Интерполяцио'нные фо'рмулы, формулы, дающие приближённое выражение функции у = f (x ) при помощи интерполяции , т. е. через интерполяционный многочлен Р n (х ) степени n , значения которого в заданных точках x 0 , x 1 , ..., х n совпадают со значениями y 0 , y 1 , ..., у n функции f в этих точках. Многочлен Р n (х ) определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами.

  1. Интерполяционная формула Лагранжа:

Ошибка, совершенная при замене функции f (x ) выражением P n (x ), не превышает по абсолютной величине

где М — максимум абсолютной величины (n + 1)-й производной f n +1 (x ) функции f (x ) на отрезке [x 0 , x n ].

  2. Интерполяционная формула Ньютона. Если точки x 0 , x 1 , ..., x n расположены на равных расстояниях (x k = x 0 + kh ), многочлен P n (x ) можно записать так:

(здесь x 0 + th = х , а Dk — разности k -го порядка: Dk y i = Dk — 1 y i +1 — Dk — 1 y i ). Это так называемая формула Ньютона для интерполирования вперёд; название формулы указывает на то, что она содержит заданные значения у , соответствующие узлам интерполяции, находящимся только вправо от x 0 . Эта формула удобна при интерполировании функций для значений х , близких к x 0 . При интерполировании функций для значений х , близких к наибольшему узлу х n , употребляется сходная формула Ньютона для интерполирования назад. При интерполировании функций для значений x , близких к x k , формулу Ньютона целесообразно преобразовать, изменив начало отсчёта (см. ниже формулы Стирлинга и Бесселя).

  Формулу Ньютона можно записать и для неравноотстоящих узлов, прибегая для этой цели к разделённым разностям (см. Конечных разностей исчисление ). В отличие от формулы Лагранжа, где каждый член зависит от всех узлов интерполяции, любой k -й член формулы Ньютона зависит от первых (от начала отсчёта) узлов и добавление новых узлов вызывает лишь добавление новых членов формулы (в этом преимущество формулы Ньютона).

  3. Интерполяционная формула Стирлинга:

(о значении символа m и связи центральных разностей dm с разностями Dm см. ст. Конечных разностей исчисление ) применяется при интерполировании функций для значений х , близких к одному из средних узлов а ; в этом случае естественно взять нечётное число узлов х — k , ..., х — 1 , x 0 , x 1 , ..., x n , считая а центральным узлом x 0 .

  4. Интерполяционная формула Бесселя:

применяется при интерполировании функций для значений х , близких середине а между двумя узлами; здесь естественно брать чётное число узлов х — k , ..., х —1 , x 0 , x 1 ,..., x k , x k + 1 , и располагать их симметрично относительно a (x 0 < а < x 1 ).

  Лит. см. при ст. Интерполяция .

  В. Н. Битюцков.