Муавра фо'рмула, формула, содержащая правило для возведения в степень n комплексного числа, представленного в тригонометрической форме

z = r (cos j + i sin j);

согласно М. ф., модуль r комплексного числа возводится в эту степень, а аргумент j умножается на показатель степени

z n = [r (cos j + i sin j)] n = rn (cos n j + i sin n j).

  М. ф. была найдена А. Муавром в 1707; современная её запись предложена Л. Эйлером в 1748.

  М. ф. может быть легко использована для выражения cos n j и sin n j через степени cos j и sin j; положив в М. ф. r = 1 и приравнивая отдельно действительные и мнимые части, получим

cos n j = cosn j - C n 2 cosn-2 j sin2 j + C n 4 cosn-4 j sin4 j -...,

sin n j = C n 1 cosn-1 j sin j - C n 3 cosn-3 j sin3 j +...,

где C n m = n !/m !(n - m )! — биномиальные коэффициенты (см. Ньютона бином ). Обращение М. ф. приводит к формуле для извлечения корня из комплексного числа.