Неопределённых коэффицие'нтов ме'тод, метод, применяемый в математике для отыскания коэффициентов выражений, вид которых заранее известен. Так, например, на основании теоретических соображений дробь

может быть представлена в виде суммы

где А, В и С — коэффициенты, подлежащие определению. Чтобы найти их, приравнивают второе выражение первому:

и, освобождаясь от знаменателя и собирая слева члены с одинаковыми степенями х, получают:

(А + В + С ) х 2 + (В - С ) х - А = 3x 2 - 1.

Так как последнее равенство должно выполняться для всех значений х, то коэффициенты при одинаковых степенях х справа и слева должны быть одинаковыми. Т. о., получаются три уравнения для определения трёх неизвестных коэффициентов: А + В + С = 3, В - С = 0, А = 1, откуда А = В = С = 1. Следовательно,

справедливость этого равенства легко проверить непосредственно. Пусть ещё нужно представить дробь

в виде

где А, В, С и D — неизвестные рациональные коэффициенты. Приравниваем второе выражение первому

или, освобождаясь от знаменателя, вынося, где можно, рациональные множители из-под знака корней и приводя подобные члены в левой части, получаем:

  Но такое равенство возможно лишь в случае, когда равны между собой рациональные слагаемые обеих частей и коэффициенты при одинаковых радикалах. Т. о., получаются четыре уравнения для нахождения неизвестных коэффициентов А, В, С и D: А - 2B + 3C = 1, —А + В + 3D = 1, A + C - 2D = —1, В - С + D = 0, откуда A = 0, В = — 1 / 2 , С = 0, D = 1 /2 , т. е.

  В приведённых примерах успех Н. к. м. зависел от правильного выбора выражений, коэффициенты которых отыскивались. Если бы в последнем примере вместо выражения

было взято выражение

то, рассуждая, как и выше, получили бы для трёх коэффициентов А, В и С четыре уравнения А - 2В + 3С = 1, —A - B = 1, A + C = — 1, В - С = 0, которым нельзя удовлетворить никаким выбором чисел А, В и С .

  Особенно важны применения Н. к. м. к задачам, в которых число неизвестных коэффициентов бесконечно. К ним относятся задача деления степных рядов, задача нахождения решения дифференциального уравнения в виде степенного ряда и др. Пусть, например, нужно найти решение дифференциального уравнения у" + ху = 0 такое, что у = 0 и y' = 1 при х = 0. Из теории дифференциальных уравнений следует, что такое решение существует и имеет вид степенного ряда

у = х + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + c 5 x 5 + ×××.

Подставляя это выражение вместо у в правую часть уравнения, а вместо y " — выражение

2c 2 + 3·2с 3 х + 4·3с 4 х 2 + 5·4с5 х3 + ×××,

затем, умножая на х и соединяя члены с одинаковыми степенями х, получают

2c 2 + 3·2c 3 x + (1 + 4·3c 4 ) x 2 + (c 2 + 5·4c 5 ) x 3 + ××× = 0,

откуда при определении неизвестных коэффициентов получается бесконечная система уравнений: 2c 2 = 0; 3·2с 3 = 0; 1 + 4·3c 4 = 0; c 2 + 5·4c 5 = 0;...

Решая последовательно эти уравнения,

т. е.

  Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 1, 23 изд., М., 1974; т. 2, 20 изд., М., 1967; Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959.