После'довательных приближе'нии ме'тод, метод решения математических задач при помощи такой последовательности приближении, которая сходится к решению и строится рекуррентно (т. е. каждое новое приближение вычисляют, исходя из предыдущего; начальное приближение выбирается в достаточной степени произвольно). П. п. м. применяется для приближённого нахождения корней алгебраических и трансцендентных уравнений, для доказательства существования решения и приближённого нахождения решений дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, для качественной характеристики решения и в ряде др. математических задач. 1) Для решения уравнения

f (x ) = 0     (1)

составляют ему равносильное х = j(х), обозначив, например, через j(x) разность х — kf (x ) (k — постоянное). Выбрав a 0 — начальное приближение к корню уравнения, составляют последовательность чисел a 0 , a 1 = j(a 0 ), a 2 = j(a 1 ), …, a n = j(a n-1 ), …; предел а = #i-images-107720815.png , если он существует, является корнем уравнения (1), а числа a 0 , a 1 , a 2 ,..., a n ,.. . — приближёнными значениями этого корня. Предел а будет существовать, например, если

     (2)

и в качестве начального приближения a 0 взято любое число.

  Обычно, когда надо найти приближённое значение корня уравнения, устанавливают достаточно узкий интервал, в котором лежит корень (например, с помощью графических методов); затем подбирают k так, чтобы условие (2) выполнялось на всём интервале; за начальное приближение a 0 выбирают любое число из этого интервала и применяют П. п. м. Практически, после того как два последовательных приближения a n-1 и a n совпадут с заданной степенью точности, вычисление прекращают и полагают a n » а. Пусть дано, например, уравнение f (x ) = #i-images-145024885.png . Так как , то корень уравнения лежит в интервале . Положив , непосредственной проверкой убеждаемся, что для k = #i-images-120484698.png    условие (2) выполняется на всём интервале . Выбирем a 0 =  и применим П. п. м. к уравнению . Получим a 1 = 0,554, a 2 = 0,570, a 3 = 0,566 (на самом деле корень уравнения с тремя верными десятичными знаками равен a 4 » 0,567).

  2) П. п. м. применяют для приближённого решения систем линейных алгебраических уравнений с большим числом неизвестных.

  Пусть дана система трёх уравнений с тремя неизвестными:

     (3)

  Строят ей эквивалентную систему:

     (4)

полагая, например,

и, пользуясь рекуррентными формулами:

x j = c 11 x j-1 + c 12 y j-1 + c 13 z j-1 + d 1

y j = c 21 x j-1 + c 22 y j-1 + c 23 z j-1 + d 2

z j = c 31 x j-1 + c 32 y j-1 + c 33 z j-1 + d 3

составляют последовательность (x 0 , у 0 , z 0 ), (x 1 , у 1 , z 1 ),..., (x n , y n , z n ),... Если x n ® a, y n ® b, z n ® g при неограниченном увеличении n, то тройка чисел х = a, у = b, z = g будет решением системы (3). Пределы a, b, g заведомо существуют, каковы бы ни были начальные приближения x 0 , у 0 , z 0 , если, например, в каждом уравнении системы (4) сумма абсолютных величин коэффициентов c ij меньше единицы.

  3) Для того чтобы найти решение у = у (х ) дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию у 0 = у (х 0 ), записывают это уравнение в виде

и, пользуясь рекуррентной формулой

составляют последовательность функций y 1 (x ), у 2 (х ), ..., y n (x ),... Если она равномерно сходится, то предел её будет искомым решением.

  4) Чтобы найти решение первой краевой задачи для уравнения

выбирают произвольную дважды дифференцируемую функцию u 0 (x, у ) и составляют затем линейное уравнение

.

  Пусть u 1 (х, у ) — решение первой краевой задачи для уравнения (5); считая u 1 первым приближением, составляют уравнения типа (5) для последующих приближений. Полученная последовательность {u n (x, у )} при некоторых предположениях сходится и даёт решение задачи.

  О применимости П. п. м. см. статью Сжатых отображений принцип .