Сумми'рование
расходящихся рядов и интегралов, построение обобщённой суммы ряда
(соответственно значения интеграла
),
не имеющего обычной суммы (соответственно значения). Расходящиеся ряды могут получаться при перемножении условно сходящихся рядов, при разложении функций в ряд Фурье, при дифференцировании и интегрировании функциональных рядов и т. д. Часто встречаются расходящиеся ряды и интегралы в теории электромагнитного поля и др. вопросах современной физики. Во многих случаях расходящиеся ряды и интегралы можно просуммировать, то есть найти для них сумму (значение) в обобщённом смысле, обладающую некоторыми из основных свойств обычной суммы (значения) сходящегося ряда (интеграла). Обычно требуется, чтобы из того, что ряд
суммируется к S,
а ряд
суммируется к Т,
следовало, что ряд
суммируется к lS + lT,
а ряд
суммируется к S
— а
о
. Кроме того, чаще всего рассматриваются регулярные методы С., то есть методы, суммирующие каждый сходящийся ряд к его обычной сумме. В большинстве методов С. расходящийся ряд рассматривается в известном смысле как предел сходящегося ряда. А именно, каждый член ряда
(1)
умножается на некоторый множитель l n (t) так, чтобы после умножения получился сходящийся ряд
(2)
с суммой d(t). При этом множители l n (t) выбираются так, чтобы при каждом фиксированном n предел l n (t) при некотором непрерывном или дискретном изменении параметра t равнялся 1. Тогда члены ряда (2) стремятся к соответствующим членам ряда (1). Если при этом d(t) имеет предел, то его называют обобщённой суммой данного ряда, соответствующей данному выбору множителей (данному методу С.). Например, если положить l n (t) = 1 При n £ t и l n (t) = 0 при n > t и брать t ® ¥, то получится обычное понятие суммы ряда; при ln (t ) = t n для t < 1 и t ® 1 получается метод Абеля — Пуассона. Часто указывается не результат умножения членов ряда на l n (t), а соответствующие изменения частичных сумм ряда. Например, в методе средних арифметических Чезаро полагают
,
где
,
.
Этот метод соответствует выбору l n (m ) = (m - n + 1)/(m + 1) при n £ m и l n (m ) = 0 при n > m . Если положить
,
,
,
,
и если существует
, то говорят, что ряд суммируется к А методом Чезаро k
-го порядка. С ростом k
возрастает сила метода Чезаро, то есть расширяется множество рядов, суммируемых этим методом. Всякий ряд, суммируемый методом Чезаро какого-либо порядка, суммируется и методом Абеля — Пуассона и притом к той же сумме. Например, ряд 1— 1 + 1 —... + (—1) n-1
+... суммируется методом Абеля — Пуассона к значению 1
/2
, так как
,
.
Метод Чезаро даёт то же значение, так как
s 2n = 1, s 2n+l = 0, s2n = (n + 1)/(2n + 1),
s2n+1
= 1
/2
,
.
Методы Чезаро и Абеля — Пуассона применяются в теории тригонометрических рядов для нахождения функции по её ряду Фурье, так как ряд Фурье любой непрерывной функции суммируется к этой функции методом Чезаро первого порядка, а тем самым и методом Абеля — Пуассона. В 1901 Г. Ф. Вороной предложил метод С., частными случаями которого являются все методы Чезаро. Пусть p n ³ 0, p 0 = 0, #i-images-124288724.png ; обобщённой суммой ряда, по Вороному, называется предел
.
Метод Вороного регулярен, если
.
В 1911 немецкий математик О. Теплиц нашёл необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять треугольная матрица ||а тn
|| (где а тn
= 0 при n
> m
)
для того, чтобы метод С., определяемый формулой
,
был регулярен. Польский математик Х. Штейнхауз обобщил эти условия на случай квадратных матриц.
В теории аналитических функций важную роль играет метод суммирования Бореля, позволяющий аналитически продолжить функцию, заданную степенным рядом, за границу круга сходимости. Важный метод С. тригонометрических рядов был предложен С. Н. Бернштейном и немецким математиком В. Рогозинским. Бернштейн использовал этот метод для получения сходящихся интерполяционных процессов.
Теория С. расходящихся интегралов аналогична теории С. расходящихся рядов. Например, если интеграл
расходится и существует предел
,
то говорят, что первый интеграл суммируем к А методом Чезаро порядка l.
Лит.: Харди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., [2 изд.], т. 1—2, М., 1965; Титчмарт Е., Введение в теорию интегралов Фурье, пер. с англ., М.— Л., 1948; Вари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961.