Информа'ция в кибернетике. Естественнонаучное понимание И. основано на двух определениях этого понятия, предназначенных для различных целей (для информации теории , иначе называемой статистической теорией связи, и теории статистических оценок ). К ним можно присоединить и третье (находящееся в стадии изучения), связанное с понятием сложности алгоритмов.

  Центральное положение понятия И. в кибернетике объясняется тем, что кибернетика (ограничивая и уточняя интуитивное представление об И.) изучает машины и живые организмы с точки зрения их способности воспринимать определённую И., сохранять её в «памяти», передавать по «каналам связи» и перерабатывать её в «сигналы», направляющие их деятельность в соответствующую сторону.

 В некоторых случаях возможность сравнения различных групп данных по содержащейся в них И. столь же естественна, как возможность сравнения плоских фигур по их «площади»; независимо от способа измерения площадей можно сказать, что фигура A имеет не большую площадь, чем B , если A может быть целиком помещена в В (сравни примеры 1—3 ниже). Более глубокий факт — возможность выразить площадь числом и на этой основе сравнить между собой фигуры произвольной формы — является результатом развитой математической теории. Подобно этому, фундаментальным результатом теории И. является утверждение о том, что в определённых весьма широких условиях можно пренебречь качественными особенностями И. и выразить её количество числом. Только этим числом определяются возможности передачи И. по каналам связи и её хранения в запоминающих устройствах.

  Пример 1. В классической механике знание положения и скорости частицы, движущейся в силовом поле, в данный момент времени даёт И. о её положении в любой будущий момент времени, притом полную в том смысле, что это положение может быть предсказано точно. Знание энергии частицы даёт И., но, очевидно, неполную.

  Пример 2. Равенство

a = b                                                                (1)

даёт И. относительно вещественных переменных a и b. Равенство

a 2 = b 2                                                                                                                            (2)

даёт меньшую И. [так как из (1) следует (2), но эти равенства не равносильны]. Наконец, равенство

a 3 = b 3                                                               (3)

равносильное (1), даёт ту же И., то есть (1) и (3) — это различные формы задания одной и той же И.

  Пример 3. Результаты произведённых с ошибками независимых измерений какой-либо физической величины дают И. о её точном значении. Увеличение числа наблюдений увеличивает эту И.

  Пример 3 а. Среднее арифметическое результатов наблюдений также содержит некоторую И. относительно рассматриваемой величины. Как показывает математическая статистика, в случае нормального распределения вероятностей ошибок с известной дисперсией среднее арифметическое содержит всю И.

  Пример 4. Пусть результатом некоторого измерения является случайная величина X . При передаче по некоторому каналу связи X искажается, в результате чего на приёмном конце получают величину Y = X + q, где q не зависит от X (в смысле теории вероятностей). «Выход» Y даёт И. о «входе» X ; причём естественно ожидать, что эта И. тем меньше, чем больше дисперсия случайной ошибки q.

  В каждом из приведённых примеров данные сравнивались по большей или меньшей полноте содержащейся в них И. В примерах 1—3 смысл такого сравнения ясен и сводится к анализу равносильности или неравносильности некоторых соотношений. В примерах 3 а и 4 этот смысл требует уточнения. Это уточнение даётся, соответственно, математической статистикой и теорией И. (для которых эти примеры являются типичными).

  В основе теории информации лежит предложенный в 1948 американским учёным К. Шенноном способ измерения количества И., содержащейся в одном случайном объекте (событии, величине, функции и т. п.) относительно другого случайного объекта. Этот способ приводит к выражению количества И. числом. Положение можно лучше объяснить в простейшей обстановке, когда рассматриваемые случайные объекты являются случайными величинами, принимающими лишь конечное число значений. Пусть X — случайная величина, принимающая значения x 1 , x 2 ,..., x n с вероятностями p 1 , p 2 ,..., p n , а Y — случайная величина, принимающая значения y 1 , y 2 ,..., y m с вероятностями q 1 , q 2 ,..., q m . Тогда И. I (X ,Y ) относительно Y , содержащаяся в X , определяется формулой

где p ij — вероятность совмещения событий X = x i и Y = y j и логарифмы берутся по основанию 2. И. I (X , Y ) обладает рядом свойств, которые естественно требовать от меры количества И. Так, всегда I (X , Y ) ³ 0 и равенство I (X , Y ) = 0 возможно тогда и только тогда, когда p ij = p i q j при всех i и j, т. е. когда случайные величины X и Y независимы. Далее, всегда I (X , Y ) £ I (Y , Y ) и равенство возможно только в случае, когда Y есть функция от X (например, Y = X 2 и т. д.). Кроме того, имеет место равенство I (X , Y ) = I (Y , X ).

  Величина

носит название энтропии случайной величины X . Понятие энтропии относится к числу основных понятий теории И. Количество И. и энтропия связаны соотношением

I (X , Y ) = H (X ) + H (Y ) — H (X , Y ),                              (5)

где H (X , Y ) — энтропия пары (X , Y ), т. е.

Величина энтропии указывает среднее число двоичных знаков (см. Двоичные единицы ), необходимое для различения (или записи) возможных значений случайной величины (подробнее см. Кодирование , Энтропия ). Это обстоятельство позволяет понять роль количества И. (4) при «хранении» И. в запоминающих устройствах. Если случайные величины X и Y независимы, то для записи значения X требуется в среднем H (X ) двоичных знаков, для значения Y требуется H (Y ) двоичных знаков, а для пары (X , Y ) требуется Н (Х ) + H (Y ) двоичных знаков. Если же случайные величины X и Y зависимы, то среднее число двоичных знаков, необходимое для записи пары (X , Y ), оказывается меньшим суммы Н (Х ) + H (Y ), так как

H (X , Y ) = H (X ) + H (Y ) — I (X , Y ).

  С помощью значительно более глубоких теорем выясняется роль количества И. (4) в вопросах передачи И. по каналам связи. Основная информационная характеристика каналов, так называемая пропускная способность (или ёмкость), определяется через понятие «И.» (подробнее см. Канал ).

  Если X и Y имеют совместную плотность p (x , y ), то

где буквами р и q обозначены плотности вероятности Х и Y соответственно. При этом энтропии Н (X ) и Н (Y ) не существуют, но имеет место формула, аналогичная (5),

I (X , Y ) = h (X ) + h (Y ) — h (X , Y ),                                           (7)

где

дифференциальная энтропия X [h (Y ) и h (X , Y ) определяется подобным же образом].

  Пример 5. Пусть в условиях примера 4 случайные величины X и q имеют нормальное распределение вероятностей с нулевыми средними значениями и дисперсиями, равными соответственно s2 х и s2 q . Тогда, как можно подсчитать по формулам (6) или (7):

Таким образом, количество И. в «принятом сигнале» Y относительно «переданного сигнала» X стремится к нулю при возрастании уровня «помех» q (т. е. при s2 q ® ¥) и неограниченно возрастает при исчезающе малом влиянии «помех» (т. е. при s2 q ® 0).

  Особенный интерес для теории связи представляет случай, когда в обстановке примеров 4 и 5 случайные величины X и Y заменяются случайными функциями (или, как говорят, случайными процессами) X (t ) и Y (t ), которые описывают изменение некоторой величины на входе и на выходе передающего устройства. Количество И. в Y (t ) относительно X (t ) при заданном уровне помех («шумов», по акустической терминологии) q(t ) может служить критерием качества самого этого устройства (см. Сигнал , Шеннона теорема ).

  В задачах математической статистики также пользуются понятием И. (сравни примеры 3 и 3а). Однако как по своему формальному определению, так и по своему назначению оно отличается от вышеприведённого (из теории И.). Статистика имеет дело с большим числом результатов наблюдений и заменяет обычно их полное перечисление указанием некоторых сводных характеристик. Иногда при такой замене происходит потеря И., но при некоторых условиях сводные характеристики содержат всю И., содержащуюся в полных данных (разъяснение смысла этого высказывания даётся в конце примера 6). Понятие И. в статистике было введено английским статистиком Р. Фишером в 1921.

  Пример 6. Пусть X 1 , X 2 , ..., X n , — результаты n независимых наблюдений некоторой величины, распределённые по нормальному закону с плотностью вероятности

где параметры a и s2 (среднее и дисперсия) неизвестны и должны быть оценены по результатам наблюдений. Достаточными статистиками (т. е. функциями от результатов наблюдении, содержащими всю И. о неизвестных параметрах) в этом примере являются среднее арифметическое

и так называемая эмпирическая дисперсия

Если параметр s2 известен, то достаточной статистикой будет только X (сравни пример 3 а выше).

  Смысл выражения «вся И.» может быть пояснён следующим образом. Пусть имеется какая-либо функция неизвестных параметров j = j (a , s2 ) и пусть

j* = j*(X 1 , X 2 , ..., X n )

— какая-либо её оценка, лишённая систематической ошибки. Пусть качество оценки (её точность) измеряется (как это обычно делается в задачах математической статистики) дисперсией разности j* — j. Тогда существует другая оценка j**, зависящая не от отдельных величин X i , а только от сводных характеристик X и s 2 , не худшая (в смысле упомянутого критерия), чем j*. Р. Фишером была предложена также мера (среднего) количества И. относительно неизвестного параметра, содержащейся в одном наблюдении. Смысл этого понятия раскрывается в теории статистических оценок.

  Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., М., 1948; Ван-дер-Варден Б. Л., Математическая статистика, пер. с нем., М., 1960; Кульбак С., Теория информации и статистика, пер. с англ., М., 1967.

  Ю. В. Прохоров.