Повто'рного логари'фма зако'н, одна из предельных теорем теории вероятностей, близкая по смыслу к закону больших чисел (см. Больших чисел закон ). П. л. з. указывает при определённых условиях точный порядок роста сумм независимых случайных величин при увеличении числа слагаемых. Пусть, например, случайные величины X 1 , X 2 ,..., X n ,... независимы и каждая из них принимает два значения: +1 или —1, каждое с вероятностью, равной 1 /2 , и пусть s n = X 1 +... + X n . Тогда с вероятностью, равной 1, при любом d > 0:

  1) при всех n, бо'льших некоторого (зависящего от случая) номера N:

sn < (1 + d)

  2) для бесконечной последовательности номеров n:

sn > (1 - d) .

  Название «П. л. з.» объясняется наличием в вышеприведённых выражениях множителя In In n. П. л. з. возник из задач т. н. метрической теории чисел (см. Чисел теория ). Первый результат, относящийся к П. л. з., был установлен в 1924 А. Я. Хинчиным . Дальнейшие существенные продвижения в изучении условий приложимости П. л. з. связаны с работами А. Н. Колмогорова (1929) и В. Феллера (1943).

  Лит.: Феллер В., Введение в теорию вероятностей и её приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1967.

  Ю. В. Прохоров.