О'бщее реше'ние обыкновенного дифференциального уравнения

  у (n) = f (х, у, у',..., у (n-1) ) — семейство функций у= j(x, C 1 ,..., С п ) ,

  непрерывно зависящих от n произвольных постоянных C 1 ,..., C n , такое, что при соответствующем выборе этих постоянных может быть получено любое решение уравнения (частное решение ), однозначно определяемое начальными данными, заполняющими некоторую область n-мерного пространства (см. Дифференциальные уравнения , Коши задача ). Если каждая функция у, определяемая соотношением F(x, у, C 1 ,..., Сп ) = 0 (и удовлетворяющая соответствующим условиям гладкости), представляет собой О. р. дифференциального уравнения, то такое соотношение называется общим интегралом дифференциального уравнения. Например, для дифференциального уравнения y' = — х/у функции (верхние полуокружности) и (нижние полуокружности) представляют собой О. р.; соотношение же х 2 + y 2 = C 2 (семейство окружностей) есть общий интеграл (рис. ).

  Аналогично определяется О. р. для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

  Лит.: Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959.

Рис. к ст. Общее решение.