Свёртка фу'нкций f 1 (x) и f 2 (x), функция

 

  С. ф. f 1 (x) и f2(x) обозначают f 1 *f 2 . Если f 1 и f 2 являются плотностями вероятности независимых случайных величин Х и Y, то f 1* f 2 есть плотность вероятности случайной величины Х+Y. Если F k (x) — Фурье преобразование функции f k (х), то есть

 

  то F 1 (x) F 2 (x) является преобразованием Фурье функции f 1* f 2 . Это свойство С. ф. находит важные приложения в теории вероятностей (см. Характеристическая функция ). Аналогичным свойством обладает С. ф. и относительно Лапласа преобразования , что находит широкие приложения в операционном исчислении. Операция свёртывания функций перестановочна и сочетательна, то если f 1* f 2 =f 2* f 1 и f 1* (f 2* f 3 )=(f 1* f 2 )* f 3 . Поэтому её можно рассматривать как вид умножения функций, что даёт возможность применить к изучению С. ф. теорию нормированных колец .