Скаля'рное произведе'ние векторов а и b , скаляр , равный произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними; обозначается (а, b ) (или ab ). Например, работа постоянной силы F вдоль прямолинейного пути S равна (F , S ). Свойства С. п.: 1) (а, b ) = (b, а ), 2) (aа , b ) = a(а, b ) (a — скаляр), 3) (a , b + c )= (a, b ) + (а , с ), 4) (a , a ) > 0, если а ¹ 0, и (а , а ) = 0, если а = 0.
Длина вектора а
равна
. Если (а, b
) = 0, то либо а
= 0, либо b
= 0, либо a
^ b.
Если а =
(a 1
, a 2
,
a3
) и b
=
(b 1
, b 2
,
b3
), то (а, b
) = a 1
b 1
+ a 2
b 2
+ a 3
b 3
(в прямоугольных декартовых координатах). Понятие «С. п.» обобщают на n
-мерные векторные пространства
,
где равенство (а, b
) =
принимают за определение С. и. и с помощью так определённого С. п. вводят геометрическое понятия длины вектора, угла между векторами и т. д. Бесконечномерное линейное пространство
,
в котором определено С. п. и выполнена аксиома полноты относительно нормы
(см. Полное пространство
),
называют гильбертовым пространством
.
Гильбертовы пространства играют важную роль в функциональном анализе и квантовой механике. Для векторных пространств над полем комплексных чисел условие 1) заменяют условием (а, b
) = #i-images-102574896.png
и С. п. определяют как
.
Векторы а и b можно рассматривать как кватернионы a 1 i + a 2 j + a3 k и b 1 i + b 2 j + b 3 k. Тогда их С. п. равно взятой с обратным знаком скалярной части произведения этих кватернионов (а векторное произведение — векторной части).