Ортогона'льные многочле'ны, специальные системы многочленов {р п (х)}; n = 0, 1, 2,..., ортогональных с весом r(х) на отрезке [а, b ] (см. Ортогональная система функций ). Нормированная система О. м. обозначается через , а система О. м., старшие коэффициенты которых равны 1,— через . В краевых задачах математической физики часто встречаются системы О. м., для которых вес r(х) удовлетворяет дифференциальному уравнению (Пирсона)
Многочлен р п (х) такой системы удовлетворяет дифференциальному уравнению
где gn =n [(a1 + (n + 1)b2].
Наиболее важные системы О. м. (классические) относятся к этому типу; они получаются (с точностью до постоянного множителя) при указанных ниже а, b и r(х).
1) Якоби многочлены {Р п (l,m)(х)} — при а = —1, b = 1 r(х) = (1—х)l (1 + x)m, l > —1, m > —1. Специальные частные случаи многочленов Якоби соответствуют следующим значениям l и m: l = m— ультрасферические многочлены (их иногда называют многочленами Гегенбауэра); l = m = —1/2, т. е. — Чебышева многочлены 1-го рода T n (x); l = m = 1/2, т. е. — Чебышева многочлены 2-го рода U n (x); l = m = 0, т. е. r(х) º 1 — Лежандра многочлены Р п (х).
2) Лагерра многочлены L n (x) — при а = 0, b = + ¥ и r(х) = е —х (их наз. также многочленами Чебышева — Лагерра) и обобщённые многочлены Лагерра — при .
3) Эрмита многочлены Н n (х) — при а = —¥, b = + ¥ и (их называют также многочленами Чебышева — Эрмита).
О. м. обладают многими общими свойствами. Нули многочленов р n (х) являются действительными и простыми и расположены внутри [а, b ]. Между двумя последовательными нулями многочлена р n (х) лежит один нуль многочлена p n+1 (х). Многочлен р n (х) может быть представлен в виде т. н. формулы Родрига
где A n — постоянное, а b(х) см. формулу (*). Каждая система О. м. обладает свойствами замкнутости. Три последовательных О. м. , , связаны рекуррентным соотношением:
,
где а п+2 и ln+2 следующим образом выражаются через коэффициенты этих многочленов: если
,
то
;
Общая теория О. м. построена П. Л. Чебышевым . Основным аппаратом изучения О. м. явилось для него разложение интеграла в непрерывную дробь с элементами вида х — a n и числителями ln—1 . Знаменатели jn (х)/р n (х) подходящих дробей этой непрерывной дроби образуют систему О. м. на отрезке [a, b ] относительно веса r(х).
Приведённые выше классические системы О. м. выражаются через гипергеометрическую функцию .
Лит.: Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962; см. также лит. при ст. Ортогональная система функций .
В. И. Битюцков.