Изоморфи'зм, одно из основных понятий современной математики, возникшее сначала в пределах алгебры в применении к таким алгебраическим образованиям, как группы , кольца , поля и т. п., но оказавшееся весьма существенным для общего понимания строения и области возможных применений каждого раздела математики.

  Понятие И. относится к системам объектов с заданными в них операциями или отношениями. В качестве простого примера двух изоморфных систем можно рассмотреть систему R всех действительных чисел с заданной на ней операцией сложения x = x 1 + x 1 и систему Р положительных действительных чисел с заданной на ней операцией умножения y = y 1 y 2 . Можно показать, что внутреннее «устройство» этих двух систем чисел совершенно одинаково. Для этого достаточно систему R отобразить в систему Р , поставив в соответствие числу х из R число у = a x (а > 1) из Р. Тогда сумме x = x 1 + x 2 будет соответствовать произведение y = y 1 y 2 чисел  соответствующих x 1 и x 2 . Обратное отображение Р на R имеет при этом вид x = loga y. Из любого предложения, относящегося к сложению чисел системы R , можно извлечь соответствующее ему предложение, относящееся к умножению чисел системы Р . Например, если в R сумма

членов арифметической прогрессии выражается формулой

то в Р произведение

членов геометрической прогрессии выражается формулой

(умножению на n в системе R соответствует при переходе к системе Р возведение в n -ю степень, а делению на два — извлечение квадратного корня).

  Изучение свойств одной из изоморфных систем в значительной мере (а с абстрактно-математической точки зрения — полностью) сводится к изучению свойств другой. Любую систему объектов S', изоморфную системе S , можно рассматривать как «модель» системы S («моделировать систему S при помощи системы S' ») и сводить изучение самых разнообразных свойств системы S к изучению свойств «модели» S'.

  Общее определение И. систем объектов с заданными на них в конечном числе отношениями между постоянным для каждого отношения числом объектов таково. Пусть даны две системы объектов S и S', причём в первой определены отношения

а во второй — отношения

Системы S и S' с указанными в них отношениями называются изоморфными, если их можно поставить в такое взаимно однозначное соответствие

(где х — произвольный элемент S , а x' — произвольный элемент S' ), что из наличия F k (x 1 ,x 2 ,... ) вытекает F' k (х' 1 ,х' 2 ,... ), и наоборот. Само указанное соответствие называется при этом изоморфным отображением, или изоморфизмом. [В приведённом выше примере в системе R определено отношение F (x, x 1 , x 2 ), где x = x 1 + x 2 , в системе Р — отношение F' (y , y 1 , y 2 ), где у = у 1 у 2 ; взаимно однозначное соответствие устанавливается по формулам у = a x , х = 1oga y. ]

  Понятие И. возникло в теории групп, где впервые был понят тот факт, что изучение внутренней структуры двух изоморфных систем объектов представляет собой одну и ту же задачу.

  Аксиомы любой математической теории определяют систему объектов, изучаемую этой теорией, всегда только с точностью до И.: аксиоматически построенная математическая теория, применимая к какой-либо одной системе объектов, всегда полностью применима и к другой. Поэтому каждая аксиоматически изложенная математическая теория допускает не одну, а много «интерпретаций», или «моделей» (см., например, в ст. Геометрия , раздел Истолкование геометрии).

  Понятие И. включает в себя как частный случай понятие гомеоморфизма , играющее основную роль в топологии .

  Частным случаем И. является автоморфизм — взаимно однозначное отображение

системы объектов с заданными отношениями F k (x 1 , x 2 , ...) на самоё себя, при котором из F k (x 1 , x 2 , ...) вытекает F' k (x' 1 , x' 2 , ...), и наоборот. Это понятие тоже возникло в теории групп, но потом оказалось существенным в самых различных разделах математики.

  Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 3 изд., М. — Л., 1952; Энциклопедия элементарной математики, под ред. П. С. Александрова [и др.], кн. 2, М. — Л., 1951.