Характеристи'ческое уравне'ние в математике,

  1) Х. у. матрицы — алгебраическое уравнение вида

;

определитель, стоящий в левой части Х. у., получается из определителя матрицы А = ||a ik ||n 1 вычитанием величины l из диагональных элементов. Этот определитель представляет собой многочлен относительно Х — характеристический многочлен. В раскрытом виде Х. у. записывается так:

,

где S 1 = a 11 + a 22 +... a nn — т. н. след матрицы, S 2 — сумма всех главных миноров 2-го порядка, т. е. миноров вида  (i < k ) и т.д., а Sn — определитель матрицы А . Корни Х. у. l1 , l2 ,..., ln называются собственными значениями матрицы А . У действительной симметричной матрицы, а также у эрмитовой матрицы все lk действительны, у действительной кососимметричной матрицы все lk чисто мнимые числа; в случае действительной ортогональной матрицы, а также унитарной матрицы все |lk | = 1.

  Х. у. встречаются в самых разнообразных областях математики, механики, физики, техники. В астрономии при определении вековых возмущений планет также приходят к Х. у.; отсюда и второе название для Х. у. — вековое уравнение.

  2) Х. у. линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

a 0 ly ( n ) + a 1 y ( n-1 ) +... + a n-1 y' + a n y = 0

— алгебраическое уравнение, которое получается из данного дифференциального уравнения после замены функции у и её производных соответствующими степенями величины l, т. е. уравнение

a 0 ln + a 1 ln-1 + ... + a n-1 y' + a n y = 0.

К этому уравнению приходят при отыскании частного решения вида у = се l х для данного дифференциального уравнения. Для системы линейных дифференциальных уравнений

#i-images-142360784.png  , ,

  Х. у. записывается при помощи определителя

  Х. у. матрицы A = , составленной из коэффициентов уравнений данной системы.