. Фольклор Уолл-стрит усыпан расхожими фразами типа «Дешево купи — дорого продай», «Изымая прибыль из игры, не обнищаешь», «Быку достанется, медведю достанется, а теленку не достанется». Всё это перепевы на одну тему: если ставишь на то, что сегодняшнее положение будет длиться до бесконечности, то можно быстрее и с меньшим риском разбогатеть, чем следуя за толпой. Однако многие инвесторы сплошь и рядом пренебрегают этим правилом, потому что они по складу характера не способны покупать дешево и продавать дорого. Не в силах противостоять алчности и страху, они следуют за толпой вместо того, чтобы подумать своей головой.

Не так уж легко постоянно помнить о горошинах. Никто не знает, что будет завтра, и проще предполагать, что оно будет похоже на сегодня, чем ждать неведомых перемен. Кажется, что выгоднее покупать акции, которые уже имеют опыт роста, чем те, что раньше стояли как вкопанные. Рост цен внушает нам представление о процветании компании, а падение — о ее затруднениях. Зачем же выходить из общей колеи?

Профессионалы не реже дилетантов пытаются избегать риска в игре. Например, в декабре 1994 года аналитики брокерской фирмы Sanford С. Bernstein & Co. пришли к выводу, что специалисты, которые предсказывали больший чем в среднем рост котировок акций, постоянно завышали прогноз, в то время как пессимисты постоянно занижали его. «В среднем, — констатировали аналитики, — прогнозы не сбываются».

Последствия понятны: акции с розовыми перспективами взлетают до небес, тогда как акции с мрачными перспективами рушатся в пропасть. Затем вступает в действие принцип схождения к среднему. Наиболее реалистичные и уравновешенные инвесторы покупают, пока большинство других продает, и продают, когда другие спешат купить. Результаты всегда печальны для тех, кто следует общей тенденции.

Биржа помнит многих легендарных инвесторов, сколотивших состояние на том, что ставили на схождение к среднему, т. е. покупали дешево и продавали дорого. В их числе можно назвать Бернарда Баруха, Бенджамина Грэма и Уоррена Баффетта. Обоснованность контрапунктной стратегии подтверждается множеством научных исследований.

Но заслуживают внимания и те немногие, кто сделал приличные деньги, идя вместе с толпой. Нам мало известно о таких инвесторах, которые старались идти по этому пути и проигрывали то ли из-за того, что действовали слишком быстро или вообще никак, то ли потому, что среднее, на схождение к которому они рассчитывали, оказалось не тем, к которому все свелось.

Стоит вспомнить о тех инвесторах, которые опрометчиво покупали акции в начале 1930 года, сразу после Великого краха, когда цены упали на 50%. Цены упали еще на 80%, пока не достигли нижнего уровня в конце 1932 года. Не следует забывать и об осторожных инвесторах, которые продавали акции в начале 1955 года, когда индекс Dow Jones Industrial вырос втрое по сравнению с 1949 годом и наконец-то опять достиг уровня 1929 года. Уже через девять лет цены стали вдвое выше уровня 1929-го и 1955 годов. В обоих случаях ожидаемый возврат к «норме» не состоялся: нормальный уровень сместился на другую позицию.

Обсуждая вопрос, в какой степени схождение к среднему определяет поведение рынка, мы, по сути дела, выясняем, можно ли предсказать цены, и если да, то что для этого надо. Не ответив на этот вопрос, ни один инвестор не может знать, чем он рискует.

Есть факты, что цены некоторых акций поднимаются «слишком высоко» или падают «слишком низко». В 1985 году на ежегодном собрании Американской финансовой ассоциации экономисты Ричард Талер (Thaler) и Вернер ДеБондт (DeBondt) представили доклад на тему «Не слишком ли сильна реакция рынка?». Чтобы выяснить, не вызывают ли экстремальные отклонения цен на акции в одном направлении реакции схождения к среднему и не сопровождается ли это последующим экстремальным отклонением цен в противоположную сторону, они исследовали трехлетние показатели прибыльности более тысячи акций с января 1926-го по декабрь 1982 года. Они выделили, с одной стороны, акции-«победители», которые в каждом трехлетнем периоде поднимались выше и падали не столь сильно, как рынок в среднем, а с другой — «проигравшие» акции, которые поднимались не так высоко, как рынок в среднем, но падали сильнее, чем рынок в среднем. Потом они подсчитали среднюю доходность каждой группы акций в каждом трехлетнем периоде.

Результаты оказались недвусмысленными: «За последние полстолетия портфели с «проигравшими» акциями уже через тридцать шесть месяцев после формирования портфеля оказывались на 19,6% прибыльнее, чем рынок в среднем. С другой стороны, портфели с акциями-«победителями» по прошествии того же срока оказывались в среднем на 5% менее прибыльными, чем рынок в среднем».

Метод анализа, который использовали ДеБондт и Талер, подвергся критике, но их результаты были подтверждены другими аналитиками, использовавшими иные методы. Когда инвесторы слишком бурно реагируют на новую информацию, забывая при этом о долговременных тенденциях, механизм схождения к среднему превращает средних «победителей» в «проигравших» и наоборот. Это превращение осуществляется с известной задержкой, которая создает возможности для извлечения прибыли: можно с уверенностью утверждать, что сначала рынок слишком сильно реагирует на краткосрочные новости, а затем реагирует слишком слабо в ожидании новых краткосрочных новостей противоположного характера.

Причина этого достаточно проста. В целом цены на акции отражают положение дел в компании. Инвесторы, которые слишком сконцентрированы на краткосрочных тенденциях, пренебрегают множеством фактов, свидетельствующих, что взлет прибыльности компаний по большей части недолговечен. С другой стороны, компании, попавшие в затруднительное положение, не могут пассивно скользить в пропасть. Их руководители примут трудные решения и наведут порядок или потеряют работу, а их место займут другие, более расторопные.

Схождение к среднему исключает другой поворот событий. Если победители всегда будут побеждать, а проигравшие всегда будут в проигрыше, наша экономика выродится в жалкий пучок гигантских монополий, а мелкие компании практически исчезнут. Некогда прославленные монополии Японии и Кореи сейчас пребывают в состоянии упадка: непреодолимый наплыв импортных товаров обеспечивает схождение к среднему и постепенно ослабляет их экономическое могущество.

Динамика эффективности профессиональных инвестиционных менеджеров также является сферой действия принципа схождения к среднему. Весьма вероятно, что менеджер, очень успешно работающий сегодня, станет неудачником завтра или по крайней мере послезавтра и наоборот. Это не означает, что от удачливых менеджеров неизбежно отвернется удача или что неудачникам непременно улыбнется счастье, хотя такое часто бывает. Вообще, надо сказать, инвестиционные менеджеры часто теряют почву под ногами только потому, что ни один стиль игры на бирже не может вечно приносить удачу.

Ранее, обсуждая петербургский парадокс, мы отметили трудности инвесторов при оценке акций, доходность которых обещает бесконечный рост (см. гл. 6, с. 125-126). Было неизбежным, что безграничный оптимизм инвесторов сделает цены этих акций бессмысленно высокими. Когда механизм схождения к среднему обваливает цены этих акций, даже лучший менеджер портфеля акций роста поневоле остается в дураках. В конце 1970-х годов то же самое случилось с теми, кто инвестировал в акции малых компаний, когда научные исследования показали, что, несмотря на связанный с ними значительный риск, в долгосрочной перспективе именно акции малых компаний давали наибольшую прибыль инвесторам. К 1983 году опять сработал механизм схождения к среднему, и феномен повышенной доходности акций малых компаний надолго перестал действовать. В то время даже лучший менеджер по инвестированию в малые компании был обречен на проигрыш.

В 1994 году «Morningstar», ведущее издание по взаимным инвестиционным фондам, опубликовала приведенную ниже таблицу, отобразившую динамику разных видов фондов за пятилетние периоды 1984-1989 годов и 1989-1994 годов.

Это наглядный пример того, как действует механизм схождения к среднему. Средние показатели за обе пятилетки почти идентичны, но резкие изменения эффективности для разных видов фондов просто поразительны. У трех групп, показатели которых в первом периоде были выше среднего, во втором периоде они стали ниже среднего, а у трех других групп, у которых показатели в первом периоде были ниже среднего, во втором периоде стали выше среднего.

Глядя на эту впечатляющую работу механизма схождения к среднему, можно дать ценный совет инвесторам, которые постоянно меняют своих менеджеров. Самая мудрая стратегия заключается в том, чтобы увольнять менеджеров с лучшими достижениями и нанимать тех, у кого перед этим дела шли хуже всех. Эта стратегия равноценна продаже акций, котировки которых выросли больше других, и покупке акций, котировки которых упали больше других. Если придерживаться этой контрапунктной стратегии трудно, можно добиться того же результата другим способом. Положитесь на интуицию — и вперед! Увольняйте неудачливых менеджеров и нанимайте удачливых, но прежде стоит выждать пару лет.

Что можно сказать о фондовом рынке в целом? Предсказуемы ли популярные средние типа индексов Dow Jones Industrial и S&Р 500?

Диаграммы в главе 8 (с. 166) показывают, что показатель прибыльности акций по годам не описывается нормальным распределением, но прибыльность помесячная и поквартальная подчинена нормальному распределению, хотя и не с абсолютной точностью. Кветеле истолковал бы этот факт как доказательство того, что краткосрочные колебания рыночных котировок являются независимыми, т. е. что сегодняшние изменения ничего не говорят о том, какими будут цены завтра. Фондовый рынок непредсказуем. Для объяснения, почему это так, понадобилась концепция случайных блужданий.

Но как быть с большими периодами? В конце концов большинство инвесторов, даже самых нетерпеливых, остается на рынке не месяц, не квартал и не год. Несмотря даже на то, что содержимое их портфелей меняется со временем, серьезные инвесторы стараются держать свои деньги на фондовом рынке многие годы, даже десятилетия. Отличается ли на деле длительный период на фондовом рынке от коротких?

Если концепция случайных блужданий верна, значит, вся относящаяся к делу информация отражена в сегодняшних котировках. Изменить их может только появление дополнительной информации. Коль скоро у нас нет способа узнать, какой будет эта дополнительная информация, нет и способа предугадать то среднее, к которому будут стремиться котировки. Иными словами, нет такой вещи, как временная цена акций — то есть цена, зафиксированная на каком-то уровне и ожидающая, пока не придет пора переместиться на другой уровень. А это значит, что изменения непредсказуемы.

Но есть две другие возможности. Если гипотеза ДеБондта-Тале-ра о чрезмерной реакции на последние новости применима к рынку в целом, а не только к отдельным акциям, схождение к среднему в поведении основных показателей рынка в целом должна проявляться как ощутимая долговременная реалия. Если, с другой стороны, в одних экономических ситуациях инвесторы бывают напуганы больше, чем в других, — например, в 1932-м или 1974 годах по сравнению с 1968-м или 1986 годами — акции будут падать, пока не пройдет страх, и начнут расти, когда изменятся обстоятельства и появится надежда на будущее.

В обеих ситуациях неплохо пренебречь кратковременной неустойчивостью конъюнктуры и, проявив выдержку, дождаться нового подъема. Скачки и падения рынка не имеют значения, и прибыль инвесторов должна с неизбежностью оказаться равной некоторой нормальной — в долговременной перспективе — величине. Если все действительно так, фондовый рынок можно считать рискованным местом для помещения капитала на несколько месяцев или пару лет, но риск понести на нем существенные убытки за пять лет и более невелик.

Убедительное подтверждение этой точки зрения дает монография двух профессоров Байлорского университета Уильяма Рай-хенштайна (Reichenstein) и Дювалье Дорсетта (Dorsett), опубликованная в 1995 году Ассоциацией управления и исследования инвестиций (Association for Investment Management & Research) — организацией, к которой принадлежит большинство профессиональных инвесторов. На основе подробных исследований они пришли к выводу, что плохие периоды на рынке предсказуемо сменяются хорошими и наоборот. Это утверждение противоречит концепции случайных блужданий, которая отрицает предсказуемость изменения котировок. Котировки, подобно горошинам Гальтона, не проявляют склонности к безграничному изменению вверх или вниз.

Математика утверждает, что дисперсия (величина, определяющая, как результаты наблюдений распределяются вокруг среднего значения) серии случайных чисел будет неуклонно возрастать с ростом длины серии. Таким образом, дисперсия результатов наблюдений за три года должна оказаться втрое больше дисперсии результатов наблюдений за год, а за десять лет она должна превысить годичную в десять раз. Если же, с другой стороны, числа не являются случайными, потому что действует механизм схождения к среднему, формулы таковы, что отношение изменения дисперсий к периоду времени окажется меньшим единицы.

Райхенштайн и Дорсетт проанализировали динамику S&Р 500 с 1926-го по 1993 год и выяснили, что дисперсия прибылей за трехлетние периоды только в 2,7 раза превышает дисперсию годовых прибылей. Когда они составили портфели из смеси акций и облигаций, выяснилось, что здесь отношение дисперсии к периоду времени даже меньше, чем для портфелей, содержащих только акции.

Ясно, что степень долговременной изменчивости на фондовом рынке меньше, чем если бы экстремальные тенденции имели шанс возобладать. Б конце концов, несмотря на всю свою строптивость, инвесторы предпочитают прислушиваться к Галътону, а не следовать за дудочкой Крысолова.

Этот результат очень важен для долгосрочного инвестирования, потому что отсюда следует, что в длительной перспективе неопределенность доходности акций меньше, чем в короткой. Райхенштайн и Дорсетт используют кучу исторических данных и прогнозов будущих возможностей, но их главные выводы (с учетом поправки на инфляцию) содержатся в следующем отрывке:

При покупке акций на год с вероятностью пять процентов инвестор потеряет не меньше 25% вложенных денег и с вероятностью пять процентов его прибыль превысит 40%. Зато при покупке портфеля акций на срок 30 лет с вероятностью всего пять процентов прибыль окажется меньше 20% и с вероятностью пять процентов этот портфель к концу периода принесет прибыль 5000 процентов.

Со временем разница между прибылью от вложений в акции и в облигации оказывается поразительно большой. С вероятностью только пять процентов ценность портфеля, состоящего только из долгосрочных корпоративных облигаций, может за двадцать лет вырасти намного больше, чем в четыре раза, в то время как ценность 100-процентного портфеля обыкновенных акций вырастет за тот же срок по меньшей мере в восемь раз с вероятностью пятьдесят процентов.

Но даже это кропотливое исследование не дает рецепта легко разбогатеть. К тому же Райхенштайн и Дорсетт рассказали нам только о том, что произошло между 1926-м и 1993 годами. Сколь соблазнительным ни представляется долгосрочное инвестирование в свете их расчетов, их анализ на 100% обращен в прошлое. Хуже того, даже небольшие различия в величине годовой прибыльности за многие годы сильно сказываются на богатстве инвесторов в конце длительного периода.

Чрезмерная реакция на новую информацию, которую выявили ДеБондт и Талер в изменении котировок, была результатом общечеловеческой склонности преувеличивать значение последних событий и, как следствие этого, забывать о долгосрочной перспективе. В конце концов, мы намного больше знаем о том, что произошло только что, чем способны знать о том, что произойдет в неопределенном будущем.

Тем не менее избыточная фиксация на настоящем может стать причиной искажения действительности, а как следствие — ошибочных оценок и неразумных решений. Например, некоторые обозреватели скорбели о том, что они сочли замедлением роста производительности труда в США за период с конца 1960-х годов. Но на деле-то результаты этого периода значительно лучше, чем они пытаются нас уверить. Учет схождения к среднему откорректировал бы ошибочную точку зрения пессимистов.

В 1986 году экономист из Принстона Уильям Бомол опубликовал поучительное исследование долгосрочных тенденций производительности труда. Его данные охватывают 72 страны и простираются до 1870 года. В центре исследования то, что Бомол называет процессом конвергенции. Смысл идеи в том, что страны, имевшие в 1870 году самую низкую производительность труда, имели самые высокие темпы роста производительности, в то время как страны, наиболее продвинутые по уровню производительности на 1870 год, показали самые медленные темпы роста производительности, — иными словами, снова горошек. Разница в темпах роста быстро, но уверенно сужала разрыв в производительности труда между наиболее отсталыми и наиболее развитыми странами, как и везде, где действует механизм схождения к среднему.

За 110 лет, проанализированных Бомолом, разница между наиболее и наименее развитыми странами по такому показателю, как производительность труда, уменьшилась с отношения 8:1 до отношения 2:1. Бомол указывает: «...поразительно, что сколь-нибудь существенное значение имеет только одна переменная — величина произведенного в 1870 году за один час валового национального продукта». Факторы, обычно связываемые экономистами с ростом производительности труда, — свободные рынки, выраженная склонность к накоплению и инвестированию и «разумная» экономическая политика — в данной ситуации проявились как несущественные. «Как бы ни вела себя нация, — заключает Бомол, — ее будущее положение предопределено». Здесь во всемирном масштабе мы сталкиваемся с явлением, точно воспроизводящим эксперименты Галь-тона с горошинами.

Если встать на эту точку зрения, оценка динамики производительности труда в США кардинально изменяется. Поскольку с начала века США имели самую высокую производительность труда среди индустриально развитых стран, относительно медленные темпы роста производства в последние годы не должны восприниматься как неожиданность. Чем выше абсолютный уровень производительности, тем меньше его относительный рост в результате внедрения очередного технологического чуда. Данные Бомола показывают, что на самом деле темпы роста производительности в США были «весьма средненькими» на протяжении большей части столетия, а не только в последние десятилетия. Между 1899-м и 1913 годами они уже были медленнее, чем темпы роста в Швеции, Франции, Германии, Италии и Японии.

Хотя в Японии были самые высокие из всех экономически развитых стран долгосрочные, за исключением периода Второй мировой войны, темпы роста, Бомол указывает, что в 1870 году она имела самый низкий уровень производительности труда и до сих пор отстает от США по этому показателю. Но процесс конвергенции неотвратим, поскольку технологии и образование совершенствуются, а рост производственных мощностей позволяет получать экономию на масштабах производства.

Бомол утверждает, что неудовлетворенность показателями США с конца 1960-х годов является результатом близорукости той части комментаторов, которая переоценивает новейшие проблемы и забывает о долгосрочных тенденциях. Он указывает, что большой скачок уровня производительности труда в период от 1950-го до примерно 1970 года не был чем-то естественным даже для такой ориентированной на технологический прогресс страны, как США. Ретроспективный анализ позволяет утверждать, что этот скачок был только отклонением, которое скомпенсировало резкое искажение исторически сложившихся тенденций роста в 1930-х годах и во время Второй мировой войны.

Несмотря на то что предмет исследования Бомола отличается от того, чем занимались ДеБондт и Талер, их выводы перекликаются:

Мы не можем понять происходящего... без систематического исследования предшествующих событий, которые влияют на настоящее и будут серьезно влиять на будущее... Важность долгосрочного подхода в том, что экономистам и политикам нет смысла выделять долгосрочные тенденции и их результаты из потока текущих событий, которые могут находиться под влиянием мимолетных обстоятельств.

Иногда, даже если регрессия к среднему имеет место, долгосрочная тенденция проявляется слишком поздно, чтобы мы успели выйти из затруднений. Известно высказывание великого английского экономиста Джона Мейнарда Кейнса:

В долгосрочной перспективе мы все мертвы. Экономисты ставят перед собой слишком легкую и столь же бесполезную задачу, если в сезон бурь могут утешить нас только тем, что, когда шторм пройдет, океан успокоится.

Но жизнь — это последовательность краткосрочных периодов. Задача бизнеса — остаться на плаву, и не приходится ждать, когда океан успокоится. Штиль может оказаться только недолгой передышкой между бурями.

Зависимость от схождения к среднему становится ненадежным средством для предвидения грядущих тенденций, если само среднее непостоянно. Рекомендации Райхенштайна и Дорсетта исходят из того, что будущее будет подобно прошлому, но нет закона природы, который утверждал бы, что так будет всегда. Если действительно впереди общее потепление, длинный ряд жарких лет не обязательно сменится такой же чередой холодных лет. Если человек стал не невротиком, а психопатом, депрессия может оказаться постоянной, а не периодической. Если люди преуспеют в разрушении окружающей среды, засухи могут перестать сменяться дождями.

Если в природе перестанет действовать механизм схождения к среднему, человечеству конец, и никакая стратегия риска не поможет. Гальтон осознавал такую возможность и предостерегал: «Среднее — это только единичный факт, но, если добавить к нему любой другой единичный факт, Нормальная Схема, почти соответствующая наблюдаемой, имеет потенциальную возможность воплощения».

В начале книги мы говорили о стабильности повседневной жизни большинства людей в разные века. С началом Промышленной революции около двух веков назад к «Среднему» добавились столь многие «единичные дополнительные факты», что определение «Нормальной Схемы» стало делом непростым. Когда грозит разрыв непрерывности, рискованно принимать решения на основе установившихся тенденций, которые внезапно теряют прежнюю привычную ясность и осмысленность.

Вот два примера того, как можно обмануться, переоценив возможности механизма схождения к среднему.

В 1930 году, когда президент Гувер заявил, что «процветание за углом», он не собирался дурачить публику. Он верил в то, что говорил. В конце концов, история всегда поддерживала такую точку зрения. Депрессии приходили и всегда уходили. Если исключить период Первой мировой войны, с 1869-го по 1929 год спады деловой активности наблюдались в общей сложности в течение семи лет. Самый продолжительный за этот период спад, причем с очень высокой точки, длился два года, с 1907-го по 1908 год; среднегодовое падение реального внутреннего валового продукта составило скромные 1,6%, при том что в первый год падение составило 5,5%!

Но в 1930 году объем производства снизился на 9,3%, а в 1931 году еще на 8,6%. В низшей точке депрессии в июне 1932 года валовой национальный продукт (ВНП) был на 55% ниже его максимального значения, достигнутого в 1929 году, т. е. даже ниже, чем в нижней точке кратковременной депрессии 1920 года. Шестьдесят лет истории внезапно пошли насмарку. Трудности возникли частью из-за потери юношеского динамизма за долгий период промышленного развития; даже во время бума 1920-х годов экономический рост был медленнее, чем в период с 1870-го по 1918 год.

Предшествующее ослабление в сочетании с рядом политических неурядиц у нас и за рубежом, а также шок от краха финансового рынка в октябре 1929 года отодвинули процветание, до которого, казалось, было рукой подать.

Второй пример: в 1959 году, ровно через тридцать лет после Великого краха, произошло событие, которое с исторической точки зрения не имело никакого смысла. До конца 1950-х годов инвесторы, как правило, получали от акций большие прибыли, чем от облигаций. Каждый раз, когда доходности сближались, дивиденды от обычных акций опять поднимались, сохраняя превышение над доходностью от облигаций. Цены на акции упали, так что доллар, вложенный в акции, приносил больше прибыли, чем раньше.

Казалось, так и должно быть. В конце концов, в акциях риска больше, чем в облигациях. Облигации — это контракты, которые точно определяют, когда заемщик должен выплатить основную сумму долга и каков график выплат процентов. Если заемщики нарушают долговое обязательство, они кончают банкротством, теряют доверие, а их активы переходят под контроль кредиторов.

В случае акций притязания акционеров на собственность компании не имеют силы, пока не удовлетворены все кредиторы компании. Акции бессрочны: они не имеют определенного срока, по истечении которого собственность компании распределялась бы между акционерами. Более того, дивиденды выплачиваются акционерам по решению Совета директоров; компания не обязана платить дивиденды акционерам. За период с 1871-го по 1929 год было только девятнадцать случаев сокращения дивидендных выплат акционерам публичных компаний, за период с 1929-го по 1933 год дивиденды снизились более чем на 50%, а в 1938 году примерно на 40%.

Так что неудивительно, что инвесторы покупали акции, только когда их прибыльность была выше, чем у облигаций. И неудивительно, что курс акций падает каждый раз, как прибыль от акций приближается к прибыли от облигаций.

Так было до 1959 года. С этого момента цены на акции стали стремительно расти, а цены на облигации падать. Это означало, что отношение облигационного процента к цене облигации взлетело вверх, а отношение дивидендов к ценам акций стало падать. Прежнее соотношение между акциями и облигациями исчезло, образовав такой огромный разрыв, что в конце концов доходность облигаций стала превышать доходность акций даже на большую величину, чем прежде доходность акций превышала доходность облигаций.

Причина этого обращения соотношений не могла быть тривиальной. Инфляция была главным фактором, который отделил настоящее от прошлого. С 1800-го по 1940 год стоимость жизни росла в среднем только на 0,2% в год и снижалась за это время 69 раз. В 1940 году индекс стоимости жизни был только на 28% выше, чем за 140 лет до этого. В таких условиях владеть собственностью, оцениваемой фиксированной суммой в долларах, было одно удовольствие, а владеть собственностью, не оцененной фиксированной суммой в долларах, было весьма рискованно.

Все изменила Вторая мировая война и ее последствия. С 1941-го по 1959 год уровень инфляции составлял в среднем 4% в год, а индекс стоимости жизни рос все годы, кроме одного. Неумолимый рост уровня цен превратил облигации из финансового инструмента, казавшегося вечным, в очень рискованную штуку. К 1959 году цена 21/2-про-центной облигации государственного казначейства, выпущенной в 1945 году, упала с 1000 долларов до 820, причем покупательная способность этих 820 долларов была вдвое меньше, чем в 1949 году!

Между тем дивиденды быстро росли и за период с 1945-го по 1959 год практически утроились, причем уменьшение дивидендов имело место только в течение одного года, и то менее чем на 2%. Инвесторы больше не считали акции рискованной собственностью с непредсказуемыми ценой и прибылью. Их цена по сравнению с тогдашними дивидендами казалась несоизмеримо малой. Имел значение только растущий поток ожидаемых в будущем дивидендов. Можно было рассчитывать, что эти дивиденды превысят процентные выплаты по облигациям, а при этом еще ожидался и рост котировок. Было выгодно даже переплачивать за акции, потому что они обещали рост дохода и защиту от инфляции, и избавляться от облигаций с их фиксированной долларовой доходностью.

Хотя контуры этого нового мира были различимы и до 1959 года, старые отношения на рынках капитала сдерживали эти процессы, пока основными инвесторами оставались люди, еще помнившие старые добрые времена. Например, мои партнеры, ветераны Великой депрессии, уверяли меня, что все это только видимость, временное отклонение. Они предсказывали, что все вот-вот войдет в свою колею и через несколько месяцев цены на акции упадут, а цены на облигации вырастут.

Я жду до сих пор. Тот факт, что возможны такие немыслимые вещи, навсегда изменил мои представления о жизни и, в частности, об инвестировании. Это определило мое отношение к будущему и сделало меня скептиком относительно возможностей экстраполяции от прошлого к будущему.

Насколько правомерны суждения о будущем, уповающие на действенность механизма схождения к среднему? Что делать с концепцией, столь действенной в одних условиях и ведущей к роковым ошибкам в других?

Кейнс признавал, что, «как живые и движущиеся существа, мы вынуждены действовать... [даже когда] наши познания недостаточны для вычисления математического ожидания». Опираясь на приблизительные подсчеты, опыт, интуицию и традиции, мы ковыляем из прошлого в будущее. Выражение «традиционная мудрость», впервые использованное Джоном Кеннетом Гэлбрейтом (Galbraith), часто имеет уничижительный смысл, как если бы то, во что верят большинство людей, обречено оказаться заблуждением. Но без традиционной мудрости мы бы не смогли принимать долгосрочные решения, да и с каждодневными трудностями справляться стало бы намного труднее.

Нужно обладать достаточной гибкостью, чтобы понять, что схождение к среднему — это только инструмент, а не религия с незыблемыми догмами и церемониями. Нельзя только пользоваться ей как палочкой-выручалочкой, чего не понимали ни президент Гувер, ни мои партнеры. Нужно постоянно задаваться вопросом — каковы основания рассчитывать на действие этого механизма? Фрэнсис Гальтон был прав, когда убеждал нас, что среднее — не самое исчерпывающее из понятий.

 

Глава 11

Фабрика счастья

До сих пор речь шла главным образом о теории вероятностей и надежных способах ее измерения: треугольник Паскаля, поиски Якобом Бернулли практической достоверности в кувшине с черными и белыми камешками, бильярдный стол Байеса, колоколообразная кривая Гаусса, квинкункс Гальтона. Даже Даниил Бернулли, впервые, по-видимому, поставивший вопрос о психологии выбора, был убежден, что то, что он называл полезностью, может быть измерено.

Теперь обратимся к другим вопросам: какой риск приемлем, от какого риска нужно подстраховаться, какая информация нужна? Насколько можно доверять нашим представлениям о будущем? Короче, как мы собираемся управлять риском?

Для принятия решения в условиях неопределенности одинаково важны измерения и рассудительность. Разумные люди стараются объективно оценивать информацию: если их прогнозы и оказываются ошибочными, то это скорее случайные ошибки, нежели результат упрямой предрасположенности к оптимизму или пессимизму. Такие люди воспринимают новую информацию в соответствии с ясно выраженным набором приоритетов. Они знают, чего хотят, и используют информацию для реализации своих предпочтений.

Предпочтения определяют, что нечто является более желательным, чем что-то другое, — борьба приоритетов заложена в самом этом понятии. Это полезная идея, но метод измерения предпочтительности должен сделать ее более ощутимой.

Именно это имел в виду Даниил Бернулли в 1738 году, когда утверждал в своей замечательной статье: «Было бы неправомерно отрицать [его идеи] как абстракции, опирающиеся на сомнительные гипотезы». Речь идет о понятии полезности в качестве меры предпочтительности — для вычисления того, насколько одну вещь мы предпочитаем другой. Мир полон желанных вещей, говорил он, но разные люди готовы платить за них разную цену. И чем больше мы чего-то имеем, тем меньше склонны платить за то, чтобы получить больше.

Предложенное Бернулли понятие полезности явилось впечатляющим нововведением, но его трактовка этого понятия страдала односторонностью. Сегодня мы знаем, что стремление держаться наравне с Джонсами может побудить нас желать все большего и большего, даже если по объективным критериям у нас уже всего достаточно. Характерно, что Бернулли построил свой мысленный эксперимент с игрой Петра и Павла в орлянку таким образом, что Павел, выигрывая, когда выпадает орел, ничего не проигрывает, когда выпадает решка. Понятие «проигрыш» вообще не фигурирует в его статье, как и ни в одной работе по теории полезности за последующие двести лет. Но когда его начали учитывать, теория полезности стала парадигмой выбора при определении степени риска, на который люди идут ради достижении желанной цели в условиях неопределенности.

Тем не менее значимость предложенного Бернулли понятия полезности проявляется в том, что его понимание «натуры человека» сохраняет свое значение и поныне. Каждым своим достижением теория принятия решений и исследования риска в определенной степени обязана его усилиям по разработке определений, квантификации и установлению критериев рациональных решений.

Можно было предположить, что в истории теории полезности и принятия решений будут доминировать представители семьи Бернулли, тем более что Даниил Бернулли был таким известным ученым. Но это не так: последующая история теории полезности была скорее рядом новых открытий, чем развитием первоначальных формулировок Бернулли.

Создавало ли проблемы то, что Бернулли писал на латыни? Кеннет Эрроу установил, что статья о новой теории измерения риска была переведена на немецкий язык только в 1896 году, а первый перевод ее на английский появился в американском научном журнале в 1954 году. Тем не менее в XIX веке математики еще пользовались латынью, и работы Гаусса, писавшего на этом языке, отнюдь не страдали от недостатка внимания. Все же выбор Бернулли латыни помогает объяснить, почему его достижения были в большей степени восприняты математиками, нежели экономистами и другими представителями гуманитарных наук.

Эрроу утверждает и другое. Бернулли обсуждал полезность в терминах чисел, в то время как последующие авторы предпочитали рассматривать ее как механизм определения приоритетов. Сказать: «Это мне нравится больше, чем то» — не то же самое, что сказать: «Это обойдется мне в х единиц полезности».

***

Теория полезности была вновь открыта в конце XVIII века популярным английским философом Иеремией Бентамом (1748-1832). Вы еще и сейчас при случае можете увидеть его в Университетском колледже в Лондоне, где, в соответствии с его предсмертной волей, его мумия сидит в стеклянном ящике с восковой головой вместо настоящей и со шляпой между колен.

От главного труда Бентама «Принципы морали и законодательство» («The Principles of Morals and Legislation»), опубликованного в 1789 году, веет духом эпохи Просвещения:

«Природа отдала человечество в руки двух полновластных верховных правителей — страдания и удовольствия. Только они одни указывают, что нам следует делать, и определяют, что мы будем делать... Принцип полезности выражает осознание этой власти и подразумевает ее в качестве основы той системы, элементы которой должны воздвигнуть фабрику счастья силами разума и законности» [2]

Бентам потом объясняет, что он называет полезностью:

«...это свойство любого объекта, посредством которого он производит выгоду, преимущество, удовольствие, благо или счастье... когда его действие ведет скорее к умножению общественного блага, нежели к его уменьшению»

Здесь Бентам говорил о жизни вообще. Но экономисты XIX столетия ухватились за полезность как за средство постижения механизма выработки соглашения о цене между покупателем и продавцом. Этот окольный путь вывел их прямо на закон спроса и предложения.

Ведущие экономические модели XIX столетия изображали дело так: будущее ждет, пока продавцы и покупатели рассматривают имеющиеся у них возможности. Вопрос в том, какая из возможностей лучше. Возможность потерь вообще не учитывалась. В силу этого вопрос о неопределенности и деловой цикл в целом не отвлекали внимания и не рассматривались. Вместо этого экономисты проводили время, анализируя психологические и субъективные факторы, побуждающие людей платить такую-то цену за буханку хлеба или бутылку портвейна — или за десятую бутылку портвейна. Предположение, что кто-то не может купить даже одну бутылку портвейна, казалось немыслимым. Альфред Маршалл, выдающийся экономист Викторианской эпохи, как-то заметил:

«Не следует выбирать себе профессию, которая не может обеспечить хотя бы положение джентльмена» [3]

Уильям Стэнли Джевонс (Jevons), член общества бентамитов (утилитаристов), увлекавшийся математикой, был одним из главных разработчиков этого подхода. Он родился в Ливерпуле в 1837 году и с юности загорелся желанием стать ученым. Однако финансовые затруднения принудили его поступить на службу в пробирную палату Королевского монетного двора в Сиднее, Австралия, население которого под влиянием золотого бума быстро приближалось к 100 000 человек. Только через десять лет Джевонс смог возвратиться в Лондон, чтобы изучать экономику, и провел там большую часть своей жизни в качестве профессора политической экономии Университетского колледжа; он был первым после Уильяма Петти экономистом, ставшим членом Королевского общества. Академическое звание не помешало ему оказаться в числе первых, кто предложил отбросить слово «политическая» из словосочетания «политическая экономия», чтобы подчеркнуть уровень всеобщности, которого достигла эта наука.

Тем не менее его главный труд, опубликованный в 1871 году, был озаглавлен «Теория политической экономии» («The Theory of Political Economy»). Он открывает свое исследование утверждением, что «цена целиком зависит от полезности», и далее продолжает: «...нам нужно только тщательно проследить естественные законы изменения полезности в зависимости от количества принадлежащих нам предметов потребления, чтобы получить удовлетворительную теорию обмена».

Фактически это обращение к кардинальной идее Даниила Бернулли о том, что полезность чего-либо зависит от количеств того же самого, которые уже нам принадлежат. Дальше Джевонс дополняет это обобщение фразой в духе истинного джентльмена Викторианской эпохи: «Чем утонченнее и интеллектуальнее становятся наши запросы, тем менее возможно пресыщение».

Джевонс был уверен, что он разрешил проблему ценности утверждением, что возможность количественного представления любого отношения делает неуместными неопределенные обобщения, использовавшиеся до него экономической наукой. Он отмахнулся от проблемы неопределенности, заявив, что достаточно использовать вероятности, полученные из накопленного опыта и наблюдений: «Проверка правильности оценки вероятностей заключается в выяснении, насколько вычисления в среднем совпадают с фактами... Мы выполняем вычисления такого рода более или менее аккуратно во всех обычных житейских ситуациях».

Джевонс уделяет много страниц своей книги описанию усилий предшественников, направленных на использование математических методов в экономической науке, хотя даже не упоминает о работе Бернулли. Зато он не оставляет никаких сомнений относительно собственных достижений в этом направлении:

«Кто до Паскаля думал об измерении сомнения и уверенности? Кто мог предположить, что изучение ничтожных азартных игр может привести к созданию самой, пожалуй, утонченной ветви математической науки — теории вероятностей?

Теперь ни у кого не может возникнуть сомнения в том, что удовольствие, боль, труд, полезность, ценность, богатство, деньги, капитал и т. д. — это всё понятия, подлежащие квантификации; более того, все наши действия на поприще промышленности и торговли, несомненно, зависят от сравнения количеств выгоды и ущерба»

***

Удовлетворенность Джевонса своими достижениями отражала характерное для Викторианской эпохи увлечение измерениями. Кван-тифицировались всё новые и новые аспекты действительности. Подъем научных исследований, вызванный запросами Промышленной революции, добавил мощный импульс этой тенденции.

Первая систематическая перепись населения была проведена в Британии уже в 1801 году, а использование статистики в страховом деле, непрерывно совершенствуясь, делалось повсеместным. Многие здравомыслящие мужчины и женщины обратились к социологическим измерениям в надежде на избавление от болезней индустриализации. Они намеревались улучшить жизнь в трущобах, бороться с преступностью, неграмотностью и пьянством среди обнищавших слоев общества.

Однако некоторые попытки применить измерения полезности для исследования и совершенствования общества отличались предельной непрактичностью. Фрэнсис Эджворт (Edgeworth), например, современник Джевонса и изобретательный экономист-математик, додумался до предложения разработать измеритель наслаждения — гедониметр, а уже в середине 1920-х годов блистательный молодой математик из Кембриджа Фрэнк Рэмси (Ramsay) изучал возможность создания психогальванометра.

Некоторые викторианские деятели протестовали против такого бурного развития измерений с привкусом материализма. В 1860 году, когда Флоренс Найтингейл после консультаций с Гальтоном и другими предложила профинансировать создание кафедры прикладной статистики в Оксфорде, она получила категорический отказ. Морис Кенделл (Kendall), крупный статистик и историк статистики, заметил по этому поводу:

«Кажется, наши главные университеты всё еще бормотали со своих башен последние колдовские заклинания Средневековья... После тридцати лет борьбы Флоренс сдалась» {1} [5]

Но стремление привнести в социальные науки ту же степень квантификации, какая воцарилась в естественных науках, с течением времени становилось все сильнее и сильнее. Экономисты постепенно усваивали словарь естественных наук. Джевонс, например, говорил о «механике» пользы и своекорыстия. Понятия равновесия, инерции, давления и функции стали общими для естествознания и экономической науки. В наше время представители мира финансов пользуются такими терминами, как финансовое конструирование, нейронные сети и генетические алгоритмы.

Заслуживает внимания другой экономический аспект книги Джевонса. Как человек искушенный в естественных науках, он не мог не заметить того, что бросалось в глаза, — хозяйственная деятельность испытывала колебания. В 1873 году, как раз через два года после опубликования «Теории политической экономии», экономический бум, который продолжался в Европе и Соединенных Штатах более двадцати лет, пошел на убыль. Деловая активность постоянно падала в течение трех лет. В 1878 году объем промышленного производства в США только на 6% превысил уровень 1872 года. В течение последующих 23 лет цены на товары и услуги в США падали почти непрерывно и снизились на 40%, что вызвало большие экономические трудности в Западной Европе и Северной Америке.

Не привел ли Джевонса этот разорительный опыт к постановке вопроса о том, способна ли экономика неизменно оставаться на оптимальном уровне производства и занятости, как уверяли Рикардо и его последователи? Ничуть не бывало. Вместо этого он выступил с теорией циклов деловой активности, основанной на влиянии солнечных пятен на погоду, погоды на урожайность и урожайности на цены, заработную плату и уровень занятости. Для Джевонса источник бед на небесах и на земле, а не в философии.

Теории о том, как люди принимают решения и делают выбор, казалось, стали отдаляться от повседневной жизни в реальном мире. Однако эти теории господствовали около ста лет. Даже во времена Великой депрессии еще сохранялась точка зрения, будто колебания экономики — это скорее своего рода случайность, нежели явление, внутренне присущее экономической системе, действующей в условиях риска. Обещанное Гувером в 1930 году процветание, до которого якобы рукой подать, отражало его веру в то, что Великий крах был вызван скорее преходящими случайными отклонениями, нежели структурными изъянами экономической системы. В 1931 году сам Кейнс еще проявлял унаследованный от Викторианской эпохи оптимизм, когда выражал свою «...глубокую убежденность в том, что Экономические Проблемы... не что иное, как страшная неразбериха, мимолетная и ненужная неразбериха» [курсив Кейнса. — П. Б.].