Ме'ра мно'жества, математическое понятие, обобщающее понятия длины отрезка, площади плоской фигуры и объёма тела на множества более общей природы. В качестве примера можно привести определение меры Лебега (введённой А. Лебегом в 1902) для ограниченных множеств, лежащих на плоскости. При определении меры Лебега, так же как и при определении площади плоских фигур в геометрии, исходят из сравнения части плоскости, занимаемой множеством, с выбранной единицей измерения. При этом и способ сравнения напоминает обычный процесс измерения площади. Меру Лебега m (D) любого квадрата D полагают равной его площади. Затем рассматриваемое множество А покрывают конечным или бесконечным числом квадратов D1 , D2 ,..., Dn ,...; нижнюю грань чисел

  взятую по всевозможным покрытиям множества А , называют верхней (внешней) мерой m * (А ) множества А . Нижняя (внутренняя) мера m * (А ) множества А определяется как разность

где D — какой-либо квадрат, содержащий множество А , и  — множество всех точек этого квадрата, не содержащихся в А . Множества, для которых верхняя мера равна нижней, называют измеримыми по Лебегу, а общее значение m (А ) верхней и нижней мер — мерой Лебега множества А . Геометрические фигуры, имеющие площадь в элементарном смысле (см. Квадрируемая область ), измеримы, и их мера Лебега совпадает с их площадью. Однако существуют и неквадрируемые измеримые множества. Аналогично можно определить меру Лебега на прямой. При этом верхнюю меру определяют, рассматривая покрытия множества интервалами.

  Основные свойства меры Лебега: 1) мера любого множества неотрицательна: m (A )D '³ '0; 2) мера суммы

конечной или счётной системы попарно непересекающихся множеств A 1 , A 2 ..., A n ... равна сумме их мер:

3) при перемещении множества как твёрдого тела его мера не меняется.

  Своеобразие понятия «М. м.» можно пояснить следующим примером: множество А рациональных точек интервала (0, 1) и множество В иррациональных точек того же интервала сходны в том смысле, что каждое из них плотно на интервале (0, 1), т. е., что между любыми двумя точками указанного интервала найдутся как точки множества А , так и точки множества В ; в то же время они резко различаются по мере: m (А ) = 0, а m (В ) = 1.

  Для более узких классов множеств мера, совпадающая с лебеговской, была ранее определена М. Э. К. Жорданом (1893) и Э. Борелем (1898). О других вопросах, связанных с мерой Лебега, см. Интеграл .

  Развитие ряда отделов современной математики привело к дальнейшим обобщениям — созданию т. н. абстрактной теории меры. При этом М. м. определяют аксиоматически. Пусть U — произвольное множество и  — некоторое семейство его подмножеств. Неотрицательную функцию μ(A ), определённую для всех А , входящих в

и если, кроме того, система  удовлетворяет определённым дополнительным условиям. Множества, входящие в , называют измеримыми (по отношению к мере m). После того как определена мера m, вводят понятие измеримых (по отношению к m) функций и операцию интегрирования.

  Многие основные утверждения из теории меры Лебега, теории измеримых функций и интеграла Лебега сохраняются с соответствующими видоизменениями и в абстрактной теории меры и интеграла. Последняя составляет математическое основание современной теории вероятностей, данное в 1933 А. Н. Колмогоровым . Специальный интерес для ряда областей математики представляют меры, инвариантные по отношению к той или иной группе преобразований множества U в себя.

  Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 3 изд., М., 1972; Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц., М. — Л., 1934; Сакс С., Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949; Халмош П. Р., Теория меры, пер. с англ., М., 1953.

  Ю. В. Прохоров.