Ма'тричные и'гры , понятие игр теории . М. и. — игры, в которых участвуют два игрока (I и II) с противоположными интересами, причём каждый игрок имеет конечное число чистых стратегий . Если игрок I имеет m стратегий, а игрок II — n стратегий, то игра может быть задана (m ´ n )-maтрицей А = ||a ij ||, где a ij есть выигрыш игрока I, если он выберет стратегию i (i   = -1, ..., m ), а игрок II — стратегию j (j = 1, ..., n ). Следуя общим принципам поведения в антагонистических играх (частным случаем которых являются М. и.), игрок I стремится выбрать такую стратегию i 0 , на которой достигается

  ;

  игрок II стремится выбрать стратегию j o , на которой достигается

  ;

  Если u1 = u2 , то пара (i 0 , j 0 ) составляет седловую точку игры, то есть выполняется двойное неравенство

  ; i = 1, …, m ; j = 1, …, n .

Число  называется значением игры; стратегии i 0 , j 0 называются оптимальным и чистыми стратегиями игроков I и II соответственно. Если u1 ¹ u2 , то всегда u1 < u2 ; в этом случае в игре седловой точки нет, а оптимальные стратегии игроков следует искать среди их смешанных стратегий (то есть вероятностных распределений на множестве чистых стратегий). В этом случае игроки оперируют уже с математическими ожиданиями выигрышей.

  Основная теорема теории М. и. (теорема Неймана о минимаксе) утверждает, что в любой М. и. существуют оптимальные смешанные стратегии х* , у* , на которых достигаемые «минимаксы» равны (общее их значение есть значение игры). Например, игра с матрицей  имеет седловую точку при i 0 = 2, j 0 = 1, а значение игры равно 2; игра с матрицей  не имеет седловой точки. Для неё оптимальные смешанные стратегии суть х* = (3 /4 , 1 /4 ), y* = (1 /2 , 1 /2 ); значение игры равно 1 /2 .

  Для фактического нахождения оптимальных смешанных стратегий чаще всего используют возможность сведения М. и. к задачам линейного программирования . Можно использовать так называемый итеративный метод Брауна — Робинсон, состоящий в последовательном фиктивном «разыгрывании» данной игры с выбором игроками в каждой данной партии своих чистых стратегий, наилучших против накопленных к этому моменту стратегий оппонента. Игры, в которых один из игроков имеет только две стратегии, просто решить графически.

  М. и. могут служить математическими моделями многих простейших конфликтных ситуаций из области экономики, математической статистики, военного дела, биологии. Нередко в качестве одного из игроков рассматривают «природу», под которой понимается вся совокупность внешних обстоятельств, неизвестных принимающему решения лицу (другому игроку).

  Лит.: Матричные игры. [Сборник переводов], под редакцией Н. Н. Воробьева, М., 1961; Нейман Дж. фон, Моргенштерн О., Теория игр и экономическое поведение, перевод с английского, М., 1970; Оуэн Г., Теория игр, перевод с английского, М., 1971.

  А. А. Корбут.