Степенно'й ряд, ряд вида a 0 + a 1 z + a 2 z 2 +... + a n z n +...,
где коэффициенты a
0
, a
1
, a 2
,..., a n
,... —
комплексные числа, не зависящие от комплексного переменного z
. Областью сходимости С. р. является, вообще говоря, открытый круг D =
{z
: |z
| < R
} с
центром в точке z
= 0. Этот круг называется кругом сходимости С. р., а его радиус R —
радиусом сходимости С. р. В частных случаях круг сходимости может вырождаться в точку z
= 0 (в этом случае R
= 0; пример:
) или совпадать со всей комплексной плоскостью (R
= ¥; пример:
). Радиус сходимости С выражается через его коэффициенты по формуле Коши — Адамара
.
Во всех точках круга сходимости С. р. сходится абсолютно; в граничных точках этого круга (в точках окружности |z
| = R
) С. р. может как сходиться, так и расходиться. Примеры:
, R
= 1, ряд расходится в каждой точке окружности
;
, R
= 1,
ряд абсолютно сходится во всех точках окружности
. В любой внешней точке круга сходимости (lz
l > R
) С. р. расходится. Внутри круга сходимости сумма С. р.
является аналитической функцией
;
производные любого порядка функции f
(z
) можно получить почленным дифференцированием данного ряда, причём С. р. совпадает с Тейлора рядом
своей суммы.
А. А. Гончар.