Це'лая фу'нкция, функция, аналитическая во всей плоскости комплексного переменного (см. Аналитические функции ). Примерами Ц. ф. могут служить алгебраический многочлен a 0 + a 1 z +... + a n z n , функции sinz , cosz , e z . Бесконечно удалённая точка является, вообще говоря, изолированной особой точкой Ц. ф. Для того чтобы бесконечно удалённая точка была устранимой особой точкой (соответственно полюсом), для Ц. ф. f (z ) необходимо и достаточно, чтобы f (z ) была постоянна (соответственно была алгебраическим многочленом). Если точка z = ¥ является существенно особой точкой для Ц. ф. f (z ), то f (z ) называют трансцендентной Ц. ф. Таковы, например, функции sinz, cosz, e z .

  Для того чтобы f (z ) была Ц. ф., необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере для одной точки z 0 имело место соотношение

  В этом случае разложение f (z ) в ряд Тейлора

будет сходиться по всей плоскости комплексного переменного.

  Основой для классификации трансцендентных Ц. ф. служит скорость роста М (r ) функции, определяемой равенством

  Величину

называют порядком Ц. ф. f (z ). В трудах А. Пуанкаре , Ж. Адамара и Э. Бореля была установлена связь между порядком Ц. ф. и распределением её нулей.

  Лит.: Маркушевич А. И., Целые функции, М., 1965.