Интерполя'ция в математике и статистике, отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным её значениям. Например, отыскание значений функции f (x ) в точках х , лежащих между точками (узлами И.) x 0 < x 1 < ... < x n , по известным значениям y i = f (x i ) (где i = 0, 1, ..., n ). В случае, если х лежит вне интервала, заключённого между x 0 и x n , аналогичная задача наывается задачей экстраполяции. При простейшей линейной И. значение f (x ) в точке х , удовлетворяющей неравенствам x 0 < x < x 1 , принимают равным значению

линейной функции, совпадающей с f (x ) в точках х = x 0 и х = x 1 . Задача И. со строго математической точки зрения является неопределённой: если про функцию f (x ) ничего неизвестно, кроме её значений в точках x 0 , x 1 ,..., х n , то её значение в точке х , отличной от всех этих точек, остаётся совершенно произвольным. Задача И. приобретает определённый смысл, если функция f (x ) и её производные подчинены некоторым неравенствам. Если, например, заданы значения f (x 0 ) и f (x 1 ) и известно, что при x 0 < x < x 1 выполняется неравенство |f ¢’’(x )| £ M , то погрешность формулы (*) может быть оценена при помощи неравенства

  Более сложные интерполяционные формулы имеет смысл применять лишь в том случае, если есть уверенность в достаточной «гладкости» функции, т. е. в том, что она обладает достаточным числом не слишком быстро возрастающих производных.

  Кроме вычисления значений функций, И. имеет и многочисленные другие приложения (например, при приближённом интегрировании, приближённом решении уравнений, в статистике при сглаживании рядов распределения с целью устранения случайных искажений).

  Лит.: Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954; Крылов А. Н., Лекции о приближённых вычислениях, 6 изд., М., 1954; Юл Дж. Э., Кендэл М. Дж., Теория статистики, пер. с англ., 14 изд., М., 1960.