Михаил Михайлович Козаков родился 14 октября 1934 года в Ленинграде в семье известного писателя Михаила Эммануиловича Козакова. Во время войны мальчик находился в эвакуации в Молотовской области, а по возвращении в Ленинград начал заниматься в хореографической студии. Окончив школу, Михаил поступил в школу-студию МХАТ, на курс П.В. Массальского. На последнем курсе студент дебютировал в кино, сыграв Шарля Тибо в драме М. Ромма «Убийство на улице Данте» (1956). Фильм запомнился зрителю, а Козаков начал получать приглашения на съемки в таких фильмах, как «Восемнадцатый год» Г. Рошаля, «Трудное счастье» А. Столпера, «Золотой эшелон» И. Гурина. После окончания школы-студии Козаков был принят в труппу театра имени Маяковского и в первый же год работы на его сцене сыграл Гамлета (постановка Н.П. Охлопкова). В 1959-м молодой актер перешел в самый популярный и модный театр тех лет – «Современник», где работал все 1960-е.
Большой успех пришел к Козакову в 1961-м с выходом на экраны фильма «Человек-амфибия» В. Чеботарева и Г. Казанского, где он сыграл главного злодея – богатого мерзавца Педро Зуриту. Пронзительные черные глаза, «южное» лицо и жгучий темперамент принесли актеру заслуженную славу одного из главных секс-символов советского кино. Но эксплуатировать свой успех актер не стал и в 1960-х снимался относительно немного. Среди ярких работ – Сильвио в экранизации А.С. Пушкина «Выстрел», снятой Н. Трахтенбергом, и роль в фильме В. Соколова «День солнца и дождя», о которой актер вспоминал так: «Я играю самого себя, артиста Михаила Козакова, снимающегося в кинооперетте “На рассвете” в роли опереточного комика Мишки-Япончика. Таким образом, в роли две роли: я и персонаж, которого я играю. Я страшно признателен режиссеру Виктору Соколову за эту мою работу. С его помощью в пародийном ключе я сыграл небольшой этюд о работе актера в кино».
Михаил Козаков в роли Педро Зуриты в фильме «Человек-амфибия». 1961 г.
В 1971-м Козаков перешел в МХАТ, в 1972-м – в театр на Малой Бронной. На это десятилетие пришелся и расцвет Михаила Михайловича как киноактера. Это работы в приключенческом фильме Н. Ардашникова «Вся королевская рать» (1971), водевиле А. Белинского «Лев Гурыч Синичкин» (1974), музыкальном телефильме Л. Квинихидзе «Соломенная шляпка» (1974), комедии В. Титова «Здравствуйте, я ваша тетя!» (1975) и других картинах. Многие персонажи Козакова стали классическими, произнесенные ими фразы («Коровки, коровки и бык… И пастушок. Такой молоденький-молоденький…», «Я старый солдат, я не знаю слов любви») вошли в фольклор. Актер пользовался стабильной любовью публики, несмотря на то, что с годами его внешность сильно изменилась. Козаков неизменно завораживал зрителей и на киноэкране, и на театральной сцене, и в качестве чтеца – он мастерски исполнял русскую классику, уделяя особое внимание Пушкину. Свой глубокий, протяжный, немного «в нос» голос артист подарил также многим мультипликационным и киноперсонажам – от Слоненка из «38 попугаев» (1976) и кардинала Ришелье в «Д’Артаньяне и трех мушкетерах» (1978) до кулинарного критика Эго в «Рататуе» (2007).
В середине 70-х состоялся и дебют Михаила Козакова как кинорежиссера. В 1975 году он поставил телеспектакль «Ночь ошибок» по пьесе О. Голдсмита. А в 1978 году вышла его трагикомедия «Безымянная звезда». Сценарий к ней был создан еще в 1970-м, и главная роль предназначалась для Олега Даля, но потом на телевидении произошла смена руководства, и новое начальство «заморозило» съемки. Но Козаков не спешил хоронить удачный замысел и в конце концов «пробил» постановку на Свердловской киностудии и с другими актерами. Дуэт Игоря Костолевского и Анастасии Вертинской украсил фильм, а Козаков появился в нем в небольшой роли Грига.
В 1982-м на экраны вышел самый знаменитый фильм Козакова-режиссера – «Покровские ворота». Эту лиричную, полную искрометного юмора и ностальгии картину Михаил Михайлович посвятил своей юности, Москве 1950-х. «Очень в памяти была Москва 50-х. Ту Москву я очень хорошо помню, 56-й год. Поэтому и шутки рождались, и грусть рождалась…» – вспоминал режиссер. Наряду с очень известными и популярными на тот момент Леонидом Броневым, Еленой Кореневой и Татьяной Догилевой в картине работали приглашенные Козаковым Анатолий Равикович, Инна Ульянова и Виктор Борцов, чья известность была не очень велика. Как объяснил свой выбор Козаков: «Коммуналка – неизвестные лица. И среди них – одно известное лицо, Велюров. Он – артист». Главной же звездой и находкой Козакова стал Олег Меньшиков, с блеском сыгравший Костика Ромина. Сам режиссер появляется в фильме в роли постаревшего Костика, в начале 1980-х с грустью вспоминающего Москву времен своей юности.
1980-е годы подарили зрителю немало отличных ролей Козакова. Это Дзержинский («Синдикат-2», «Государственная граница», «Двадцатое декабря», «Товарищ Иннокентий»), фармацевт Илларий Данилович Данилевский, он же бандит Вахрамеев («Шестой»), Бирон («Демидовы»), Дудников («Невероятное пари, или Истинное происшествие, благополучно завершившееся сто лет назад»), Эраст Цыкада («Герой ее романа»). Одновременно он много внимания уделял режиссуре, поставив детский фильм «Если верить Лопотухину», экранизацию М.Ю. Лермонтова «Маскарад» и трагифарс «Визит дамы», главные роли в котором сыграли Екатерина Васильева и Валентин Гафт.
Семейная жизнь актера всегда была сложной. Козаков был женат четыре раза. В 1992-м Михаил Михайлович с семьей эмигрировал в Израиль, где играл в камерном театре в Тель-Авиве. После возвращения в Россию он создал «Русскую антрепризу Михаила Козакова». Два спектакля, поставленные в ней, в 1999-м были экранизированы – «Ужин в четыре руки» (по спектаклю «Возможная встреча») и «Чествование». В петербургском Театре имени Комиссаржевской он поставил спектакль «Чествование» по Б. Слейду В кино в эти годы Михаил Козаков снимался редко. Самая яркая работа тех лет – роль в фильме Алексея Учителя «Мания Жизели» (роль – Аким Волынский), рассказывающей о русской балерине Ольге Спесивцевой.
В начале-середине 2000-х Козаков поставил еще несколько фильмов – «Медная бабушка» по пьесе Леонида Зорина, шестисерийную приключенческую мелодраму «Очарование зла» (снятая в 2006-м, в телеэфир она вышла лишь четыре года спустя), фильм-спектакль «Король Лир». Как актер Козаков снялся в картинах «Зоя» режиссера Виталия Павлова (кинооператор Портер), «Борис Годунов» Владимира Мирзоева (отец Пимен), трех фильмах «Любовь-морковь» (доктор Коган; роль озвучил сын актера Кирилл Козаков, также ставший артистом).
За свои заслуги Михаил Козаков был удостоен звания народного артиста РСФСР, Государственной премии СССР и Государственной премии РСФСР имени братьев Васильевых, двух премий «ТЭФИ», был награжден орденом Почета.
Несмотря на поставленный Михаилу Михайловичу страшный диагноз – рак легких, – он мужественно боролся с болезнью и продолжал работать до самого конца. Скончался Михаил Козаков 22 апреля 2011 года в израильской клинике неподалеку от Тель-Авива.