Шрёдингера уравне'ние, основное динамическое уравнение нерелятивистской квантовой механики ; названо в честь австрийского физика Э. Шрёдингера , который предложил его в 1926. В квантовой механике Ш. у. играет такую же фундаментальную роль, как уравнение движения Ньютона в классической механике и Максвелла уравнения в классической теории электромагнетизма. Ш. у. описывает измерение во времени состояния квантовых объектов, характеризуемого волновой функцией . Если известна волновая функция y в начальный момент времени, то, решая Ш. у., можно найти y в любой последующий момент времени t.

  Для частицы массы т , движущейся под действием силы, порождаемой потенциалом V (х , у , z , t ), Ш. у. имеет вид:

  , (1)

  где i = ,  = 1,05. 10¾27 эрг . сек — Планка постоянная ,   — Лапласа оператор (х , у , z — координаты). Это уравнение называется временны'м Ш. у.

  Если потенциал V не зависит от времени, то решения Ш. у. можно представить в виде:

  y(х , у , z , t ) = y (х , у , z ), (2)

  где Е — полная энергия квантовой системы, а y (x , у , z ) удовлетворяет стационарному Ш. у.:

   (3)

  Для квантовых систем, движение которых происходит в ограниченной области пространства, решения Ш. у. существуют только для некоторых дискретных значений энергии: E 1 , E 2 ,... , E n ,...; члены этого ряда (в общем случае бесконечного) нумеруются набором целых квантовых чисел n. Каждому значению Е п соответствует волновая функция yn (x , у , z ), и знание полного набора этих функций позволяет вычислить все измеримые характеристики квантовой системы.

  В важном частном случае кулоновского потенциала

 

  (где е — элементарный электрический заряд) Ш. у. описывает атом водорода, и E n представляют собой энергии стационарных состояний атома.

  Ш. у. является математическим выражением фундаментального свойства микрочастиц — корпускулярно-волнового дуализма , согласно которому все существующие в природе частицы материи наделены также волновыми свойствами (эта гипотеза впервые была высказана Л. де Бройлем в 1924). Ш. у. удовлетворяет соответствия принципу и в предельном случае, когда длины волн де Бройля значительно меньше размеров, характерных для рассматриваемого движения, содержит описание движения частиц по законам классической механики. Переход от Ш. у. к классическим траекториям подобен переходу от волновой оптики к геометрической. Аналогия между классической механикой и геометрической оптикой, которая является предельным случаем волновой, сыграла важную роль в установлении Ш. у.

  С математической точки зрения Ш. у. есть волновое уравнение и по своей структуре подобно уравнению, описывающему колебания нагруженной струны. Однако, в отличие от решений уравнения колебаний струны, которые дают геометрическую форму струны в данный момент времени, решения y(х , у , z , t ) Ш. у. прямого физического смысла не имеют. Смысл имеет квадрат волновой функции, а именно величина rn (x , у , z , t ) = |yn (x , у , z , t )|2 , равная вероятности нахождения частицы (системы) в момент t в квантовом состоянии n в точке пространства с координатами х , у , z. Эта вероятностная интерпретация волновой функции — один из основных постулатов квантовой механики.

  Математическая формулировка постулатов квантовой механики, основанная на Ш. у., носит название волновой механики. Она полностью эквивалентна т. н. матричной механике В. Гейзенберга , которая была сформулирована им в 1925.

  Ш. у. позволяет объяснить и предсказать большое число явлений атомной физики, а также вычислить основные характеристики атомных систем, наблюдаемые на опыте, например уровни энергии атомов, изменение спектров атомов под влиянием электрического и магнитного полей и т.д. С помощью Ш. у. удалось также понять и количественно описать широкий круг явлений ядерной физики, например закономерности a-распада, g-излучение ядер, рассеяние нейтронов на ядрах и др.

  Лит.: Шрёдингер Э., Новые пути в физике. Статьи и речи, М., 1971. См. также лит. к ст. Квантовая механика .

  Л. И. Пономарёв.