Коне'чных ра'зностей исчисле'ние, раздел математики, в котором изучаются функции при дискретном (прерывном) изменении аргумента, в отличие от дифференциального исчисления и интегрального исчисления , где аргумент предполагается непрерывно изменяющимся. Конечными разностями «вперёд» для последовательности значений y 1 = f (x 1 ), y 2 = f (x 2 ),..., y k = f (x k ),... функции f (x), соответствующих последовательности значений аргумента x 0 ,..., x k ,,... (x k = х 0 + kh, h — постоянное, k — целое), называют выражения:

Dy k º Df (x k ) = f (x k+1 ) - f (x k )

(разности 1-го порядка),

D2 y k º D2 f (x k ) = Df (x k+1 )- Df (x k ) = f (x k+2 )-2f (x k+1 ) + f (x k )

(разности 2-го порядка),

Dn y k º Dn f (x k ) = Dn-1 f (x k+1 ) - D n-1 f (x k )

(разности n-го порядка).

  Соответственно, конечные разности «назад» Dn y к определяются равенствами

Dn y к = Dn y к + n .

  При интерполяции часто пользуются т. н. центральными разностями d n y , которые вычисляются при нечётном n в точках х = x i + 1 l 2 h, а при чётном n в точках х = x i по формулам

df (x i + 1 / 2 h) º dy i+1/2 = f (x i+1 ) - f (x i ),

d 2 f (x i ) º d 2 y i = dy i+1/2 ,

d 2m-1 f (x i + 1 / 2 h) º d 2т— 1yi +1/2 = d 2т— 2yi +1 -d 2т— 2yi ,

d 2m f (x i ) º d 2т у i = d 2т— 1yi +1/2 - d 2т— 1yi -1/2

Они дополняются средними арифметическими

#i-images-134610365.png ,

#i-images-134901770.png ,

  где m = 1,2,...; если m = 0, то полагают

#i-images-136448318.png .

  Центральные разности dn y связаны с конечными разностями Dn y соотношениями

d 2т у i = D 2т у i-m ,

d 2т+ 1yi +1/2 =   D 2m+1 y i-m

  Если значения аргумента не составляют арифметической прогрессии, т. е. x k+1 - x k не есть тождественно постоянная, то вместо конечных разностей пользуются разделёнными разностями, последовательно определяемыми по формулам

…………………………..……………………

#i-images-187335885.png .

  Связь между конечными разностями и производными устанавливается формулой Dn y k = f (n) ( #i-images-132957429.png ), где x k £ #i-images-111745887.png £x k+n . Существует полная аналогия между ролью конечных разностей в теории функций дискретного аргумента и ролью производных в теории функций непрерывного аргумента; конечные разности являются удобным аппаратом при построении ряда разделов численного анализа: интерполирование функций, численное дифференцирование и интегрирование, численные методы решения дифференциальных уравнений.

  Например, для приближённого решения дифференциального уравнения (обыкновенного или с частными производными) часто заменяют входящие в него производные соответствующими разностями, деленными на степени разностей аргументов, и решают полученное таким способом разностное уравнение (одномерное или многомерное).

  Важный раздел К. р. и. посвящен решению разностных уравнений вида

F [x,(f (x),..., Dn f (x)] = 0           (1)

задаче, во многом сходной с решением дифференциальных уравнений n- го порядка. Обычно уравнение (1) записывают в виде

Ф [х, f (x), f (x 1 ),..., f (x n ) ] = 0,

выражая разности через соответствующие значения функции. Особенно простой случай представляет линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

f (x+n) + a 1 f (x+n-1) +... + a n f (x) = 0,

где a 1 ,..., a n — постоянные числа. Чтобы решить такое уравнение, находят корни l1 , l2 ,... ln его характеристического уравнения

l n + a 1 l n-1 +...+a n = 0.

Тогда общее решение данного уравнения представится в виде

f (x) = С 1 l 1 х + C 2 l 2 x +... + C n l n x ,

  где C 1 , C 2 ,..., C n — произвольные постоянные (здесь предполагается, что среди чисел l 1 , l 2 ,..., l n нет равных).

  Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1—2, М., 1966; Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей, 3 изд., М., 1967.

  Под редакцией Н. С. Бахвалова.