Периоди'ческая фу'нкция, функция, значение которой не изменяется при добавлении к аргументу определённого, неравного нулю числа, называемого периодом функции. Например, sin х и cos x: являются П. ф. с периодом 2p ; {x } — дробная часть числа х — П. ф. с периодом 1; показательная функция e x (если х — комплексное переменное) — П. ф. с периодом 2pi и т.п. Так как сумма и разность двух периодов есть снова период и, следовательно, любое кратное периода есть также период, то каждая П. ф. имеет бесконечное множество периодов. Если П. ф. имеет действительный период, непрерывна и отлична от постоянной, то для неё существует наименьший положительный период Т ; всякий другой действительный период той же функции будет иметь вид kT , где k = ±1, ± 2,.... Сумма, произведение и частное П. ф. с одним и тем же периодом являются П. ф. с тем же периодом. Производная П. ф. есть П. ф. с тем же периодом, однако интеграл от П. ф. f (x ) с периодом Т будет П. ф. (с тем же периодом) лишь в том случае, когда . Фундаментальная теорема теории П. ф. утверждает, что П. ф. f (x) с периодом Т [подчинённая ещё некоторым условиям, например непрерывная и имеющая в интервале (О, T ) лишь конечное число максимумов и минимумов] может быть представлена суммой сходящегося тригонометрического ряда (ряда Фурье) вида:

  ;

  коэффициенты этого ряда выражаются через f (x ) по формулам Эйлера — Фурье (см. Тригонометрические ряды , Фурье коэффициенты ).

  Для непрерывной П. ф. комплексного переменного возможен случай, когда существуют два периода T 1 и T 2 , отношение которых не есть действительное число: если функция отлична от постоянной, то всякий её период будет иметь вид k 1 T 1 + k 2 T 2 , где k 1 = 0,±1, ±2,... и k 2 = 0, ±1, ± 2,.... В этом случае П. ф. называется двоякопериодической функцией . Рассматриваются ещё двоякопериодические функции второго и третьего родов; под ними понимают функции, которые при добавлении периодов к аргументу приобретают, соответственно, постоянный или показательный множитель [то есть f (x + T1 ) = a 1 f (x ) и f (x + T 2 ) = a 2 f (x ) или f (x + T 1 ) = #i-images-166316212.png  и f (x + T 2 ) -= e a 2 x f (x )].

  Сумма П. ф. с разными периодами не будет периодической функцией в случае, когда периоды несоизмеримы [напр., cos х + cos ) не есть П. ф.]; однако функции такого рода обладают многими свойствами, приближающими их к П. ф.; такие функции являются простейшими примерами так называемых почти периодических функций . П. ф. играют чрезвычайно большую роль в теории колебаний и вообще в математической физике.