Обра'тная фу'нкция, функция , обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если у = f (x) — данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у, х = j (y), является обратной по отношению к данной функции у = f (x). Например, О. ф. для у = ax + b (а¹0) является х = (у—b)/a, О. ф. для у = е х является х = ln у и т.д. Если х = j(y) есть О. ф. по отношению к у = f (x), то и у = f (x) есть О. ф. по отношению к х = j(y). Областью определения О. ф. является область значений данной функции, а областью значений О. ф.— область определения данной. Графики двух взаимно обратных функций у = f (x) и у = j (x) (где независимое переменное обозначено одной и той же буквой х), как, например, у = ax + b и у = (х—b)/a, у = е х и у =  ln х, симметричны по отношению к биссектрисе у = х первого и третьего координатных углов. Функция, обратная по отношению к однозначной функии, может быть многозначной (ср., например, функции х 2 и ). Для однозначности О. ф. необходимо и достаточно, чтобы данная функция у = f (x) принимала различные значения для различных значений аргумента. Для непрерывной функции последнее условие может выполняться только в том случае, если данная функция монотонна (имеются в виду функции действительного аргумента, принимающие действительные значения). О. ф. по отношению к непрерывной и монотонной функции однозначна, непрерывна и монотонна.

  Если данная функция кусочно монотонна, то, разбивая область её определения на участки её монотонности, получают однозначные ветви О. ф. Так, одним из участков монотонности для sin х служит интервал — p/2< x < p/2; ему соответствует т. н. главная ветвь arc sin х обратной функции Arc sin х. Для пары однозначных взаимно обратных функций имеют место соотношения j[f (x)]=x и f [j(x)] = х, первое из которых справедливо для всех значений х из области определения функции f (x), а второе — для всех значений х из области определения функции j (x); например, eln x = х (х > 0), 1n (ex ) = х (— ¥ < х < ¥). Иногда функцию, обратную к f (x) =у, обозначают f - -1 (y) = х, так что для непрерывной и монотонной функции f (x):

  F -1 [f (x)]=f [f  -1) x)]=x.

  Вообще же f --1 [f (x)] представляет собой многозначную функцию от х, одним из значений которой является х; так, для f (x) = x 2 , х (¹ 0) является лишь одним из двух значений f --1 [f (x)] = √x 2 (другое: —х); для f (x) = sin х, х является лишь одним из бесконечного множества значений

f - -1 [f (x)] = Arc sin [sin x] = (—1) n x + np,

n = 0, ± 1, ± 2,....

  Если у = f (x) непрерывна и монотонна в окрестности точки х = x 0 и дифференцируема при х = x 0 , причём f'(x 0 ) ¹ 0, то f --1 (y) дифференцируема при у = у 0 и

(формула дифференцирования О. ф.). Так, для —p/2 < х < p/2, у = f (x) = sin х непрерывна и монотонна, f’(x) = cos х ¹ 0 и f - -1 (y)= arc sin у (—1< y <1) дифференцируема, причём

где имеется в виду положительное значение корня (так как cos х > 0 для —p/2 <  х <  p/2).